Versuch EP2 Elektrische Schwingkreise (RCL)

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1 BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FACHBEREICH C - PHYSIK ELEKTRONIKPRAKTIKUM Versuch EP2 Elektrische Schwingkreise (RCL) I. Zielsetzung des Versuches Im diesem Versuch des Elektronikpraktikums sollen die gedämpfte elektrische Schwingung bei einem RCL-Kreis und die erzwungenen Schwingung in einem LC-Schwingkreis mit Hilfe des Oszillographen untersucht werden. II. Vorkenntnisse ) allgemeine Vorkenntnisse Allgemeine Schwingungsgleichung und deren Lösung, komplexe e-funktion, Zeitkonstante Literatur: jedes Lehrbuch der Physik, Elektrizität 2) spezielle Vorkenntnisse Spule (Induktivität), Wechselstromwiderstände (Impedanz), Darstellung der komplexen Wechselstromgrößen im Zeigerdiagrammen, (un-/gedämpfte) elektrische Schwingkreise. Literatur: BERKELEY: Band 2, Kap W.WALCHER: Praktikum der Physik HERING, BRESSLER, GUTEKUNST: Elektronik für Ingenieure und Naturwissenschaftler M.REISCH: Elektronische Bauelemente SCHNELL, W.GERHARD: Elemente der Elektronik

2 III. Theorie ) Untersuchung der idealisierten ungedämpften elektrischen Schwingung anhand des LC-Glieds S U 0 C L Abbildung : LC-Glied In Abbildung ist ein idealisierter ungedämpfter Schwingkreis abgebildet. Hierbei wird zunächst ein Kondensator C über eine Spannungsquelle aufgeladen. Nach Umlegen des Schalters S entlädt sich dieser über eine Spule L (auch als Induktivität bezeichnet). Wegen der Maschenregel gilt: U L = U C (.) Mit den Relationen und folgt hieraus: Mit U L = L di dt U C = Q(t) C I C (t) = dq(t) dt liefert Differenziation dieser Gleichung: L d2 I L dt + 2 C Unter Berücksichtigung der Knotenregel (.2) (.3) L di L dt + Q(t) C = 0 (.4) di C dt (.5) = 0 (.6) I L = I C = I (.7) ergibt sich schließlich die homogene Differenzialgleichung 2.Ordnung: Über einen komplexen Ansatz der Form d 2 I dt + di 2 LC dt = 0 (.8) I(t) = I 0 e iωt (.9) erhält man in Analogie zum mechanischen harmonischen Oszillator aus dieser Differenzialgleichung die Eigen-/ Resonanzfrequenz des Systems zu: ω R = LC (.0) 2

3 2) Untersuchung der gedämpften elektrischen Schwingung bei einem RCL-Kreis Spule Drehpotentiometer Abbildung 2: RCL-Kreis Der reale elektrische Schwingkreis berücksichtigt im Gegensatz zum idealisiertem LC-Glied eine Dämpfung, welche durch einen elektrischen Widerstand hervorgerufen wird. Er unterscheidet sich vom RC-Kreis (EP, Abschnitt 7)) im Wesentlichen durch das Hinzufügen einer Induktivität als weiteres passives Element in der Schaltung. Es gelten daher alle Überlegungen, die bis jetzt durchgeführt wurden, nur muss jetzt eine neue Differenzialgleichung aufgestellt werden. Wir betrachten dazu die Schaltung zu der Zeit, in der die Spannung am Funktionsgenerator (IP) Null ist. Dann gilt für die Spannungen in diesem Stromkreis (analog zum RC-Glied im EP-Skript): U L + U R + U C = 0 (2.) Mit den Relationen (.2) und (.3) folgt hieraus: L di L(t) + RI R (t) + Q(t) dt C = 0 (2.2) Differenziation dieser Gleichung liefert unter Berücksichtigung der Knotenregel I L = I C = I R = I : L d2 I dt + RdI 2 dt + C I = 0 (2.3) Auch hierbei erhält man üblichen Weise die Lösung durch einen Ansatz mit komplexer e- Funktion (s. Gl. (.9)). Nach Einsetzen in obige Gleichung (2.3) ergibt sich für ω die Bedingung: ω ± = i R 2L ± LC R2 4L 2 (2.4) Wie beim RC-Glied messen wir wieder die Spannung, die am Kondensator anliegt. Da in diesem Stromkreis diesmal jedoch eine Spule hinzugeschaltet ist, können wir hier nicht von dieser Spannung auf den Strom schließen. Mit den Gleichungen (.3) und (.4) folgt aber: Also ist und damit nach Gleichung (.9) I C (t) = C du C(t) dt U C (t) = C t 0 (2.5) dt I C (t ) (2.6) U C (t) = I 0 Ciω eiωt = U e iωt (2.7) Mit (2.4) erhalten wir für die Spannung die Lösung ( U C (t) = exp R ) [ ( ) ( )] 2L t U exp i LC R2 4L 2t + U 2 exp i LC R2 4L 2t (2.8) 3

4 wobei U und U 2 komplexe Zahlen sind, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt sind. Der Faktor exp ( R t) ist ein Dämpfungsterm (gedämpfte Schwingung). 2L ( ) Der Term exp ±i R2 t wird folgendermaßen interpretiert man unterscheidet drei LC 4L 2 Möglichkeiten: a) Schwingfall Der Radikant ist positiv: > R2 LC 4L 2 D.h. der Widerstand R ist verhältnismäßig klein. Dann ist die Wurzel reell und die komplexe e-funktion stellt eine harmonische Schwingung mit der Frequenz ω = LC R2 4L 2 dar. b) Kriechfall Der Radikant ist negativ: < R2 LC 4L 2 D.h. der Widerstand dominiert in diesem Schwingkreis. In diesem Fall reduziert sich die komplexe e-funktion zu der reellen e-funktion und stellt einen weiteren Dämpfungsterm dar. Dieser weitere Dämpfungsterm tritt mit zwei Vorzeichen auf: U C (t) = exp t [U exp( ω 2 t) + U 2 exp(ω 2 t)] (2.9) R 2 ω 2 = 4L 2 LC U und U 2 werden wieder durch die Anfangsbedingungen festgelegt. c) Aperiodischer Grenzfall Der Radikant ist Null, d.h.: LC = R2 4L 2 Dann fällt die komplexe e-funktion in Gl. (2.8) fort, sodass wir nur noch eine Lösung erhalten, die zur Erfüllung der Anfangsbedingungen nicht ausreicht. Man erhält aber eine 2. Lösung mit U C (t) = B t e R 2L t (2.0) Die Halbwertszeit ist angenähert T /2 = 2L R, 68 (2.) Eine genaue Herleitung von (2.0) und (2.) finden Sie im Anhang (S.). Beim Kriechfall ist die Dämpfung in jedem Fall größer als im aperiodischen Grenzfall, d.h. im Kriechfall geht das System langsamer in die Nullage. Der aperiodische Grenzfall ist für den Bau von Drehspulgalvanometern von besonderer Bedeutung, da auch hier ein gedämpftes, schwingungsfähiges System (Zeiger mit Spule) vorliegt. Betreibt man ein solches System im aperiodischen Grenzfall, so stellt sich der abzulesende Wert am schnellsten ein. 4

5 3) Untersuchung des gedämpften elektrischen Schwingkreises Abbildung 3: Elektrischer Schwingkreis FG: Funktionsgenerator im Betrieb sinus Osz.: Oszillograph Sonst Schaltung wie beim RCL-Kreis, jedoch Drehpotentiometer auf R = 0 gestellt bzw. überbrückt (d.h. Spule direkt an FG angeschlossen). Der Versuchsaufbau ähnelt sehr desjenigen im Abschnitt 2). Allerdings messen Sie jetzt nicht mit einer von außen angelegten Spannung von Null Volt (=homogene Differenzialgleichung), sondern erregen den Schwingkreis mit einer sinusförmigen Amplitude. In Analogie zu Gl. (2.2) wird dieser Schwingkreis durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: U(t) = U 0 cos(ωt) = L di dt + RI + Q C (3.) wobei R der OHMsche Widerstand der Spule und ω die Frequenz des Funktionsgenerators (FG) ist. Die Lösung dieser Differenzialgleichung für eine erzwungene Schwingung legt ein anderes Lösungskonzept nahe, als das in den Abschnitten 2) und 6) (EP) verwendete: Die Berechnung des Problems mit Hilfe des Zeigerdiagramms vereinfacht den Lösungsweg. In diesem Lösungskonzept fasst man Widerstände, Ströme und Spannungen als komplexe Werte auf, die sich in der komplexen Zahlenebene darstellen lassen, wobei die experimentell messbaren Größen die Realteile der komplexen Vektoren sind (Eine ausführliche Darstellung des Problems steht im GERTHSEN, Physik). Damit lässt sich die harmonische Zeitabhängigkeit der Wechselspannung in Gl. (3.) wie folgt darstellen: Danach führt Differentiation der Gl. (3.) mit Gl. (2.5) zu: U(t) = U 0 e iωt (3.2) L d2 I dt 2 + RdI dt + I C = iωu 0e iωt (3.3) Diese Differenzialgleichung legt nun folgenden Lösungsansatz nahe: Einsetzen in Gl. (3.3) ergibt: I(t) = I 0 e i(ωt ϕ) (3.4) iωl + R i ωc = U 0 I 0 e iϕ (3.5) Diese Gleichung lässt sich als komplexe Widerstandsgleichung interpretieren. Stellt man diese Größen in der komplexen Zahlenebene als Zeigerdiagramm dar, so kann man die Lösung direkt ablesen: 5

6 Abbildung 4: Zeigerdiagramm I 0 = tanϕ = U 0 (3.6) R 2 + (ωl ωc ( ) )2 ωl ωc (3.7) R Geht man mit Gl. (3.6) in den Ansatz (3.4) ein, so ergibt sich für den experimentell messbaren Strom (Realteil!): I(t) = U 0 R 2 + ( ) cos(ωt ϕ), (3.8) ωl 2 ωc wobei durch die Phasenverschiebung ϕ über Gl. (3.7) bestimmt ist. I(t) ist dabei der Strom, der durch den gesamten Stromkreis fließt. Sie messen mit dem Oszillographendie Spannung U C, welche über dem Kondensator abfällt. Nach Integration von I(t) erhält man dann: U C = Q(t) C = U 0 ωc R 2 + ( ) sin(ωt ϕ) (3.9) ωl 2 Wie bei allen erzwungenen Schwingungen treten auch hier Resonanzphänomene auf, die sich durch ein Maximum der Amplitude und durch Änderung des Phasenwinkels zwischen erregender und erregter Schwingung bemerkbar machen. Den Phasenwinkel können Sie unmittelbar messen, da Sie gleichzeitig die erregende Schwingung und die Kondensatorspannung U C auf dem Oszillographenschirm sehen. Ein Schwingkreis wird durch zwei Größen charakterisiert: die Resonanzfrequenz, die in unserem Fall ω R = LC ist, und durch die Größe Q (= Qualität, ebenfalls gebräuchliche Bezeichnung: Güte) des Schwingkreises. Die Definition von Q ist: Q = ω Numerisch lässt sich Q berechnen aus: ωc Energie, die im Schwingkreis gespeichert ist mittlerer Leistungsverlust pro Periode Q = ω R L R 6 (3.0) (3.)

7 Mit Hilfe der Resonanzkurve lässt sich Q auch direkt messen. In erster Näherung gilt: Q = ω (3.2) ω R wobei ω das Frequenzintervall um die Resonanzfrequenz ist, in dem die Amplitude auf 2 abgefallen ist. 7

8 IV. Versuchsprogramm ) Wechselstromwiderstände (Impedanzen). Spule und Kondensator sind in ihrem elektrischen Verhalten zwei gegensätzliche Bauteile. Das wird z.b. an ihrem Frequenzverhalten deutlich. Im dies zu untersuchen, bauen Sie zunächst noch einmal wie im letzten Versuch einen RC-Kreis auf. Schließen Sie den Funktionsgenerator (Einstellung: SINUSspannung) an und messen Sie an einigen Punkten die Eingangsspannung U e und die Ausgangsspannung U C über dem Kondensator. Der Frequenzbereich sollte dabei von einigen 0 Hz bis über 00 khz gehen. Abbildung 5: Schaltplan RC-Kreis. Empfehlung: R= kω, C= µf 2. Tauschen Sie in der Schaltung den Kondensator durch die Spule aus. Messen Sie ebenfalls die Eingangsspannung U e und die Ausgangsspannung U L über der Spule sowie die Phasenverschiebung zwischen U e und U L Abbildung 6: Schaltplan RL-Kreis. Empfehlung: R=00 Ω, L=50 µh 3. Stellen Sie U C und U L jeweils als Funktion der Frequenz dar. Benutzen Sie eine halblogarithmische Darstellung, d.h. tragen Sie die Frequenz (x-achse) logarithmisch auf. 2) LC-Kreis a) Resonanzkurve Nun nehmen wir eine Resonanzkurve auf, also U C als Funktion der Frequenz. Stellen Sie den Funktionsgenerator wieder auf SINUSsignal. Damit Sie den Effekt sofort sehen und nicht jedesmal die Resonanzkurve durch langwierige Messungen von Hand ermittelt werden muß, verwenden Sie einige technische Hilfsmittel: 8

9 Abbildung 7: Schaltplan LC-Kreis; L=50 µh, C= nf Mit der SWEEPFUNKTION durchfährt der Funktionsgenerator immer wieder einen vorgegebenen Frequenzbereich. Über eine Hilfsschaltung (fertig in einer Box) wird die Frequenz in eine linearproportionale Gleichspannung U f = k f, k = const. umgesetzt. Mit der GLEICHRICHTERFUNKTION wird die Wechselspannung an U C in eine zur Amplitude linearproportionale Gleichspannung U C = k UC ˆ, k = const. umgesetzt. Wenn Sie Ihr Oszilloskop im xy-modus betreiben, U f (oder U f2 ) auf die x-achse geben und U C (oder U C2 ) auf die y-achse, sehen Sie sofort die Resonanzkurve. b) Resonanzfrequenz Um die Resonanzfrequenz zu bestimmen, können Sie die Sweepfunktion wieder abschalten und den Funktionsgenerator von Hand auf die Frequenz mit der maximalen Ausgangsspannung U C stellen. Am Display lesen Sie dann die Frequenz ab. Vergleichen Sie mit dem theoretischen Wert f = 2π LC. 3) RCL-Kreise a) Schwingfall, Kriechfall, aperiodischer Grenzfall Was passiert, wenn Sie eine Spule und einen Kondensator gemeinsam in einem Stromkreis verwenden? Um dies zu untersuchen, bauen Sie die folgende Schaltung auf, bei der auch noch ein einstellbarer Widerstand (Potentiometer P) vorhanden ist: Abbildung 8: Schaltplan RCL-Kreis. Empfehlung: P=0 kω, L=50 µh, C= nf Wir wollen untersuchen, wie das Verhalten des RCL-Kreises von der Größe des Widerstandes abhängt. 9

10 Der Funktionsgenerator wird dabei in der Einstellung RECHTECKsignal verwendet. Stellen Sie eine Frequenz von khz ein. Als Ausgangsspannung messen Sie U C über dem Kondensator. Beobachten Sie, wie sich U C als Funktion des Widerstandes P ändert. Wann tritt ein Schwingfall auf, wann ein Kriechfall? Stellen Sie auch den aperiodischen Grenzfall ein. 4) Anwendungen von LC-Kreisen Bei Ihren Steckelementen ist ein fertiger LC-Kreis, der sich auf Resonanzfrequenzen von etwa 500 khz bis 500 khz einstellen läßt. Das sind die Sendefrequenzen des Mittelwellen- Rundfunks. Wir wollen versuchen, uns mit ganz wenigen Bauelementen eine Mittelwellenempfänger aufzubauen. Die allerersten Mittelwellenradios, die in den zwanziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts gebaut wurden, hatten noch keinen Verstärker, sondern bestanden nur aus einem solchen Schwingkreis, einer langen Antenne, einer Gleichrichterdiode und natürlich einem Kopfhörer. Bauen Sie die Schaltung gemäß Schaltplan auf, D=Germaniumdiode AA9 oder ähnlich, LC = fertiger Resonanzkreis. Leider ist die in der Universität empfangene Leistung dermaßen gering und von Störsignalen überlagert, dass ein Mittelwellenempfänger mit dieser einfachen Schaltung nicht möglich ist. Wir verwenden daher einen modulierbaren Sinusgenerator, der über eine Sendespule ein Feld erzeugt, welches in unmittelbarer Nähe den Kopfhörer ansteuern kann. 5) Frequenzbereich des menschlichen Gehörs Wenn noch Zeit und Lust ist, können Sie den Lautsprecher oder Kopfhörer an den Funktionsgenerator anschließen. Hören Sie sich zunächst an, wie die verschiedenen Signalformen (Sinus, Dreieck, Rechteck) klingen und prüfen Sie dann, bis zu welcher Maximalfrequenz (Einstellung Sinus) Sie hören können. Universität Wuppertal pk 4/ L A TEX:22. Oktober

11 A Anhang ) Lösungen des elektrischen Schwingkreises Die Lösung des elektrischen Schwingkreises (2.8) wird durch zwei Anfangsbedingungen festgelegt:. Der Impulsgenerator lädt den Kondensator bei jedem Puls auf die Spannung U 0 auf. D.h. U C (t = 0) = U 0 (A.) 2. Im Gegensatz zum RC-Kreis, bei dem der Strom sprunghaft auf seinen Maximalwert ansteigt und dann exponentiell abfällt, verhindert beim RCL-Kreis die Spule dieses Verhalten: In der Spule wird eine dem Strom entgegengerichtete Spannung induziert, die der Zeitableitung des Stromes proportional ist. Dadurch wächst der Strom erst stetig bis zu seinem Maximalwert an, um dann wieder abzufallen. Das heißt: I(t = 0) = C du C = 0 (A.2) dt Durch diese beiden Anfangsbedingungen sind die Spannung am Kondensator und der Strom vollständig bestimmt. Beim aperiodischen Grenzfall reduziert sich Gl. (2.8) zu U C = A exp t (A.3) Diese Gleichung kann jedoch nicht beide Anfangsbedingungen (A.) und (A.2) gleichzeitig erfüllen. Es zeigt sich aber, dass noch eine weitere Lösung neben (A.3) auftritt: U C = Bt exp t (A.4) I = C du ( dt = CB R2L ) t exp t (A.5) Setzt man (A.5) in die Differenzialgleichung (2.3) ein, so ergibt sich: ( ( ) 2 ( ) ( 3 R R L 3 t) + R 2 R ( ) 2 R 2L 2L 2L 2L) + t + ( R2L ) C t = 0 (A.6) und nach Umordnung der Terme: ( R2 4L + ) + R ( R 2 2 LC 2L 4L ) t = 0 2 LC (A.7) Wie man sieht, kann diese Gleichung nur dann für alle Zeiten erfüllt sein, wenn = R ist! LC 4L 2 (A.4) ist also nur für den aperiodischen Grenzfall Lösung der Differenzialgleichung (2.3). Als allgemeine Lösung für den aperiodischen Grenzfall erhält man dann: U C (t) = (A + Bt) exp t (A.8) Am Beispiel des aperiodischen Grenzfalls soll nun gezeigt werden, wie aus den Anfangsbedingungen die richtigen Koeffizienten A und B bestimmt werden:

12 Nach (A.8) ist U C (t = 0) = A = U 0 nach (A.) (A.9) I(t) = du C (t) = ( R2L C dt C A + B R2L ) Bt exp t (A.0) I(t = 0) = C A + B = 0 nach (A.2) (A.) B = R 2L A = R 2L U 0 (A.2) Damit lautet die exakte Lösung beim aperiodischen Grenzfall ( U C (t) = U 0 + R ) 2L t exp t (A.3) und I(t) = ( R2 4L 2 C t exp R2L ) t (A.4) Aus Gl. (A.3) kann man die Halbwertszeit T /2 bestimmen, bei der die Spannung auf die Hälfte der Ausgangsspannung abgefallen ist: U C (T /2 ) = 2 U 0 = U 0 ( + R ) ( 2L T /2 exp R ) 2L T /2 (A.5) Substituiert man hier X = R 2L T /2, so erhält man eine Gleichung, die sich numerisch oder graphisch lösen läßt: 2( + X) = e X (A.6) Abbildung 9: Graphische Lösung der Gleichung 2( + X) = e X Für X erhält man dann den Wert X = R 2L T /2 =, (A.7) 2

13 und damit die Halbwertszeit T /2 = 2L R, (A.8) Für die drei Schwingungsarten ergeben sich mit den Anfangsbedingungen die in Abb.0 dargestellten Verläufe von Spannung U C und Strom I im Stromkreis: Abbildung 0: Gedämpfte harmonische Oszillation: Schwing-/ Kriech-/ aperiodischem Grenzfall 3