Nachweis in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit für Querkraft

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1 Seite 1 Nachweis in den Grenzzuständen der Tragfähigkeit für Bei der Ermittlung der Tragfähigkeit für wird zwischen Bauteilen ohne und mit rechnerisch erforderlicher bewehrung unterschieden. Bemessungswert der einwirkenden Der Bemessungswert der einwirkenden Ed darf bei direkter Lagerung und gleichmäßig verteilter Last im Abstand d vom Auflagerrand ermittelt werden. Bei indirekter Lagerung ist der Nachweis am Auflagerrand zu führen. Der anteil einer Einzellast, die sich im Abstand x 2,5 d vom Auflagerrand befindet, darf mit dem Beiwert β abgemindert werden. x β = 2, 5 d Beim Nachweis der Betondruckstrebe Rd,max dürfen diese Abminderungen nicht vorgenommen werden. Bauteile ohne bewehrung Bauteile ohne bewehrung werden nach dem Zahnmodell bemessen. Zwischen den Rissen bilden sich Betonzähne aus, die die Tragfähigkeit des Bauteils bestimmen. Die an den Rissoberflächen vorhandene Rauhigkeit erzeugt den Traganteil der Rissreibung F K. Jeder einzelne Zahn wird dabei durch Biegemomente beansprucht, die durch die Betonzugfestigkeit f ct begrenzt werden. Quer zur Biegezugbewehrung wirkende Kräfte erzeugen eine Dübelwirkung F Dü.

2 Seite 2 An jedem Zahn wirken damit folgende Kräfte: Rissreibung Zahnbiegung Dübelwirkung Zugkraft der Bewehrung F K f ct F Dü F Der Nachweis der Tragfähigkeit ohne bewehrung ist erbracht, wenn der Bemessungswert der tragfähigkeit ohne bewehrung Rd,ct mindestens gleich dem Bemessungswert der einwirkenden Ed ist. Ed Rd,ct Der Bemessungswert der aufnehmbaren eines Bauteils ohne bewehrung Rd,ct errechnet sich nach der Formel Es bedeuten: Rd,ct = [ η1 0,10 κ (100 ρl f ck ) 1/3-0,12 σcd ] b w d η1 = 1,0 200 κ = 1+ 2,0 d [ mm] Tragfähigkeitsbeiwert für Normalbeton Berücksichtigt die geringere Rissbildung dünner Bauteile Asl ρ l = bw d f ck σcd 0,02 Längsbewehrungsgrad in [-] mit A sl Zugbewehrung mit wirksamer erankerung b w kleinste Querschnittsbreite in der Zugzone d statische Höhe charakteristische Zylinderdruckfestigkeit Betonlängsspannung im Schwerpunkt des Querschnitts mit NEd σ cd = Ac Der Längsbewehrungsgrad A sl und die Wirksamkeit der erankerung sind nach folgendem Bild zu bestimmen.

3 Seite 3 Bauteile mit bewehrung Bauteile mit bewehrung werden nach dem Fachwerkmodell bemessen. Das Fachwerk besteht aus einer schrägen Betondruckstrebe, der Zugstrebe aus bewehrung sowie dem Zug- und Druckgurt aus der Biegebemessung. Die aufnehmbare ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen des Fachwerks. α Θ F cd F wd z Winkel zwischen bewehrung und Bauteilachse Winkel zwischen Betondruckstrebe und Bauteilachse Kraft in der Betondruckstrebe Kraft in der bewehrung Hebelarm der inneren Kräfte, vereinfacht z = 0,9 d Der Nachweis des Bauteils unter beanspruchung besteht aus zwei Teilnachweisen. 1. Nachweis der Betondruckstrebe. Er ist erbracht, wenn der Bemessungswert der tragfähigkeit der Betondruckstrebe Rd,max mindestens gleich dem Bemessungswert der einwirkenden Ed ist. Ed Rd,max 2. Nachweis der bewehrung. Er ist erbracht, wenn der Bemessungswert der tragfähigkeit der bewehrung Rd,sy mindestens gleich dem Bemessungswert der einwirkenden Ed ist. Ed Rd,sy

4 Seite 4 Für beide Nachweise ist es erforderlich, den Neigungswinkel Θ der Druckstrebe zu ermitteln. σcd 1,2 1,4 fcd cot Θ Rd, c 1 Ed 0,58 (60 Neigungswinkel) 3,0 für Normalbeton (18,5 ) 2,0 für Leichtbeton (26,5 ) Der traganteil des Betons für Bauteile mit bewehrung Rd,c lautet mit Rd, c 3 σcd = ct fck η 1 β 0,10 1/ 1+ 1, 2 fcd b w z η1 = 1,0 βct = 2,4 σcd Tragfähigkeitsbeiwert für Normalbeton Beiwert für monolithische Bauweise Betonlängsspannung im Schwerpunkt des Querschnitts mit NEd σ cd = Ac Es darf auch ein vereinfachter Ansatz verwendet werden, der jedoch zu deutlich mehr bewehrung führt. cot Θ = 1,2 cot Θ = 1,0 für Biegung ohne und mit Druckkraft für Biegung mit Zugkraft Nachweis der Betondruckstrebe Der Bemessungswert der tragfähigkeit der Betondruckstrebe Rd,max errechnet sich nach der Gleichung Rd, max = b w z αc f cd cot Θ + cotα 1+ cot ² Θ Für senkrecht stehende bewehrung gilt mit Rd, max bw z αc fcd = cot Θ + tan Θ αc Abminderungsbeiwert für die Druckstrebenfestigkeit αc = 0,75 η1 mit η1 = 1,0 Normalbeton

5 Seite 5 Nachweis der Zugstrebe Der Bemessungswert der tragfähigkeit der bewehrung Rd,sy errechnet sich nach der Gleichung A s ( cot Θ + cot α ) sinα Rd, sy = sw fyd z w Für senkrecht stehende bewehrung gilt Asw = fyd cot Θ sw Rd, sy z mit A sw s w a sw Querschnitt der bewehrung Abstand der geneigten bewehrung auf die Längsachse bezogene bewehrung in [cm²/m] Asw mit a sw = sw Für senkrecht stehende Bügelbewehrung läßt sich die Gleichung nach der erforderlichen Bewehrungsmenge umformen erf. a sw = f yd Ed z cot Θ bewehrung Die bewehrung sollte mit der Schwerachse des Bauteils einen Winkel von 45 bis 90 bilden. Sie darf bestehen aus Bügeln, die Zug- und Druckzone umschließen, Schrägstäben, zulagen aus Körben oder Leitern. In Balken muss mindestens 50 % der aufzunehmenden durch Bügel abgedeckt werden.

6 Seite 6 Mindestbewehrung In Balken ist ein Mindestbewehrungsgrad ρw für einzuhalten. Er lautet min ρw = 1,0 ρ ρw ρ = s w A sw bw sinα Bewehrungsgrad der bewehrung Grundwert der Oberflächenbewehrung nach Tabelle Für Platten mit einem Querschnittsverhältnis von b/h > 5 ist keine Mindestquerkraftbewehrung erforderlich. Abstände der Bewehrung Der Längs- und Querabstand der Bügelschenkel und zulagen in Balken darf folgende Werte nicht überschreiten: Für den Längsabstand von Schrägstäben in Balken gilt s max = 0,5 h (1+cot α ).

7 Seite 7 Für die Längs- und Querabstände von Bügeln in Platten gilt: in Längsrichtung für Ed 0,30 Rd,max 0,30 Rd,max < Ed 0,60 Rd,max Ed > 0,60 Rd,max in Querrichtung und in Längsrichtung für Schrägstäbe s max = 0,7 h s max = 0,5 h s max = 0,25 h s max = 1,0 h

8 Seite 8 Anschluss von Zug- und Druckgurten Die Gurte von profilierten Querschnitten übernehmen Anteile der Biegezug- bzw. Biegedruckkräfte. Das Tragmodell ist ein liegendes Fachwerk, dessen Zug- und Druckstreben am Anschnitt zum Steg nachzuweisen sind. Der Bemessungswert der einwirkenden Längsschubkraft Ed errechnet sich aus der Längskraftdifferenz ΔF d eines Gurtabschnitts a v, in dem die Längsschubkraft als konstant angenommen wird. Die Größe der von den Gurten aufzunehmenden Kräfte ergibt sich vereinfacht aus der anteiligen Fläche des Druckgurtes bzw. dem Anteil der in die Gurte ausgelagerten Biegezugbewehrung. Als Abschnittslänge a v darf der halbe Abstand zwischen Momentennullpunkt und Momentenhöchstwert angenommen werden. Ed = ΔF d Der Nachweis ist wie für Bauteile mit rechnerisch erforderlicher bewehrung zu führen. Für die Stegbreite b w wird nun die Plattendicke h f und für den Hebelarm der inneren Kräfte z wird die Abschnittslänge a v eingesetzt. Der Bemessungswert der tragfähigkeit der Betondruckstrebe lautet damit hf av αc fcd Rd, max = cot Θ + tan Θ und die erforderliche Bewehrungsmenge für den Nachweis der Zugstrebe ergibt sich zu Ed erf. asf =. fyd av cot Θ ereinfacht darf angesetzt werden: cot Θ = 1,2 cot Θ = 1,0 bei Druckgurten bei Zuggurten Eine vorhandene Bewehrung auf der Ober- und Unterseite des anzuschließenden Gurtes (z.b. aus Querbiegung) darf angerechnet werden.

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