1 Drift in gekreuzten elektrischen und magnetischen

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1 1 Drift in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern In einem Magnetfeld wirkt auf eine bewegte Ladung die Lorentzkraft. Aufgrund der Lorentzkraft unterscheidet sich die Bewegung parallel und senkrecht zum Magnetfeld. In einem konstanten Magnetfeld bewegt sich die Ladung in der Ebene senkrecht zum Magnetfeld auf einer Kreisbahn. Blickt man entgegen der Feldrichtung, so läuft eine positive Ladung im Uhrzeigersinn, eine negative Ladung entgegen dem Uhrzeigersinn um (Gyrationsbewegung). In einem elektrischen Feld werden die Ladungen durch die Coulombkraft beschleunigt, positve Ladungen in Feldrichtung, negative Ladungen entgegen der Feldrichtung. Durch die Ladungstrennung entsteht ein rücktreibendes elektrisches Feld, das die Wirkung des äußeren Feldes schließlich aufhebt. Legt man senkrecht zum Magnetfeld ein elektrisches Feld an, so wird die Ladungstrennung im elektrischen Feld durch die Gyration im Magnetfeld aufgehoben. Es entsteht eine Drift des Gyrationszentrums in der zu beiden Feldern senkrechten E B-Richtung (E B-Drift). Die Driftgeschwindigkeit ist unabhängig von der Ladung und der Masse der Teilchen. Daher tritt die E B-Drift in Plasmen auch über makroskopische Distanzen in Erscheinung (Massen- und Energietransport). 1.1 Grundlagen Bewegungsgleichung: Für ein Teilchen mit Ladung q, Masse m, Geschwindigkeit v am Ort r in einem elektrischen Feld E(r, t) und magnetischen Feld B(r, t) lautet die Bewegungsgleichung m v = q (E(r, t) + 1c ) v B(r, t). Die Ableitung nach der Zeit t wird durch einen Punkt, die Lichtgeschwindigkeit mit c bezeichnet. Konstantes B-Feld: Das Magnetfeld sei konstant und entlang der z-achse gerichtet: B = (,, B). Das elektrische Feld sei Null. Bewegung parallel zu B: Bewegung senkrecht zu B: m v =, v = const m v = q c v B, v = v ω g, ω g = (,, ±ω g ), ω g = q B mc, ( ) cos(φ ± ωg t) v = v, sin(φ ω g t) r = r g ± v ( ) sin(φ ± ωg t) ω g cos(φ ω g t) ±1 = sgn(q), (1) 1

2 Konstantes B-Feld und konstantes E-Feld: Bewegung parallel zu B: m v = qe, v = v () + qe t Bewegung senkrecht zu B: ( m v = q E + 1 ) c v B, v = v g + = c E B B () Hierbei ist v g die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, d.h. die Gyrationsbewegung, und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung, die E B-Drift. Man erhält diese spezielle Lösung, indem man den Trägheitsterm Null setzt und die Geschwindigkeit aus der Lorentzkraft eliminiert. 1. Aufgabe Lösen Sie die Bewegungsgleichung für eine Ladung in gekreuzten konstanten Feldern E = (, E, ) und B = (,, B) numerisch mit dem Runge-Kutta-Verfahren. Zeigen Sie, daß in x-richtung die E B-Drift auftritt. Welche charakteristischen Bahnen können auftreten? Wodurch unterscheiden sich die Bahnen unterschiedlicher Ladungen bzw. unterschiedlicher Massen? 1.3 Anleitung Dimensionslose Variablen: Anfangsgeschwindigkeit sei v B = B B, E = E E, v = v v, v E = v, Dimensionslose Gleichungen: (Notation ohne ) Differentialgleichungssystem: r = rω g v, t = ω g t. ṙ = v, v = σ( E + v B), σ = ±1. (3) ẋ = v x, x() =, ẏ = v y, y() =, v x = σbv y, v x () = 1, v y = σ( E Bv x ), v y () = (4) Die Anfangsbedingungen können ohne Einschränkung so gewählt werden. Die dimensionslosen Feldstärken sind E = 1 und B = 1. Die Lösung hängt also nur noch von dem einen Parameter > und dem Vorzeichen σ = ±1 der Ladungen ab.

3 yω g / v 4 yω g / v = xω g / v =. = = xω g / v Abbildung 1: Gyration und ExB-Drift einer positiven Ladung für Gyrationsperioden. Die Bahn dreht sich im Uhrzeigersinn um die z-achse und driftet mit der Geschwindigkeit in x-richtung. 1.4 Programmierhinweise Verwenden Sie das Runge-Kutta Programm aus der letzten Übung. Speichern Sie dieses Programm in einer eigenen Datei rk4.cpp. In der Headerdatei cs.h sollte die Runge- Kutta Funktion deklariert werden. Diese Header-Datei wird dann sowohl im Hauptprogramm exb.cpp und im Unterprogramm rk4.cpp mit include cs.h eingebunden. Stellen Sie Bahnkurven y = y(x) für verschiedene Parameter und σ grafisch dar. Verwenden Sie hierzu das Programm xmgrace. Betrachten Sie auch Grafen der Bewegungen x = x(t), y = y(t) und v x = v x (t), v y = v y (t) sowie Phasenraumkurven v x = v x (x), v y = v y (y). 3

4 1. Beispielprogramm exb.cpp #include <stdio.h> #include <math.h> ///////////////harmonischer Oszillator//////////// double w=1.; void harmfunc( double x, double *y, double *dydx ) { dydx[] = y[1]; dydx[1] = -w*w*y[]; //////////////Debye-Abschirmung/////////////////// double n = 1.; double q =.9994; double p = 1.; /* Stufenfunktion */ double stepfunc( double x, double x ) { return ( x > x?. : 1. ); void deqfunc( double x, double *y, double *dydx ) { dydx[] = y[1]; /* Die Ableitung von y ist die.komponente des Vektors */ dydx[1] = stepfunc( x, p ) - n/(x+1e-11) * y[1] - q*exp( -1.*y[] ); /* zweite Ableitung ist gegeben durch die DGL */ ///////////////ExB-Drift//////////////////////// double E=1.; //Parameter double B=1.; //fuer double v_e=.; // ExB-Drift double sigma=1.;// void ExBdriftfunc( double t, double *y, double *dydx ) { dydx[] = y[]; //y[]=x dydx[1] = y[3]; //y[1]=y dydx[] = 1.*sigma*B*y[3]; //y[]=v_x dydx[3]=1.*sigma*(v_e*e-b*y[]); //y[3]=v_y void runge( double x, double *y, void (*func)( double, double *, double * ), int n, double dx, double *dy ) { int i; double *zp, *k; double dx6, dx3, dx; zp = new double[n]; /* Platz fuer den Zwischenpunkt */ k = new double[n]; /* Platz fuer die Ableitung */ dx =.*dx; /* muss man nicht viermal berechnen */ dx3 = dx / 3.; dx6 = dx / 6.; (*func)( x, y, k ); /* erster Schritt : k1 = h*f( xn, yn, ) */ dy[i] = dx6 * k[i]; /* das ergebnis wird in dy aufgesammelt */ 4

5 zp[i] = y[i] + dx*k[i]; /* erster zwischenpunkt: z1 = yn + 1/*k1 */ (*func)( x+dx, zp, k ); /* zweiter schritt: k = h*f( xn+dx/, z1 ) */ dy[i] += dx3 * k[i]; /* zu dy addieren */ zp[i] = y[i] + dx*k[i]; /* zweiter zwischenpunkt: z = yn+1/*k */ (*func)( x+dx, zp, k ); /* dritter schritt: k3 = h*f( xn+dx/, z ) */ dy[i] += dx3 * k[i]; /* addieren */ zp[i] = y[i] + dx*k[i]; /* dritter zwischenpunkt: z3 = yn+k3 */ (*func)( x+dx, zp, k ); /* letzter schritt: k4 = h*f( xn+dx, z3 ) */ dy[i] += dx6*k[i]; /* ebenfalls addieren; jetzt ist dy = dx*(k1/6+k/3+k3/3+k4/6) */ delete[] zp; /* aufraeumen */ delete[] k; int main() { FILE *y_t; y_t=fopen("y_t.dat","w"); double y[4] = {.,.,1.,.; /* Anfangswerte in den Vektor laden */ double dy[4]; /* das wird von der runge-funktion berechnet */ double dt =.1; /* schrittweite */ double t =.; /* bei anfangen zu integrieren */ int n_gy=1; /* Anzahl Gyrationen */ double tmax =.*3.141*n_Gy; for(t=.;t<=tmax;t+=dt){ fprintf(y_t,"%lf %lf %lf %lf %lf \n", t, y[],y[1],y[],y[3]); runge(t, y, ExBdriftfunc, 4, dt, dy); y[] += dy[]; y[1] += dy[1]; y[] += dy[]; y[3] += dy[3]; fclose(y_t);

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