1 Der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt. 2 Die freie Algebra. 3 Die universell einhüllende Algebra

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1 1 Der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt Darstellungen von assoziativen Algebren sind oft einfacher zu handhaben als Darstellungen von Lie- Algebren. Die universell einhüllende Algebra einer Lie-Algebra hat die gleichen Darstellungen wie die zugrundeliegende Lie-Algebra. In diesem Einschub wird die universell einhüllende Algebra konstruiert. Außerdem wird eine Basis angegeben. Es seien k ein Körper und g eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über k. 2 Die freie Algebra Es sei {x 1,..., x n } eine Menge mit n Elementen. Für i N 0 sei W i der k-vektorraum, dessen Basis die Wörter der Länge i über dem Alphabet {x 1,..., x n } sind. Die Verkettung von Wörtern induziert durch lineare Fortsetzung eine lineare Abbildung W i W j W i+ j. Dadurch erhält F n := i N 0 W i die Struktur einer assoziativen k-algebra. Das Einselement von F n ist das leere Wort (in W 0 = k). Man nennt Fn auch freie k-algebra über {x 1,..., x n }. Da das Produkt eines Elementes aus W i mit einem aus W j in W i+ j liegt, ist F n eine graduierte Algebra. (2.1) Bemerkung (universelle Eigenschaft) Es seien A eine assoziative k-algebra und a 1,..., a n A. Dann gibt es genau einen k-algebrenhomomorphismus f : F n A mit f (x i ) = a i für alle 1 i n. Beweis: Es ist klar, daß es nur einen Homomorphismus mit f (x i ) = a i geben kann, weil F n von den x i erzeugt wird. nd man überzeugt sich leicht davon, daß durch f (x i1 x im ) := a i1 a im ein k-algebrenhomomorphismus definiert wird. Die universelle Eigenschaft der freien Algebra läßt sich auch anders formulieren: zu jeder assoziativen k-algebra A und jeder linearen Abbildung f 1 : W 1 A gibt es genau einen k-algebrenhomomorphismus f : F n A mit f W1 = f 1. Aus der universellen Eigenschaft von F n folgt, daß F n bis auf Isomorphie die einzige Algebra mit dieser Eigenschaft ist. Solche Aussagen werden immer mit dem gleichen Argument bewiesen, das ich hier weglasse, weil es später bei der universell einhüllenden Algebra vorgeführt wird. BEMERKNG: Wer das Tensorprodukt schon kennt, sieht leicht, daß F n = T (W1 ) := i N 0 W i 1 die Tensoralgebra über W 1 ist. 3 Die universell einhüllende Algebra (3.1) Definition Es seien eine assoziative k-algebra und : g ein Lie-Algebrenhomomorphismus (d.h. es gilt (x)(y) (y)(x) = ([x, y]) für alle x, y g). Das Paar (, ) heißt universell einhüllende Algebra von g, falls die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist: für jede assoziative k-algebra A und jeden Lie-Algebrenhomomorphismus f 1 : g A gibt es genau einen k-algebrenhomomorphismus f : A mit f = f 1. 1

2 Die universelle Eigenschaft wird oft durch ein kommutatives Diagramm dargestellt: g f 1 A Mit dem üblichen Argument kann gezeigt werden, daß die universell einhüllende Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. (3.2) Bemerkung Es seien (, ) und (, ) universell einhüllende Algebren von g. Dann sind und isomorph. Beweis: Wenn man zweimal die universelle Eigenschaft anwendet, erhält man Homomorphismen f und f wie im Diagramm g f f dargestellt. Aber dann erhält man dieses g f f kommutative Diagramm. Wegen der in der universellen Eigenschaft geforderten Eindeutigkeit muß f f = id gelten. Ebenso f f = id, also sind f und f Isomorphismen. Es sei (x 1,..., x n ) eine geordnete Basis von g. Vermöge dieser Basis kann g als k-vektorraum mit W 1 identifiziert werden. Der entsprechende Isomorphismus g W 1 wird mit 1 bezeichnet. Außerdem soll zwischen dem Basisvektor x i und dem entsprechenden Element 1 (x i ) unterschieden werden, obwohl bei der Konstruktion der freien Algebra (x 1,..., x n ) eine Basis von W 1 war. (3.3) Satz Es sei I := ( 1 (x) 1 (y) 1 (y) 1 (x) 1 ([x, y]) x, y g) F n das von den Elementen der Form 1 (x) 1 (y) 1 (y) 1 (x) 1 ([x, y]) erzeugte zweiseitige Ideal von F n. Es seien weiter := F n /I, π : F n der kanonische Epimorphismus und := π 1. Dann ist (, ) die universell einhüllende Algebra von g. Beweis: Es sei f 1 : g A ein Lie-Algebrenhomomorphismus. Wegen der universellen Eigenschaft der freien Algebra gibt es genau einen k-algebrenhomomorphismus f : F n A so, daß f 1 = f 1 gilt. Da f 1 ein Lie-Algebrenhomomorphismus ist, gilt f ( 1 (x) 1 (y) 1 (y) 1 (x) 1 ([x, y])) = f 1 (x) f 1 (y) f 1 (y) f 1 (x) f 1 ([x, y]) = 0 für alle x, y g, also ist I im Kern von f enthalten. Nach dem Homomorphiesatz induziert f daher einen k-algebrenhomomorphismus f : = F n /I A mit f π = f. Insbesondere gilt f = f π 1 = f 1 = f 1. Da von den π(x i ) erzeugt wird, ist f durch die Bilder der π(x i ), also durch die f 1 (x i ), eindeutig bestimmt und der Satz damit bewiesen. f 2

3 Der Beweis des letzten Satzes läßt sich wieder in einem kommutativen Diagramm darstellen: f 1 g A 1 f F n f π Der Homomorphismus wird oft nicht erwähnt; man spricht dann nur von als der universell einhüllenden Algebra von g. 4 Der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt Es seien (x 1,..., x n ) eine k-basis von g und (, ) die universell einhüllende Algebra von g. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, den folgenden Satz zu beweisen. (4.1) Satz (PBW) B := {(x 1 ) a 1 (x n ) a n a i N 0 } ist eine k-basis von. Aus dem Satz folgt unmittelbar das (4.2) Korollar : g ist injektiv. Man kann also g als Lie-nteralgebra von auffassen. Der Beweis von (PBW) wird im wesentlichen induktiv geführt. Dabei nutzt man aus, daß mit Hilfe der Relation (x)(y) (y)(x) = ([x, y]) jedes Wort (x i1 ) (x in ) sortiert werden kann, wobei der Fehlerterm eine Linearkombination von Wörtern geringerer Länge ist. Da alle universell einhüllenden Algebren von g isomorph sind, kann angenommen werden, daß = F n /I mit I wie im letzten Abschnitt ist. Zunächst wird eine graduierte k-algebra zu konstruiert: es seien i := π( j i W j) und i := i / i 1 ; dabei wird 1 := {0} gesetzt. Die direkte Summe gr := i N 0 i ist eine graduierte k-algebra mit Multiplikation für u i i und u j j. Wegen i j = π( i i (u i + i 1 )(u j + j 1 ) := u i u j i+ j 1 + W i )π( j j W j ) = π( i i, j j W i W j ) π( l i+ j W l ) = i+ j gilt für die oben definierte Multiplikation i j i+ j, sofern sie wohldefiniert ist. Aber auch das folgt aus i j i+ j, wie eine einfache Rechnung zeigt. Statt u i + i 1 werde ich oft u i schreiben. (4.3) Bemerkung gr wird von {(x 1 ),..., (x n )} 1 erzeugt. 3

4 Beweis: i wird als k-vektorraum von den Wörtern der Länge i über {(x 1 ),..., (x n )} erzeugt, und es gilt (x i1 ) (x im ) = (x i1 ) (x im ) in gr. (4.4) Lemma gr ist kommutativ. Beweis: Da gr von den (x i ) 1 erzeugt wird, muß nur (x i )(x j ) = (x j )(x i ) + ([x i, x j ]) = (x j )(x i ) }{{}}{{} 2 1 gezeigt werden. Dieses einfache Lemma hat zwei Konsequenzen. (4.5) Korollar B ist ein k-erzeugendensystem von. Beweis: Da die Vereinigung der i ist, genügt es zu zeigen, daß i von B i erzeugt wird. nd das ist eine einfache Induktion: für i = 0 ist alles klar (für i = 1 natürlich auch), und da gr kommutativ ist, wird i von B i und i 1 erzeugt. Außerdem folgt aus der universellen Eigenschaft des Polynomrings das (4.6) Korollar Es gibt einen Epimorphismus g : k[x 1,..., X n ] gr, X i (x i ). Der folgende Satz ist äquivalent zu (PBW). Das ist zwar relativ leicht einzusehen, wird hier aber nicht gezeigt, da es einen simultanen Beweis beider Aussagen geben wird. (4.7) Satz (PBW ) g ist ein Isomorphismus. (4.8) Lemma Es gibt eine lineare Abbildung f : F n k[x 1,..., X n ] mit (i) f (1) = 1 und f (x i1 x im ) = X i1 X im, falls i 1 i m gilt, und (ii) f (x i1 x im x i1 x ij 1 x ij+1 x ij x ij+2 x im ) = f (x i1 x ij 1 [x ij, x ij+1 ] x ij+2 x im ) für alle 1 j m. Beweis: Es sei x i1 x im W m. Für 1 j < k m sei { 0 i j i k α jk :=. 1 i j > i k Dann heißt ind(x i1 x im ) := 1 j<k m α jk 4

5 der Index von x i1 x im. Er ist ein Maß dafür, wie weit x i1 x im von dem Wort aus denselben Buchstaben mit nicht-absteigend geordneten Indizes entfernt ist. Offensichtlich gilt genau dann ind(x i1 x im ) = 0, wenn i 1 i m erfüllt ist. Es sei nun W m, j := x i1 x im ind(x i1 x im ) j k W m der nterraum von W m, der von Wörtern, deren Index höchstens j ist, aufgespannt wird. Die Bedingung (i) legt f auf den W m,0 eindeutig fest, auf den übrigen W m, j wird f rekursiv definiert. Es seien also m, j > 0, und die Abbildung f sei auf W 0 W m 1 W m, j 1 schon definiert so, daß die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt sind. Es sei nun w := x i1 x im W m, j \W m, j 1. Dann gibt es 1 k < m mit i k > i k+1. Betrachte w := x i1 x ik 1 x ik+1 x ik x ik+2 x im. Dann gilt α rs = α rs für r, s / {k, k + 1}, außerdem ist α k,k+1 = 0 < α k,k+1 = 1. Für 1 t < k gelten α tk = α t,k+1 und α t,k+1 = α tk, analog für k + 1 < t m. Daher ist ind(w ) = ind(w) 1 = j 1, und w liegt in W m, j 1. Weil x i1 x ik 1 [x ik, x ik+1 ] x ik+2 x im in W m 1 liegt, kann Bedingung (ii) benutzt werden, um f (w) zu definieren: f (x i1 x im ) := f (x i1 x ik 1 x ik+1 x ik x ik+2 x im ) + f (x i1 x ik 1 [x ik, x ik+1 ] x ik+2 x im ). (1) Damit die so definierte Fortsetzung von f auf W 0 w m 1 W m, j auch Bedingung (ii) erfüllt, muß noch gezeigt werden, daß sie unabhängig von der Wahl von k ist. Es sei also l = k mit i l > i l+1. Dabei kann offensichtlich l > k angenommen werden. 1. Fall (l > k + 1): Bedingung (ii) wird auf die rechte Seite von Gleichung (1) angewandt, und das einmal, wenn f über k definiert wird, und einmal, wenn f über l definiert wird. f ( x ik+1 x ik ) + f ( [x ik, x ik+1 ] ) = Andererseits gilt f ( x ik+1 x ik x il+1 x il ) + f ( x ik+1 x ik [x il, x il+1 ] )+ f ( x il+1 x il ) + f ( [x il, x il+1 ] ) = f ( [x ik, x ik+1 ] x il+1 x il ) + f ( [x ik, x ik+1 ] [x il, x il+1 ] ) f ( x ik+1 x ik x il+1 x il ) + f ( [x ik, x ik+1 ] x il+1 x il )+ f ( x ik+1 x ik [x il, x il+1 ] ) + f ( [x ik, x ik+1 ] [x il, x il+1 ] ). Die rechten Seiten dieser beiden Gleichungen stimmen überein. 2. Fall (l = k + 1): In diesem Fall wird (ii) zweimal angewandt, um x ik+2 zwei Positionen nach vorne zu schieben. f ( x ik+1 x ik x ik+2 ) + f ( [x ik, x ik+1 ] x ik+2 ) = f ( x ik+1 x ik+2 x ik ) + f ( x ik+1 [x ik, x ik+2 ] ) + f ( [x ik, x ik+1 ] x ik+2 ) = f ( x ik+2 x ik+1 x ik ) + f ( [x ik+1, x ik+2 ] x ik )+ f ( x ik+1 [x ik, x ik+2 ] ) + f ( [x ik, x ik+1 ] x ik+2 ) Wenn f über l = k + 1 definiert wird, muß x ik um zwei Positionen nach hinten geschoben werden. f ( x ik x ik+2 x ik+1 ) + f ( x ik [x ik+1, x ik+2 ] ) = f ( x ik+2 x ik+1 x ik ) + f ( [x ik, x ik+2 ] x ik+1 )+ f ( x ik+2 [x ik, x ik+1 ] ) + f ( x ik [x ik+1, x ik+2 ] ) 5

6 Diese beiden Ausdrücke stimmen genau dann überein, wenn d := [x ik+1, x ik+2 ] x ik x ik [x ik+1, x ik+2 ] + x ik+1 [x ik, x ik+2 ] [x ik, x ik+2 ] x ik+1 + im Kern von f liegt. Aber aus (ii) folgt unmittelbar, daß [x ik, x ik+1 ] x ik+2 x ik+2 [x ik, x ik+1 ] W m 1 f (d) = f ( [[x ik+1, x ik+2 ], x ik ] + [x ik+1, [x ik, x ik+2 ]] + [[x ik, x ik+1 ], x ik+2 ] ) gilt. Nach der Jacobi-Identität ist [[x ik+1, x ik+2 ], x ik ] + [x ik+1, [x ik, x ik+2 ]] + [[x ik, x ik+1 ], x ik+2 ] = 0, also liegt d tatsächlich im Kern von f. Insgesamt ist damit gezeigt, daß (1) benutzt werden kann, um f so auf W m, j fortzusetzen, daß (ii) erfüllt ist. Bedingung (i) ist nach Definition von f ohnehin erfüllt, also folgt die Behauptung. Mit diesem Lemma ist der Beweis von (PBW) und (PBW ) nicht mehr schwer, denn jedes Element von I ist eine Linearkombination von Elementen der Form x i x j x j x i [x i, x j ]. Daher gilt I Kern( f ), und man erhält eine surjektive lineare Abbildung f : k[x 1,, X n ] mit f ((x i1 ) (x im )) = X i1 X im, wenn i 1 i m gilt. Insbesondere ist B linear unabhängig, da f (B) linear unabhängig und die Einschränkung von f auf B injektiv ist. Daß als k-vektorraum von B erzeugt wird, wurde schon gezeigt, also ist (PBW) bewiesen. Insbesondere ist Kern( f ) = I. Da gr kommutativ ist, gilt i = π(w i,0 ) + i 1. Das legt es nahe, eine lineare Abbildung gr f : i k[x 1,..., X n ], π(w i ) + i 1 f (w i ) (w i W i,0 ) zu definieren. m das machen zu können, muß sichergestellt werden, daß aus π(w i ) = π(w i ) auch f (w i ) = f (w i ) folgt und das gilt, weil I, der Kern von π, im Kern von f enthalten ist. Also induziert f eine lineare Abbildung gr f von gr in den Polynomring, die g gr f = id gr und gr f g = id k[x1,...,x n ] erfüllt. Daher ist g ein Isomorphismus mit mkehrabbildung gr f, und (PBW ) ist bewiesen. Der hier vorgestellte Beweis von (PBW) ist eine Variation von Jacobsons Beweis [Jac62, V.2]. Ein anderer Beweis ist zum Beispiel in [Hum80, 17.4] zu finden. 5 Moduln Ein g-modul ist ein k-vektorraum V zusammen mit einem Lie-Algebrenhomomorphismus ϑ von g nach End k (V ). Wegen der universellen Eigenschaft der universell einhüllenden Algebra von g gibt es einen k-algebrenhomomorphismus : End k (V ) so, daß die Einschränkung von auf g gleich ϑ ist. Also ist g-modul ein -Modul. mgekehrt gilt: ist : End(V ) eine Darstellung, so ist die Einschränkung von auf g ebenfalls eine, also ist jeder -Modul ein g-modul. Ist (x 1,..., x n ) eine Basis von g, so ist (V, ϑ) durch (ϑ(x 1 ),..., ϑ(x n )) eindeutig bestimmt. Weil von den x i erzeugt wird, ist auch durch die ϑ(x i ) eindeutig bestimmt. Außerdem 6

7 ist Hom g (V, V ) = Hom (V, V ), weil beide Homomorphismenräume aus den linearen Abbildungen g Hom k (V, V ) bestehen, für die g ϑ(x i ) = ϑ (x i ) g für alle 1 i n gilt. BEMERKNG: Abstrakt formuliert heißt das, daß die Kategorie der g-moduln äquivalent zur Kategorie der -Moduln ist. Literatur [Hum80] HMPHREYS, J. E.: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Band 9 der Reihe Graduate Texts in Mathematics. Springer, [Jac62] JACOBSON, N.: Lie Algebras, Band 10 der Reihe Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience,

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