Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

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1 Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution). Sei I ein reelles Intervll, f : I R stetig und z : [, b] I stetig differenzierbr. Dnn ist () b f(z()) dz() d d z(b) z() f(z) dz. Ds Integrl einer Funktion knn lso folgendermßen umgeformt werden: i) Wir lesen die Substitutionsformel () lso von links nch rechts. Wenn der Integrnd ds Produkt einer äußeren Funktion f und der Ableitung der inneren Funktion z ist, können wir ds Integrl uch ls Integrtion von f über die innere Funktion usführen (sttt über die Vrible wird dnn über die innere Funktion z integriert). ii) Wir lesen () von rechts nch links. Die Integrtionsvrible z knn eine Funktion sein, die von bhängt, lso z(). Dnn können wir sttt über z uch über integrieren, wenn wir dbei die Änderung von z in berücksichtigen. Konkret heißt ds, dss uch ds Differenzil in usgedrückt werden muss: dz d(z()) dz() d d z () d, und so ersetzen wir im Schritt von rechts nch links ds Differenzil und die Vrible z mit der Funktion von. Weg i) bietet sich insbesondere bei der Integrtion von Brüchen n, wenn die Funktion im Zähler gerde b c z () die Ableitung der Funktion im Nenner ist (bis uf Vielfches). Ds heißt, wenn wir d für z() jedes konstnte c berechnen wollen. Die Konstnte knn us dem Integrl herusgezogen werden. Nch der Substitutionsregel vereinfcht sich ds Integrl lso zu b c z () z() d c b z () z() d c z(b) z() z dz. Beispiel. (Trivil). Ein einfches Beispiel, ds die beiden Richtungen i) und ii) verdeutlicht, ist die Integrtion von. i) Wir identifizieren die Funktion und ihre Ableitung: d z d d d d dz. Ds Beispiel ist trivil mit z() und vereinfcht die Integrtion nicht weiter. Ds Integrl des Polynoms ist direkt zu integrieren mit dem Ergebnis + C, wobei C eine Konstnte ist (Im Fll des bestimmten Integrls ist C eindeutig bestimmt).

2 ANALYSIS II (LEHRAMTSBEZOGEN): RECHNEN MIT INTEGRALEN ii) Wir substituieren z(). Ds zugehörige Differenzil ist entsprechend dz d, sodss uch z dz d ist. Die Trnsformtion von nch z ist lso d z z dz z dz z + C, und weil wir ls Ergebnis des Integrls über uch ein Ergebnis erwrten, ds von bhängt, resubstituieren wir z und erhlten ds Ergebnis des Integrls d: Aufgbe.. d mit Substitution. + z + C + C. Wenn wir die Nennerfunktion substituieren, lso z() +, erkennen wir, dss der Zähler ein Vielfches von z () ist und Weg i) bietet sich n. Wir ersetzen + z() und z ()/, sodss der Integrnd + z ()/ z () z() z() ist. Die Grenzen sind z() und z(). Ds Integrl ist lso Aufgbe.. Zeigen Sie: d π 4. + d z dz (ln ln ) ln. Eine stndrdmäßige Substitution des Rdiknden oder Potenzen dvon führt nicht zu dem Ziel, dss sich ds Integrl vereinfcht. Stttdessen ist eine geschickte Integrtion zielführend. Wir erinnern uns, dss cos z sin z ist und die Ableitung von sin z gerde wieder cos z ist. Also knn die Substitution (z) sin z ds Integrl in die Form der linken Seite von () bringen (lso gehen wir Weg ii)). Wir substituieren (z) sin z, und mit (z) cos z bekommen wir π/ π/ () d sin z cos z dz cos z dz. Die Grenzen sind entsprechend rcsin() und rcsin() π/. Dieses Integrl können wir uch mit prtieller Integrtion weiter behndeln. An dieser Stelle benutzen wir jedoch die trigonometrische Beziehung cos cos z + z und substituieren weiter, u(z) z: π/ π/ cos cos z + π/ π/ z dz dz dz + cos z dz Aufgbe.. π cos( + ) d. π/ dz + π cos u du π π cos u du π 4. Wir substituieren mit z() +, und wissen z (), sodss: π cos( + ) d π dz d cos(z()) d π + cos(z) dz (sin(π + ) sin()).

3 . Prtilbruchzerlegung Prtilbruchzerlegung Wir beschränken uns hier uf Integrle über Funktionen, die nur reelle Nullstellen hben und in Linerfktoren zerfllen. Diese Funktionen lssen sind eindeutig drstellen: Korollr.. Sei R : R R eine rtionle Funktion ohne komplee Polstellen mit n verschiedenen reellen Polstellen j, die die Ordnung m j hben. Jede dieser Funktionen R knn mit einer Polynomfunktion P () und jk R eindeutig drgestellt werden ls R() P () + m n j j k jk ( j ) k. Der Vorteil dieser Drstellung besteht drin, dss die Stmmfunktion von Polynomen und ( j ) k leicht bestimmt werden knn und jede Funktion, die die Vorussetzungen erfüllt, so einfch integriert werden knn.. Einfche Polstellen Wir zeigen ein Beispiel für n und m, m. Aufgbe.. d für <. Der Nenner zerfällt in reelle Linerfktoren ( + )( ). Wir suchen lso die eindeutig bestimmten Konstnten, sodss + +, und erhlten die Bedingung + + ( ), sodss / dies erfüllt. Ds Integrl ist dnn d ( + + ) d [ln( + ) ln( )] + C ln + + C. Ds entspricht rctnh(). Die Bedingung < grntiert ein reelles Ergebnis für ds zweite Integrl.. Mehrfche Polstellen In diesem Beispiel ist n und m. Wir berechnen d. Der Grd der Zählerfunktion ist kleiner ls der Grd der Nennerfunktion, ( ) und ist eine Polstelle. Nch vorngegngenem Korollr finden wir für den Integrnden eindeutig bestimmte Konstnten,, sodss ( ) + ( ). Die Gleichung gibt +, und Koeffizientenvergleich liefert und. Ds Integrl ist dnn ( ) d d + d ln( ) ( ) + C. Prtielle Integrtion Stz.. Seien f, g zweiml stetig differenzierbr. Dnn gilt f()g () d f()g() f ()g() d.

4 4 ANALYSIS II (LEHRAMTSBEZOGEN): RECHNEN MIT INTEGRALEN Aufgbe.. ds Integrl us () mit Hilfe von prtieller Integrtion. π/ cos z dz sin π cos π π/ sin() cos() + sin z dz, die Identität sin z + cos z wird im letzten Integrl eingesetzt, π/ cos z dz π/ und ds Integrl über cos z uf die linke Seite gebrcht: sodss letztendlich 4 Fubini π/ cos z dz π/ ( cos z ) dz, π/ cos z dz π 4. dz π, Der Stz von Fubini für Riemnn-Integrle besgt, dss die Integrtionsreihenfolge für eine Funktion, die uf kompkten Intervllen definiert und in jeder Komponente stetig ist, vertuscht werden knn. 4. Beispiel Sei f : [, ] [, ] R, f(, y) y. Dnn ist weil und f(, y) dy d 4. Physiklisches Beispiel Wir berechnen Volumenintegrle dv. y dy d f(, y) d dy 8 d 4, y d dy y dy 4. Aufgbe 4.. die Fläche eines Kreises mit Rdius R. Benutzen Sie die Funktionldeterminnte der Trnsformtion in Polrkoordinten, Jf(r, φ) r, die ds Volumenelement dv Jf(r, φ) dr dφ liefert. Zeigen Sie insbesondere, dss die Reihenfolge der Integrtion keine Rolle spielt. Tipp: Gesucht ist ds Ergebnis des Integrls π R r dr dφ.

5 5. Aufgben 5 Vol(B (, R)) B (,R) π R π R R π d dy r dr dφ, π R ws direkt Jf(r, φ) dr dφ R dφ π πr ist, und mit Fubini r dφ dr R πr dr π R πr. Aufgbe 4.. ds Volumen einer Kugel. Benutzen Sie die Funktionldeterminnte der Trnsformtion in Kugelkoordinten Jf(r, φ, θ) r sin θ, die ds Volumenelement dv Jf(r, φ, θ) dr dφ dθ liefert. Zeigen Sie insbesondere, dss ds Ergebnis von der Reihenfolge der Integrtion unbhängig ist. Tipp: Gesucht ist ds Ergebnis des Integrls π π R r sin θ dr dφ dθ. Vol(B (, R)) B (,R) π π R π π d dy dz R π π R r sin θ dr dφ dθ sin θ dφ dθ π π R Jf(r, φ, θ) dr dφ dθ sin θ dθ 4π R Die Reihenfolge ller drei Integrle knn beliebig vertuscht werden, d der Stz von Fubini nwendbr ist. 5 Aufgben Ein pr Aufgben mit Lösungen. Zeigen Sie:. sin d ( sin cos ) + C. cos d tn + C +. d ln( ) + C + 4. d + ln( ) + C 5. cos ln() d (sin ln + cos ln + C d 9 ln d ln + 4 d.4 + 5