M21. Viskosität. ν = ρ

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1 M1 Viskosität In vielen Fällen wird bei Betrachtungen zur Mechanik vorausgesetzt, dass Reibungseffekte vernachlässigbar sind. In diesem Versuch sielt die Reibung in üssigkeiten die zentrale Rolle, es soll die Viskosität einer üssigkeit nach zwei verschiedenen Messmethoden bestimmt werden. 1. Theoretische Grundlagen 1.1 Laminare Strömung Bewegt sich eine üssigkeit an der Oberfläche eines festen örers vorbei, so hängt die Strömungsgeschwindigkeit der üssigkeit vom Abstand zu dieser Oberfläche ab. Unmittelbar an der Grenzfläche haftet eine dünne üssigkeitsschicht, die Strömungsgeschwindigkeit ist dort also null. Weiter von der Grenzfläche entfernte üssigkeitsschichten besitzen eine von null verschiedene Geschwindigkeit. Bei hinreichend kleinen Strömungsgeschwindigkeiten gleiten benachbarte üssigkeitsschichten mit leicht unterschiedlicher Geschwindigkeit aneinander vorbei, ohne ineinander zu verwirbeln. Eine solche Strömungsform heißt laminar. Die folgenden Ausführungen setzen immer laminare Strömungsverhältnisse voraus. 1. Definition der dynamischen Viskosität Bei der Bewegung eines örers durch eine üssigkeit oder ein Gas wirkt auf den örer eine Reibungskraft, die der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Ihr Betrag hängt von der Geschwindigkeit, der Geometrie des örers und der inneren Reibung des Mediums ab. Betrachtet man beisielsweise eine ebene Platte, die arallel zur Plattenebene in x-richtung durch eine üssigkeit bewegt wird, so haftet die unmittelbar anliegende üssigkeitsschicht an ihr und bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit v. üssigkeitsschichten in größerem Abstand haben eine geringere Geschwindigkeit. Es entsteht ein Geschwindigkeitsgefälle in y-richtung, also senkrecht zur Bewegungsrichtung (Bild 1). Die Reibungskraft F R, die auf die Platte wirkt, ist Bild 1: Geschwindigkeitsgefälle in einem viskosen Medium roortional zur Berührungsfläche A und zu dem Geschwindigkeitsgefälle dv/dy an der Plattenoberfläche. F R =η A dv dy (1) Darin ist η eine Materialkonstante, die als dynamische Viskosität oder Zähigkeit der umgebenden üssigkeit bezeichnet wird. Ihre Einheit ist [η] = kg s -1 m -1. (Eine in der Literatur noch häufig zu findende ältere Einheit ist 1 Poise = 1 gs -1 cm -1 = 0,1 kg s -1 m -1.) Das Verhältnis von dynamischer Viskosität zur Dichte ρ bezeichnet man als kinematische Viskosität ν η ν = ρ () 016

2 M1 Viskosität Ihre Einheit ist [ν] = m s -1 (Früher verwendete Einheit ist das Stokes [ν] = St = 1cm s -1 = 10 - m s -1 ) Die Viskosität einer üssigkeit nimmt mit wachsender Temeratur T ab. Meist gilt mit guter Näherung η b T ( T ) = a e (3) wobei a und b emirisch zu bestimmende onstanten sind. 1.3 Das Stokessche Gesetz Verwendet man statt der Platte eine ugel mit Radius r, die man mit konstanter Geschwindigkeit v durch eine viskose üssigkeit bewegt, so ist die Reibungskraft, die auf die ugel wirkt (Stokessches Gesetz): F R = 6π η r v () Fällt die ugel unter dem Einfluss ihrer Gewichtskraft durch die üssigkeit, so verschwindet nach hinreichend langer Zeit mit v = konst. die Summe aus Gewichtskraft, Auftriebskraft und Stokesscher Reibungskraft: ( ρ ρ ) 3 6 π η r v + π r g = 0 (5) 3 (ρ: Dichte der üssigkeit bzw. der ugel) Mit Gleichung (5) wird die Viskosität der üssigkeit ermittelt: ( ρ ) r g ρ η = 9v (6) 1. Das Gesetz von Hagen-Poiseuille Bei der laminaren Strömung in einer Röhre mit dem Radius R haftet eine üssigkeit an der Rohrwand, während in der Rohrmitte die ießgeschwindigkeit am höchsten ist. Gesucht wird der Volumenstrom V/ t durch eine Röhre der Länge l, an deren beiden Enden die Drücke 1 bzw. herrschen. Dazu wird in der Röhre ein axialer üssigkeitsfaden mit dem Radius r betrachtet. Aufgrund der Druckdifferenz wirkt auf ihn die raft F ( ) = π. 1 1 r (7) Weiterhin wirkt nach Gleichung (1) auf die Mantelfläche des Fadens die Reibungskraft F = η π r dv dr (8) Bei stationärer Strömung verschwindet die Summe der beiden räfte und man erhält dv η = ( 1 )r dr (9) Man erhält v(r) durch Integration über r, wobei die Randbedingung v = 0 für r = R zu berücksichtigen ist. Das Ergebnis der Integration ist: - -

3 M1 Viskosität ( 1 ) ( R r ) v( r) = (10) η Eine stationäre laminare Strömung in einer Röhre besitzt also ein arabelförmiges Geschwindigkeitsrofil (Bild ). Der Volumenstrom über den gesamten Querschnitt der Röhre beträgt V t = r 0 π R ( 1 ) π r v( r) dr = (11) 8η Bild : Laminare Rohrströmung Die Gleichung (11) wird als Hagen-Poiseuillesches Gesetz bezeichnet. Von besonderer raktischer Bedeutung für die Dimensionierung von Rohrquerschnitten ist darin die Abhängigkeit des Volumenstroms von der. Potenz des Radius der Röhre. 1.5 Fallkörerviskosimeter nach Höler Fällt eine ugel in einem senkrecht stehenden Rohr, dessen Durchmesser nur wenig größer ist als der ugeldurchmesser, so berührt die ugel im Allgemeinen in unkontrollierbarer Weise die Rohrwand. Ihre Bewegung wird reroduzierbar, wenn man das Rohr um einige Grad gegen die Vertikale neigt, d.h. die ugel an der Rohrwand gleiten lässt. Diese Überlegung veranlasste Höler, ein Viskosimeter mit geneigtem Rohr zu entwickeln (Bild 3). Die Viskosität aller üssigkeiten hängt sehr stark von der Temeratur ab. Aus diesem Grunde befindet sich das Viskosimeterrohr in einem weiten Glasrohr, durch das man üssigkeit konstanter Temeratur strömen lässt. Hat die ugel die Messstrecke (Abstand zwischen oberer und unterer Marke am Viskosimeterrohr) durchlaufen, dreht man das Viskosimeter 180 um die Achse A und lässt die ugel zurück gleiten. Während der Messung ist das Viskosimeter mit dem Schnaer S zu arretieren. Bild 3: Höler-Viskosimeter Mit der Fallzeit t und der Fallstrecke s erhält man aus Gleichung (6) * r g η = ( ρ ρ ) t = ( ρ ρ )t. (1) 9s (g * : wirksame omonente der Fallbeschleunigung, g * = g 0 cosα mit α als Neigungswinkel zur Vertikalen) Die onstante * r g = ist nur exakt gültig, wenn 9s - 3 -

4 M1 Viskosität die ugel in einem hinreichend großen üssigkeitsbehälter fällt, so dass die Wandung das Geschwindigkeitsfeld nicht beeinflusst. die Zeit zum Erreichen einer stationären Geschwindigkeit klein gegenüber t ist, die Gleitreibung vernachlässigbar ist. Da diese riterien nicht erfüllt werden, wird eine emirische ugelkonstante verwendet. Zu einem Höler-Viskosimeter gehört ein Satz ugeln unterschiedlicher Dichte und Größe. Die sich ergebende ugelkonstante ist vom Hersteller angegeben und kann nur mit Hilfe einer alibrierflüssigkeit ermittelt werden. 1.6 aillarviskosimeter nach Ubbelohde Das Viskosimeter nach Ubbelohde ist ein aillarviskosimeter. Es unterscheidet sich von dem älteren Viskosimeter nach Ostwald durch das Rohr 3 (Bild ). Dieses Rohr sorgt dafür, dass am unteren Ende der aillare ein Luftdruck herrscht. Die aus der aillare austretende üssigkeit fließt in einer dünnen Schicht an der Innenwand des Volumens C ab. In C bildet sich ein sogenanntes hängendes ugelniveau, das nach Untersuchungen von Ubbelohde unabhängig von der Dichte, der Viskosität und der Oberflächensannung der zu untersuchenden üssigkeit ist. Die untere Grenze der Druckhöhe h ist daher das untere Ende der aillare. Die Druckhöhe h ändert sich während der Messung von h(0) bis h(t). Man rechnet deshalb mit dem zeitlichen Mittelwert h. Für die kinematische Viskosität gilt nach Gleichung (11) und () Bild : Ubbelohde-Viskosimeter π ( 1 ) R t v = (13) 8V ρ Beim Eintritt in die aillare muss die üssigkeit beschleunigt werden. Dazu ist ein Druck δ notwendig. 1 = ρ g h δ (1) Zur Berechnung von δ (Hagenbachsche orrektur) schreibt man die kinetische Energie je Zeit de * der durch einen Hohlzylinder mit dem Radius r und der Dicke dr strömenden üssigkeit auf. Es gilt: de * 1 = ρ π r dr( v( r)) 3 Die Integration über alle Hohlzylinder mit v(r) nach Gleichung (10) liefert den Energiestrom 3 * ρ V V E =. Anderseits ist E = δ *. Daraus folgt π 3 R t t δ ρ V = π R t (15) Die dargestellte Überlegung ist unexakt, da beim Eintritt der üssigkeit in die aillare eine arabolische Geschwindigkeitsverteilung gemäß Gleichung (10) noch gar nicht vorliegt. Aus diesem Grund bringt man an Gleichung (15) einen orrekturfaktor m an, der einen Wert von etwa 1,1 hat. - -

5 M1 Viskosität δ ρ V = m π R t (16) Setzt man die Gleichungen (1) und (16) in Gleichung (13) ein, erhält man π g h R v = 8V m V 1 t 8π t (17) Mit den Viskosimeterkonstanten ( t t' ) ν =. π g h R = 8V und m V ' = wird 8π (18) Die orrekturzeit t lautet: t' = ' t (19) Die Ubbelohde-Viskosimeter sind so dimensioniert, dass sich die Werte der Aaraturkonstanten abhängig vom aillardurchmesser nur sehr wenig von 1; 0,1 oder 0,01cSts -1 unterscheiden. Der exakte Wert von ist in jedes Viskosimeter geätzt. Die den verschiedenen Ausflusszeiten t entsrechenden orrekturzeiten t sind tabelliert.. Versuch.1 Versuchsvorbereitung Aufgabe 1: Erstellen Sie den ausführlichen raftansatz für Gleichung (5). Aufgabe : Warum benötigen Sie bei der Bestimmung der Viskosität nach Höler eine ugelkonstante? Aufgabe 3: Das Ubbelohde-Viskosimeter (Bild ) besteht aus 3 miteinander verbundenen Röhren unterschiedlicher Durchmesser. Aus welchem Grund gibt es das dritte Rohr?. Versuchsdurchführung..1 Verwendete Geräte Höler-Viskosimeter mit Thermostat-Temerierung, Ubbelohde-Viskosimeter, Wasser-Methanol-Mischung in unterschiedlichen onzentrationsgraden, Stouhr, Thermometer, Messbecher.. Versuchshinweise Aufgabe 1: Bestimmung der Temeraturabhängigkeit der dynamischen Viskosität einer üssigkeit mit dem Höler-Viskosimeter in einem vorgegebenen Temeraturbereich Als zu untersuchende üssigkeit wird Wasser verwendet, welches vor dem Einfüllen in das Viskosimeterrohr durch Erwärmen entgast wurde. Sollten sich bei der Versuchsdurchführung Luftblasen im Viskosimeterrohr zeigen, wenden Sie sich bitte an das Laborersonal. Justieren Sie vor jeder Zeitmessung das Viskosimeter mit Hilfe der angebrachten Libelle. Die Zeitmessung erfolgt entsrechend Abschnitt 1.5 mit einer Stouhr

6 M1 Viskosität Die Temerierung des Viskosimeters erfolgt über einen Thermostaten, dabei beachten Sie folgende Hinweise: Stellen Sie am Thermostat eine ca. 3 C niedrigere Soll-Temeratur als die gewünschte mit den Funktionstasten ( ) ein und bestätigen Sie diese mit O. Lassen Sie nun den Thermostaten auf die eingestellte Temeratur hoch heizen und vergleichen Sie die Soll-Temeratur mit der Ist-Temeratur des Viskosimeters. orrigieren Sie bei Bedarf nach oben (um 1- C) und vergleichen Sie erneut Soll- und Ist- Wert. Messen Sie die Fallzeit der ugel bei der sich jetzt konstant einstellenden Temeratur im Viskosimeter. Führen Sie die Messungen beginnend mit der Raumtemeratur (dann 30 C bis 60 C in Schritten von ca. 10) durch und wiederholen Sie die Messungen je 3-mal. Entnehmen Sie aus dem Datenblatt (am Versuchsstand) die zur Auswertung benötigten Dichten ρ und ρ. Ermitteln Sie nach Gleichung (1) den theoretischen Wert für die ugelkonstante (geg.: d = 15,80mm bei 0 C, weitere Angaben siehe Datenblatt) und vergleichen Sie diese mit dem emirischen, gegebenen Wert. Aufgabe : Bestimmung der Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der onzentration eines Methanol-Wasser-Gemisches mittels Ubbelohde-Viskosimeter Führen Sie die Messungen für die vorgegebenen Wasser-Methanol-Gemische (Methanolanteil von 0, 0, 0, 50, 60, 80, und 100% Volumenanteil) durch. Vorgehensweise beim Befüllen des Ubbelohde-Viskosimeters (Abschnitt 1.6): Das Rohr 1 (Bild ) wird mit der Messflüssigkeit gefüllt, bis der üssigkeitssiegel zwischen den Marken M 3 und M liegt. Das Rohr 3 wird mit einem Finger verschlossen und die Messflüssigkeit mit Hilfe einer Handvakuumume in Rohr hoch gesaugt. Wenn das Gefäß D völlig gefüllt ist, wird die Handvakuumume wieder entfernt und das Rohr 3 geöffnet. Nun wird die Zeit t bestimmt, in der der üssigkeitssiegel von der Marke M 1 bis zur Marke M sinkt. Entnehmen Sie die der Ausflusszeit t entsrechende orrekturzeit t aus der vom Hersteller des Viskosimeters gelieferten Tabelle (befindet sich am Versuchslatz)..3 Versuchsauswertung Aufgabe 1: Bestimmung der Temeraturabhängigkeit der dynamischen Viskosität einer üssigkeit mittels Höler-Viskosimeter in einem vorgegebenen Temeraturbereich Bestimmen Sie die dynamische Viskosität η und stellen Sie diese als Funktion der absoluten Temeratur T nach (η = f (T)) grahisch dar. Berechnen Sie die Messunsicherheit der dynamische Viskosität η durch eine Fehlerrechnung exemlarisch für einen Wert. Die Angaben einiger Messabweichungen befinden sich am Praktikumslatz. Tragen Sie in das Diagramm die Fehlerbalken ein und bestimmen die die relativen Messunsicherheiten. Fertigen Sie zur Überrüfung von Gleichung (3) eine grahische Darstellung lnη als Funktion von 1/T (lnη = f (T -1 )) an. Berechnen Sie daraus unter Verwendung der linearen Regression die onstanten a und b (siehe Gleichung (3))

7 M1 Viskosität Aufgabe : Bestimmung der Abhängigkeit der kinematischen Viskosität von der onzentration eines Methanol-Wasser-Gemisches mittels Ubbelohde-Viskosimeter Berechnen Sie die kinematische Viskosität nach Gleichung (18). Stellen Sie die Abhängigkeit ν = f (Vol.%) grahisch dar, schätzen Sie auftretende Messabweichungen ab und tragen Sie diese als Fehlerbalken ein. Rechnen Sie den für Wasser ermittelte Wert der kinematischen Viskosität ν in eine dynamische Viskosität η um und vergleichen Sie diesen mit den gemessenen Werten des Höler-Viskosimeters. Diskutieren Sie auftretende Abweichungen. 3. Ergänzungen Nicht nur bei üssigkeiten, sondern auch bei strömenden Gasen tritt innere Reibung auf. Die anfangs durchgeführten Überlegungen für viskose üssigkeiten treffen auch für Gase zu. Die Viskosität von Gasen ist im Allgemeinen jedoch wesentlich geringer als bei üssigkeiten. Eine Besonderheit von Gasen ist, dass die innere Reibung mit der Temeratur steigt! Historisch gesehen war das eine wichtige Stütze für die Annahme der Existenz von Atomen. Ermitteln Sie nach der Gl. (1) den theoretischen Wert für die ugelkonstante und vergleichen Sie diese mit dem emirischen, gegebenen Wert (geg.: ugeldurchmesser d = 15,80mm bei 0 C, Fallstrecke s = 10cm, Neigungswinkel α = 10 )