Kapitel 2: Formale Sprachen Gliederung. 0. Grundbegriffe 1. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie

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1 Gliederung. Grundbegriffe. Endliche Automaten 2. Formale Sprachen 3. Berechnungstheorie 4. Komplexitätstheorie 2.. Chomsky-Grammatiken 2.2. Reguläre Sprachen (noch weiter) 2.3. Kontextfreie Sprachen 2/4, Folie 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

2 u Anwendungsgebiete Verwendung u.a. in Skript-Sprachen zur Unterstützung bei der Systemadministration spawn uusnap # Statusmeldungen einer Verbindung wird abgefragt expect { -re "uunet \[-a-za-z-9 ]*((SENDING) (RECEIVING))" {... # ok } -re "uunet \[-a-za-z-9 ]*NO DEV" {... # warten } -re "uunet \[-a-za-z-9 ]*FAILED" {... # noch mal probieren } } # end expect... in Abhängigkeit vom Typ der Antwort werden bestimmte Aktionen ausgeführt (/* hierzu wird der Typ der Statusmeldung analysiert, d.h. es wird geprüft, zu welchem Muster die Statusmeldung paßt */) 2/4, Folie 2 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

3 u Anmerkungen die Art und Weise relevante Muster zu notieren, ist recht uneinheitlich (/* siehe Skript-Sprachen wie Perl, Python, Select,... */) es gibt jedoch die folgenden Gemeinsamkeiten: die Muster werden verwendet, um die Gemeinsamkeiten von Wörtern zu beschreiben jedes Muster definiert de facto eine Sprache (also die Menge aller Wörter, die zum jeweiligen Muster passen) die Menge der zulässigen Muster ist induktiv definiert (es gibt einfache Muster und Operatoren, um komplexe Muster zu bilden) 2/4, Folie 3 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

4 u Reguläre Ausdrücke (/* in der Theoretischen Informatik */) sei Σ das zugrunde liegende Alphabet dann definieren wir: Die Zeichen ε und sowie jedes a Σ sind reguläre Ausdrücke über Σ. wir lassen die Operatoren (Verkettung), + (Auswahl) und * (Kleenesche Hülle) zu seien α und β reguläre Ausdrücke über Σ dann definieren wir: Dann sind auch α β, (α+β) und (α)* reguläre Ausdrücke über Σ. 2/4, Folie 4 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

5 u Beispiel sei Σ = {, } das zugrunde liegende Alphabet dann ist bspw. (((+))* )* ein regulärer Ausdruck über Σ Anwendung der induktiven Definition: um zu sehen, dass (((+))* )* ein regulärer Ausdruck ist, setze α = ((+))* und untersuche, ob α ein regulärer Ausdruck ist um zu sehen, dass ((+))* ein regulärer Ausdruck ist, setze α = ((+))* und β = und untersuche, ob α und β reguläre Ausdrücke sind um zu sehen, dass ((+))* ein regulärer Ausdruck ist, setze α = (+) und untersuche, ob α ein regulärer Ausdruck ist... um zu sehen, dass ein regulärer Ausdruck ist... 2/4, Folie 5 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

6 u Anmerkung bevor wir definieren können, welche Sprache ein regulärer Ausdruck beschreibt, müssen wir zwei weitere Operationen mit Sprachen einführen die zweistellige Operation Verkettung (in Zeichen ) die einstellige Operation Kleenesche Hülle (in Zeichen * ) 2/4, Folie 6 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

7 u Einschub: Operationen mit Sprachen sei Σ das zugrunde liegende Alphabet seien L, L 2 Σ* dann definieren wir: Die Sprache L L 2 enthält alle Wörter w Σ* für die gilt: es gibt ein u L und ein v L 2, so dass w = u v gilt. Die Sprache (L )* enthält alle Wörter w Σ* für die gilt: w = ε oder es gibt ein k N und u,..,u k L, so dass w = u... u k gilt. 2/4, Folie 7 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

8 u Begriff: die durch einen regulären Ausdruck beschriebene Sprache sei Σ das zugrunde liegende Alphabet sei γ ein regulärer Ausdruck über Σ dann definieren wir: Für die von γ beschriebene Sprache L(γ) gilt: L(γ) = { ε }, falls γ = ε gilt L(γ) =, falls γ = gilt L(γ) = { a }, falls γ = a mit a Σ gilt L(γ) = L(α) L(β), falls γ = α β gilt L(γ) = L(α) L(β), falls γ = (α+β) gilt L(γ) = (L(α))*, falls γ = (α)* gilt 2/4, Folie 8 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

9 u Beispiele sei Σ = {, } das zugrunde liegende Alphabet man sieht sofort, dass der reguläre Ausdruck α = ((+))* die Sprache Σ* beschreibt dann gilt offensichtlich auch: L(β) = { w Σ* w enthält das Teilwort } für den regulären Ausdruck β = α α L(β) = { w Σ* w hat den Präfix und den Suffix } für den regulären Ausdruck β = α 2/4, Folie 9 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

10 u Beispiele (cont.) es sei Σ = {, } das zugrunde liegende Alphabet man kann sich sofort davon zu überzeugen, dass L(α) = { w Σ* w enthält genau eine Null } für den regulären Ausdruck α = ()* ()* gilt dann gilt auch: L(β) = { w Σ* w enthält ungerade viele Nullen } für den regulären Ausdruck β = α (α α)* 2/4, Folie 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

11 u Zwischenfazit reguläre Ausdrücke sind ein in der Praxis häufig benutzter Ansatz, um Sprachen zu beschreiben reguläre Ausdrücke lassen sich einfacher notieren als Grammatiken (/* ein wenig Übung vorausgesetzt... */) noch zu klären bleibt: ob man für jede Sprache, die man mit einem regulären Ausdruck beschreiben kann, das Wortproblem lösen kann und, wenn ja, wie effizient das geht... das folgende Ergebnis gibt uns eine Antwort auf beide Teilfragen und macht deutlich, weshalb reguläre Ausdrücke in der Praxis so häufig benutzt werden 2/4, Folie 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

12 u zentrales Resultat es sei Σ das zugrunde liegende Alphabet und L Σ* dann gilt: Die folgenden Aussagen sind äquivalent: () L ist eine reguläre Sprache. (2) Es gibt einen regulären Ausdruck α mit L(α) = L.... eigentlich ist nur der Teil (2) () wichtig (wir wissen, dass das Wortproblem für reguläre Sprachen mit Hilfe von (deterministischen) endlichen Automaten sehr effizient gelöst werden kann) 2/4, Folie 2 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

13 u Beweisidee ( (2) () ) wir können ausnutzen, dass die Menge der regulären Ausdrücke induktiv definiert ist, und verwenden folgende Herangehensweise: a) wir zeigen, dass jede Sprache, die durch einen (einfachen) regulären Ausdruck beschrieben werden kann, regulär ist b) beim Nachweis, dass jede Sprache regulär ist, die durch einen regulären Ausdruck der Form α β, (α+β) bzw. (α)* beschrieben werden kann, können wir dann benutzen, dass die beiden Sprachen L(α) und L(β) regulär sind 2/4, Folie 3 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

14 u Anmerkungen um a) und b) zu beweisen, genügt es jeweils nichtdeterministische endlichen Automaten für die durch den jeweiligen regulären Ausdruck beschriebene Sprache anzugeben wie das für a) geht, sieht man auf der nächste Folie für b) reicht es aus, bestimmte Abgeschlossenheitseigenschaften für die Menge der regulären Sprachen zu zeigen wir werden nachweisen, dass die Vereinigung von zwei regulären Sprachen die Verkettung von zwei regulären Sprachen die Kleenesche Hülle einer regulären Sprache jeweils eine reguläre Sprache ist... für die Operation Vereinigung ist nichts mehr zu tun 2/4, Folie 4 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

15 u... für (einfache) reguläre Ausdrücke wähle folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten für γ = ε : z wähle folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten für γ = : z wähle folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten für γ = a mit a Σ: a z z 2/4, Folie 5 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

16 u weitere Abgeschlossenheitseigenschaften regulärer Sprachen seien L, L 2 Σ* reguläre Sprachen dann gilt: Die Sprache L L 2 ist eine reguläre Sprache. Die Sprache (L )* ist eine reguläre Sprache. 2/4, Folie 6 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

17 u Operation Verkettung (/* Idee *) sei Σ = {, } Automat A für L = { w Σ* w hat den Präfix }:,, z z z 2 Automat A 2 für L 2 = { w Σ* w hat den Suffix }: q q 2/4, Folie 7 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

18 u Operation Verkettung (/* Idee *) (cont.) um einen Automaten für die Sprache L L 2 zu konstruieren, genügt es A und A 2 wie folgt zu verbinden, wobei die Funktion der Zustände von A und A 2 geeignet anzupassen ist:,, z z z 2 q q ε der Übergang (z,ε,q ) bedeutet, dass dieser Automat vom Zustand z in den Zustand q gehen kann, ohne ein Zeichen auf dem Eingabeband zu lesen (/* wichtig, weil z ein akzeptierender Zustand von A ist */) 2/4, Folie 8 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

19 u Operation Verkettung (/* Idee *) (cont.),, z z z 2 q q ε den Übergang (z,ε,q ) kann man äquivalent durch folgende Übergänge ersetzen: (z,,q ), (z,,q ) und (z,,q ) 2/4, Folie 9 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

20 u Operation Verkettung (/* Idee *) (cont.) anhand der gegebenen Automaten A für L und A 2 für L 2 kann man den folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten A für die Sprache L L 2 konstruieren:,, z z z 2 q q, 2/4, Folie 2 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

21 u Beweisidee für die Operation Verkettung sei A = [Z,Σ,z,F,δ ] ein endlicher Automat für L sei A 2 = [Q,Σ,q,F 2,δ 2 ] ein endlicher Automat für L 2 mit Z Q = definiere den nichtdeterministischen endlichen Automaten A = [Z,Σ,z,F,Δ ] wie folgt: setze Z = Z Q setze F = F 2 setze Δ = Δ Δ 2 Δ 3 mit: setze Δ = { (z,a,δ (z,a)) z Z und a Σ } setze Δ 2 = { (q,a,δ 2 (q,a)) q Q und a Σ } setze Δ 3 = { (z,a,q ) z Z, a Σ und δ (z,a) F } man kann sich nun leicht überlegen, dass L(A ) = L(A ) L(A 2 ) gilt 2/4, Folie 2 26 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

22 u Operation Kleenesche Hülle (/* Idee *) sei Σ = {, } Automat A für L = { u u besteht aus ungerade vielen Einsen }: z z z 2, z 4, 2/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

23 u Operation Kleenesche Hülle (/* Idee *) (cont.) um einen Automaten für die Sprache (L )* zu konstruieren, genügt es einen neuen Startzustand z einzuführen (der gleichzeitig ein akzeptierender Zustand ist) und A wie folgt mit sich selbst zu verknüpfen, wobei die Funktion der Zustände in A wieder geeignet anzupassen ist: ε z ε z z z 2, z 4, die Übergänge (z,ε,z ) und (z 2,ε,z ) bedeuten, dass dieser Automat vom Zustand z in den Zustand z bzw. von z 2 in z gehen kann, ohne ein Zeichen auf dem Eingabeband zu lesen 2/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

24 u Operation Kleenesche Hülle (/* Idee *) (cont.) ε z ε z z z 2, z 4, die Übergänge (z,ε,z ) und (z 2,ε,z ) kann man äquivalent durch folgende Übergänge ersetzen: (z,,z 4 ) und (z,,z ) bzw. (z,,z ) 2/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

25 u Operation Kleenesche Hülle (/* Idee *) (cont.) anhand des gegebenen Automaten A für L kann man den folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten A für die Sprache L * konstruieren: z z z z 2, z 4, 2/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik

26 u Beweisidee für die Operation Kleenesche Hülle sei A = [Z,Σ,z,F,δ ] ein (deterministischer) endlicher Automat für L definiere den folgenden nichtdeterministischen endlichen Automaten A = [Z,Σ,z,F, Δ ] wie folgt: setze Z = Z { z } setze F = { z } setze Δ = Δ Δ 2 Δ 3 mit: setze Δ = { (z,a,δ (z,a)) z Z und a Σ } setze Δ 2 = { (z,a,δ (z,a)) a Σ } setze Δ 3 = { (z,a,z ) z Z, a Σ und δ (z,a) F } man kann sich nun leicht überlegen, dass L(A ) = (L(A ))* gilt 2/4, Folie Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Theoretische Informatik