Sensitivitätsanalyse mittels Einflussfunktionen

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1 Fachgebiet Baustatik Institut für Baustatik und Baudynamik FB 14 Universität Kassel Masterarbeit Sensitivitätsanalyse mittels Einflussfunktionen Borys Takunov Matrikelnummer: Kassel, den Betreuer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Friedel Hartmann Zweiter Prüfer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Fehling

2 Fachgebiet Baustatik Institut für Baustatik und Baudynamik FB 14 Universität Kassel Masterarbeit Sensitivitätsanalyse mittels Einflussfunktionen Borys Takunov Matrikelnummer: Kassel, den Betreuer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Friedel Hartmann Zweiter Prüfer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Fehling

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4 Ehrenwörtliche Erklärung Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit ohne Hilfe Dritter und nur mit den angegebenen Quellen und Hilfsmitteln angefertigt zu haben. Alle Stellen, die aus den Quellen entnommen wurden, sind als solche kenntlich gemacht worden. Diese Arbeit hat in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegen. Kassel, den Borys Takunov iii

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6 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Motivation 1 2 Theoretische Grundlagen Greensche Identitäten Greensche Funktionen Herleitung Sensitivitätsanalyse Klassischer Ansatz Modifikation Modifikation Progressiver Kollaps 27 5 Tragwerk-FMEA 35 6 Pergola Systembeschreibung Analyse Officebuilding Systembeschreibung Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug v

7 Inhaltsverzeichnis Fehler Schwächung eines Wandelementes Fehler Schwächung in einer Platte Zusammenfassung und Ausblick 69 Abbildungsverzeichnis 71 Tabellenverzeichnis 73 Literaturverzeichnis 75 vi

8 1 Einleitung und Motivation Im Rahmen eines Forschungsprojektes Präventive Qualitätssicherung in der computerbasierten Tragwerksplanung durch Fehlermöglichkeits- und Einflussanalyse sollen Verfahren entwickelt und erprobt werden, die die Sensitivitäten von Bauteilen gegenüber Änderungen in den Steifigkeiten des Tragwerks rechnerisch erfassen und Aufschlüsse über Schwachstellen im Tragwerk geben können. Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Verfahren aufzuzeigen, die eine Tragwerksbeurteilung erlauben. Des Weiteren wird in dieser Arbeit noch ein Ansatz erläutert, mit dem man einen progressiven Kollaps simulieren kann. Die besagten Berechnungen basieren auf dem Verfahren der Sensitivitätsanalyse. Diese beruht auf den Einflussfunktionen. Bei dem ursprünglichen Ansatz war es erforderlich, für jeden Funktional also jeder Schnittgröße, die man untersuchen wollte eine neue Einflussfunktion aufzustellen. Wollte man mehrere Stellen im System auswerten, so war auch die entsprechende Anzahl der Green schen Funktionen notwendig. Mit dem neuen Ansatz kann man nur wenige Einflussfunktionen bilden und damit alle Schnittgrößenänderungen untersuchen. Dies vereinfacht die Handhabung des Verfahrens beachtlich, vor allem wenn man mehrere Stellen untersuchen will. Die Findung der kritischen Elemenete bzw. der Schwachstellen wird auch mit den Einflussfunktionen und dem Energiegehalt oder Ausnutzungsgrad der Bauteile durchgeführt. Diese Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: Zunächst werden im Kapitel Theoretische Grundlagen die erforderlichen Hintergründe und die Theorie erläutert. Anschließend wird das Verfahren der Sensitivitätsanalyse beschrieben, sowohl der ur- 1

9 1 Einleitung und Motivation sprüngliche Ansatz, als auch die Modifikationen dieses. Im nächsten Kapitel werden kurz der Ansatz zum progressiven Kollaps und die Tragwerk-FMEA vorgestellt. Dann wird die Tragwerk-FMEA mit dem Verfahren der Sensitivitätsanalyse an zwei Beispielen durchgeführt einem Carport und einem mehrstöckigen Bürogebäude. Am Ende folgt eine Zusammenfassung und ein Ausblick. 2

10 2 Theoretische Grundlagen In diesem Kapitel werden die erforderlichen theoretischen Grundlagen zu den Einflusslinien gegeben. Es werden solche Themen erläutert, wie die Green sche Identität, Satz von Betti und die Green schen Funktionen (Einflussfunktionen). Dieses Kapitel soll die Grundlage für das Verständnis der Einflussfunktionen und somit auch der Sensitivitätsanalyse bilden. Mit diesen Kenntnissen soll man in der Lage sein, sowohl den klassischen Ansatz, als auch die Modifikationen des Verfahrens nachzuvollziehen. 3

11 2 Theoretische Grundlagen 2.1 Greensche Identitäten Die erste und zweite Greensche Identität bilden die Grundlage der Statik. Die Energieprinzipien werden durch diese beschrieben. Wir erläutern die Bedeutung der Greenschen Identitäten an Hand der Differentialgleichung des Stabes EA u (x) = p(x), (2.1) die die Längsverschiebung u(x) mit der horizontal gerichteten Streckenlast p(x) verknüpft. Die Überlagerung der linken Seite der Differentialgleichung mit einer beliebigen glatten Funktion v(x) ergibt das Arbeitsintegral 0 EA u (x) v(x) dx, (2.2) das mittels partieller Integration auf die erste Greensche Identität der obigen Differentialgleichung führt G(u, v) := 0 EA u v dx + [N v] l 0 Auf der Diagonalen, v = u, formuliert die erste Greensche Identität 0 EA u v dx = 0 (2.3) G(u, u) = W e W i = 0, (2.4) den Energieerhaltungssatz für den Stab und auf den Nebendiagonalen, v u, G(u, v) = G(v, u) = δw e δw i = 0. (2.5) bildet sie die Grundlage der Variationsprinzipe der Statik. Wählt man v = δu, dann hat man das Prinzip der virtuellen Verrückungen G(u, δu) = δw e δw i = 0 δu, (2.6) 4

12 2.1 Greensche Identitäten und vertauscht man die Plätze, dann hat man das Prinzip der virtuellen Kräfte: G(δu, u) = δw e δw i = 0 δu, (2.7) Die zweite Greensche Identität B(u, v) = 0 EA u v dx + [N(u) v] l 0 [u N(v)] l 0 0 u ( EA v ) dx = 0 (2.8) entsteht aus der ersten Greenschen Identität durch eine einfache Symmetrieoperation B(u, v) = G(u, v) G(v, u) = 0 0 = 0. (2.9) Sie ist die Grundlage des Satzes von Betti B(u, v) = W 1,2 W 2,1 = 0. (2.10) Der Satz von Betti besagt, dass die reziproken äußeren Arbeiten zweier Systeme, die im Gleichgewicht sind, gleich groß sind. Dieser Satz ermöglicht die Formulierung der Einflussfunktionen. 5

13 2 Theoretische Grundlagen 2.2 Greensche Funktionen Eine Einflusslinie ist eine Funktion, die die Auswirkung einer Belastung auf eine zu untersuchende Schnittgröße an einer bestimmten Stelle (dem Aufpunkt) angibt. An Hand dieser Funktion kann man erkennen, wie groß der Einfluss der Belastung auf eine bestimmte Schnittgröße ist. Die Einflussfunktionen werden erzeugt, indem man im Aufpunkt eine entsprechende 1-Verformung bzw. -Belastung aufbringt. Die daraus resultierende Verformungsfigur des Tragwerkes entspricht der oder ist die gesuchte Einflusslinie. Die Einflussfunktion gibt an, in welchem Verhältnis die resultierende Schnittgröße zu der aufgebrachten Belastung steht, und es lässt sich daran ablesen, wie gut ein Tragwerkskonzept umgesetzt worden ist. Einflusslinien sind also unter anderem auch ein hilfreiches Werkzeug zur Beurteilung des statischen Systems. Für die Generierung einer Einflussfunktion bedarf es, je nach der betrachteten Schnittgröße, einer anderen Punktlast. Diese Puntlasten sind in der Tabelle 2.1 zusammengestellt. Um die Einflusslinie (EL) für die Durchbiegung im Aufpunkt zu bestimmen, muss man das Tragwerk mit der Einzellast F = 1 im Aufpunkt belasten. Analog gilt, dass man zur Erzeugung der Einflussfunktion für die Verdrehung w im Aufpunkt, ein Moment M = 1 im Aufpunkt wirken lässt. Für die restlichen Arten von Einflussfunktionen ist das Vorgehen analog. Zur Bestimmung der Einlfussfunktion für M(x) wird ein Knick 1 im Aufpunkt generiert und zur Erzeugung der Einflusslinie für die Querkraft V (x) ein Versatz von 1. An dieser Stelle ist es sinnvoll das Dirac-Delta δ i (y x) einzuführen. Das Dirac- Betrachtete Größe Belastung Dirac-Delta Greensche Funktion w Einzellast F = 1 δ 0 G 0 w Moment M = 1 δ 1 G 1 w = M Knick 1 δ 2 G 2 w = V Versatz 1 δ 3 G 3 Tabelle 2.1: Einflusslinien 6

14 2.2 Greensche Funktionen Delta ist eine Funktion, mit der man eine Belastung beschreiben kann, die nur an einer bestimmten Stelle den Wert 1 aufweist, und an allen anderen Stellen den Wert 0. Mit dem Dirac-Delta kann man in einheitlicher Form die Lasten darstellen, die zur Erzeugung der Einflussfunktionen nötig sind. Der Index i dient zur Unterscheidung der verschiedenen Punktlasten, Kraft, Moment, Knick und Versatz, die die Einflussfunktionen generieren. Formelmäßig wird das Dirac-Delta δ 0 folgendermaßen definiert: 0 δ 0 (y x)dy = 1 für x (0, l) (2.11) δ 0 (y x) = 0 für x y. (2.12) Überlagert man das Dirac-Delta δ 0 (y x) mit einer beliebigen Funktion 0 δ 0 (y x)f(y)dy = f(x), (2.13) so erhält man den Wert der Funktion an der Stelle x. Die unterschiedlichen Dirac Deltas, i = 0, 1, 2, 3, sind nun in ihren Aktionen wie folgt definiert: Einzelkraft F = 1: Moment M = 1: 0 0 δ 0 (y x)w(y)dy = w(x) (2.14) δ 1 (y x)w(y)dy = w (x) (2.15) Knick der Größe 1: 0 δ 2 (y x)w(y)dy = EI w (x) = M(x) (2.16) Versatz der Größe 1: 0 δ 3 (y x)w(y)dy = EI w (x) = V (x) (2.17) 7

15 2 Theoretische Grundlagen Bringt man daher diese Dirac Deltas als Belastung auf ein Tragwerk auf, so sind nach dem Satz von Betti die zugehörigen Biegelinien die Einflussfunktionen für die jeweilige Größe. Ein Knick der Größe 1 bedeutet, dass die Summe der Tangentenneigungen, tan(ϕ 1 )+ tan(ϕ 2 ), links und rechts vom Aufpunkt den Wert 1 hat. Beim Stab gibt es nur zwei Größen: Einzelkraft F = 1: Versatz 1: 0 0 δ 0 (y, x)u(y)dy = u(x) (2.18) δ 1 (y, x)u(y)dy = N(x) (2.19) Analog werden die Einflusslinien für die Kraft- und Weggrößen einer schubstarren Platte bestimmt: Einzelkraft F = 1: Moment m xx = 1: Moment m yy = 1: Moment m xy = 1: Knick in x-richtung: Knick in y-richtung: δ 0 (y, x)w(y)dω = w(x) (2.20) δ 1 (y, x)w(y)dω = w,x (x) (2.21) δ 1 (y, x)w(y)dω = w,y (x) (2.22) δ 1 (y, x)w(y)dω = w,xy (x) (2.23) δ 2 (y, x)w(y)dω = m xx (x) (2.24) δ 2 (y, x)w(y)dω = m yy (x) (2.25) 8

16 2.2 Greensche Funktionen Knick: Versatz in x-richtung: Versatz in y-richtung: δ 2 (y, x)w(y)dω = m xy (x) (2.26) δ 3 (y, x)w(y)dω = q x (x) (2.27) δ 3 (y, x)w(y)dω = q y (x) (2.28) Und für die Scheiben: Einzelkraft F = 1: Versatz 1: 0 0 δ 0 (y, x)u(y)dω = u(x) (2.29) δ 1 (y, x)w(y)dω = σ(x) (2.30) Durch das Aufbringen der oben beschriebenen Belastungen entstehen die Einflussfunktionen, oder die Greensche Funktionen, für die gesuchten Schnittgrößen. Man könnte annehmen, dass die Einflussfunktionen immer abklingen. Bei guten Konstruktionen des Tragwerks ist dies sicherlich der Fall, es gibt jedoch auch Ausnahmen, wie die folgenden Bilder (2.1 und 2.2) zeigen. In diesen Bildern sieht man, dass bei schlecht konzipierten Tragwerken die Einflussfunktionen nicht nur nicht abklingen, sondern sogar ins Unendliche gehen. Das bedeutet, dass wenn die Last in dem Punkt steht, wo die Einflussfunktionen einen großen Wert aufweist, die Schnittgröße, für die die Einflussfunktion gebildet wurde auch ins Unendliche gehen. Als Folge wird das Tragwerk auch bei geringer Belastung versagen. 9

17 2 Theoretische Grundlagen Abbildung 2.1: Einflusslinie für die Normalkraft Abbildung 2.2: Einflusslinie für das Moment 10

18 2.2 Greensche Funktionen Herleitung Basierend auf den Einflussfunktionen/Greenschen Funktionen wurde das Verfahren zur Sensitivitätsanalyse entwickelt. Mit diesem Verfahren kann man die Änderungen der Schnittgrößen im Tragwerk bestimmen, die aus einer Schwächung des Systems hervorgehen. Nach dem Satz von Betti würde die Änderung des Momentes folgendermaßen bestimmt werden: J c (x) J(x) = [G c i(y, x) G i (y, x)]p(y)dy (2.31) Mit c - changed system, J - die gesuchte Schnittgröße bzw. ein Funktional für diese, und G i die entsprechende Greensche Funktion. Bei diesem Ansatz müsste man jedoch über alle belastete Tragwerkselemente integrieren, beim Lastfall Eigengewicht sogar über das ganze Tragwerk. Ein weiterer Nachteil ist, dass man die Werte aus dem geänderten System braucht. Somit weist sich diese Vorgehensweise als nicht ganz geeignet, weil man das veränderte System trotzdem modellieren muss, und es ist einfacher sofort die neuen Werte zu berechnen, als sich des Verfahrens zu bedienen. Alternativer Ansatz ist die schwache Formulierung. Man definiert das Ausgangsproblem: o EIw v dx = o pvdx (2.32) Daraus bildet man ein modifiziertes Problem: o x2 EIw c v dx + EIw c v dx = x 1 o pvdx (2.33) Hierbei ist der Intervall x 1 bis x 2 der Bereich des geänderten EI. Man sieht deutlich, dass der Unterschied nur in dem Term x2 x 1 EIw c v dx (2.34) 11

19 2 Theoretische Grundlagen liegt. Dieser ist gleich d(u, v). Somit: a(u c, v) + d(u c, v) = (p, v) (2.35) Weiterhin definiert man den Unterschied in der Verformung: e u = u c u (2.36) Daraus folgt dann: J(e u ) = J(u c ) J(u) (2.37) Dies sei der Unterschied in den Schnittgrößen. Hierbei ist J(.) die betrachtete Schnittgröße. Wenn man jetzt von dem Ausgangsproblem, Gleichung 2.32, das modifizierte Problem, Gleichung 2.33, abzieht, bekommt man den Ausdruck: a(e u, v) = d(u c, v) (2.38) Und nach dem Einsetzen von der Greenschen Funktion G i für die Verformungsfigur v erhält man den Ausdruck: J(e u ) = a(e u, G) = d(u c, G) (2.39) Hierbei sind immer noch die Werte aus beiden Systemen notwendig, obwohl man nicht mehr über das ganze System integrieren muss, wie bei dem Ansatz nach Betti. Daher, um die Veränderung in den Schnittgrößen zu bestimmen, wird eine Vereinfachung bzw. Näherung eingeführt. Man definiert ein Ausgangsproblem: a(g, v) = J(v) (2.40) 12

20 2.2 Greensche Funktionen Daraus folgt dann mit der Verknüpfung an die Gl. 2.39: J(e u ) = d(u, G c ) = d(u, G) d(u, G c G) (2.41) Vernachlässigt man den zweiten Term, so bekommt man den Ausdruck: J(e u ) d(u, G) (2.42) Das ist die zentrale Gleichung der Sensitivitätsanalyse, mit der man die Änderung der Schnittgrößen abschätzen kann. Der große Vorteil dieser Näherungsformel ist, dass hier nur die Werte aus dem ursprünglichen System notwendig sind. Es gibt auch einen anderen Weg diese Formel herzuleiten. Dieser basiert auf dem Prinzip der Gleichheit der virtuellen inneren und äußeren Arbeiten. Ist ein Tragwerk im Gleichgewicht, dann sind für jede virtuelle Verrückung die virtuellen äußeren Arbeiten gleich den virtuellen inneren Arbeiten δa a = δa i. (2.43) Dies gilt auch für das modifizierte, das geänderte Tragwerk δa c a = δa c i c = change. (2.44) Nachdem sich aber die Belastung nicht ändert, müssen bei gleicher virtueller Verrückung der beiden Tragwerke die virtuellen äußeren Arbeiten gleich groß sein, da sich die Belastung nicht ändert, δa a = δa c a, (2.45) und wegen des Prinzips der virtuellen Verrückungen, müssen daher auch die virtuellen inneren Arbeiten gleich groß sein δa i = δa a = δa c a = δa i. (2.46) 13

21 2 Theoretische Grundlagen Wir wollen im Folgenden diese Überlegungen benutzen, um die Änderung der Durchbiegung bei einem Zweifeldträger zu berechnen. Das Prinzip der virtuellen Verrückungen für diesen Träger lautet δa i = 0 EI w δw dx = 0 p δw dx = δa a. (2.47) Wenn sich nun in einem Intervall [x 1, x 2 ], die Steifigkeit des Trägers ändert, EI EI + EI, dann lautet das Prinzip der virtuellen Verrückung δa c i = 0 x2 EI w c δw dx + EI w c δw dx = x 1 0 p δw dx = δa c a. (2.48) Hierbei ist w c die Biegelinie an dem modifizierten Träger. Man beachte, dass durch die Modifikation der Steifigkeit, sich die virtuelle innere Energie um einen additiven Term ändert. Wir wählen nun eine ganz spezielle virtuelle Verrückung, nämlich die Biegelinie, die sich unter der Wirkung einer Einzelkraft P = 1 einstellt, die im Punkt x des ursprünglichen Trägers angreift. Wir bezeichnen diese virtuelle Verrückung mit G, wie die Greensche Funktion (= Einflussfunktion). In diesem Fall lautet das Prinzip der virtuellen Verrückung am ursprünglichen Träger δa i = 0 EI w G dx = 0 p G dx = δa a. (2.49) Nun ist aber die linke Seite dieser Gleichung gleich der Mohr schen Arbeitsgleichung, was heißt die linke Seite dieser Gleichung liefert die Durchbiegung w(x) im Punkt x δa i = w(x) = 0 EI w G dx = 0 M M G EI dx = 0 p G dx. (2.50) Am modifizierten Träger ergibt sich mit der Substitution δw G das Ergebnis δa c i = 0 x2 EI w c G dx + EI w c G dx = x 1 0 p G dx = δa c a. (2.51) 14

22 2.2 Greensche Funktionen Wegen w c (x) = 0 EI w c G M c M G dx = dx (2.52) 0 EI und wegen δa c a = δa a = δa i können wir dafür auch schreiben oder x2 w c (x) + x 1 EI w c G dx = w(x) (2.53) x2 w c (x) w(x) = x 1 EI w c G dx. (2.54) Das Integral auf der rechten Seite erstreckt sich nur über den Bereich des Tragwerks, in dem sich die Streitigkeiten ändern. Anders gesagt, wir können allein durch Integration über dem modifizierten Bereich voraussagen, wie sich die Durchbiegung im Punkt x ändert, wenn sich in einem Teil des Tragwerks die Steifigkeit ändert. Mit dieser Technik lassen sich auch alle anderen Änderungen, die Änderungen der Momente, Querkräfte, Lagerkräfte, etc. berechnen. Man muss nur die entsprechende Einflussfunktion als virtuelle Verrückung wählen. Bei näherer Betrachtung hat die Formel 2.54 aber noch einen Nachteil, denn um die Änderung in der Durchbiegung zu berechnen, muss man die Durchbiegung w c kennen, weil man ja die Momente aus w c mit den Momenten aus der Greenschen Funktion überlagern muss, um die Änderung in der Durchbiegung zu berechnen. Aber wenn man w c hat, dann braucht man die Formel nicht mehr. Die Idee ist naheliegend die Biegelinie w c durch die Biegelinie w anzunähern, oder genauer, anzunehmen, dass die Differenz w c w in Intervall [x 1, x 2 ] orthogonal zu 15

23 2 Theoretische Grundlagen den Krümmungen G der Einflussfunktion ist, denn dann folgt x2 w c (x) w(x) = EI w c G dx x 1 = x2 EI (w c w) G dx x 1 x2 x2 x 1 EI w G dx x 1 EI w G dx. (2.55) In dieser Formel stammen also beide Biegelinien, w und G von dem ursprünglichen Tragwerk. Mit ihr kann man prognostizieren, welchen Einfluss Steifigkeitsänderungen auf die Verformungen, die Schnittkräfte und die Lagerkräfte eines Tragwerks haben werden. Wie man sieht, kommt man mit beiden Wegen zum gleichen Ergebnis, obwohl die Herleitungen auf unterschiedlichen Prinzipien beruhen. 16

24 3 Sensitivitätsanalyse In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Sensitivitätsanalyse erklärt. Zunächst wird der klassische Ansatz erläutert und im Anschluß die Modifikationen eingeführt, die die Anwendung der Sensitivitätsanalyse erleichtern und die Ergbebnisse der Auswertung verbessern. Die Anwendung von der Sensitivitätsanalyse erweist sich als sehr unkompliziert. Bei der Herleitung ist deutlich geworden, dass man nur wenige Größen zur Berechnung braucht. Man sollte beachten, dass hier ein wesentlicher Unterschied zur klassischen Handhabung von den Einflussfunktionen besteht. Man benutzt für die nachfolgenden Rechnungen nicht die Einflusslinie selbst, sondern die Kräfte, die daraus resultieren. 3.1 Klassischer Ansatz Es gilt, dass jede Änderung der Schnittgrößen auch eine Änderung in der Dirac- Energie bedeutet. Dies lässt sich folgendermaßen ausdrücken: J(u) 1 = Dirac Energie = x2 x 1 G i (y, x)p(y)dy (3.1) Also erfolgt die weitere Berechnung über die Änderung der Energie. Die Vorgehensweise bei der Sensitivitätsanalyse verläuft nach dem folgenden Schema. Allgemein gilt: Um die Änderung einer Schnittgröße zu bestimmen, überlagert man die Schnittgrößen aus dem Lastfall und aus der Einflussfunktion über den Be- 17

25 3 Sensitivitätsanalyse reich der geänderten Steifigkeit. Welche Schnittgröße zu benutzen ist, kann man folgendermaßen festlegen: Bei den hauptsächlich auf Biegung (z.b. Platten, Balken) belasteten Tragwerkselementen sind die Momente zu überlagern, und bei den Elementen, die auf Druck (z.b. Scheiben, Pendelstützen) belastet sind, überlagert man die Normalkräfte. Nun folgt eine Beschreibung der Vorgehensweise bei der Sensitivitätsanalyse für unterschiedliche Bauteile, in denen eine Steifigkeitsänderung angenommen wird. Balken Für die Bestimmung der Schnittgrößenänderung bedarf es nur weniger Werte, und sie alle können dem Ausgangssystem entnommen werden. Die Berechnung erfolgt durch die Überlagerung der Momente aus dem originalen Lastfall und der entsprechenden Green schen Funktion über den Bereich mit der geänderten Steifigkeit nach der Formel: x2 i w c (x) i EI (x) x 1 EI MM i dx (3.2) EI Dabei ist i w c (x) i (x) die Änderung der untersuchten Schnittgröße. EI ist die Steifigkeitsänderung, die im Intervall [x 1, x 2 ] untersucht wird, und EI ist die Steifigkeit am originalen System. Im Einzelnen bedeutet das angewandt auf die jeweiligen Schnittgrößen: x2 EI w = w c w x 1 EI x2 w (x) = w c w EI x 1 EI x2 EI M = M c M x 1 EI x2 EI V = V c V x 1 EI MM 0 dx (3.3) EI MM 1 dx (3.4) EI MM 2 dx (3.5) EI MM 3 dx (3.6) EI 18

26 3.1 Klassischer Ansatz Auflager Änderung der Steifigkeit: Möchte man untersuchen, wie sich die Schnittgrößen ändern, wenn die Steifigkeit des Auflagers sich ändert, benutzt man die folgende Formel: i w c (x) i w(x) k G i (l, x) w(l) (3.7) Dabei ist k die Steifigkeitsänderung des Auflagers, G i (l, x) ist die Durchbiegung an der zu untersuchenden Stelle x aufgrund der Belastung δ i und w(l) ist die Durchbiegung im Auflager mit der geänderten Steifigkeit aus dem Lastfall. Ausfall des Auflagers: Für den Fall, dass man die Änderungen der inneren Schnittgrößen bei dem Ausfall eines Lagers bestimmen möchte, kann man die Formel i w c (x) i w(x) = R G R p 1 k s (3.8) benutzen. Dabei ist R G die Auflagerreaktion aus der Green schen Funktion, R p ist die Auflagerreaktion aus dem Lastfall und k S ist die Steifigkeit des Systems in die Wirkungsrichtung des ausgefallenen Auflagers. Steifigkeit des Lagers von dem unendlichen auf einen endlichen Wert: Falls die Steifigkeit eines Auflagers sich von dem unendlichen auf einen endlichen Wert abmindert, kann man die Änderungen im System mit folgender Formel bestimmen: i w c (x) i w(x) = R G R p 1 k (3.9) Die Bedeutung der Zeichen ist die gleiche, wie auch bei der vorherigen Formel, wobei k die Reststeifigkeit des Auflagers ist. 19

27 3 Sensitivitätsanalyse Rahmen Ausfall eines Elementes Für den Fall des Ausfalls eines Rahmenelementes, kann man dessen Auswirkung mit der folgenden Formel berechnen: i w c (x) i w(x) = x 2 EIw c G i dy x 1 (3.10) Hiermit bestimmt man die Änderung einer Schnittgröße an der Stelle x. Dabei ist w c die Verformungsfigur des Elementes beim vollständigen Verlust der Steifigkeit und G i ist die Einflussfunktion für die betrachtete Größe an der Stelle x. Die Überlagerung erfolgt über den gesamten Bereich des ausgefallenen Elementes. Scheiben Wenn man die Auswirkungen der Steifigkeitsänderung in einem Scheibenelement untersuchen möchte, funktioniert das sehr ähnlich. Man überlagert die Spannungen aus dem Lastfall mit den Dehnungen aus der Green schen Funktion über den Bereich der veränderten Steifigkeit. i w c (x) i w(x) E E σij LF Ω e ε G i ij dω (3.11) Dabei ist E das E-Modul des Betons und E die Änderung, deren Auswirkungen untersucht werden sollen. Hierbei ist zu beachten, dass sowohl die Spannungen σ ij aus dem Lastfall mit den Dehnungen ε ij aus der Einflussfunktion, als auch andersrum überlagert werden können. Beide Möglichkeiten liefern das gleiche Ergebnis. Diese Formel kann man jedoch etwas modifizieren, und somit die Handhabung vereinfachen. Anstatt das Integral zu lösen, bestimmt man das Näherungsergebnis mit 20

28 3.1 Klassischer Ansatz der Summe: E E [ (σ 11 ε σ 12 ε 12 + σ 22 ε 22 )] A Ωe (3.12) Es ist noch eine weitere Vereinfachung möglich, indem man die Spannungen und Verformungen durch die Normalkräfte ersetzt. Dadurch kommt man zum folgenden Ausdruck: E E [ 1 Ed 2 (n LF 11 n G n LF 12 n G 12 + n LF 22 n G 22)] A Ωe (3.13) Platten Die Untersuchung des Steifigkeitsabfalls in den Plattenelementen erfolgt nach dem gleichen Prinzip. Man überlagert über den geänderten Bereich die Spannungen und die Verzerrungen. i w c (x) i w(x) K K m LF ij Ω e κ G i ij dω (3.14) Dabei ist K die Steifigkeit der Platte, K die Änderung in dieser, m ij sind die Momente und κ ij die Krümmungen in den Elementen. G i ist die Einflussfunktion für die Größe, derer Änderung man bestimmen möchte. Hier ist die bei Scheiben gezeigte Vereinfachung jedenfalls sinnvoll, da der Rechenaufwand um einiges vermindert wird. Man berechnet nicht das Integral, sondern die Summe der Produkte in jedem Element: K K [ (m 11 κ m 12 κ 12 + m 22 κ 22 )] A Ωe (3.15) Auch bei den Platten gilt: Es ist nicht von Bedeutung, ob man die Momente aus dem Lastfall und die Verzerrungen aus der Green schen Funktion nimmt, oder umgekehrt. 21

29 3 Sensitivitätsanalyse Da es sich um die Arbeit handelt, bleibt das Ergebnis gleich. Es gibt die Möglichkeit die Formel etwas anders darzustellen. Geht man davon aus, dass κ ij = M ij K, so bekommt man den folgenden Ausdruck: i w c (x) i w(x) K K 2 [ (m LF 11 m G m LF 12 m G 12 + m LF 22 m G 22)] A Ωe (3.16) Wie man sieht, ist die Änderung einer Schnittgröße von drei Faktoren abhängig: Steifigkeitsabfall ( EI), und den Momenten bzw. Normalkräften aus dem Lastfall und der Einflusslinie. Das hat zur Folge, dass sich aus einer geringen Steifigkeitsänderung nur ein kleiner Unterschied in der betrachteten Weg- oder Kraftgröße ergibt. Die Momente oder Normalkräfte werden miteinander über den geänderten Bereich überlagert, sollte jedoch in einem der Lastfälle diese gering sein, so ist auch die Änderung klein. Es kann auch vorkommen, dass nach der Überlagerung diese sich aufheben und das Ergebnis Null wird. Diese Aspekte sind bei der Anwendung der Sensitivitätsanalyse auf jeden Fall zu beachten Modifikation Bei der praktischen Anwendung des oben beschriebenen Verfahrens ist ein erheblicher Nachteil aufgetreten. Es ist sehr oft der Fall, dass man mehrere Schnittgrößenänderungen für eine Systemschwächung bestimmen will. Dazu sind dann soviele Einflussfunktionen erforderlich, wie man der Schnittgrößen und Stellen auswerten will. Bei größeren Tragwerken ist man schnell im zweistelligen Bereich bei jeder zu betrachtenden Systemschwächung. Außerdem erfordert dieses Verfahren eine gründliche Analyse des Tragwerks, um die Stellen zu finden, die man untersuchen will. Es wäre also wünschenswert mit möglichst wenigen Einflussfunktionen, und somit auch Rechenschritten, alle erforderlichen Stellen auszuwerten. Dazu bieten sich zwei Varianten, die die Auswertung vereinfachen würden. Zum einen kann man sofort 22

30 Modifikation das geschwächte System modellieren, oder man bedient sich der Modifikation des klassischen Ansatzes. Die Idee ist eine Einflussfunktion für die Einflussfunktionen aufzustellen. Wenn man z.b. die Auflagerkraft für alle möglichen Positionen einer Belastung bestimmen kann, warum kann man das nicht mit der wandernden Einflussfunktion machen diese wird ja auch durch eine Belastung definiert. Nach diesem Prinzip also, kann man die Einflussfunktion nicht an der Stelle aufstellen, an der die Änderung zu untersuchen ist, sondern an der Stelle, die geschwächt wird. Somit hat man den Wert aus jeder Einflussfunktion an der gesuchten Stelle. Diese Vorgehensweise entspricht dem üblichen Ansatz bei den Green schen Funktionen: z.b. spreizt man den Auflager um eine Einheit, gibt die Verformungsfigur (Einflussfunktion) den Wert der Auflagerkraft für jede einzelne Stelle der Kraft. Hierbei ist es nichts anderes. Die Begründung für diese Herangehensweise liefern der Satz von Betti und das Maxwell Theorem. Diese besagen, dass das Produkt der Verschiebung im Punkt 2 aus der Kraft im Punkt 1 und der Kraft im Punkt 1 gleich dem Produkt der Verschiebung im Punkt 1 aus der Kraft im Punkt 2 und der Kraft im Punkt 2 ist: P 1 u 2 = P 2 u 1. (3.17) Analog gilt das auch für die Einflussfunktionen. Der Wert aus der Einflussfunktion im Punkt 1 an der Stelle 2 ist gleich dem Wert aus der Einflussfunktion im Punkt 2 an der Stelle 1. Für die Sensitivitätsanalyse heißt das folgendes: J i (G j [y])(x) = J j (G i [x])(y). (3.18) Wendet man dies auf die Formel für die Bestimmung der Auswirkungen einer Schwächung z.b. einer Pendelstütze J i (e)(x) d(u, G c ) E E x2 x 1 N(y) N(G i [x])(y) EA c dy, (3.19) 23

31 3 Sensitivitätsanalyse wobei i ist die Schnittgröße, deren Änderung man untersuchen will. Also kommt man zum folgenden Ergebnis. Um den Einfluss einer Schwächung auf mehrere Schnittgrößen mittels Sensitivitätsanalyse zu bestimmen, bildet man eine Einflussfunktion im geschwächten Bereich, und liest den Wert an der interessierenden Stelle ab. Diesen überlagert man mit der Schnittgröße im geschwächten Bereich aus der Belastung Modifikation Betrachten wir z.b. die Näherungsformel für die Auswirkung der Schwächung in einer Pendelstütze: J i (e)(x) d(u, G c ) = E E x2 x 1 N(y) N(G i [x])(y) EA c dy. (3.20) Die Abweichung zu dem exakten Ergebnis liegt nur in einem Wert N(G i [x])(y), oder allgemeiner J i (G N [y])(x). Dieser muss nämlich nicht am Ausgangssystem, sondern am veränderten System bestimmt werden. Nun stellt sich die Frage, ob man die Einflussfunktion des geschwächten Systems am ursprünglichen System abbilden kann. Dazu betrachten wir ein einfaches Beispie, siehe Bild 3.1. Es handelt sich um einen Balken, beidseitig eingespannt, der im Feld durch eine Pendelstütze gestützt wird. Es wird angenommen, dass die Steifigkeit der Pendelstütze E E + E verändert wird. An diesem System soll untersucht werden, ob man mit der Formel der Sensitivitätsanalyse auch exakte Ergebnisse erzielen kann, ohne das geschwächte System zu modellieren. Die Frage, die man dabei stellen muss, ist, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Wert J i und Ji c, also zwischen dem genauen und genäherten Wert, gibt. Um Abbildung 3.1: Systemdarstellung 24

32 Modifikation dies herauszufinden studieren wir, wie dieser Wert entsteht. Um die Einflussfunktion für die Normalkraft in der Stütze zu bilden, muss man die 1 -Spreizung erzeugen. Diese kann man mit zwei Knotenkräften, die ± EA l groß sind, abbilden. Da die Stütze unten fest gelagert ist, ist die Verschiebung nur oben, im Anschluss an den Balken vorhanden. Diese hat jedoch nicht den Wert 1, sondern ist geringer. Das liegt daran, dass der Kraft EA l nicht nur die Steifigkeit der Stütze k St, sondern auch die Steifigkeit des Balkens k B entgegenwirkt. Bezeichnet man die 1 -Verschiebung als u 1, so erhält man den folgenden Ausdruck: k St u 1 = f 1. (3.21) In diesem Fall ist f 1 die erforderliche Kraft, um eine 1 -Spreizung zu erzielen. Beim vorliegenden Beispiel ist diese gleich EA l. Aus dieser Kraft f 1 resultiert jedoch eine unbekannte Verschiebung im u G am Gesamtsystem. Diese kann man wie folgt ausdrücken: k G u G = f 1. (3.22) Wie man sieht, ist die rechte Seite gleich, so setzen wir auch die beiden Gleichungen gleich: k St u 1 = f 1 = k G u G. (3.23) Löst man die Gleichung nach der unbekannten u G auf, so erhält man: u G = u 1 kst k G. (3.24) Man sieht, dass die Verschiebung am Gesamtsystem linear von der Steifigkeit der Stütze abhängt. Somit kann man daraus folgern, wie die Verschiebung aussieht, wenn man die Steifigkeit der Stütze um einen Wert k verändert. k Stc = k St + k (3.25) k Gc = k G + k (3.26) 25

33 3 Sensitivitätsanalyse Mit diesen Steifigkeiten folgt: u Gc = u 1 kst c k Gc = u G kg k St kst c k Gc (3.27) Mit Hilfe dieser Formel kann man die genauen Ergebnisse für die Verformungsfigur aus der Einflussfunktion bestimmen, auch wenn diese nicht am geschwächten, sondern am Ausgangssytem erzeugt wurden. Die veränderte Formel sieht dann wie folgt aus: J i (e)(x) d(u, G c ) = E E x2 x 1 N(y) u G k G k St kstc k Gc N(G i [x])(y) dy. (3.28) EA c 26

34 4 Progressiver Kollaps Die Idee von dem progressiven Kollaps ist die Findung eines neuen Gleichgewichts im geschwächten System. Man nimmt an, dass an der Stelle eine Systemänderung stattfindet, dann wird mittels des Verfahrens der Sensitivitätsanalyse die Stelle gefunden, an der die Auswirkungen des ersten Fehlers die größten sind, und an dieser Stelle wird dann eine weitere Schwächung eingeführt. Dies macht man solange sich ein neuer Gleichgewichtszustand eingestellt hat, oder das System kollabiert. Systematische Vorgehensweise kann in Einzelschritten wie folgt dargestellt werden: 1. Findung von kritischen Elementen anhand von Energiebetrachtung, Ausnutzungsgrad und versteckten Kinematiken 2. Gegenfalls eine Vervollständigung oder Änderung von kritischen Elementen 3. Auswahl eines Fehlers, dessen Auswirkungen zu untersuchen sind 4. Bildung der Einflussfunktion für die betrachtete Systemänderung 5. Bestimmung der Schnittgrößenänderungen mit der Methode der Sensitivitätsanalyse mit den Einflussfunktionen 6. Überprüfung, ob die berechneten Änderungen maßgeblich für das Tragwerk sind 7. Modellierung des neuen Systems mit dem Fehler 8. Kontrolle, ob das System verschieblich ist 27

35 4 Progressiver Kollaps Abbildung 4.1: Rahmen, Systemdarstellung 9. Erneute Untersuchung, wie in den Punkten 4. bis 8. Das Abbruchkriterium ist die Verschieblichkeit des Tragwerks. Diese Vorgehensweise wurde an einem Rahmentragwerk (siehe Bild 4.1) angewandt und überprüft. Der Rahmen besteht aus gleichartigen Stahlquerschnitten HEB200 aus Stahl S235 und hat die Höhe und Breite von jeweils 8 m. Das System wird durch eine Streckenlast von 10 kn/m belastet. Aus der Belastung durch die Streckenlast ergibt sich ein Momentenverlauf, wie es im Bild 4.2 dargestellt ist. Eine große Biegebeanspruchung ist in der Mitte des belasteten Elementes zu sehen. Es wird angenommen, dass dieser Balken geschwächt wird. Nun bildet man die Einflussfunktion für das Biegemoment M y an dieser Stelle. 28

36 Abbildung 4.2: Rahmen, Biegemomente M y aus der Linienlast 29

37 4 Progressiver Kollaps Abbildung 4.3: Rahmen, Biegemomente M y aus der Einflussfunktion 30

38 Abbildung 4.4: Rahmen, Biegemomente M y am geschwächten System aus der Belastung 31

39 4 Progressiver Kollaps Abbildung 4.5: Rahmen, Biegemomente M y am geschwächten System aus der Einflussfunktion 32

40 Daraus resultiert ein Momentenverlauf, der dem Bild 4.3 entnommen werden kann. Aus den Verläufen wird ersichtlich, dass sowohl aus der Belastung als auch aus der Einflussfunktion das Biegemoment in Knoten N03 den maximalen Betrag aufweist. Daher wird angenommen, dass sich an dieser Stelle ein Gelenk bildet. Das neue, veränderte System wird modelliert und berechnet. Der Momentenverlauf aus der Linienlast hat nun einen anderen Verlauf (siehe Bild 4.4). Nun wird wieder eine Einflussfunktion gebildet, aus der gewisse Schnittgrößen resultieren. Diese sind im Bild 4.5 dargestellt. Aus den beiden Darstellungen wird ersichtlich, dass die nächste Änderung im System im Knoten N04 stattfinden wird, da dort die Biegemomente sowohl aus der Einflussfunktion, als auch aus der Belastung groß sind. Daraus folgt, dass an dieser Stelle die nächste Schwächung zu modellieren ist. Von der weiteren Analyse wird jedoch abgesehen, da ein weiterer Momentengelenk im Knoten N04 das System statisch bestimmt macht. Das bedeutet, dass aus der Einflussfunktion keine Kräfte resultieren und somit ist die weitere Auswertung nicht möglich. Jeder weitere Fehler würde zum Komplettversagen des Systems führen. 33

41 4 Progressiver Kollaps 34

42 5 Tragwerk-FMEA In diesem Kapitel wird die Fehlermöglichkeits- und einflussanalyse (FMEA) kurz vorgestellt. Das Ziel einer Tragwerks-FMEA (später einfach FMEA) ist es, die Qualität von Bauprojekten sicherzustellen. Diverse Normungen und Richtlinien regeln die Lastannahmen, Berechnung der Schnittgrößen und Bemessung eines Tragwerks. Alle Festigkeiten von Baustoffen und ermittelte Belastungen werden mit Sicherheitsbeiwerten und -faktoren versehen, um den Ungenauigkeiten bei den Annahmen und Berechnungen entgegenzuwirken. Einige Aspekte der Planung und der Berechnung von Tragwerken werden jedoch durch diese Regelungen nicht abgedeckt. Diese können sein: fehlerhaftes Tragkonzept Fehler bei Berechungen oder bei der Eingabe in ein Berechnungsprogramm fehlerhafte Anwendung von Normen und Richtlinien Um diesen entgegenzuwirken bedarf es gesonderter Maßnahmen. Darunter fällt auch das sog. Vier-Augen-Prinzip die Prüfung der statischen Berechnungen und des Konzeptes durch einen qualifizierten Prüfingenieur. Dies erhöht sicherlich die Wahrscheinlichkeit diese Art von Fehlern aufzudecken, problematisch scheint jedoch das Fehlen von der allgemeingültigen Systematik bei derartigen Prüfungen. Stattdessen gehen die meisten Prüfer intuitiv vor und die Qualität der Prüfung hängt somit 35

43 5 Tragwerk-FMEA von der Erfahrung und Sorgfalt des jeweiligen Prüfers ab. Desweiteren fehlt die Möglichkeit den Umfang der Prüfung nachzuvollziehen. Eine weitere Schwierigkeit dieser Vorgehensweise stellt der Zeitpunkt dar, zu dem die Fehler durch den Prüfingenieur aufgedeckt werden, weil dann schon die gesamte Statik inklusive Konstruktionszeichnungen fertiggestellt wurde. Somit ist die Behebung der Fehler mit einem sehr großen Aufwand verbunden und ist außerdem zeitund kostenintensiv. Gerade hier soll die FMEA eingreifen. Es soll vermieden werden, dass Fehler entstehen, bzw. soll das Aufdecken von Fehlern gewährleistet werden. Dabei ist es wichtig, dass die Fehler möglichst frühzeitig entdeckt und korrigiert werden. Die FMEA bietet eine systematische Vorgehensweise, die die Kontrolle und Prüfung von statischen Berechnungen nicht nur standartisieren, sondern auch erleichtern soll. Zunächst soll durch verschiedene Kriterien der Umfang der FMEA bestimmt werden. Diese Kriterien sind die Konsequenzklasse und die Honorarzone. Anschließend wird die Tragwerk-FMEA zur Bestimmung des globalen Risikos durchgeführt. Danach erfolgt die Einstufung in eine Robustheitsklasse und die Festlegung der Maßnahmen zur Risikoreduzierung. Diese können korrektiv oder präventiv sein. Dann wird die Tragwerk-FMEA nochmals unter der Berücksichtigung der getroffenen Maßnahmen durchgeführt. Diese Schritte werden solange durchgeführt, bis eine zufriedenstellende Einstufung in die Robustheitsklasse erreicht ist. In dieser Arbeit wird ausschließlich auf die Methodik der Fehleranalyse in einem Tragwerk eingegangen. Hierbei wird das Tragwerk auf die Sensitivitäten durch eine Schwächung eines oder mehrerer Elemente untersucht. Dabei bedient man sich des Verfahrens der Sensitivitätsanalyse mit den Einflussfunktionen und der Vorgehensweise bei dem progressiven Kollaps. 36

44 6 Pergola 6.1 Systembeschreibung In diesem Kapitel wird das Verfahren der Sensitivitätsanalyse an dem Beispiel Pergola (siehe Bild 6.1) angewendet. Dabei handelt es sich um ein eingeschossiges Tragwerk. Bei der Dachkonstruktion handelt es sich um eine Holzbalkendecke aus Doppelstegplatten. Das Dach ist auf zwei Seiten auf den Wänden gelegert, die andere Seite liegt auf einem Unterzug, der wiederrum auf zwei Pendelstützen und eine Aussteifungsstütze aufliegt. Zur horizontalen Aussteifung dient ein Ringanker und die Aussteifungsstütze. Die Wände sind auf Streifenfundamenten gelagert und die Stützen auf Einzelfundamenten. Die Dachkonstruktion wird in Brettschichtholz mit dem Querschnitt 8/14 cm ausgeführt, die Pfetten haben einen Querschnitt 12/14 cm und die Pendelstützten sind ebenso aus Brettschichtholz mit einem Querschnitt 12/12 cm. Der Ringanker wird in Stahlbeton aus Beton C20/25 mit einem Querschnitt von 25/25 cm ausgeführt. 37

45 6 Pergola Abbildung 6.1: Pergola, Systemdarstellung 6.2 Analyse Bei diesem Beispiel wurde angenommen, dass die mittlere Stütze eine Schwächung von 90% erfährt. Zu untersuchen sind die Folgen dieser Systemänderung auf die Schnittgrößen im restlichen Tragwerk. Die Vorgehensweise ist dabei, wie im Kapitel Sensitivitätsanalyse beschrieben. Zunächst wird die Einflussfunktion für die Normalkraft in der Stütze gebildet. Es wird hier das Verfahren mit der 1. Modifikation verwendet. Dies bedeutet, dass man die Einflussfunktion an der geschwächten Stelle bildet, und nicht an der Stelle, an der die Änderung zu bestimmen ist. Die Einflussfunktion für die Normalkraft wird durch das Ansetzen zweier Kräfte gebildet. Die Kräfte betragen EA L und werden an dem Anfang und Ende der Stütze in die entgegengesetzte Richtungen angesetzt. f 1 = EA L = 0, 0144m kN/m2 2, 25m f 2 = EA L = kN/m2 0, 0144m 2 2, 25m = 64000kN (6.1) = 64000kN (6.2) 38

46 6.2 Analyse Abbildung 6.2: Einflussfunktion für die Normalkraft in der Stütze Daraus resultiert eine Verformung (siehe Bild 6.2) und die Schnittgrößen im System. Diese Kräfte überlagert man entsprechend der 1. Modifikation mir der Normalkraft in der geschwächten Stütze. Da die Normalkraft in der Pendelstütze konstant ist, reicht es, nur eine Einflussfunktion zu bilden. Die Überlagerung ist somit eine Multiplikation zweier Werte und der Länge der Stütze, da die Schwächung über die ganze Höhe der Stütze angenommen wurde. Die Schnittgrößenänderungen werden für die Maxima und Minima aus den Lastfällen Eigengewicht, Wind und Schnee und aus der Einflussfunktion bestimmt. Hierbei geht man von der Annahme aus, dass die maximalen Änderungen dort aufttreten, wo entweder aus der Überlagerung der Lastfälle (siehe Bild 6.3) oder aus der Einflussfunktion die Werte maximal sind. Die Sensitivitätsanalyse an diesem Beispiel erfolgt nach folgender Formel: J = E E NLF J(G N ) EA c l (6.3) 39

47 6 Pergola Abbildung 6.3: Verformungsfigur aus der Überlagerung der Lastfälle Setzt man die bakannten Werte in diese Formel ein, so bekommt man J = 0, 9 NLF J(G N ) , 25. (6.4) Es sind alle Werte bis auf J(G N ) und N LF konstant. N LF ist in diesem Fall veränderlich, da nicht nur ein Lastfall untersucht wurde, sondern eine Überlagerung von drei Lastfällen. Somit verändert sich die Normalkraft in der Stütze in Abhängigkeit von den verwendeten Lastfällen. J(G N ) ist eine beliebige Schnittgröße aus der Einflussfunktion und besagt, welches J an welcher Stelle bestimmt wird. Die Auswertung erfolgte mit Hilfe einer Excel-Tabelle. Man kann feststellen, dass die Ergebnisse sehr genau sind und die Abweichungen betragen ca. 2-3%. Einige Werte weichen etwas stärker ab, dies liegt jedoch nicht am Verfahren, sondern an der Numerik. Beispielsweise, wenn sowohl die Änderung als auch der Ausganswert sehr klein (<1,0) ist, sind die Abweichungen prozentual größer. Dies liegt vor allem daran, dass die Ausgabe aus dem Programm SOFiSTiK nur zwei Stellen nach dem Komma ausgibt. Die durch die Schwächung verursachte Änderungen im System sind sehr gering und 40

48 6.2 Analyse führen zu keinen weiteren Überbeanspruchungen oder Schwächungen im Tragwerk. Daher wird die Analyse dieses Modells nicht weiter durchgeführt. Dieses Beispiel hat jedoch gezeigt, dass das Verfahren der Sensitivitätsanalyse mit der 1. Modifikation verlässliche und genaue Ergebnisse liefert. Die Excel-Tabellen mit Auswertung der Daten, ebenso wie das FE-Modell sind auf den beiliegenden Datenträgern zu finden. 41

49 6 Pergola 42

50 7 Officebuilding 7.1 Systembeschreibung Bei diesem Beispiel handelt es sich um ein mehrstöckiges Gebäude aus Stahlbeton (siehe Bild 7.1). Alle Geschosse, bis auf das Erdgeschoss, sind gleich. Das Gebäude hat die Breite von 12 m, Länge von 34,4 m und ist 19,5 m hoch. Die Decken und Stützen, ebenso wie die Unterzüge, sind aus C20/25. Die Wände sind aus C30/37. Die Decken haben eine Dicke von 25 cm und sind durch Stützen mit zwei unterschiedlichen Querschnitten gestützt. Der vertikalen Aussteifung dienen ebenso zwei Wandscheiben und der Kern aus Wänden. Der letze übernimmt auch die horizontale Aussteifung des Tragwerks. Alle Anschlüsse, wie z.b. Decke-Wand oder Decke-Stütze, sind gelenkig ausgebildet worden. Das Erdgeschoss unterscheidet sich dadurch, dass es eine Höhe von 5,375 m statt 3,5 m aufweist. Des Weiteren gibt es im Erdgeschoss noch drei Unterzüge mit einer Höhe von 2,0 m und 1,5 m über den Stützenreihen. Als Belastung wirken auf das Tragwerk folgende Lastfälle ein: Eigengewicht, Ausbau, Schnee und Verkehrslasten. Diese werden bei der nachfolgenden Untersuchung jodoch nicht überlagert, sondern es wird eine Volllast angenommen und das System für diesen Fall berechnet. Die Änderungen der Schnittgrößen werden dadurch bestimmt, dass man die Ergebnisse aus der Einflussfunktion mit den Schnittgrößen aus der Belastung überlagert. Die Verformungsfigur, die aus den Lastfällen resultiert, ist im Bild 7.2 dargestellt. Dieses Tragwerk wird für vier verschiedene Schwächungen untersucht. In Abhän- 43

51 7 Officebuilding Abbildung 7.1: Officebuilding, System Abbildung 7.2: Officebuilding, Verformungsfigur aus dem Lastfall 44

52 7.1 Systembeschreibung gigkeit von den Auswirkungen dieser Systemänderungen wird entschieden, ob eine weitere Systemschwächung angesetzt und ausgewertet wird. Als erstes wird die Steifigkeitsänderung von der Pendelstütze im Erdgeschoss untersucht. Dann folgt die Auswertung der Änderungen aus der Schwächung des mittleren Unterzugs, ebenso im Erdgeschoss. Der dritte Ausgangsfehler ist eine Schwächung in der Wandscheibe und der vierte ist die Schwächung in der Decke des Erdgeschosses. Diese Fehler werden separat in den nachfolgenden Kapiteln behandelt. Die FE-Modelle und die Excel-Tabellen mit der Auswertung der Ergnisse sind auf den beiliegenden Datenträgern zu finden. 45

53 7 Officebuilding Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Als Ausgangsfehler wird eine Schwächung in der Pendelstütze im Erdgeschoss gewählt. Die Ausgangssteifigkeit der Stütze beträgt: EA = E C A C + E S A S = , , = , 43 Um eine 1-Spreizung und somit die Einflussfunktion für die Normalkraft in der Stütze zu erzeugen, werden an den Enden des Elementes die Kräfte f 1 = EA l , 43 = = , 127kN 5, 375 und f 2 = EA l = , 43 5, 375 = , 127kN angesetzt. Diese führen zu einer Verformung, die im Bild 7.3 dargestellt ist. Bei diesem Beispiel werden die 1. und die 2. Modifikationen angewandt. Die 1. Modifikation beinhaltet die Bildung der Einflussfunktion im geschwächten Bereich. Mit der 2. Modifikation kann man die Werte der Einflussfunktion korrigieren. Das Verfahren der Sensitivtätsanalyse ist insofern ungenau, dass die Einflussfunktion am Ausgangssystem und nicht an dem veränderten System generiert wird. Da die Berechnungen jedoch linear-elastisch sind, kann man davon ausgehen, dass das die Verformungen, und somit auch die Schnittgrößen aus der Einflussfunktion proportional zu der aufgebrachten Kraft sind, die die Einflussfunktion erzeugen. Dadurch hat man die Möglichkeit, durch die Anwendung des im Kapital Sensitivitätsanalyse beschriebenen Verfahrens die genäherten Werte der Einflussfunktion auf genaue Werten zu bringen. Dafür verwendet man die folgende Formel: u Gc = u G kg k St kst c k Gc (7.1) Ersetzt man u Gc und u G durch die Funktionale J Gc und J G, so kann man die exakten 46

54 Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Abbildung 7.3: Officebuilding, Verformungsfigur aus der Einflussfunktion für die Normalkraft Werte der Einflussfunktion bestimmen, indem man die interessierende Schnittgröße mit dem folgenden Faktror T multipliziert: T = k G k St kst c k Gc (7.2) Die Werte für die Steifigkeit der Stütze sowohl vor, als auch nach der Steifigkeitsänderung, sind bekannt: k St = , 43kN/m k Stc = , 908kN/m Unbekannt bleiben zunächst die Werte für die Steifigkeit des ungeschwächten Restund somit auch des Gesamtsystems. Man weiß jedoch, dass die Knotenverschiebung an der Stütze 1 m sein soll. Diese beträgt jedoch 0, m. Daraus kann man herleiten, dass an dieser Stelle und in diese Richtung die Steifigkeit der Stütze 83,5817% der Gesamtsteifigkeit beträgt. Somit kann man leicht die Steifigkeit des 47

55 7 Officebuilding Gesamtsystems bestimmen: k G = k St = , 486kN/m 0, Nun lässt sich auch die Steifigkeit des geschwächten Gesamtsystems bestimmen: k Gc = k G + k = k G + (k Stc k St ) = , 48 + (429943, , 43) = = , 964kN/m Da jetzt alle Größen bekannt sind, kann man den Faktor zur Korrektur bestimmen: T = , , , 908 = 0, , 964 Nun sind alle zur Auswertung benötigten Größen bekannt und man kann die Auswikungen der besagten Schwächung bestimmen. Diese erfolgt nach der schon bekannten Formel J = EA EA NLF T J(G N ) EA c l (7.3) Setzt man die Werte in diese Formel ein, so erhält man J = , , , , 6 0, 5586 J(G N) , 908 5, 375. Für das Funktional J(G N ) setzt man die Schnittgröße aus der Einflussfunktion, deren Änderung untersucht werden soll. Im Gegensatz zu dem vorherigen Beispiel Pergola, werden bei dem Officebuilding nicht nur ausgewählte minimale und maximale Werte betrachtet, sondern alle Schnittkräfte von allen Elementen im System. Die Auswertung erfolgte mit einer Excel-Tabelle. Um die Genauigkeit der Ergebnisse zu kontrollieren, wurde ein verändertes System mit der untersuchten Schwächung modelliert und die Werte mit errechneten Schnittgrößen verglichen. Dies ergab, dass die Abweichungen fast ausschließlich weniger als 1% betragen. Dort, wo die Differenz größer ist, handelt es sich um numerische Ungenauigkeit, da die betrachteten 48

56 Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Abbildung 7.4: Officebuilding, Biegemoment M y, Ausgangssystem Werte <0,1 sind und die Rechengenauigkeit beträgt bei SOFiSTiK nur zwei Nachkommastellen. Die Ermittlung des Nachfolgefehlers erfolgt durch die Betrachtung der Schnittgrößenänderungen. In einer Excel-Tabelle werden die für jedes Element drei Werte nebeneinandergestellt und verglichen: der Wert der Ausgangsgröße, die Änderung in Prozent und die Änderung als absolute Zahl. Maßgebend ist zwar die prozentuale Änderung der Schnittkraft, man muss diese jedoch auch in Relation mit dem absolluten Wert betrachten, da es zwar ein Anstieg der Kraft um 300% sein kann, diese aber nur 1kN beträgt. Dieser Vergleich hat ergeben, dass die maximale Äderung in dem Unterzug über der geschwächten Stütze stattfindet. Das Biegemomemt M y ändert sich von -1144,79 kn/m (siehe Bild 7.4) auf 1548,83 kn/m (siehe Bild 7.5). Es ist nicht nur die Differenz der beiden Werte sehr groß, sondern es gibt auch ein Vorzeichenwechsel. Aus diesem Grund wird angenommen, dass die nächste Schwächung in dem Unterzug rechts von der Stütze stattfindet. Als Annahme wird getroffen, dass der Steifigkeitsabfall 90% beträgt. Die Vorgehensweise bei der Untersuchung der Auswirkungen einer Schwächung in 49

57 7 Officebuilding Abbildung 7.5: Officebuilding, Biegemoment M y, geschwächtes System einem Unterzug unterscheidet sich von der Schwächung einer Pendelstütze. Der Unterschied liegt vor allem daran, dass der Kräfteverlauf aus dem Lastfall in einem Unterzug im Gegensatz zur Stütze nicht konstant ist, sondern quadratisch. Der Momentenverlauf aus der Einflussfunktion ist linear. Dies führt dazu, dass eine andere Art von der Überlagerung erforderlich ist: lineare Funktion mit der quadratischen. Da der Momentenverlauf aus der Einflussfunktion linear ist, muss man mindestens zwei Werte kennen, um diese eindeutig zu bestimmen. Daher werden auch zwei Einflussfunktionen benötigt, um diese zu bestimmen. Hierbei wird eine Einflussfunktion am Anfang (k 1 ) und eine am Ende (k 2 ) des Stabelementes gebildet. Aus dem Lastfall (siehe Bild 7.6) benötigt man drei Werte, es werden die Momente am Anfang (j 1 ), in der Mitte (j 2 ) und am Ende (j 3 ) des Elementes gewählt. Die Bildung der Einflussfunktion erfolgt folgendermaßen. Man muss die Green sche Funktion für das Moment an der betrachteten Stelle aufstellen. SOFiSTiK bietet diese Möglichkeit nur für die Flächenelemente, daher muss man sich eines alternativen Weges bedienen, um diese zu erzeugen. Das kann man über die äquivalenten Knotenkräfte lösen. Man leitet die Einheitsverformungen ϕ i ab, und durch das Einsetzen der Länge l des finiten Elementes und der Stelle x, an der die Einflussfunktion 50

58 Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Abbildung 7.6: Officebuilding, Verformungsfigur unter Volllast, nach 1. Schwächung erzeugt werden soll, bekommt man die entsprechenden Kräfte p i, die man in den Anfangs- und Endknoten des finiten Elementes einsetzten soll. Die Einheitsverformungen für den Balken lauten wie folgt: ϕ 1 (x) = 1 3x2 l 2 + 2x3 l 3 (7.4) ϕ 2 (x) = x + 2x2 l x3 l 2 (7.5) ϕ 3 (x) = 3x2 l 2 ϕ 4 (x) = x2 l 2x3 l 3 (7.6) + x3 l 2 (7.7) Aus der Formel zur Bestimmung der negativen Festhaltekräfte p i = o ϕ i (x)p(x)dx (7.8) kann man durch das Ableiten der Einheitsverformungen die äquivalenten Knotenkräfte für die Bildung der Einflussfunktionen bestimmen. 51

59 7 Officebuilding Durchbiegung w: p 1 = ϕ 1 = 1 3x2 l 2 + 2x3 l 3 (7.9) p 2 = ϕ 2 = x + 2x2 l x3 l 2 (7.10) p 3 = ϕ 3 = 3x2 l 2 p 4 = ϕ 4 = x2 l 2x3 l 3 (7.11) + x3 l 2 (7.12) Verdrehung w : p 1 = ϕ 1 = 6x l 2 + 6x2 l 3 (7.13) p 2 = ϕ 2 = 1 + 4x l 3x2 l 2 (7.14) p 3 = ϕ 3 = 6x l 2 6x2 l 3 (7.15) p 4 = ϕ 4 = 2x l 3x2 l 2 (7.16) Moment w = M: Querkraft w = V : p 1 = ϕ 1 = EI( 6 l 2 12x l 3 ) (7.17) p 2 = ϕ 2 = EI( 4 l + 6x l 2 ) (7.18) p 3 = ϕ 3 = EI( 6 l x l 3 ) (7.19) p 4 = ϕ 4 = EI( 2 l + 6x l 2 ) (7.20) p 1 = ϕ 1 = EI( 12 l 2 ) (7.21) p 2 = ϕ 2 = EI( 6 l 2 ) (7.22) p 3 = ϕ 3 = EI( 12 l 3 ) (7.23) p 4 = ϕ 4 = EI( 6 l 2 ) (7.24) 52

60 Fehler Normalkraft in der Pendelstütze Setzt man in die Gleichungen 7.17, 7.18, 7.19 und 7.20 die Werte für das betrachtete Element: l = 5, 4m, x = 0m und EI = kNm 2 ein, so erhält man folgende Kräfte, die die nötige Einflussfunktion erzeugen: f 1 = , 259kN f 2 = , 333kNm f 3 = , 259kN f 4 = , 667kNm und für die Einflussfunktion an der Stelle x = l = 5, 4m: f 1 = , 259kN f 2 = , 667kNm f 3 = , 259kN f 4 = , 333kNm Man setzt diese Kräfte als Belastung auf das System ein und erhält somit die Einflussfunktion für das Biegemoment M y an der Stelle x = 0 (Bild 7.7) und an der Stelle x = 5, 4m (Bild 7.8) Für die Überlagerung bzw. die Intergration wird eine allgemeine Formel verwendet, die lautet: 0 M j M k = 1 6 (j 1k 1 + 2j 2 (k 1 + k 2 ) + j 3 k 2 ) l (7.25) Dabei ist l die Länge des Integrationsbereiches. Die anfängliche Biegesteifigkeit des Unterzugs EI = kN/m 2 wird um 90% abgemindert und beträgt somit EI c = , 6kN/m 2. Die Länge des geschwächten Bereiches ist 5,4 m. Aus den Ergebnissen der Berechnung bekommt man die Werte der Biegemomente aus dem Lastfall mit j 1 = 1428, 44kN/m, j 2 = 2142, 5kN/m 53

61 7 Officebuilding Abbildung 7.7: Officebuilding, Einflussfunktion am Anfang des Elementes Abbildung 7.8: Officebuilding, Einflussfunktion am Ende des Elementes 54

62 Fehler Normalkraft in der Pendelstütze und j 3 = 2596, 0kN/m. Die Sensitivitätsanalyse wird mit folgender Formel durchgeführt: J = E E x2 x 1 M(y) M(G i [x])(y) EI c dy. (7.26) Die Integration der Momente über die Länge erstzt man zunächst mit der Formel für die Integration einer linearen Funktion mit der quadratischen Parabel: J = E E 1 6 (j 1k 1 + 2j 2 (k 1 + k 2 ) + j 3 k 2 ) l EI c (7.27) Dann ersetzt man die Werte j i und k i durch die entsprechende Schnittgrößen, so erhält man folgende Gleichung: J = EI EI 1 6 (M LF 0 J(G0 l/2 N ) + 2MLF (J(G0 N ) + J(Gl N )) + M LF l J(Gl N )) l EI c Setzt man nun die konstanten Werte ein, so folgt: 1 6 J = 0, 9 (1428, 44 J(G0 N ) , 5 (J(G0 N ) + J(Gl N )) J(Gl N )) , 6kN/m 2 5, 4 Um die 2. Modifikation hier anzuwenden, kann man die Korrekturbeiwerte folgendermaßen ermitteln: T 0 = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 4 T l = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 2 Mit diesen Beiwerten werden die Funktionale J (außer J) multipliziert. Dadurch erhält man die genauen Werte der Einflussfunktion. Für die Funktionale werden dann alle interessierenden Schnittgrößen eingesetzt. Auch hier erfolgte die Auswertung für alle Schnittgrößen in allen Elementen der Struktur. Die Untersuchung hat gezeigt, dass auch hier die Ergebnisse der Sensitivitätsanalyse sehr genau sind. Die Abweichungen von den exakten Ergebnissen sind jedoch etwas größer, als bei vorheriger Analyse. Der Grund dafür ist folgender: hier wurde nur die 55

63 7 Officebuilding Einflussfunktion für das Biegemoment M y gebildet, dadurch hat man die Therme der Energie des Balkens, die aus dem Biegemoment M z, aus dem Torsionsmoment, aus den Querkräften in y- und z-richtung und aus der Normalkraft vernachlässigt. Diese sollten hier jedoch betrachten werden, da in diesem Biegebalken nicht das Flächenträgheitsmoment I y abgemindert wurde, sondern das E-Modul, und dieser hat Auswirkungen auf alle Therme. Die Ergbenisse zeigen jedoch, dass die getroffene Annahme insofern legitim ist, dass der Einfluss der vernachlässigten Therme minimal ist und die Abweichungen immer noch 1-2% betragen. Die Auswirkungen aus der betrachteten Schwächung auf das Gesamtsystem sind recht gering und es wird angenommen, dass keine Folgefehler aus dieser resultieren. Somit ist die Untersuchung für den ersten Fall die Schwächung der Pendelstütze abgeschlossen. Die Schnittgrößenänderungen führen zu keinen Ausfällen mehr. 56

64 Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug Der nächste, 2. Ausgangsfehler, der in dieser Arbeit behandelt wird, ist eine Schwächung des mittleren Unterzugs im Erdgeschoss. Es wurde gerade dieser Unterzug gewählt, da es am stärksten belastet wird. Die Verformingsfigur des Tragwerks sieht unter der Volllast, wie im Bild 7.9 dargestellt aus. Unter der Verwendung der Gleichungen 7.17, 7.18, 7.19 und 7.20 kann man die benötigten Kräften zur Aufstellung einer Einflussfunktion bestimmen. Dazu werden in die besagten Gleichungen die Werte für den betrachteten Balken eingesetzt. Mit EI = , 2kN/m 2, l = 5, 4m und x = 0 erhält man die Kräfte: f 1 = , 63kN f 2 = , 67kNm f 3 = , 63kN f 4 = , 333kNm und für die Einflussfunktion an der Stelle x = l = 5, 4m: f 1 = , 63kN f 2 = , 333kNm f 3 = , 63kN f 4 = , 67kNm Durch das Ansetzen dieser Kräfte auf das System, erhält man die Einflussfunktionen für die Biegemomente M y an der Stelle x = 0 (Bild 7.10) und an der Stelle x = 5, 4m (Bild 7.11) Die Vorgehensweise bei diesem Fall ist die gleiche, wie bei dem vorherigen Beispiel. 57

65 7 Officebuilding Abbildung 7.9: Officebuilding, Verformungsfigur unter Volllast, Ausgangssystem Abbildung 7.10: Officebuilding, Einflussfunktion am Anfang des Elementes 58

66 Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug Abbildung 7.11: Officebuilding, Einflussfunktion am Ende des Elementes Man geht davon aus, dass der Momentenverlauf im geschwächten Bereich aus der Belastung quadratisch ist, und aus der Einflussfunktion ist dieser linear. Unter Verwendung der Formel für die Sensitivitätsanalyse in Verbindung mit der allgemeinen Formel zur Integration zweier Funktionen, bekommt man als Ergbenis: J = EI EI 1 6 (M LF 0 J(G0 l/2 M ) + 2MLF (J(G0 M ) + J(Gl M )) + M LF l J(Gl M )) l. (7.28) EI c Setzt man in diese Formel die Werte für das Biegemoment M y an den Stellen 0, l 2 und l, und die veränderte Biegesteifigkeit EI c = , 82kN/m 2 so erhält man 1 6 J = 0, 9 (4917, 3 J(G0 N ) (J(G0 M ) + J(Gl M )) 4238, 5J(Gl M )) 5, , 82 (7.29) Für die Korrektur der Werte aus der Einflussfunktion benutzt man auch hier die 2. Modifikation. Die Berechnung führt zu folgenden Beiwerten: T 0 = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 26 T l = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 26 59

67 7 Officebuilding Abbildung 7.12: Officebuilding, Biegemoment M y, Ausgangssystem Mit den Beiwerten T 0 und T l sind die Funktionale J(G 0 M ) und J(Gl M ) entsprechend zu multiplizieren. Dies passt die Werte der Einflussfunktion so an, dass sie den Werte der Einflussfunktion am geschwächten System entsprechen. An diesem Beispiel wurden alle Schnittgrößen in allen Elementen untersucht. Wie auch beim vorherigen Beispiel hat man bei dieser Auswertung die gleichen Annahmen zu Vereinfachung der Berechnung getroffen. Diese Annahmen scheinen auch legitim zu sein, da die Abweichungen von den exakten Ergebnissen in den akzeptablen Grenzen liegen. Die Untersuchung der Schnittgrößenänderungen hat gezeigt, dass vor allem in der Weiterführung des selben Unterzugs, der geschwächt wurde die Auswirkungen am größten waren. Das Biegemoment M y hat eine relevante Änderung erfahren (siehe Bilder 7.12 und 7.13). Das Stützmoment ist um ca kn/m größer gerworden. Daher wird angenommen, dass die nächste Schwächung in dem Unterzug stattfindet. Man setzt die Steifigkeit dieses auf 10% des Anfangwertes. Somit beträgt das 60

68 Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug Abbildung 7.13: Officebuilding, Biegemoment M y, geschwächtes System Verhältnis EI EI = 0, 9. Alle Parameter der Formel 7.3 bleiben unverändert, bis auf die Beiwerte aus der 2. Modifikation. Diese betragen für die Einflussfunktionen T 0 = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 8 und T l = k G k Uz kuz c k Gc = 0, 2 Die äquivalenten Knotenkräfte bleiben unverändert, da beide Elemente identisch sind. Also kann man die gleichen Käfte wie vorhin ansetzen, nur an andere Stellen nämlich am anderen Teil des Unterzugs. Für die Stelle x = 0 betragen diese: f 1 = , 63kN f 2 = , 67kNm f 3 = , 63kN 61

69 7 Officebuilding Abbildung 7.14: Officebuilding, Einflussfunktion am Anfang des Elementes f 4 = , 333kNm und für die Einflussfunktion an der Stelle x = l = 5, 4m: f 1 = , 63kN f 2 = , 333kNm f 3 = , 63kN f 4 = , 67kNm Dadurch erzeugte Einflussfunktionen sind in den Bildern 7.14 und 7.15 zu sehen. Die Auswertung erfolgte nach der gleichen Formel, wie auch beim vorherigen Beispiel. Der einzige Unterschied liegt in den Werten für das Biegemoment M y aus dem Lastfall. Ersetzt man diese Werte, so erhält man folgende Formel für die Sensitivitätsanalyse: 1 6 J = 0, 9 ( 3274J(G0 N ) (J(G0 M ) + J(Gl M )) J(Gl M )) 5, , 82 62

70 Fehler Biegemoment im mittleren Unterzug Abbildung 7.15: Officebuilding, Einflussfunktion am Ende des Elementes Die Auswertung zeigt, dass die Abweichungen von den exakten Ergebnissen recht gering sind, ebenso sind die Auswirkungen auf das Resttragwerk zu vernachlässigen. Deswegen wird von der weiteren Analyse abgesehen und es werden keine neue Schwächungen in das Tragwerk eingebaut. 63

71 7 Officebuilding Fehler Schwächung eines Wandelementes Hier wird eine Auswirkung einer Schwächung in einem Scheibenelement untersucht. Auch bei diesem Beispiel nimmt man eine Steifigkeitsänderung von 90% an, was fast einem Komplettausfall des Tragelementes gleichkommt. Die Scheibe ist an die Decke gelenkig angeschlossen und entspricht in der Tragwirkung einer Pendelstütze. Daher wird die Einflussfunktion analog zu einer Einflussfunktion für die Normalkraft der Stütze mit zwei Kräften am oberen und unteren Ende des Elementes erzeugt. Der Unterschied liegt darin, dass statt Einzelkräften Linienkräfte ansetzt werden. Dies ist eine Vereinfachung, da man dabei die Auswirkungen der Querdehnung vernachlässigt. Die Wand hat eine Dicke von 30 cm, ist aus Beton C20/25 mit E = kN/m 2 und hat eine Höhe von 5,375 m. Daraus lässt sich die Größe der Linienlast ermitteln, die für eine 1-Spreizung erforderlich ist: , 3 1 f 1 = = , 674kN/m 5, 375 f 2 = , 3 1 5, 375 = , 674kN/m Das Aufbringen dieser Kräfte erzeugt die genäherte Einflussfunktion für Normalspannung in der Scheibe. Diese ist im Bild 7.17 dargestellt. Die Auswertung der Ergebnisse erfolgt genauso, wie bei der Schwächung der Stütze. Es wird eine mittlere konstante Normalspannung über die Höhe und Breite der Wand angenommen. Somit kann man die Formel J = EA EA NLF T J(G N ) l EA c benutzen. Für die Länge l wird 5,375 angesetzt, für die Querschnittsfläche A = 2, 13m nimmt man die Fläche des Wandquerschnitts. Die Normalkraft in der Wand wird über die Breite gemittelt und beträgt -392,9 kn. Das geänderte E-Modul ist EA c = kN/m 2. 64

72 Fehler Schwächung eines Wandelementes Abbildung 7.16: Officebuilding, Einflussfunktion für die Normalspannugn in der Scheibe Der Korrekturfaktor nach der 2. Modifikation beträgt T = k G k St kst c k Gc = 0, 6882 unter der Annahme, dass die über die Breite der Wand gemittelte Verschiebung u z = 0, m ist. Somit erhält man mit den bekannten Werten folgende Formel zur Anwendung der Methode der Sensitivitätsanalyse: J = 0, 9 392, 9 0, 6882 J(G N) , 375 Die Auswertung der Ergebnisse zeigt, dass die Abweichungen von exakten Werten sehr gering ist, und im gleichen Rahmen liegen, wie auch bei den vorherigen Untersuchungen. Generell lässt sich feststellen, dass die Auswirkungen der betrachteten Systemänderung keinen relevanten Einfluss auf andere Schnittgrößen im System hat. Daher wird von der nachfolgenden Untersuchungen abgesehen. 65

73 7 Officebuilding Fehler Schwächung in einer Platte In diesem Abschnitt wird die Auswirkung einer Steifigkeitsänderung um 90% in einer Platte untersucht. Die Schwächung wird in der Decke des Erdgeschosses in der Feldmitte angenommen. Auf Grund des Tragverhaltens der Platte, muss hier über drei Therme Integriert werden m xx, m yy und 2 m xy, da m xy = m yx. Die Einflussfunktionen können automatisiert durch SOFiSTiK berechnet werden, daher erfordert das keine zusätzliche Berechnungen. Die Einflussfunktionen für m xx, m yy und m xy sind in den Bildern 7.17, 7.18 und 7.19 entsprechend dargestellt. Man nimmt an, dass die Schwächung in einer Fläche mit den Kanten von jeweils 1m stattfindet und die Schnittgrößen in diesem Bereich konstant sind. Die Sensitivitätsanalyse wird mit folgender Formel durchgeführt: J = K K 2 [ (m LF 11 m G m LF 12 m G 12 + m LF 22 m G 22)] A Ωe (7.30) Die Plattensteifigkeit K kann wie folgt bestimmt werden: K = E t , (1 ν 2 = ) 12 (1 0, 2 2 ) = 40628, Die Größe der Momente m xx, m yy und m xy aus dem Lastfall wird über den gesamten geschwächten Bereich gemittelt. Diese betragen 3 knm/m, 11,24 knm/m und 2,31 knm/m entsprechend. Setzt man diese Werte in die Gleichung zur Bestimmung der Änderungen, so bekommt man folgenden Ausdruck: J = 0, , 56 [ (3 m G , 31 m G , 24 m G 22)] 1 Die Auswertung erfolgte auch in diesem Beispiel für alle Elemente. Man stellt fest, dass die Abweichungen von den exakten Ergebnissen minimal sind. Daher wird auch hier von weiteren Untersuchungen abgesehen. 66

74 Fehler Schwächung in einer Platte Abbildung 7.17: Officebuilding, Einflussfunktion für m xx Abbildung 7.18: Officebuilding, Einflussfunktion für m yy 67

75 7 Officebuilding Abbildung 7.19: Officebuilding, Einflussfunktion für m xy 68