VPI

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1 1.BWL a. Der Jahresdurchschnitt des österreichischen VPI ist für verschiedene Jahre angegeben. Die jeweiligen Bezugsjahreszahlen sie ändern sich alle 10 Jahre waren die Jahre 1966, 1976, 1986 und 1996, bzw. ab 2000 in Fünfjahresabständen: 2000, 2005, 2010, Die Daten sind als Indexprozent angegeben. (Quelle: Statistik Austria) Jahr VPI in % a1. Berechnen sie die Werte des VPI bezogen auf das Basisjahr a2. Um wie viel sind die Preise von 1990 auf 2007 insgesamt gestiegen? a3. Um wie viel sind die Preise von 1990 auf 2007 im Durchschnitt jährlich gestiegen? b. Bei den Ausgaben für den PKW entfallen auf: Treibstoff 23% Straßenbenützung 7% Reparatur/Service/Abschreibung 50% Fixkosten (Versicherung, Steuer ) 20% Von 2000 bis 2007 stiegen die Treibstoffpreise um 34%, Für Straßenbenützung ergab sich eine Steigerung von 4% Reparatur/Service sowie Autopreise (Abschreibung) blieb unverändert Die Preiserhöhung bei den Fixkosten hatte exakt den Wert des VPI für diesen Zeitraum Um wie viel Prozent kommt somit der PKW 2007 teurer als 2000? ,5 175, ,4 230, ,4 272, ,9 316, ,8 356, ,3 375, ,6 404, ,4 413, ,5 430,5 a a ,362 um 36.2% a3 Im Schnitt: 1,018 um 1.8 % b von 2000 auf 2007 (VPI: plus 14,5 Prozent) i Ui Dpi T 0,23 1,3400 0,3082 Rep 0,5 1,0000 0,5 S 0,07 1,0400 0,0728 Fix 0,2 1,1459 0,2292 1,1102 1

2 2. Diese Kurve stellt eine Verteilungsfunktion dar , a. a1: Markieren Sie in der Zeichnung die Wahrscheinlichkeiten für die Intervalle: [0, 10], ], 20 ] und [25, 50]. a2: Geben Sie mit Hilfe der Zeichnung diese Wahrscheinlichkeiten genau an! b. Zeichnen Sie die zugehörige Dichtefunktion und markieren Sie auch darin die Wahrscheinlichkeit des Intervalls [25, 50] c. Geben Sie den Funktionsterm f(x) der Dichte kurve an a1. Höhen!! a , 0.3, c. f (x) = für x in [0, 20[ für x in [20, 30[ für x in [30, 60[ sonst 2

3 3. a. Bestimmen Sie für eine mit den Parametern N = 10, M = 4 und n = 3 Hypergeometrisch verteilte Zufallsgröße X die Wahrscheinlichkeit P(X 2) b. Mit welcher WK nimmt eine standardnormalverteilte Zufallsgröße Z Werte zwischen dem Erwartungswert und dem rechts davon liegenden Wendepunkt an? c. Eine dritte Zufallsgröße Y sei N(155, 32)-verteilt. c1 Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt Y einen Wert zwischen 83 und 179 an? c2 Für welche Zahl d gilt: P(Y > d) = 0.985? c3 Welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten ist die größere: P(Y< 50) oder P(Y > 264) a. P(X 2) =(1 - P(X=3)) = 1-4/120 = 116/120 b Prozent c % c2 d = c3 P(Y<50) 3

4 4. Eine Zufallsgröße unterliege einer N(µ, 7)- Verteilung. Eine Stichprobe vom Umfang n = 40 ergab den Mittelwert a. Lässt sich damit bestätigen, dass der Erwartungswert unter 100 liegt? Testen Sie dazu die geeignete Gegenhypothese zum Niveau α = 0.1 auf Signifikanz und interpretieren Sie das Ergebnis in Form einer Antwort! b. Zu welchem Signifikanzniveau gehört der realisierte Mittelwert von und was bedeutet das? a. H 0 : µ 100 H 1 : µ < Testgröße t = 40 = Kritischer Bereich: K = ], λ 0. 1 ] = ], ] t liegt in K also ist die Hypothese µ < 100 (Mit erlaubter maximaler Irrtumswahrscheinlichkeit 10 Prozent) bestätigt! b. Man bestimme α so, dass t λ α = = λα = Φ (1 α) Φ( 1.57) = 1 α 1 α = und daraus: der Signifikanzlevel α = (= Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn man aus den vorliegenden Daten schließt, der Erwartungswert liege unter 100) 4

5 5. Man prüfe, ob die Zufallsgröße X = Anzahl der Fehlstarts bei Hallenschwimmbewerben einer Poissonverteilung mit Erwartungswert 0.8 unterliegen kann! (D. h. man erwartet im Durchschnitt 0.8 Fehlstarts pro Bewerb) Bei 40 Bewerben wurden dabei folgende Anzahlen von Fehlstarts festgestellt: Fehleranzahl drei oder mehr Bei Bewerben a. Welcher Test ist durchzuführen? Formulieren Sie Null und Gegenhypothese b. Testen Sie zu den Niveaus α = 0.1 und α = 0.01 und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse genau! a. Chiquadrat-Anpassungstest, (keine vorherige Parameterschätzung) H 0 : Diese Verteilungsannahme ist akzeptabel H 1 : diese Zufallsgröße ist nicht Poisson(0.8)-verteilt vier Klassen; kein geschätzter Parameter Zu drei Klassen zusammenfassen! Klasse mind 2 kum pk 0, , , p(k) 0, , , nk n*pk 17,97 14,38 0,00 7,65 Differenz 6,03-6,38 0,00 0,35 diff² 36,32 40,69 0,00 0,12 chisummand 2,02 2,83 0,02 Testgröße 4,87 Tabellenwert CHI(2, 0.9) = signifikante Abweichung Chi(2, 0.99)= von dieser Poissonverteilung Nicht hochsignifikant Ohne Zusammenfassen. (nicht korrekt!!): Testgröße 7,72 Tabellenwert CHI(3, 0.9) Chi(3, 0.99) 11,345 5

6 6. Zwischen 1. und 5. Oktober 2008 wurden in Graz sechs Mädchen geboren. Deren Gewicht wurde bei der Geburt und genau 14 Tage danach gemessen: Normalverteilungen und Varianzhomogenität werden vorausgesetzt. Mädchen Nr Geburtsgewicht G. nach 14 Tagen a. a1 Lässt sich mit einer Sicherheit von 90 Prozent zeigen, dass innerhalb der ersten vierzehn Lebenstage eine Gewichtszunahme vorliegt? a2 Lässt sich das auch mit einer Sicherheit von 99.5 Prozent nachweisen? b. Kann man zeigen, (zu welchem der Niveaus?) dass die Säuglinge nach 14 Tagen um mindestens 10 g schwerer sind als bei der Geburt? Datenpaare; t-test f. Differenzen; einseitig a. Mittlere Differenz = Testgröße für a1 und a2: t 0 = Sowohl zu 90 als auch zu 97.5% nachweisbar b. Mittlere Differenz nur 20.00, Testgröße Nachweis nicht möglich zu 99.5, wohl aber zu 90% 6

7 1SOZ. a. a1 Drücken Sie ( y x) durch die anderen in der Formel verwendeten Größen aus! t 0 (y x) = s n a2 Sei nun s = 10 und n = 25 Wie groß ist darf die Differenz der beiden Mittelwerte höchstens sein, damit t 0 kleiner bleibt als 2.064? b. In der Gemeinde Weiz erhielt am die FP um 54% mehr Stimmen als bei der Landtagswahl Um wie viel Prozent hatte die FP bei der Wahl 2005 weniger Stimmen als am ? c. Eine Regressionsgerade y = a + bx beschreibe den Zusammenhang des Merkmals verfügbares Haushaltseinkommen (x) und Ausgaben für Telekommunikation (y). Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden, wenn sie die beiden Punkte P(1200, 35) und Q(3200, 55) enthält a2. Kleiner als 4.12 b. Um Prozent c. y = x 7