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1 Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Professur für Statistik und Ökonometrie (Empirische Wirtschaftsforschung) Prof. Dr. Reinhard Hujer Mertonstraße 7 Postfach 9 32 Telefon: 0/(00)49/(0)69/79-25 Fax-No.: 0/(00)49/(0)69/ Frankfurt, Übungsaufgaben Aufgabe Die folgende Verteilung von Studenten in bezug auf die Entfernung vom Wohnort zur Universität wurde ermittelt. Entfernung in km Anzahl der Studenten unter bis unter bis unter bis unter und mehr 70 Σ 400 Hinweis: Wählen Sie die Klassenmitte der obersten Klasse bei 70 km. (a) Interpretieren Sie den Wert F(x i ) = 0,95. (b) Nennen Sie die Ihnen bekannten Lokalisationsmaße und erläutern Sie deren inhaltliche Bedeutung anhand dieser Aufgabe. (c) Zeichnen Sie die Lorenzkurve und interpretieren Sie den Punkt der Lorenzkurve, für den F(x) = 0, gilt. (d) Beweisen Sie die Gleichung ( x x) 0 n i= i =.

2 Aufgabe 2 Bei einer Untersuchung der Dauer der Arbeitslosigkeit von je 00 Männern und Frauen ergaben sich folgende Werte: Dauer der Arbeitslosigkeit Männer Frauen 0 bis unter 3 Wochen 3 3 bis unter 6 Wochen 7 6 bis unter 9 Wochen bis unter 2 Wochen bis unter 5 Wochen bis unter Wochen 6 0 bis unter 2 Wochen 6 0 Σ (a) Beurteilen Sie die Symmetrie der Häufigkeitsverteilungen der arbeitslosen Frauen bzw. Männer anhand eines Vergleichs von arithemtischem Mittel, Median und Modus. (b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilungen graphisch dar. (c) Welche Arbeitslosigkeitsdauer wird von 75 % aller Männer nicht überschritten. Vergleichen Sie die relative Streuung beider Verteilungen. 2

3 Aufgabe 3 Für den privaten Konsum (C), das verfügbare Einkommen (Y) und den Zins (i) wurden die folgenden Werte beobachtet: Jahr C (Mrd. DM) Y (Mrd. DM) i (%) Rechenhilfen: ,94 044,3 3, ,34 27,5 2, ,25 26,50 3, ,03 2,30 4, ,20 329,2 4, ,2 370,42 4, ,32 435,5 3, ,0 497,36 3,0 C t Y t = , Y t = 0 309,7 Y t i t = 3 040,36 Y t ² = C t ² = (a) Berechnen Sie diejenige Regressionsgerade nach der Methode der Kleinsten Quadrate, welche die Beziehung zwischen dem privaten Konsum, dem verfügbaren Einkommen und dem Zins erklärt. (In der Funktion C t = b 0 + b Y t + b 2 i t wurden bereits b 0 = -5,62 und b 2 = 4,59 errechnet.) (b) Sind die Vorzeichen der Schätzwerte b und b 2 ökonomisch sinnvoll? Begründen Sie Ihre Aussage. (c) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß für die Regression C t = b 0 + b Y t + b 2 i t. (d) Welcher Konsum ist bei einem verfügbaren Einkommen von 600 Mrd. DM und einem Zinssatz von 4 % zu erwarten? Welche Annahmen treffe Sie bei Ihrer Prognose? (e) Beweisen Sie die Gleichung y yˆ ) (yˆ y) = 0, für den Fall der linearen ( t t t Einfachregression y t = b 0 + b x t und Kleinst Quadrate Schätzern b 0 und b. 3

4 Aufgabe 4 (a) Wie unterscheiden sich die Methode der Kleinsten Quadrate und die Methode der Gleitenden Durchschnitte bezüglich Ihrer Verwendung? (b) Die nachfolgende Tabelle enthält den Absatz Y t (pro Quartal) eines Elektrogroßhandels in 000 DM für 0 Perioden sowie exponentiell geglättete Absatzwerte. und 2. Ordnung (auf volle 000 DM gerundet). t Y t Y t Y t Ergänzen Sie diese Tabelle (a=0,2) und erstellen Sie eine Absatzprognose für die. und 2. Periode mit Hilfe der exponentiellen Glättung 2. Ordnung. Aufgabe 5 (a) Der Umsatz eines Unternehmens steigerte sich im Jahr 97 um 50 % und schrumpfte in den folgenden Jahren um 20 % bzw. um 50 % (jeweils gegenüber Vorjahr). Bestimmen Sie die durchschnittliche Wacshtumsrate für diese 3 Jahre. (b) Für die Preise für eine Portion Kaffee wurden in Frankfurt/Main und Wien folgende Daten beobachtet: Ffm. (in DM): 4.20, 4.90, 4.50, 4.70, 4.40, 4.00, 4.0, 4.00 Wien (in ÖS): 29, 33, 39, 37, 3, 34, 3 Wie läßt sich die Streuung dieser beiden Erhebungen miteinander vergleichen? Führen Sie einen Vergleich durch. 4

5 Aufgabe 6 (a) Erklären Sie den Unterschied zwischen dem Preisindex nach Laspeyres und dem Preisindex nach Paasche. (b) Den Index der Wohnungsmieten auf der Basis von 90 entnimmt man der Fachserie 7, Reihe 7 des Statistischen Bundesamtes: Jahr I t 90 00, , , , , , , ,70 9 3, ,60 Zur Zeit werden vom Bundesamt sämtliche Reihen auf Basis 95 umgestellt. Führen Sie diese Umbasierung für den Index der Wohnungsmieten durch. (c) Wie groß ist der durchschnittliche Preisanstieg (in %) bei Wohnungsmieten im Zeitraum 90-99? Welchen Einfluß hat die Umbasierung auf den durchschnittlichen Preisanstieg? Aufgabe 7 Was kann man über die Werte x,..., x n einer Erhebung sagen, wenn man -alternativ - folgendes weiß: (a) die Quartilsabweichung ist gleich Null, (b) die durchschnittliche absolute Abweichung ist gleich Null, (c) die Standardabweichung ist gleich Null. 5

6 Aufgabe Bei einer Epidemie in einer Rinderherde sind insgesamt 400 Krankheitsfälle aufgetreten, darunter 00 mit tödlichem Ausgang. Unter den Todesfällen waren 20 Rinder geimpft, unter den Gesundeten 0. (a) Stellen Sie für diese Erhebung die Kontingenztafel auf. (b) Berechnen Sie den Kontingenzkoeffizienten und interpretieren Sie seinen Wert. Aufgabe 9 (a) Beweisen Sie, daß im Fall der stochastischen Unabhängikeit der Ereignisse A und B die Gleichung P(A B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) gilt. (b) In einem Kernkraftwerk sind drei unabhängig voneinander arbeitende Sicherheitssysteme A, B, und C eingebaut, die bei Eintreten eines Störfalls ein rechtzeitiges Abschalten des Reaktors gewährleisten sollen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit der drei Systeme betragen jeweils %, 4% und 2%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß. genau eines der Systeme ausfällt? 2. alle drei Systeme ausfallen? (c) Es sei folgende Funktion f(x) einer Zufallsvariablen X gegeben: f (x) = 3 ( x) 0 2 für 0 x sonst Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(X) und den Erwartungswert von X. 6

7 Aufgabe 0 In einem Test mit 00 technischen Geräten einer Bauart fielen 30 Geräte im. Betriebsjahr, 4 Geräte im 2. Betriebsjahr, 2 Geräte im 3. Betriebsjahr und 2 Geräte im 4. Betriebsjahr aus. (a) Erstellen Sie eine Generationen-Sterbetafel mit den Spalten l i =ˆ intakte ( überlebende ) Geräte im Alter i d i =ˆ ausgefallene Geräte im Alter i bis unter i+ q i =ˆ Ausfallwahrscheinlichkeit ( Sterbew keit ) im Alter i bis i+ p i =ˆ Überlebensw keit im Alter i bis i+ L i =ˆ Von den intakten Geräten im Alter i bis i+ durchlebte Jahre T i =ˆ Von den intakten Geräten im Alter i noch zu durchlebende Jahre Vollendetes Alter i l i d i q i p i L i T i (b) Wie groß ist die mittlere Lebenserwartung eines neues Gerätes? 7

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