Kap. 7: Die quadratische Funktion numerisch, graphisch, theoretisch

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1 Kap. 7: Die quadratische Funktion numerisch, graphisch, theoretisch Dr. Dankwart Vogel Uni Essen W 009/10 1

2 Drei Beispiele Beispiel 1 Rohölreserven der Welt Wann ist der Vorrat erschöpft? Uni Essen W 009/10

3 Beachte: Nimmt der Verbrauch linear zu, so nimmt der Vorrat quadratisch ab. Jahresverbrauch n Jahre nach 007 in Mio. Barrel pro Tag: v = d+ e n mit d= 85,8... und e= 1,3... n Verbleibende Erdölreserven n Jahre nach 007 in Mrd. Barrel: n( n 1) 365 rn = r0 d n e =... = 0,4... n 31,10... n 1143,36... Frage: Wann genau ist das Vorkommen erschöpft? Die Antwort gibt zunächst Excel: Numerisch: n Vorrat 9 41,1 30-4,0 Uni Essen W 009/10 3

4 Graphisch: Bereits 037 ist das Erdölvorkommen erschöpft. Weltölvorrat 100,0 Mrd. Barrel 800,0 400,0 y = -0,4x - 31,10x ,36 0, Jahre nach 007 Uni Essen W 009/10 4

5 Theoretisch Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form: Beachte: Wir sind zum kontinuierlichen Modell übergegangen. Interessiert uns nicht nur, wann das Ölvorkommen auf null, sondern wann es auf irgendeinen Wert gesunken ist, müssen wir die Funktion umkehren. Beide Probleme at + bt+ c= t rt ( ) = at + bt+ c 0 Lösen einer (quadratischen) Gleichung und Umkehren einer (quadratischen) Funktion können wir graphisch, numerisch oder algebraisch angehen. Uni Essen W 009/10 5

6 Graphisch Lies am Funktionsgraph zum gegebenen r-wert den zugehörigen t-wert ab. Numerisch Mit TR oder Excel Tabellenfunktion olver Algebraisch quadratische Ergänzung p/q-formel Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und algebraisch finden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die quadratische Funktion nur für x x umkehrbar ist. (bzw. x x ) Uni Essen W 009/10 6

7 Beispiel Umkehrung der quadratischen Funktion gx ( ) = x + 1 in, 1 ( ) [ [ 1. Durch piegelung an der ersten Winkelhalbierenden.. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: y x = 1( ) + = 1( ) + ( ) ( ) x y x y y = x y = + x x ( 1 ), 1 Die zweite Lösung (negative Wurzel) entfällt, da vorausgesetzt ist. y Uni Essen W 009/10 7

8 Umkehrung der quadratischen Funktion allgemein x gx ( ) = a x x + y in x, bzw. in, ( ) [ [ ] ] Durch piegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x: y= a( x x ) + y x y x= a( y x ) + y 1 ( y x) = ( x y) a 1 y= x+ ( x y), x y falls a> 0, a sonst x y. Eine der beiden Lösungen entfällt, je nach dem welcher Ast der Funktion g umzukehren ist. Uni Essen W 009/10 8

9 Formen der quadratischen Gleichung (1) Allgemeine Form () Normalform (3) cheitelpunktform (4) Produktdarstellung (5) Drei-Punkte-Form ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) y= ax + bx+ c y= x + px+ q y= a( x x ) + y y= ax ( x )( x x ) 1 ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) y= y + y B C A C A A B A C B A B C B + ( x xa)( x xb) ( x x )( x x ) C A C B y C Jede dieser Formen hat ihre Berechtigung. Frage: Wann verwenden wir welche? Uni Essen W 009/10 9

10 Der Graph eines quadratischen Polynoms quadratisches Polynom y= x Graph des Polynoms Normalparabel (NP) y= ax um a in y-richtung gestreckt zusätzlich um y y= ax + y in y- Richtung verschoben zusätzlich um in x- ( ) x y= a x x + y Richtung verschoben atz: Der Graph des quadratischen Polynoms ist eine Parabel. Beweis: Da sich jedes quadratische Polynom y= ax + bx+ c in die cheitelpunktsform bringen lässt, geht sein Graph durch trecken und Verschieben aus der NP hervor ist also eine Parabel. Uni Essen W 009/10 10

11 Was man sich merken sollte 1. Die treckung muss der Verschiebung in y-richtung vorausgehen, sonst ist die Reihenfolge egal. (Warum?). Die x-koordinate von ist, denn liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. (Denke an die p/q-formel!) Dies bleibt richtig, wenn die Parabel keine oder eine Nullstelle hat. Die y-koordinate ergibt sich dann durch Einsetzen. o erhält man schnell, mühelos und sicher die cheitelpunktsform aus der Normalform. 3. Die p/q-formel ersetzt nicht die Methode der quadratischen Ergänzung. (Wer dagegen die quadratische Ergänzung beherrscht, kann die p/q-formel jederzeit herleiten, also entbehren.) 4. Jedes quadratische Polynom lässt sich auf die Form ax ( + b) + c p bringen. An ihr lässt sich sofort ablesen, dass es bei x= b sein Minimum (bzw. Maximum) annimmt, wenn a> 0 (bzw. a< 0 ) ist. Uni Essen W 009/10 11

12 Aufgabe Wie kann man allein aus dem Bild einer Parabel auf die Vorzeichen der Koeffizienten a, b, c in y= ax + bx+ c schließen? Exploration Uni Essen W 009/10 1

13 Lösung Die Parabel ist nach oben geöffnet Der cheitelpunkt liegt links der y- Achse Der chnittpunkt mit der y-achse ist oberhalb O a> 0 ( a 0 sonst) b b > 0 ( 0 sonst) a a c> 0 ( c 0 sonst) Uni Essen W 009/10 13

14 P A U E Uni Essen W 009/10 14