G. Dobner/H.-J. Dobner: Lineare Algebra Elsevier Spektrum Akademischer Verlag

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1 G. Dobner/H.-J. Dobner: Lineare Algebra Elsevier Spektrum Akademischer Verlag Beantwortung der Fragen und Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Version V vom

2 2 Beantwortung der Fragen zu Kapitel TESTFRAGEN ZU KAPITEL.. P (A) = f?g. n 2. QnZ = r r = p q o. mit q - p 3. R = fc jim (c) = g. 4. Eine Abbildung f von einer Menge X = D (f) in eine Menge Y = W (f) ist eine Vorschrift, bei der in eindeutiger Weise jedem Element x 2 X genau ein Element y 2 Y zugeordnet wird. 5. Durch Wahl von W (f) = Bild (f) wird eine beliebige Abbildung zur surjektiven Abbildung. 6. a) Die Abbildung f : [; )! [; ) ; x 7! x + ist injektiv aber nicht surjektiv. b) Die Abbildung f : R! [; ) ; x 7! x 2 ist surjektiv aber nicht injektiv. c) Die Abbildung f : R! R; x 7! 2 ist weder injektiv noch surjektiv. TESTFRAGEN ZU KAPITEL.2. In Gruppen gibt es im Unterschied zu Halbgruppen genau ein neutrales Element und zu jedem Gruppenelement existiert das Inverse. 2. Die Menge M = f2 k jk 2 Zgder geraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Multiplikation eine (abelsche) Halbgruppe, aber das neutrale Element gehört nicht zu M. a;b2u 3. Die Untergruppen sind die nur aus dem neutralen Element bestehende Gruppe fg sowie N und Z. 4. Das Untergruppenkriterium lautet U G, V a b 2 U. Das Untergruppenkriterium kann nicht für Halbgruppen gelten, da es in einer Halbgruppe keine inversen Elemente gibt. 5. Die Permutationsgruppe S Die kleinste mögliche Ordnung einer Gruppe G ist ; dann besteht G nur aus dem neutralen Element.

3 3 7. Das Axiom (G3) ist verletzt, das Element besitzt kein Inverses bezüglich der Multiplikation. 8. Geometrisch können die Permutationsgruppen wie folgt interpretiert werden: Die Elemente der Gruppe S 2 sind die Spiegelungen eines Stabes. Die Elemente der Gruppe S 3 sind Drehungen und Spiegelungen eines gleichseitigen Dreiecks interpretiert; ; 2 ; 3 sind Drehungen und 4 ; 5 ; 6 Spiegelungen. 9. Sämtliche Untergruppen von S 3 sind U = f g ; U 2 = f ; 4 g ; U 3 = f ; 5 g ; U 4 = f ; 6 g ; U 5 = f ; 2 ; 3 g ; U 6 = S 3 :. Die Permutationsgruppe S n hat die Ordnung n! TESTFRAGEN ZU KAPITEL.3. Die Menge (M; +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element und (M; ) ist eine abelsche Halbgruppe mit neutralem Element. Da das Distributivgesetz erfüllt ist liegt ein kommutativer Ring mit Eins vor. 2. Das Gleitkommasystem T (b; l; e ; e 2 ) ist kein Ring, da die Assoziativgesetze bezüglich deraddition undmultiplikation nicht gelten und außerdem das Distributivgestz verletzt ist. 3. Ein Ring R besteht aus einer nicht leeren Menge R 6=?, in der zwei Verknüpfungen + (Addition) und (Multiplikation) erklärt sind, so dass R bezüglich + und algebraisch abgeschlossen ist, d. h., je zwei Elementen a; b aus R wird genau ein Element a + b 2 R bzw. a b 2 R zugeordnet: + : R R! R; (a; b) 7! a + b : R R! R; (a; b) 7! a b: Ferner muss gelten: (R; +) ist eine Abel'sche Gruppe und (R; ) ist eine Halbgruppe. Ferner gelten V die beiden Distributivgesetze a (b + c) = a b + a c. Distributivgesetz a;b;c2r V a;b;c2r (a + b) c = a c + b c 2. Distributivgesetz 4. Ein Körper muss mindestens zwei Elemente haben, nämlich die neutralen Elelemente bzgl. der Addition und Multiplikation. 5. (I; +; ) ist kein Körper, da unter anderem das Distributivgesetz verletzt ist.

4 4 TESTFRAGEN ZU KAPITEL.4. Die Gleichheit = ist eine Äquivalenzrelation, sicherlich die bekannteste. 2. Die Relation ist keine Äquivalenzrelation,.da die Symmetrie verletzt ist (mod 3), (mod 8), (mod 2) : (mod 2), (mod ), (mod 27) : in Z 7, in Z 7, in Z 8, (mod 8) in Z Ja, denn p 3 = 6 in Z, da = 3 in Z. 7. Z ist ein Körper und Z 22 ein kommutativer Ring mit Eins. TESTFRAGEN ZU KAPITEL.5. Ja, z. B. das Polynom i (x 2) (x + ) : 2. Die Koefzienten a; b; c in der Gleichung ax 2 + bx + c sind reelle Zahlen. In diesem Fall hat das Polynom genau dann reelle Nullstellen, wenn b 2 4ac ist, andernfalls hat es nur komplexe Nullstellen. 3. Jedes Polynom n-ten Grades, n, besitzt eine Nullstelle in C: 4. Nein, das gilt nur für reelle Polynome ungeraden Grades, so hat das komplexe Polynom 3. Grades (x + i) 3 = x i x 2 3x i keine reelle Nullstelle. 5. Nein, auch das gilt nur für reelle Polynome, das Polynom (x i) (x + 4 i) hat keine konjugiert komplexen Nullstellen. 6. Ja zum Beispiel hat das reelle quadratische Polynom x 2 + keine relle Nullstelle. 7. Die inversen Elemente gehören nicht zu P. TESTFRAGEN ZU KAPITEL.6. Eine Matrix ist eine Zahl. (M (K) ; +; ) ist ein Körper. 2. Am Besten eignen sich Diagonalmatrizen. A 2 A 3 ist invertierbar mit A 2 A : 3

5 5 die Matrix b 2 3 ist dagegen nicht invertierbar. 3. (M nm (K) ; +; ) ist im Falle n 6= m kein Ring, da die Multplikation zweier n m Matrizen nicht ausführbar ist. 4. Für A 2 M nm (K) und B 2 M mn (K) sind sowohl A B als auch B A deniert; genauer gilt A B 2 M nn (K) und B A 2 M mm (K). 5. Nein! Auch liefern Diagonalmatrizen geeignete Gegenbeispiele. Die Matrizen A = und B = 2 2 sind jeweils invertierbar, aber die Summe A + B = 4 ist nicht invertierbar. 6. Ja, wie das Beispiel der nicht invertierbaren Matrizen A = ; B = zeigt, aber die Summe A + B = ist die Einheitsmatrix und somit existiert deren Inverse A 7 A Nein, eine quadratische Matrix, welche eine Nullzeile enthält kann, nicht invertierbar sein, denn dann muss eine mm-matrix A b mit der Eigenschaft AA b = AA b = E existieren. Ist A = (a i;j ) i=;:::m;j=;:::m eine m m- Matrix mit einer Nullzeile, etwa a i;k = für k = ; : : : ; n, dann folgt a i;i = = sein. m P k= A a i;k ba k;i ; die Diagonalelemente müssen aber gleich

6 6 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel Aufgabe. A \ B = ( 2; 3) ; C [ D = ( 2; 3] ; CD = f(c; d) j 2 < c < ; d 3g ; A[(B \ C) = ( 2; 3) ; (A [ B)\ C = ( 2; ). Aufgabe.2 Die folgenden Abbildungen zeigen die Mengen im R R. Aufgabe.2: Menge A

7 7 Aufgabe.2: Menge B Es ist A [ B = (x; y) 2 R 2 y 2 2x_y x2. Aufgabe.3 P (A) = f?; fg ; f2g ; f3g ; f; 2g ; f; 3g ; f2; 3g ; Ag ; b) P (B) = f?; f?g ; ff2; 4gg ; fxg ; f?; f2; 4gg ; f?; xg ; ff2; 4g ; xg ; Bg. Aufgabe.4 a) Es gilt x 2 Xn (A [ B), x 2 X^x =2 (A [ B), x 2 X^ (x =2 A_x =2 B), (x 2 X^x =2 A) ^ (x 2 X^x =2 B), x 2 (XnA) \ (XnB) :

8 8 b) Es gilt x 2 Xn (A \ B), x 2 X^x =2 (A \ B), x 2 X^ (x =2 A_x =2 B), (x 2 X_x =2 A) ^ (x 2 X_x =2 B), x 2 (XnA) [ (XnB) : Aufgabe.5 Injektivität: Für x 6= x 2 folgt + x 6= + x 2 und damit f (x ) = +x 6= +x 2 = f (x 2 ). Surjektivität: Für gegebenes y 2 ( ; ] müssen wir die Gleichung f (x) = +x = y nach :x auösen, es ist x = +y und damit f (y) = +y. Aufgabe.6 Die Vereinigung zweier Untergruppen ist i. A. keine Untergruppe von G.In der Permutationsgruppe. S 3 sind U 2 = f ; 4 gund U 3 = f ; 5 g Untergruppen, aber U [U 2 = f ; 4 ; 5 g ist keine Untergruppe. Der Durchschnitt zweier Untergruppen ist wieder eine Untergruppe. Bezeichne D = U \ U 2 den Durchschnitt. Da jede Untergruppe das neutrale Element n enthält, liegt n auch in D. Daher ist D 6=?. Sei nun a; b 2 D. Da sowohl U als auch U 2 eine Untergruppe ist, folgt a b 2 U ^ a b 2 U 2, nach dem Untergruppenkriterium folgt die Behauptung. Aufgabe.7 Die Lösung ist in der nächsten Version enthalten! Aufgabe.8 Assoziativität und Kommutativität von und sowie die Gültigkeit der Distributivgesetze folgen sofort aus den üblichen reellen Grundrechenarten + und Bleibt also nur die Existenz der inversen und neutralen Elemente nachzuweisen: e = 3 5 ist das neutrale Element bezüglich der Addition, denn a e = a = a und zu a ist a 3 das inverse Element bzgl., denn a ( a). = a + ( a) 5 = e. Das neutrale Element bezüglich Multiplikation ist e = 3 5, denn 25ab 65(a+b)+32 a e := 55 und zu a ist das inverse Element von a 6= bzgl.. Aufgabe.9 Ein reelles Polynom 3. Grades kann eine, zwei oder drei verschiedene reelle Nullstellen haben, das gleiche trifft natürlich auch für ein komplexes Polynom zu, wenn das reelle Polynom mit i multipliziert wird. Eine reelle Nullstelle x 3 3x 2 + 3x Zwei reelle Nullstellen x 3 2x 2 7x + 4 Drei reelle Nullstellen x 3 2x 2 5x + 6 Aufgabe. Es ist 2 = 3 7 daher lösen wir die Gleichung x 2 + 9x + 4 = in den Primkörpern Z 3 und Z 7 : Lösung in Z 3 : x 2 +2 (mod 3) ) x (mod 3) _ x 2 (mod 3) : Lösung in Z 7 : x 2 +9x (mod 7) ) x (x + 9) (mod 7) ) x 3 5

9 9 (mod 7) _ x 5 (mod 7) : Damit ergeben sich in Z 2 folgende Lösungen: x (mod 3) ^x (mod 7) ) x 7 (mod 2) x (mod 3) ^x 5 (mod 7) ) x 9 (mod 2) x 2 (mod 3) ^x (mod 7) ) x 4 (mod 2) x 2 (mod 3) ^x 5 (mod 7) ) x 5 (mod 2) : Die Lösungen lauten also: x = 5; x 2 = 7; x 3 = 4; x 4 = 9. Aufgabe. Es ist 35 = 57 daher lösen wir die Gleichung x 2 +x 28 = in den Primkörpern Z 5 und Z 7 : Lösung in Z 5 : x 2 3 (mod 5), x 2 2 (mod 5) ) Gleichung nicht lösbar, somit existieren keine Lösungen der Gleichung. Aufgabe.2 Gesucht ist eine Lösung der Gleichung 25x = (mod ). In Z muss dann gelten 25x, x In Z ist also 97 das Inverse zu 25. Aufgabe.3 A und B sind 33Matrizen und C eine 43 Matrix. Daher sind nur die Produkte bzw. Ausdrücke AB; BA; C(A + B) erklärt. AB = C(A + B) A ; BA C A Aufgabe.4 Gilt (AB) = B A dann folgt (AB) A = B, d.h. A ; a; a ;2 a 2; a 2;2 = ) a; + 4a 2; a ;2 + 4a 2;2 : 6a ; + 3a 2; 6a ;2 + 3a 2;2 Somit ist a; a ;2 a 2; a 2;2 Aufgabe.5 Für B = = b; b ;2 b 2; b 2;2 :

10 muss gelten b; b ;2 = b 2; b 2; b 2; 3b ;2 b ; + b ;2 b 2;2 = 3b ; b 2; 3b 2;2 3b ;2 + b 2; daraus ergibt sich für B die Gestalt u s t t B = ; s; t 2 R: 3t s gilt AB = BA. b 2; b 2;2 b; b ;2 Aufgabe.6 Die binomische Formel (A + B) 2 = A 2 +2AB+B 2 gilt nur für kommutierende Matrizen, d. h. Matrizen mit der Eigenschaft AB = BA:

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