Bernsteinpolynome Vortrag zum Proseminar zur Analysis, Malte Milatz

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1 Bersteipolyome Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, Malte Milatz I diesem Vortrag wird der bereits im Sript zur Aalysis ii zitierte Approximatiossatz vo Weierstraß mithilfe der Bersteipolyome bewiese. Der ursprügliche Beweis stammt vom Namesgeber dieser Polyome, Sergej N. Berstei Der Satz vo Weierstraß Satz. Es sei f : [a, b] R eie stetige reelle Futio auf eiem ompate Itervall K = [a, b] R. Da gibt es eie Folge vo Polyomfutioe φ : K R, die gleichmäßig gege f overgiert. Es sei dara eriert, daß die Folge φ gleichmäßig gege f overgiert, we es zu jedem ε > 0 ei 0 N gibt, so daß für alle 0 gilt: I Kurzschreibweise bedeutet das f x φ x < ε für alle x D. 1 lim φ f = 0. 2 Hierbei bezeichet die Supremumsorm des Raumes CK aller stetige Futioe vo K ach R. 2 Ma a 2 so lese, daß die Futioe φ die Futio f beliebig gut approximiere gemäß der Supremumsorm. Der Satz beatwortet da die Frage, uter welche Voraussetzuge ma zu gegebeem f eie Folge besoders eifacher Futioe fide a, die f beliebig gut approximiere. Betrachtet ma CK, als ormierte Vetorraum ud defiiert PK als die Mege aller Polyomfutioe vo K ach R, d. h. PK := {g : K R : ψ R[X] x K : gx = ψx}, so liefert der Satz also beliebig gute Näheruge vo f CK im Teilraum PK. 1 Berstei, S. N., Démostratio du théorème de Weierstrass fodée sur le calcul des probabilités, Commu. Soc. Math. Kharow, Vol. 12, No. 2, pp. 1-2, 1912/ Auf CK hadelt es sich hierbei tatsächlich um eie Norm icht so auf K R, wo de Wert aehme a. 1

2 Bersteipolyome 2 Bersteipolyome 2. Bersteipolyome Defiitio. Es sei f : [0, 1] R eie Futio. Das -te Bersteipolyom vo f ist das Polyom f t 1 t R[t]. Die vo diesem Polyom auf [0,1] iduzierte Polyomfutio wird mit B f bezeichet: B f x := f x 1 x, x [0, 1]. Bei de Bersteipolyome hadelt es sich also um bestimmte Liearombiatioe vo Polyome der Form b, t := t 1 t, die für de Fall = 3 i Abbildug 1 dargestellt sid. 1 = 0 = 1 = 2 = Abbildug 1: Die Polyome b 3,, = 0,..., 3, auf dem Eiheitsitervall. Berstei gibt folgede stochastische Motivatio für seie Polyome: Er betrachtet ei Ereigis etwa jees, daß eie gegebee Müze ach eimaligem Wurf Kopf zeigt, desse Wahrscheilicheit x [0, 1] betrage. Mit eiem Glücsspieler wird vereibart, das Experimet -fach zu wiederhole ud dem Spieler de Gewi f auszuschütte, falls das Ereigis geau -mal eigetrete ist. Da beträgt der Erwartugswert für de Gewi f P{geau -mal Kopf} = B f x. Ei egativer Gewi ist als Verlust zu lese; ei egativer Erwartugswert bedeutet, daß es sich icht loht zu spiele. Währed Berstei de gesamte Beweis i der Sprache vo Wahrscheilicheite ud Erwartugswerte verfaßt, ziehe wir hier eie rei aalytische Formulierug vor. 2

3 Bersteipolyome 3 Beweis des Satzes 3. Beweis des Satzes Lemma 3.1. Es sei K R ompat ud f : K R eie stetige Futio. Da ist f icht ur stetig, soder sogar gleichmäßig stetig. Dieses Lemma ist bereits aus der Aalysis i beat ud hier ur der Vollstädigeit halber bewiese. Beweis. Ageomme, die Kovergez sei icht gleichmäßig. Da gibt es ei ε > 0 ud zu jedem N Pute x, y K mit x y < 1, aber f x f y > ε. Nach dem Satz vo Bolzao-Weierstraß habe die beschräte Folge x N ud y N overgete Teilfolge, dere Grezwerte wege der Abgeschlosseheit vo K wieder i K liege ud wege lim x y = 0 übereistimme. Der gemeisame Grezwert sei mit x 0 bezeichet. Da f stetig ist, gibt es ei δ > 0, so daß aus x x 0 < δ stets f x f x 0 < ε 2 ud aus y x 0 < δ stets f y f x 0 < ε 2 folgt. Diese Ugleichuge sid erfüllt, we ma x = x ud y = y mit eiem geüged große wählt. Es folgt ei Widerspruch. ε < f x f y f x f x 0 + f x 0 f y < ε, Wir beschräe us u zuächst auf de Fall K = [0, 1], so daß wir mit de Bersteipolyome arbeite öe, ud führe aschließed de allgemeie Fall darauf zurüc. Die folgede Spezialfälle helfe bei spätere Abschätzuge. Lemma 3.2. Es sei N. a Für f : [0, 1] R, x 1 gilt B f = f. b Für f : [0, 1] R, x x gilt ebefalls B f = f. c Für f : [0, 1] R, x x1 x ud x [0, 1] gilt B f x = 1 1 f x. Beweis. Ma rechet ach: a Mit dem biomische Lehrsatz hat ma B f x = x 1 x = x + 1 x = 1. b Mithilfe vo a ergibt sich für alle x [0, 1] B f x = x 1 x = = 1 = x =1 1!! 1! x+1 1 x 1 1 x 1 x 1 = x. 1 1! 1!! x 1 x 3

4 Bersteipolyome 3 Beweis des Satzes c Wiederum mit a hat ma für x [0, 1] B f x = = 1 = =1 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 = x1 x = 1 1 x +1 1 x 1 x 1 x 2 x1 x. Lemma 3.3. Für x [0, 1] ud N gilt 0 x 2 x 1 x = x1 x 1 4. Beweis. Schreibt ma abürzed b x := x 1 x, so ergibt sich mit 3.2 x 2 b x = x 2 b x + 1 2x = x xx 1 1 b x x1 x 2 b x = x1 x. Aus 0 x = x 2 x folgt weiter x1 x 1 4, womit alles gezeigt ist. Lemma 3.4. Es sei f : [0, 1] R stetig. Da overgiert die Futioefolge B f N gleichmäßig gege f. Beweis. Zu gegebeem ε > 0 ist zu zeige, daß für geüged große N gilt: f x B f x < ε für alle x [0, 1]. Da f ach 3.1 gleichmäßig stetig ist, gibt es ei δ > 0, so daß aus x 1 x 2 < δ stets f x 1 f x 2 < ε 2 3 4

5 Bersteipolyome 3 Beweis des Satzes folgt. Es sei u x [0, 1] gegebe. Um f x B f x geeiget abschätze zu öe, teile wir die Mege {0,..., } i zwei Teile auf, ud zwar { A := {0,..., } : x } { < δ ud A := {0,..., } : x } δ. Ma erhält 3 für beliebig gegebees x [0, 1]: f x B f x = f x f Dreiecsugl. f x f = f x f A + f x f A 3 ε 2 A Def. vo A ε 2 A x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x + 2 f x 1 x + 2 f δ 2 x 1 x A A x x 1 x 2 x 1 x ε 2 + f 2δ 2 < ε für alle > 0 := f εδ 2. Die Existez vo f folgt hierbei aus dem Satz vom Miimum ud Maximum. Ma beachte, daß die Wahl des 0 uabhägig vo x erfolgt, was für die gleichmäßige Kovergez wesetlich ist. Jetzt folgt der Satz wie folgt. Beweis. Es erfülle f : K R die Voraussetzuge des Satzes, d. h. K = [a, b] R ist ei ompates Itervall ud f ist stetig. Defiiere die Kovexombiatio f : [0, 1] R, x f a + xb a. Mit f ist auch f stetig, so daß 3.4 eie Folge φ N liefert, die gleichmäßig gege f overgiert. Für N defiiere x a φ : K R, x φ. b a 3 Berstei beutzt a dieser Stelle ei Ergebis aus der Wahrscheilicheitsrechug, ach dem der Ausdruc A x 1 x für gege 0 overgiert. Wir beutze stattdesse die elemetarere Aussage i

6 Bersteipolyome 4 Ameruge zur Aussage des Satzes Da overgiert φ N gleichmäßig gege f, de f φ = f φ Ameruge zur Aussage des Satzes Über die Voraussetzug eies ompate Defiitiosbereichs. Die Aahme des Satzes, daß der Defiitiosbereich ompat ist, a icht weggelasse werde, da es z. B. zu de Futioe g 1 : 0, 1 R, x 1 x ud g 2 : [0, R, x e x eie beliebig gute polyomiale Näheruge gibt. Das liegt am Grezwertverhalte dieser Futioe: Es gelte lim g 1x = sowie lim g 2 x = 0, x 0 x aber für eie icht-ostate Polyomfutio ψ gilt stets lim ψx = ψ0 R ud lim ψx {± }, x 0 x mithi g 1 ψ = g 2 ψ =. Über die Aahme, daß die Futio f stetig ist. Auch die Aahme der Stetigeit vo f ist otwedig. Zu eier icht stetige Futio fidet ma im allgemeie icht eimal beliebig gute stetige Approximatioe. Das sieht ma zum eie dara, daß ei gleichmäßiger Grezwert stetiger Futioe stets eie stetige Futio ist, oder a eiem Gegebeispiel: Betrachte g : [0, 1] R, x sgx. Ageomme, ψ N sei eie Folge stetiger Futioe, die gleichmäßig gege g overgiere. Da gibt es ach der Defiitio der gleichmäßige Kovergez ei 0 N mit g ψ < 1 2 für alle 0. Fixiert ma ei solches, so hat ma isbesodere ψ 0 < 1 2. Wege der Stetigeit vo ψ gibt es u ei Itervall [0, δ, so daß sogar ψ x < 1 2 für alle x [0, δ gilt. Da gilt aber für x 0, δ: Dies ist ei Widerspruch zu g ψ < 1 2. gx ψ x = 1 ψ x > =

7 Bersteipolyome 4 Ameruge zur Aussage des Satzes Über die Aahme, daß der Defiitiosbereich ei Itervall ist. Schließlich ist aber eie Bedigug des Satzes verzichtbar: We wir de Defiitiosbereich [a, b] durch ei beliebiges Kompatum K R ersetze, bleibt die Aussage gültig. Korollar. Ist K R ompat ud f : K R eie stetige Futio, so gibt es eie Folge vo Polyomfutioe auf K, die gleichmäßig gege f overgiert. Beweis. Die Idee ist, f auf dem ompate Itervall [mi K, max K] stetig fortzusetze. Es sei dazu x [mi K, max K] \ K. Da x icht i K liegt ud K ompat ist, ist x ei Häufugsput vo K, d. h. es gibt eie zu K disjute Umgebug x δ, x + δ mit δ > 0. Das Maximum des ompate Itervalls [mi K, x δ] K ist der größte Put i K, der leier ist als x ud sei mit ax bezeichet. Geauso gibt es auch leiste Put bx i K, der größer ist als x. Verbidet ma die Pute ax, f ax ud bx, f bx durch eie Gerade, defiiert ma also { f x, x K, f : [mi K, max K] R, x f ax + x ax bx ax f bx f ax, x / K, so ist f stetig ud geügt de Voraussetzuge des Satzes, so daß es eie Folge vo Polyome gibt, die gleichmäßig gege f ud damit auch gleichmäßig gege f overgiert. Über die umerische Awedug. Im Beweis des Satzes habe wir zwar eie explizite Polyomfolge ostruiert, die gleichmäßig gege die gegebee Futio overgiert. Zur umerische Awedug sid die Bersteipolyome aber etwas uhadlich, da speziell die Futioswerte a de Stelle, = 0,...,, beat sei müsse bzw. bei Salierug auf ei allgemeies ompates Itervall [a, b] a de Stelle a + b a. Außerdem ist icht lar, welche Wahl vo die gewüschte Geauigeit garatiert, da ma de im Beweis verwedete Stetigeitsmodul icht zahlemäßig bestimme möchte. 7