Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Zur Erforschung der Kartoffelfäule wird ein Labor mit einem Versuchsfeld und den zu untersuchenden Kartoffeln angelegt. Die Pflanzenversuchsanordnung sieht folgendermaßen aus: Auf jedem Quadratmeter wurden 100 Kartoffelpflanzen gepflanzt. Nach einer bestimmten Zeit wurden dies auf Kartoffelfäule untersucht. Von diesen zahlreichen Untersuchungen sind hier 15 Stichproben gegeben, die die Anzahl der von Kartoffelfäule befallenen Pflanzen pro Quadratmeter angeben: 7, 3, 6, 8, 1, 7, 7, 10, 4, 7, 8, 5, 7, 5, 8 Stellen Sie die gegebenen Daten in einem Box-Plot-Diagramm dar. i Mit diesen Werten erhält man: x=6,2, σ=2,2. Interpretieren Sie diese Werte im Kontext und beschreiben Sie, wie das arithmetische Mittel berechnet wird. Die Wissenschaftler schließen aus ihren gesammelten Daten, dass der Krankheitsbefall ca. 7,5% der Pflanzen eines Feldes beträgt. Geben Sie eine Rechnung an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass bei einer Stichprobe mit 10 Kartoffelpflanzen mehr als 2 Pflanzen von der Krankheit befallen sind. i Argumentieren Sie, welche Verteilung Sie dabei verwenden. (c) Bei Feldern mit 1 Hektar Größe, auf dem etwa Kartoffelpflanzen wachsen, kann eine Normalverteilung mit μ = und σ = vorausgesetzt werden, wobei die Zufallsvariable X die Anzahl der von Kartoffelfäule befallenen Pflanzen angibt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens befallenen Pflanzen auf so einem Feld zu finden sind. i Stellen Sie diese Wahrscheinlichkeit grafisch dar. Zeichnen Sie dabei auch μ und σ ein. 2. Das Reiseportal goeuro hat die durchschnittlichen Preise für Unterkünfte in 150 Städten erhoben. An erster Stelle lag New York mit 198, an letzter Stelle Tirana (Albanien) mit 26. Die Verteilung der Preise wird im folgenden Boxplot-Diagramm dargestellt: Ergänzen Sie die folgenden Aussagen: In % aller Städte kostet eine Übernachtung weniger als 45. Die mittleren 50% der Preise liegen zwischen und. i In Wien kostet eine Unterkunft durchschnittlich 61. Innsbruck liegt auf Platz 34 (vom höchsten Preis aus gerechnet). Geben Sie an, in welchen Quartilsbereichen Wien und Innsbruck liegen. ii Argumentieren Sie, ob das arithmetische Mittel er Preise ungefähr gleich hoch wie der Median, höher oder niedriger ist. Bei 4% aller Urlaubsreisen kommt es zu Beschwerden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich von 20 Personen, die eine Reise

2 buchen, mindestens 2 beschweren. i Begründen Sie, welches Modell Sie hier verwenden. (c) Alina fährt für eine Woche nach Kreta. Dort kann man manchmal Delfine beobachten. Die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag einen Delfin zu sehen, sei p. Erstellen Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, an mindestens einem von 7 Tagen einen Delfin zu sehen. i Im Reiseprospekt steht: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 3 bekommen Sie in einer Woche mindestens einmal einen Delfin zu sehen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, an einem bestimmten Tag einen Delfin zu sehen Ein Schmuckhändler zahlt einem Südseetaucher für jede abgelieferte Muschel 0,05. Erfahrungsgemäß findet man in 16% dieser Muscheln genau eine Perle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Händler für 1 mindestens eine Perle erhält? i Geben Sie eine Formel an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass der Händler für 1 genau 3 Perlen erhält. ii Begründen Sie, welches Modell Sie hier verwenden. iv. Wie viele Muscheln muss der Händler mindestens kaufen, damit er mit mehr als 95% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Perle bekommt? Wie groß müsste die Wahrscheinlichkeit für eine Perle in einer Muschel sein, wenn der Perlenhändler mit 99%iger Wahrscheinlichkeit in 10 Muscheln mindestens eine Perle finden möchte? Bei einem Glücksrad beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,3. Geben Sie eine Formel an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, bei 30 Versuchen genau 10 Gewinne zu erhalten. i Berechnen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 30 Versuchen mehr als 2 Gewinne zu erhalten. ii Erklären Sie, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzt wird und warum. Beim französischen Roulette gibt es 37 Zahlen. Davon sind 18 rot, 18 schwarz und die Null ist grün. Auf dem Spieltisch sind die Zahlen in Reihen mit je 3 Zahlen angeordnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man gewinnt, wenn man auf Null gesetzt hat. i verliert, wenn man auf zwei benachbarte Querreihen gesetzt hat. ii zwei Mal hintereinander gewinnt, wenn man jedes Mal auf Rot gesetzt hat. (c) Jemand spielt 10 Mal und setzt immer auf die Null. Geben Sie eine Formel an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass er mindestens einmal gewinnt.

3 (d) An einem Roulettetisch wird an einem Abend etwas über 1000 mal gespielt. Die Anzahl der Treffer für Rot sei normalverteilt mit μ = 500 und σ = 50. Man gewinnt, wenn man auf Rot setzt und Rot kommt. Skizzieren Sie die Verteilung und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, öfter als 500 mal zu gewinnen. i Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zwischen 400 und 600 mal zu gewinnen. ii Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, weniger als 450 mal zu gewinnen. iv. Geben Sie das symmetrische Intervall an, in dem mit 90% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Gewinne liegen. (e) Beim Poker kennt man die Einsätze von 15 verschiedenen Spielern (in ): 100, 200, 100, 700, 300, 400, 500, 700, 600, 200, 300, 800, 500, 500, 1100 Ordnen Sie den Merkmalen x = 100, 200,., 1100 die relativen Häufigkeiten r(x) zu. A. Erstellen Sie eine Tabelle für dieses Zuordnung. B. Erstellen Sie ein Histogramm für diese Zuordnung. i Ermitteln Sie den Median und das arithmetische Mittel. ii Zeichnen Sie dazu ein Boxplot-Diagramm. 5. Ein Glücksrad besteht aus 100 Feldern, wobei man bei 30 Feldern 100 und bei 20 Feldern Gutscheine im Wert von 150 gewinnen kann. Der Rest der Felder bringt keinen Gewinn. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei zweimaligem Drehen des Glücksrades nur Gutscheine oder nur Geldbeträge zu gewinnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Drehen je ein Ergebnis zu erzielen. (c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei zweimaligem Drehen genau einmal keinen Gewinn zu erhalten. Im Laufe eines Tages wird sehr oft an dem Glücksrad gedreht. Die Anzahl der Gewinne sei normalverteilt mit μ = und σ = (d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als Gewinne ausgegeben werden. (e) Interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit aus (d) grafisch Prozent aller Ketchupflaschen haben eine zu geringe Füllmenge im Vergleich zum angegebenen Wert. Es werden 5 Ketchupflaschen einer Kontrolle unterzogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Ketchupflasche zu wenig Füllmenge hat? Geben Sie zwei Rechenwege an und erklären Sie, warum beide Wege zum Ergebnis führen. i Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Ketchupflasche eine zu geringe Füllmenge hat? Die Füllmenge ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 250 g bei einer Standardabweichung von 10 g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit weniger als 260 g herausgreift? i Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit mehr als 235

4 g herausgreift? ii Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine Ketchupflasche mit weniger als 250 g herausgreift? Begründen Sie, warum Sie dieses Ergebnis auch ohne Hilfsmittel (Taschenrechner) erhalten können. iv. Skizzieren Sie die Lösungen von i - iii in den unten dargestellten Gaußkurven und zeichnen Sie den gefragten Wert und den Erwartungswert ein. 7. Der Hersteller von Energydrinks der Marke White Cow füllt seine Dosen mit 250 ml Inhalt ab. Aus Beobachtungen weiß man, dass 9 % der Dosen nicht ordnungsgemäß abgefüllt werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei 15 zufällig herausgegriffenen Dosen 3 bis 6 Dosen i mindestens 1 Dose nicht ordnungsgemäß abgefüllt wurde. Geben Sie eine Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an, dass genau 3 Dosen nicht ordnungsgemäß gefüllt sind, wenn n zufällig herausgegriffene Dosen überprüft werden und man weiß, dass 9 % der Dosen nicht ordnungsgemäß gefüllt werden. (c) Von 10 Dosen wurde die Füllmenge (in ml) gemessen: , , ,5 255 Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Median (Zentralwert) der Füllmengen. i Erklären Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels in Worten. ii Angenommen, der kleinste Wert dieser Liste würde halbiert werden. Welche der folgenden Kennzahlen der Liste der Füllmengen ändern sich dadurch NICHT? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an. Spannweite Maximum Modus Arithmetisches Mittel Standardabweichung (d) Der Hersteller gibt an, dass seine Dosen einen Inhalt von 250±0,8 ml aufweisen.

5 Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt einer zufällig entnommenen Dose unter 249 ml beträgt i mehr als 1,5 ml vom Erwartungswert abweicht. (e) Die nachfolgende Grafik zeigt einen Boxplot über die Füllmengen aller 120 geprüften Dosen. Die Füllmengen sind in ml angegeben. Ergänzen Sie folgende Aussagen, sodass sie zu obigem Boxplot-Diagramm passen: A.... Prozent aller geprüften Dosen enthalten mehr als 251 ml. B.... Prozent aller geprüften Dosen enthalten weniger als 251 ml. C. Keine geprüfte Dose enthält weniger als... ml. D.... Dosen enthalten 248 bis 250 ml. E. 30 Dosen enthalten... bis... ml. i Begründen Sie, ob und wie sich das Diagramm ändern würde, wenn das arithmetische Mittel statt 250 ml 250,5 ml betragen würde. 8. Im Kindergarten Kinderparadies weiß man aus Erfahrung, dass im Durchschnitt 8 % der Kinder wegen Krankheit oder aus anderen Gründen fehlen. Eine Gruppe besteht aus 25 Kindern. Was kann man aus dieser Aussage schließen? Kreuzen Sie die beiden richtigen Antworten an. In einer Gruppe mit 25 indern fehlen mit Sicherheit 2 Kinder. Jedes achte Kind fehlt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind zu Hause bleibt, beträgt 8%. Jedes Kind bleibt an 8% aller Öffnungstagen zu Hause. Es ist auch möglich, dass von 25 Kindern 5 fehlen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe mit 25 Kindern mehr als 3 Kinder fehlen.

6 (c) Begründen Sie, welche Verteilung Sie dabei verwenden. (d) Geben Sie eine Rechnung an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass in dieser Kindergruppe höchstens 2 Kinder fehlen. (e) Interpretieren Sie, was in diesem Zusammenhang mit der folgenden Formel berechnet wird: ( 25 5 ) 0,085 0,92 20 (f) In der Spielzeugkiste sind 10 rote und 10 gelbe Bälle. Drei Kinder nehmen ohne hinzusehen je einen Ball heraus. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Kind einen roten Ball bekommt. i Argumentieren Sie, ob Sie hier mit Binomialverteilung rechnen dürfen. 9. Das folgende Boxplot-Diagramm zeigt die Anzahl der Verkehrstoten der 27 EU-Länder im Jahre 2008: Barbara meint: Die durchschnittliche Anzahl an Verkehrstoten betrug 2008 in der EU =2726. Argumentieren Sie, ob sie Recht hat. 2 Füllen Sie die Lücken folgender Sätze mit Hilfe des Boxplot-Diagramms: In... % der EU-Ländern gab es im Jahre 2008 mindestens 679 Verkehrstote. i In ca. 75% der EU-Länder gab es höchstens... Verkehrstote. ii Etwa... EU-Länder hatten im Jahr bis 2645 Verkehrstote zu beklagen. (c) Angenommen, die EU-weite Zahl der Verkehrstoten ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 1573 und der Standardabweichung 172. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Verkehrstoten in einem EU- Land größer als 1700 ist? i In welchem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % die Anzahl der Verkehrstoten eines EU-Landes? ii Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl der Verkehrstoten in einem EU-Land zwischen 1300 und 1500 liegt, beträgt etwa 28 %. Zeichnen Sie diesen Sachverhalt in folgender Darstellung ein:

7 10.Am Münchner Oktoberfest bietet ein Stand folgendes Glücksspiel an: Aus einer Urne mit 20 roten, 20 blauen und 60 weißen Kugeln zieht man blind 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Hat man 3 rote oder 3 blaue Kugeln gezogen, so gewinnt man eine Mass Bier im Wert von 10,40. Einen Schal des FC Bayern München gewinnt man mit zwei roten und einer weißen Kugel, einen Fanschal des Stadtrivalen 1860 München mit zwei blauen und einer weißen Kugel (Wert eines Schals ist jeweils 6,20 ). Alle anderen Kugelkombinationen bedeuten keinen Gewinn. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn von einer Mass Bier und für den Gewinn eines Fanschals. Argumentieren Sie, warum beim Ziehen ohne Zurücklegen keine Binomialverteilung vorliegen kann. Ein Blumengroßhandel aus München bestellt Rosen für die Zeit des Oktoberfests, in der bekanntlich die Nachfrage wesentlich höher ist als im übrigen Jahr. Nicht alle Rosen sind für den Weiterverkauf geeignet. (c) Berechnen Sie mittels Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der makellosen (für den Verkauf geeigneten) Rosen zwischen und liegt. Verwenden Sie für den Erwartungswert μ = und für die Standardabweichung σ = 85, Unter einem Jahrhunderthochwasser versteht man ein Hochwasser, das statistisch nur alle 100 Jahre auftritt, das heißt, die Wahrscheinlichkeit für ein Auftreten in einem bestimmten 1 Jahr beträgt. Das letzte Jahrhunderthochwasser fand im Jahr 2002 statt. 100 Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass ein solches Ereignis innerhalb von 12 Jahren zweimal auftritt. 12.Die Gehälter in Herrn W.s Firma sind normalverteilt mit μ = und σ = 860. Kennzeichnen Sie in folgender Grafik jenen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(G 21200) entspricht. Geben Sie ein um μ symmetrisches Intervall an, in dem die Gehälter von 90% aller MitarbeiterInnen liegen. Runden Sie auf.

8 13. Die Wahrscheinlichkeit für einen Stromausfall beträgt täglich 0,3%. Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass der Strom in einem Jahr (365 Tage) genau dreimal ausfällt. Bei E-Control findet man folgende Statistik bezüglich der jährlichen ungeplanten kundenbezogenen Nichtverfügbarkeit der Stromversorgung: Jahr Nichtverfügbarkeit in min 38,36 55,35 56,37 42,71 41,59 35,93 28,32 32,9 33,01 33,26 27,18 Berechnen Sie das arithmetische Mittel x Stromausfälle. und den Median m der Dauer der (c) Die Dauer der jährlichen ungeplanten kundenbezogenen Nichtverfügbarkeiten der Stromversorgung seien normalverteilt mit μ = 38,63 min und σ = 9,33 min. Geben Sie eine Skizze an, mit der die Wahrscheinlichkeit P(S 31,5) grafisch dargestellt werden kann. i Geben Sie ein symmetrisches Intervall um μ an, in dem die Dauer eines Stromausfalls mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% liegt. Runden Sie die Ergebnisse auf Minuten.

9 Ergebnisse: 1. (c) i 6,2±2,2 Pflanzen pro Quadratmeter sind im Durchschnitt befallen. Alle Werte werden addiert und durch die Anzahl der Werte dividiert. P(F 3)=1 P(F 2)=1 (10 0 ) 0,0750 0, (10 1 ) 0,0751 0,925 9 (10 2 ) 0,0752 0,925 8 i Binomialverteilung: zwei mögliche Ausgänge (befallen/nicht befallen), Ereignisse unabhängig voneinander P(X )=normalcdf (0, ,70000, 19500)=93,79 % i (c) In 25% aller Städte kostet eine Übernachtung weniger als 45. Die mittleren 50% der Preise liegen zwischen 45 und 75. i Wien: zwischen Median und 3.Quartil Innsbruck: oberhalb des 3. Quartils ii Das arithmetische Mittel ist höher als der Median, weil einige Preise sehr viel höher als der Durchschnitt sind. 1 binomcdf(20, 0.04, 1) = 0,1897 i Binomialverteilung, weil die Wahrscheinlichkeit für eine Beschwerde konstant ist P(X 1)=1 (1 p) 7 i ca. 15% P(P 1)=1 binompdf (20, 0.16, 0)=0,9694 i P(M=3)= (20 3 ) 0,163 0,84 17 ii Binomialverteilung, da Wahrscheinlichkeit gleich bleibt und zwei Ausgänge (Perle/keine Perle) iv. mind. 18 Muscheln

10 4. 36,9% ( 30 10) 0,310 0,7 20 i 99,79 % ii Binomialverteilung, da es zwei Ausgänge gibt, die Versuche unabhängig voneinander sind und daher die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben 2,7 % i 83,78 % ii 23,67 % (c) 1 ( ) (d) (e) i 95,45 % ii 15,87 % iv. [418; 582] x r(x) ,33% ,33% ,33% 400 6,67% 500 0,00% 600 6,67% ,33% 800 6,67% 900 0,00% ,00% ,67% i 500 ; 466,67 ii 100, 200, 500, 700, 1100

11 % 18% (c) 50% (d) 0,0429% P(X 1) = 14,13 % Es gibt 6 Lösungspfade bei 5 Zügen, die gemeinsam 100% Wahrscheinlichkeit ergeben. 0b man nun einzelne Pfade addiert oder 1 - des einzigen nicht relevanten Pfades rechnet (also die Gegenwahrscheinlichkeit berechnet), ist gleich. i P(X=1) = 13,2 % P(X<260) = 84,13 % i P(X>235) = 93,32 % ii P(X<250) = 50 % Weil die Normalverteilung symmetrisch ist, ist die Füllmenge mit je 50 % Wahrscheinlichkeit kleiner oder größer als der Erwartungswert. iv. 7. (c) 14,67% i 75,70% P(D=3)= (n 3) 0,093 0,91 n 3 250,25; 249,75 i alle Werte werden addiert und durch ihre Anzahl dividiert ii Maximum, Modus

12 8. 9. (d) (e) 10,56% i 6,08% A. 25% B. 75% C. 246,5 D. 30 E. mehrere Möglichkeiten, zb. 246,5 bis 248 i nein, da das arithmetische Mittel hier keine Rolle spielt 3. und 5. 13,51% (c) Binomialverteilung, da die Ereignisse unabhängig voneinander sind (d) P(K 2)= (25 2 ) 0,082 0, (25 1 ) 0,08 0, (25 0 ) 0,080 0,92 25 (e) Wahrscheinlichkeit, dass von 25 Kindern genau 5 fehlen (f) 39,47% i nein; da die Bälle nicht zurückgelegt werden, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten, Ereignisse sind abhängig Sie hat nicht Recht. Mit der durchschnittlichen Anzahl meint man üblicherweise das arithmetische Mittel, das man berechnet, indem man die Zahlen aller Verkehrstoten addiert und durch die Gesamt zahl (hier 27) dividiert. Dieser Mittelwert ist aus der Grafik nicht zu ermitteln. Aus der Grafik kann man den Median ablesen, der 679 beträgt. (c) In 50 % der EU-Ländern gab es im Jahre 2008 mindestens 679 Verkehrstote. i In ca. 75% der EU-Länder gab es höchstens 2645 Verkehrstote. ii Etwa 13 (14) EU-Länder hatten im Jahr bis 2645 Verkehrstote zu beklagen. P(mehr als 1700 Verkehrstote) = 23,01% i 1290 bis 1856 Verkehrstote ii 10. P(Mass Bier) = P(r,r,r) + P(b,b,b) 0,014

13 P(Schal) = P(r,r,w) + P(b,b,w) 0,141 Da sich die Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg mit jedem Zug ändern. (c) P( X ) = normalcdf(91700, 92100, 85.79, 92000) 0, P(J=2)= (12 2 ) 0,012 0, x 1 =invnorm(0.05,20200,860) 18785,43 x 2 =invnorm(0.95,20200,860) 21614,57 90% der MitarbeiterInnen erhalten bis P(A=3)= (365 3 ) 0,0033 0, ,63 min; 35,93 min (c) i 27 bis 51 Minuten