Daten und Zufall Beitrag 14 Erwartungswert kennenlernen 1 von 32. Welchen Gewinn kann man bei Glücksspielen erwarten? Den Erwartungswert kennenlernen

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1 IV Daten und Zufall Beitrag Erwartungswert kennenlernen von 3 Welchen Gewinn kann man bei Glücksspielen erwarten? Den Erwartungswert kennenlernen Von Alessandro Totaro, Stuttgart Illustriert von Oliver Wetterauer, Stuttgart Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Glücksspiel zu gewinnen? Welchen Gewinn kann man langfristig erwarten? Hier lernen Ihre Schülerinnen und Schüler den Erwartungswert kennen und können die Fragen dann spielerisch beantworten! Klasse 9/0 Dauer Inhalt Kompetenzen Ihr Plus 6 Stunden Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ziehen mit oder ohne Zurücklegen, Baumdiagramm, Erwartungswert mathematische Probleme lösen (K); mathematisch modellieren (K3); mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) differenziertes Übungsmaterial mit spielerischen Übungen und Tippkarten

2 von 3 Didaktisch-methodische Hinweise Das Themenfeld Daten und Zufall ist ein zentrales Element der Abschlussprüfung und die Berechnung des Erwartungswerts ist eine Teilkompetenz. Die Voraussetzung, um den Erwartungswert berechnen zu können, sind die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der Umgang mit der Wahrscheinlichkeit bereitet jedoch vielen Schülerinnen und Schülern große Schwierigkeiten und ist bis zur Klassenstufe 0 eine wichtige Grundfertigkeit. Es ist von großer Bedeutung, dass die Lernenden die unterschiedlichen Grundaufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ziehen mit und ohne Zurücklegen, unterscheiden und berechnen können. Somit steigt diese Unterrichtseinheit mit einer Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung ein. Worum geht es inhaltlich? Mit dieser Übungseinheit festigen die Schülerinnen und Schüler ihre Fertigkeiten und Fähigkeiten im Umgang mit dem Erwartungswert. Dazu wiederholen und üben sie die Grundaufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit und ohne Zurücklegen, und beachten die Folgen für die Produktregel. Gleichzeitig benötigen die Lernenden auch die Summenregel in verschiedenen Aufgaben, da die angegebenen Ereignisse mehrere Ergebnisse umfassen. Die Übersetzung zwischen innermathematischer und außermathematischer Welt ist eine wichtige Fähigkeit, die hier gefördert wird. Das mathematische Modellieren mithilfe von Wahrscheinlichkeiten und des Erwartungswerts kann dazu beitragen, ein konkretes Problem, wie zum Beispiel die Gewinnberechnung bei einem Schulfest, vorzunehmen. Wie ist die Übungseinheit aufgebaut? In der Stunde geht es darum, die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu wiederholen. Das motivierende Spiel Memory (M ) gibt den Lernenden die Möglichkeit, alle Begriffe, die für das spätere Rechnen der Aufgaben nötig sind, aufzufrischen. Außerdem eignet sich das Arbeitsblatt zum Ziehen mit Zurücklegen (M ), um die erste Grundaufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu trainieren. In der Stunde wiederholen die Schülerinnen und Schüler die zweite Grundaufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Anhand des Partnerarbeitsblattes zum Ziehen ohne Zurücklegen (M 3) üben sie, mittels einer Tandemarbeit diesen Themenbereich zu erschließen. In den Stunden 3 und verknüpfen die Lernenden das Thema Wahrscheinlichkeit mit dem Thema Erwartungswert. Die Folie zur Einführung des Erwartungswerts (M ) dient dazu, wichtige Grundlagen aufzubauen. So verstehen die Lernenden, wie sie effektiv und zielorientiert vorgehen, um den Erwartungswert zu berechnen. Das anwendungsorientierte Arbeitsblatt (M 5) motiviert die Lernenden, den zu erwartenden Gewinn bei einer Tombola zu berechnen. Auch mit dem schülerorientierten Arbeitsblatt (M 6) üben die Schülerinnen und Schüler die Berechnung des Erwartungswerts. Dabei lernen sie das Tiroler Roulette kennen und bestimmen den zu erwartenden Gewinn. In den Stunden 5 und 6 treffen die Lernenden auf komplexere Alltagsaufgaben aus ihrer Lebenswelt. Bei der Analyse eines Fußballwettspiels (M ) und eines Verkaufsstandes beim Sommerfest (M 8) wenden sie ihre Kenntnisse in Bezug auf den Erwartungswert an. M 8 ist in drei Niveaustufen unterteilt. Dadurch erhalten die Lernenden die Chance, auf ihrem Niveau zu üben. Dies kann sich positiv auf die Einstellung zum Fach Mathematik auswirken. Die heutigen Klassen bestehen häuig aus heterogenen Lerngruppen, sodass differenzierte Arbeitsblätter von enormer Bedeutung sind, um einen effektiven Lernzuwachs zu gewährleisten. Schließlich trainieren die Lernenden mit dem anwendungsorientierten Arbeitsblatt (M 9) die Überprüfung von Zufallsexperimenten. Sie lernen, wie man feststellt, ob ein Spiel fair ist. Je nach Aufgabenstellung stellen die Schülerinnen und Schüler einen anderen Bezug zur Realität her und lernen verschiedene Aspekte zur Bedeutung kennen.

3 von 3 Auf einen Blick Stunde / Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundfertigkeiten wiederholen M (Bv) Finde passende Paare! Memory zu den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeit M (Ab) Bist du it in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? Ziehen mit Zurücklegen M 3 (Pa) Gemeinsam sind wir stark! Ziehen ohne Zurücklegen + Loesungen_M3.doc Stunde 3/ Erwartungswert einführen und verstehen M (Fo) Können sich die Erwartungen erfüllen? Glücksspiele auf dem Jahrmarkt M 5 (Ab) Welchen Gewinn kannst du erwarten? Tombola M 6 (Ab) Für wen lohnen sich diese Gewinnspiele? Tiroler Roulette und Glücksrad Stunde 5/6 Erwartungswert Fertigkeiten und Fähigkeiten anwenden M (Ab) Tippst du auf die deutsche Nationalmannschaft? Fußballwettspiel M 8 (Ab) Unser Verkaufsstand auf dem Sommerfest was werden die Klassen einnehmen? M 9 (Ab) Sind diese Spiele fair? Analyse von Glücksspielen Lernerfolgskontrolle M 0 (Lk) Fit für den Test? Gemischte Aufgaben rund um die Wahrscheinlichkeit Zusatzmaterial M (Bv) Tippkarten zum Thema Wahrscheinlichkeit Ab: Arbeitsblatt; Bv: Bastelvorlage; Fo: Folie; Lk: Lernerfolgskontrolle; Pa: Partnerarbeitsblatt Minimalplan Ihre Zeit ist knapp? Dann planen Sie die Unterrichtseinheit für 3 Stunden als Stationenarbeit. Folgende Materialien eignen sich dafür: Station : Gemeinsam sind wir stark! Ziehen ohne Zurücklegen M 3 Station : Können sich die Erwartungen erfüllen? Glücksspiele auf dem Jahrmarkt M Station 3: Welchen Gewinn kannst du erwarten? Tombola M 5 Station : Unser Verkaufsstand auf dem Sommerfest M 8 was werden die Klassen einnehmen? Die Lösungen zu den Materialien inden Sie ab Seite.

4 6 von 3 M Bist du fit in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? Ziehen mit Zurücklegen Kennst du dich noch aus? Hier wiederholst du die Grundfertigkeiten beim Ziehen mit Zurücklegen. Aufgabe In einer Urne befinden sich vier rote (R), zwei e (B) und eine grüne (G) Kugel. Du ziehst zwei Kugeln mit Zurücklegen. a) Erstelle das zugehörige Baumdiagramm. b) Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die Äste. c) Gib die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an: A Du ziehst zwei e Kugeln. B Du ziehst zwei gleichfarbige Kugeln. C Du ziehst mindestens eine grüne Kugel. D Du ziehst höchstens einmal eine rote Kugel. Aufgabe Du drehst das Glücksrad rechts zweimal. a) Erstelle das zugehörige Baumdiagramm. b) Schreibe die Wahrscheinlichkeiten an die Äste. c) Gib die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse an: A Du drehst beide Male einen Hauptgewinn. B Du gewinnst mindestens einen Kleingewinn. C Du verlierst beide Male. Aufgabe 3 Du ziehst aus einer Urne zwei Kugeln mit Zurücklegen. a) Ergänze das Baumdiagramm sinnvoll. rot grün 5 8 gelb gelb gelb b) Wie wahrscheinlich ist es, mindestens eine e Kugel zu ziehen? c) Zu welchem Ereignis passt die Wahrscheinlichkeit 3?

5 0 von 3 M Können sich die Erwartungen erfüllen? Glücksspiele auf dem Jahrmarkt Die Glückswürfel Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (P) Gewinn kein Gewinn Das Glücksrad Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (P) grünes Feld es Feld rotes Feld Aufgaben. Berechne jeweils den Erwartungswert aus Sicht des Verkäufers.. Sind die Spiele fair?

6 von 3 Lösungen Lösung (M ) Memory zur Wahrscheinlichkeit P(A) Dies ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A. Baumdiagramm Erwartungswert Faires Spiel Ziehen ohne Zurücklegen Ereignis Einstuiges Zufallsexperiment Zweistuiges Zufallsexperiment Bilanz Ziehen mit Zurücklegen Lösung (M ) Aufgabe a) und b) A Dies ist das Gegenereignis von A. Es hilft, um alle möglichen Kombinationen zu veranschaulichen. Er gibt an, wie viel Gewinn man langfristig pro Spiel erzielt. Dies gilt, wenn der Erwartungswert Null ergibt. Man zieht eine Kugel und legt sie nicht zurück. Es beschreibt das Ergebnis eines Zufallsexperiments. Dieses liegt vor, wenn man z. B. eine Kugel aus einer Urne zieht. Dieses liegt vor, wenn man z. B. zwei Kugeln aus einer Urne zieht. A Dies ist das Ereignis A. Dies ist die Differenz aus Einnahmen und Ausgaben. Man zieht eine Kugel und legt diese wieder zurück. Ziehen mit Zurücklegen P A = = 0,08= 8% P A = 8% 9 c) A: (b, b) daher: ( ) ( ) 3 P = + + = 0,3 = 3 % P B = 3 % B: (r, r), (b, b), (g, g) daher: ( B) ( ) C: (r, g), (b, g), (g, r), (g, b), (g, g) daher: P( C) = 0,0 % P( ) % + C = 9 = = D: (höchstens einmal rot); Zu diesem Ereignis gehört das Gegenereignis D : (zweimal rot) Es gilt P( D) = = und somit folgt: P(D) = = 0,6 = 6 % P( D) = 6 % 9 9 9

7 von 3 Lösung (M ) Erwartungswert kennenlernen Glückswürfel a) Um die Tabelle auszufüllen, muss man zuerst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, zwei Sechsen oder zwei Fünfen nacheinander zu würfeln. A: (5, 5), (6, 6) somit ist P( A) = + = P( A) = Fülle nun die Tabelle aus: Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (W) Gewinn +3,00-0,00 -,00 8 kein Gewinn +3,00-0,00 +3,00 Berechnung des Erwartungswerts: E= P B + P B E = (,00 ) + + ( 3,00 ) = 0,9 +,83 E =, Antwort: Der Verkäufer macht langfristig pro Spiel einen Gewinn von,89. b) Antwort: Das Spiel ist nicht fair, weil der Erwartungswert nicht Null ist. Glücksrad a) Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeiten für die drei Felder auf dem Glücksrad. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zeiger auf dem Viertel Kreis stehen bleibt, auch gleich einem Viertel, also 0,5. Für die Tabelle folgt: Ereignis Einnahme Auszahlung Bilanz (B) Wahrscheinlichkeit (W) grünes Feld +,00-5,00-3,00 0,5 es Feld +,00 -,00-5,00 0,5 rotes Feld +,00-0,00 +,00 0,50 8 Berechnung des Erwartungswerts: E= P B+ P B + P3 B3 E = 0,5 (-3,00 ) + 0,5 (-5,00 ) + 0,50 (+,00 ) = -0,5,5 +,00 E = -,00 Antwort: Der Verkäufer macht langfristig pro Spiel einen Verlust von,00. b) Antwort: Das Spiel ist nicht fair, weil der Erwartungswert nicht Null ist.