MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK

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1 Matematika émet yelve emelt szit 06 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006 május 9 MATEMATIKA NÉMET NYELVEN MATHEMATIK EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA HÖHERES NIVEAU ABITUR JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ ANLEITUNG ZUR BEWERTUNG UND KORREKTUR OKTATÁSI MINISZTÉRIUM MINISTERIUM FÜR BILDUNG

2 Matematika émet yelve emelt szit Wichtige Hiweise Formvorschrifte: Die Arbeit ist mit eiem adersfarbige Stift, als der Abituriet ih beutzt hat, zu korrigiere Die Fehler ud die fehlede Schritte sid wie üblich zu markiere I de Kästche ebe de Aufgabe steht zuerst die maimale Puktzahl Der Korrektor trägt die vo ihm gegebee Puktzahl i das zweite Kästche ei Bei eiwadfreier Lösug ka ohe Agabe vo Teilpukte die maimale Puktzahl eigetrage werde Bei fehlerhafte oder magelhafte Lösuge gebe Sie bitte auch die Teilpukte für die richtige Schritte a Ihaltliche Frage: Bei eiige Aufgabe sid verschiedee Lösugswege agegebe We eie vo diese uterschiedliche Lösuge vorkommt, suche Sie die gleichwertige Teile ud verteile die Pukte etspreched Die vorgeschriebee Puktzahle lasse sich weiter zerlege, dürfe aber ur als gaze Pukte vergebe werde Offesichtlich gute Lösugswege ud Edergebisse köe auch da mit maimale Puktzahle bewertet werde, we sie weiger ausführlich als die Musterlösug i der Aweisug beschriebe sid We der Schüler eie Rechefehler macht oder ugeau wird, aber damit das zu lösede Problem icht wesetlich verädert wird, bekommt er ur für de Teil keie Pukt, wo der Fehler lag We er mit falschem Teilergebis, aber mit richtigem Gedakegag weiterrechet, sid die weitere Teilpukte zu gewähre Begeht der Schüler eie theoretische Fehler, so bekommt er ierhalb eier Gedakeeiheit auch für die formell richtige mathematische Schritte keie Pukt We der Schüler i eier folgede Teilaufgabe oder Gedakeeiheit, wo durch diese Fehler das lösede Problem icht wesetlich verädert wurde, mit diesem falsche Ergebis als Ausgagswert richtig weiterrechet, bekommt er die maimale Puktzahl für diese eue Teil Falls i der Musterlösug die Eiheit bei dem Ergebis i Klammer steht, ist die Lösug auch ohe diese Eiheit als vollstädig zu bewerte Bei mehrere Lösugsversuche für eie Aufgabe ist ur eie zu bewerte (die, mit der größere Puktzahl) Zusatzpukte (mehr Pukte als die vorgeschriebee maimale Puktzahl für die Aufgabe) sid icht zugelasse Es gibt keie Puktabzug für Berechuge ud Schritte, die zwar falsch sid, aber eigetlich vom Schüler bei der Lösug der Aufgabe icht verwedet werde Im Teil II sid aus de 5 Aufgabe ur Lösuge vo zu bewerte Der Abituriet hat vermutlich die Nummer der Aufgabe, die icht bewertet werde soll, i das etsprechede Kästche eigetrage Demetspreched wird die evetuell vorhadee Lösug für diese Aufgabe icht korrigiert We die abgewählte Aufgabe icht eideutig feststeht, da ist die icht zu bewertede Aufgabe automatisch die letzte Aufgabe der vorgegebee Aufgabereihe írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

3 Matematika émet yelve emelt szit a) y I A F AB 0 K F BC B C Der Eckpukt C wird durch de Schittpukt der Mittelsekrechte der Strecke AB ud der y Achse bestimmt Der Halbierugspukt der Strecke AB: F AB ( 5; ) Ei Normalvektor der Mittelsekrechte vo AB ist: ( ; ) AB Die Gleichug der Mittelsekrechte vo AB: y = Der Basis AB gegeüberliegeder Eckpukt: C 0; ( ) Isgesamt: Der Mittelpukt des Umkreises ist der Schittpukt der Mittelsekrechte vo AB ud der Mittelsekrechte vo eiem der beide Schekel Pukte We die Koordiate vo C icht berechet wurde, soder vo der Abbildug abgelese wurde sid höchstes vo die Pukte zu gebe! Dieser Pukt ist auch da zu gebe, we dieser Zusammehag durch de Recheweg klar wird írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

4 Matematika émet yelve emelt szit Der Halbierugspukt der Strecke BC : 7 F BC ; Ei Normalvektor der Mittelsekrechte vo BC ist: CB ( 7; ) Die Gleichug der Mittelsekrechte vo BC: 7 + y = Die Lösug der Gleichugssystem aus de Gleichuge der Mittelsekrechte ist: =, 9 ; y = 0,9 Der Mittelpukt des Umkreises: Pukte K (,9; 0,9) Das Quadrat des Umkreisradius: r = KC =,9 = 6,8 Die Gleichug des Umkreises: (,9) + ( y 0,9) = 6, 8 Isgesamt: 8 Pukte Der rote Würfel hat die Kateläge a, der blaue Würfel hat die Kateläge b Der Flächeihalt des rote Würfels ist 6a ud die Pukte des blaue Würfels 6b Nach der Bedigug: 6a = 6b Pukte a ud b > 0 ergibt sich: Weil > 0 a = b Das Volume der rote Würfel mit Hilfe des Volumes der blaue Würfels: a = b 8 Weil 0, 65, deshalb ist das Volume des rote 8 Würfels 65% des Volume des blaue Würfels Also ist das Volume der rote Würfel um ca 5% kleier als das Volume der blaue Würfel Isgesamt: Pukte Pukte Pukte írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

5 Matematika émet yelve emelt szit a) We, die Lösuge der Gleichug + p = 0 sid, da sid +, + die Lösuge der Gleichug + p = 0 Bei beide Gleichuge der Satz vo Viéta - für die Summe der Lösuge: + és ( + ) + ( + ) = p = Pukte Pukte Davo ergibt sich p = Pukte Für p = habe beide Gleichuge reelle Lösuge Isgesamt: Die Diskrimiate der Gleichug + 5 = 0 ist egativ, deshalb hat die Gleichug keie reelle Lösuge Die Lösuge der Gleichug + 5 = 0 sid: = ( 0,9) ; = ( 5,9) Isgesamt: 9 Pukte Pukte Pukte Pukte Diese Puktzahl ist auch da zu gebe, we der Kadidat die Lösuge mit der Lösugsformel, aber mit Parameter p aufschreibt Die Pukte sid auch für die richtige Paare der mit der Lösugsformel erhaltee Lösuge der Gleichuge Dieser Pukt ist auch für die Betrachtug der Diskrimiate zu gebe a) ( Lösug) A, B ud C soll die Mege der Wisseschaftler bezeiche, die über die Rolle der Computer bei der Forschug, der Schulug ud der Kommuikatio Studie veröffetlicht habe Die Bediguge der Aufgabe mit diese Bezeichuge: A =, B = 8, C = 7, A B C = 0 A B + B C + C A A B C = 7 Pukte Nach Verwedug der Formel für das logische Sieb: 0 = A B C = = A + B + C A B B C C A + A B C = = A B C Pukte Daraus folgt A B C = 5 Pukte Die gefragte Wahrscheilichkeit ist: 5 P = = 0 6 Pukte Isgesamt: 0 Pukte írásbeli vizsga 06 5 / 006 május 9

6 Matematika émet yelve emelt szit a) ( Lösug) A B a (a + c + ) 8 (a + b + ) c b Pukte 7 (b + c + ) C Nach de Bediguge: () a + b + c = 7 + a + b + c + ( a + c + ) + 8 ( a + b + ) + () Pukte + 7 ( b + c + ) = 0 Nach der Zusammefassug auf der like Seite der Gleichug (): 7 ( a + b + c) = 0 Nach dem Eisetze vo () ergibt sich = 5 5 Die gefragte Wahrscheilichkeit ist: P = = 0 6 Pukte Isgesamt: 0 Pukte 5 Wisseschaftler habe Studie i alle drei Theme, 7 i geau zwei Theme, also sid die midestes i zwei Pukte Studie veröffetlicht habe Also ist die Azahl der Spezialiste 0 = 8 Pukte Isgesamt: Pukte írásbeli vizsga 06 6 / 006 május 9

7 5 a) Matematika émet yelve emelt szit II 8 8 C H m A F 8 G B Nehme wir eie ebee Schitt durch de Eckpukt der Pyramide ud durch zwei Seitehalbierugspukte der gegeüberliegede Grudkate der Pyramide, um die Seiteläge des Dachraumes zu bestimme So ergibt sich ei gleichschekliges Dreieck, mit de Seiteläge: die Basis ist 8 m, die Schekel sid m lag Die zur Basis gehörede Höhe ergibt sich ach dem Satz vo Pythagoras: m = (m) Mit de Bezeichuge der Abbildug über de ebee Schitt sid CFB ud HGB ähliche rechtwiklige Dreiecke, de FBC ist ei gemeisamer spitze Wikel der beide Dreiecke Pukte Die zwei Pukte sid auch da zu gebe, we die richtige Vorstellug über die räumliche Verhältisse auf der Abbildug zu sehe ist írásbeli vizsga 06 7 / 006 május 9

8 Matematika émet yelve emelt szit We die Kateläge des Würfels bezeichet (im ebee Schitt die Seiteläge des Quadrates), da ist ach dem Ählichkeit = =, 8 woher =, (m) + Die Grudfläche des Dachraumes ist : 6 T = = m + Isgesamt: 9 Pukte Die Höhe der Pyramide ist ach de vorherige Berechuge: m = So ist das Volume des Dachbodes (Pyramide): 8 56 V t = m = m 0,68 m Das Volume des Würfels : V k = m = m 6,8 m ( + ) Das Verhältis der Volumia : ( + ) Pukte Pukte 0,05 Der Raum füllt ugefähr 0% des Dachbodeluftraumes aus Isgesamt: V V k t = 7 Pukte Die Puktzahle sid auch ohe die Näherugswerte zu gebe 6 a) Die Gleichug, die ma löse soll: + 0 = + 6 Gleich 0 gesetzt: + 8 = 0 Die Lösuge: =, = 7 Pukte Isgesamt: Pukte Die Steigug der Tagete bei de Schittpukte: m = f ( ), bzw m = f ( ), f ( ) = + 0 Also m = f ( ) = ud m = f ( 7) = Pukte Die Schittpukte der Graphe: ; M 7; Pukte M ( ), bzw ( ) írásbeli vizsga 06 8 / 006 május 9

9 Matematika émet yelve emelt szit Die Gleichug der zwei Tagete: e : y = ( ), oder im eie adere Form y = 6, ( 7) e : y + =, oder i eier adere Form y = + 7 Isgesamt: c) y 7 Pukte Für die richtige Gleichuge der Tagete im eie beliebige Form sid die Pukte zu gebe f g Die Darstellug der Graphe vo f ud g Der Flächeihalt des gefragte Gebietes: ( ) d g( ) d = ( f ( ) g( ) ) T = f d Weil f ( ) g( ) = + 8 T = 6, deshalb ( + 8) d = + 8 = 6 Pukte = = + Pukte Isgesamt: 6 Pukte Höchstes Pukte sid zu gebe, we der Kadidat die Graphe falsch darstellt ud mit de falsche Date (auf eiem falsche Itervall) rechet Die etsprechede Pukte sid auch da zu gebe, we der Kadidat erst beide Itegrale bereche ud ur da die Ergebisse subtrahiert, oder we er das Itegral vo g icht bestimmt, soder de Flächeihalt vo dem etsprechede gleichscheklige rechtwiklige Dreieck berechet ud de aus dem Itegral der Fuktio f subtrahiert írásbeli vizsga 06 9 / 006 május 9

10 Matematika émet yelve emelt szit 7 a) Sei s die Läge der Strecke zwische Szeged ud Cegléd i km, ud s die Etferug zwische Cegléd ud Budapest i km, sowie v die ursprügliche Durchschittsgeschwidigkeit des Zuges i km/h Die Fahrzeit des Zuges am Motag i Stude: s s + v v Die Fahrzeit des Zuges am Wocheede i Stude: s + 9 ( s 9) + v v Die Bedigug für die Differez der Fahrzeite ergibt: s s s + 9 ( s 9) + + = v v v v Nach dem Löse der Gleichug erhalte wir, dass die ursprügliche Durchschittsgeschwidigkeit des Zuges v = 76 km/h war Isgesamt: Pukte Pukte Pukte Pukte 0 Pukte Als vollstädige Lösug soll auch die Begrüdug ohe Formel betrachtet werde: Der 0 Miute Uterschied vo dem Fahrzeit ergab sich a der 9 lage Strecke, wo der Zug am Wocheede mit de doppelte Geschwidigkeit scheller fuhr als am Motag Also ist die Geschwidigkeit die doppelte vo 9/0,5, sowie 76 km/h Art der Fahrkarte Azahl der Fahrgäste Wahrer Fahrkartep reis (Ft) Voller Preis 0% Ermäßigug % Ermäßigug 50% Ermäßigug 67,5% Ermäßigug 75% Ermäßigug 90% Ermäßigug 95% Ermäßigug Frei Die Bestimmug der fehlede Werte der Tabelle Pukte Falls uter de wahre Fahrkartepreise höchstes falsche Werte vorkomme, da ist zu gebe We mehr als falsche Werte vorkomme, da kei Pukt írásbeli vizsga 06 0 / 006 május 9

11 Matematika émet yelve emelt szit Durchschittlicher Fahrkartepreis i Ft: = = = 998,775( 999 Ft, bzw000 Ft) Pukte 00 Das ist ugefähr 50% des volle Preises, also ist der durchschittliche Fahrkartepreis um 50% ermäßigt Isgesamt: Pukte 6 Pukte Falls uter de wahre Fahrkartepreise falsche Werte vorkomme, aber der Durchschitt mit diese Werte richtig berechet ist, da sid die Pukte zu gebe Die zwei Pukte sid auch da zu gebe, we der Kadidat aders gerudet hat, oder mit falsche Werte aber eie richtige Lösugsweg gefolgt hat 8 a) a, ab, bba sid geau da die aufeiaderfolgede Glieder eier arithmetische Folge, we bba ab = ab a gilt Mit Stellewerte aufgeschriebe: ( 0 b + a) ( 0a + = ( 0a + a, Nach Umformuge ergibt a = 6b a ud b sid Ziffer im Dezimalsystem, also a = 6, b = So sid die drei Zahle 6; 6; 6, ud der Differez ist 55 Die Summe der erste hudert Glieder: 00 S 00 = ( ) = 7850 Isgesamt: Pukte 7 Pukte írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

12 Matematika émet yelve emelt szit Das erste Glied der geometrische Folge ist a, der Quotiet ist q Falls q= ist, da ist die Folge kostat, also alle Glieder sid gleich, deshalb sid die Summe auch gleich Die gleiche Zahle sid die aufeiaderfolgede Glieder eier geometrische Folge Falls q, da ist die Summe der erste Glieder: S q = a q () () q Die Summe der zweite Glieder: S = aq Pukte q () q Die Summe der dritte Glieder: S = aq q Pukte Sie Summe i dieser Reihefolge bilde eie () () ( S = S S geometrische Folge, we ( ) ) Das gilt aber, weil () () q q S S = a q = aq = () ( S ) q q Isgesamt: Pukte 9 Pukte Die letzte Pukte sid für beliebige richtige Begrüduge zu gebe 9 a) We die erste zwei Zahle a ud b sid (a <, da ist die dritte a + b ud die vierte ( a + Nach dem Bedigug ( a + 0, also a + b 0 Weil a < b, deshalb a 9, also die kleiste Zahl ka höchstes die 9 sei Pukte Isgesamt: Pukte Es sid zwei mögliche Zahlekombiatioe: Pukte 9, 0, 9, 8; 9,, 0, 0 Isgesamt: Pukte írásbeli vizsga 06 / 006 május 9

13 Matematika émet yelve emelt szit c) Die Azahl der Scheie, die ach der Regel vo Adrás ausfüllbar sid, ka ach dem kleiste Wert bestimmt werde Die erste Zahl: Azahl der Scheie der Reihe ach: Die Azahl der verschiedee Scheie ist also: = 90 Die Azahl der Möglichkeite aus 0 Zahle auszuwähle 0 ist: = 990 Die Wahrscheilichkeit vo eiem Volltreffer ist: P = 90 9, Isgesamt: Pukte Pukte Pukte 8 Pukte írásbeli vizsga 06 / 006 május 9