Die Geschwindigkeit v ist die lokale Änderungsrate des Ortes x d.h. v = lim. Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt. 3s 2 m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s

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1 6 Integrlrechnung ================================================================== 6.1 Lokle Änderungsrte und Gesmtänderung Die Geschwindigkeit v ist die lokle Änderungsrte des Ortes d.h. v = lim t 0 Bewegung einer Rngierlok t Zeit 3s 7s Entfernung vom Bezugspunkt 3s m = 6 m 6 m + 1 s 4s m s = 10 m Zeit 3s 4s 7m Entfernung vom 3s m = 6 m 6 m + 1 Bezugspunkt s 1s m = 7 m 7m 1 s 3s m s = 4 m Lässt sich eine Funktion ls lokle Änderungsrte einer Größe deuten, dnn ist die Änderung dieser Größe im Intervll ; gleich der der Differenz der Inhlte der Flächen, die vom Grphen der Funktion, den zu und gehörenden Ordinten oer- und unterhl mit der -Achse mit dieser eingeschlossen wird

2 Aufge in der Hndreichung Ds Digrmm zeigt den momentnen Schdstoffusstoß einer Feuerungsnlge in Ahängigkeit von der Zeit seit Beginn der Feuerung. Schätzen Sie die Gesmtmsse des usgetretenen Schdstoffs während der 60minütigen Betrieszeit. Ihre Üerlegungen müssen nchvollziehr sein. momentner Schdstoffusstoß in g/min Zeit in min Lösung Die Gesmtmsse des usgetretenen Schdstoffes entspricht der Fläche unter dem Grphen m 1 (50 min + 0 min) 50g = 1750 g

3 6. Ds estimmte Integrl Die Fläche, die vom Grphen einer Funktion f im Intervll ; einschlossen wird. lässt sich lässt sich mit einem Grenzwertprozess erechnen. Untersumme: U 3 = (1 + ) = 4 + Oersumme: O 4 = (1 + ) + 1 (1 + 3) = Für eine uf einem Intervll ; definierte und stetige Funktion nennt mn den gemeins- men Grenzwert von Oer- und Untersumme lim U n = lim O n n n estimmtes Integrl von f von is. Mn schreit dfür f()d. ist ds Integrlzeichen heißt untere und oere Grenze des Integrls d, ds infinitesiml kleine, git die Integrtionsvrile n

4 6.3 Ds Integrl ls Flächenilnz; die Integrlfunktion Ist f eine uf dem Intervll ; definierte und stetige Funktion, dnn ist der Wert des estimmten Integrls f()d gleich der Differenz der Flächstücke oer- und unterhl der - Achse, die der Grph von f von = is = mit der -Achse einschließt. Ist f eine stetige Funktion mit dem Definitionsereich D und D, dnn heißt die uf D definierte Funktion I : f(t)dt Integrlfunktion von f zur unteren Grenze. Bemerkung: Für jede Integrlfunktion ist die untere Integrtionsgrenz Nullstelle d.h. I = f(t)dt I () = f(t)dt = 0 Beispiel: Für die Funktion f : y = gilt

5 I 3 : 1 tdt = ( + 3) ( 3) = = Aufge in der Hndreichung Die Aildung zeigt den Grphen G f einer Funktion f mit D f = R, der kongruent zum Grphen der Betrgsfunktion g :, D g = R, ist. ) Zeichnen Sie den Grphen der Betrgsfunktion g ein und eschreien Sie, wie us dem Grphen von g entsteht. ) Zeichnen Sie den Grphen der Integrlfunktion F : f(t)dt für G f 1 5 in ds gegeene Digrmm ein. (Hinweis: Eine integrlfreie Drstellung der Funktion F ist hierzu nicht notwendig) Lösung

6 ) ) Mn spiegelt den Grphen von g n der -Achse und verschiet dsbild um zwei Einheiten nch rechts. Aufge in der Hndreichung Um Kunden nzulocken, ietet eine Bnk ein Spruch n, ei dem die ersten 000 Euro mit 3% pro Jhr e sonders gut verzinst werden. Die Funktion f git den Zinsstz n, der für den -ten eingezhlten Euro pro Jhr gezhlt wird. ) Berechnen Sie, wie viel Zins jemnd nch einem Jhr erhält, der ds gnze Jhr üer 3000 Euro uf dem Konto htte. ) Zeichnen Sie die Integrlfunktion F : f(t)dt für 0 < 3500 in ds Digrmm ein (sklieren Sie dei die y-achse geeignet), und geen Sie n, welche Bedeutung die Funktionswerte von F im Schzusmmenhng hen. Lösung 0

7 ) Er erhält = 80. ) Aufge in der Hndreichung Die Änderungsrte eines Pflnzenestnds wird für die nächsten 0 Jhre wie folgt modelliert: (t) = 1,1 t (t 8) (t 0) woei t die Zeit in Jhren ngit und (t) in Pflnzen Jhr gemessen wird. ) Fertigen Sie eine Skizze des Grphen von, die die Nullstellen von und die Vorzeichen der Termwerte (t) wiedergit. ) Geen Sie n, in welchen Zeiträumen der Bestnd zunimmt zw. nimmt. Begründen Sie, wnn innerhl der etrchteten 0 Jhre der Bestnd miml ist. c) Am Anfng wren Pflnzen vorhnden. Bestimmen Sie den Miml- und Minimlestndim etrchteten Zeitrum von 0 Jhren. Lösung

8 ) 400 (t) t () ) Der Bestnd nimm in den ersten 8 Jhren zu um dnn in den nächsten 1 Jhren zunehmen. Der Bstnd ist ls lso nch 8 Jhren miml. 8 8 c) (t)dt = 1,1 (t 3 8t t + 160t)dt = 1, t3 + 80t 0 0 Der Mimlestnd eträgt 1159 Stück. 0 0 (t)dt = 1,1 (t 3 8t t + 160t)dt = 1, t3 + 80t 0 0 Der Minimlestnd eträgt Stück

9 6.4 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (HDI): Ist f eine stetige Funktion mit dem Definitionsereich D und D, dnn ist die Integrlfunktion I : f(t)dt differenzierr und es ist I '() = f() für D. Die Integrlfunktion I ist eine Stmmfunktion von f. Folgerung: Ist f eine eine uf dem Intervll ; definierte und stetige Funktion und F eine elieige Stmmfunktion uf diesem Intervll, dnn gilt f()d = F() = F() F() Beispiel: f() = 3 f '() = 3 4f() = 3. ü- f '() = 3. 4 f() = 3 I() = f(t)dt = (t 3 t )dt = 1 4 t4 3 t3 = = = Es ist I'() = f() und dmit I''() = f '().

10 Funktion f : f() Aleitung f ' : f '() Integrlfunktion I : f(t)dt f() > 0 für ]; [ I ist sms in ]; [ f() < 0 für ]; [ I ist smf in ]; [ f( 0 ) = 0 mit VZW 0 ist Etremstelle von I f '() > 0 für ]; [ I ist in ]; [ linksgekümmt f '() < 0 für ]; [ I ist in ]; [ rechtsgekümmt f '( 0 ) = 0 mit VZW ist Wendestelle von I 0 c

11 6.5 Stmmfunktionen und unestimmtes Integrl Für Stmmfunktionen gilt A Ist die F() eine Stmmfunktion von f(), dnn ist c F() eine Stmmfunktion von c f(). B Ist F() eine Stmmfunktion von f() und G() eine Stmmfunktion von g(), dnn ist F() + G() eine Stmmfunktion f() + g(). Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f() heißt unestimmtes Integrl von f und wird mit f()d ezeichnet. Es ist lso f()d = F F'() = f() Ist die Definitionsmenge ein Intervll, dnn unterscheiden sich zwei Stmmfunktionen von f nur durch eine Konstnte. Ist F eine Stmmfunktion von f, dnn schreit mn f()d = F() + C Wichtige unestimmte Integrle k d = 1 k + 1 k + C mit k Z, k 1 1 d = ln + C

12 d = d = C sind = cos + C und COSd = sin + C e d = e + C Logrithmische Integrtion f '() f() d = ln f() + C Bechtet mn die Kettenregel, dnnn lssen sich weitere Integrle wie f '() e f() d = e f() + C e d = 1 e + C sin( + c)d = cos( + c) + C usw. erechnen. Aufge in der Hndreichung Bestimmen Sie jeweils eine Stmmfunktion der folgenden in IR definierten Funktionen. ) f : e ) f : c) f : e

13 6.6 Eigenschften des estimmten Integrl Für estimmte Integrle gilt f()(d = c f()d + f()d c c f() d = c f()d [f() + g()]d = f()d + g()d f()d = f()d

14 6.7 Flächenerechnungen mit dem Integrl Befindet sich im Innern des Intervlls ; keine Nullstelle der Funktion f, dnn gilt für den Inhlt der Fläche, die der Grph von f mit der -Achse einschließt A = f()d Ist dies nicht der Fll, dnn erechnet mn den Inhlt der Flächenstücke oer- zw. unterhl der -Achse und ddiert deren Werte. Sind und enchrte Schnittstellen zweier Funktionen f und g, dnn gilt für den Inhlt der Fläche, welche die Grphen von f und g miteinnder einschließen A = [f() g()]d

15 6.8 Unendlich usgedehnte Flächen A Eine Integrtionsgrenze liegt im Unendlichen Beispiel 1 A() = 1 ( + 1) d = = lim A() = lim ( ) = 1 Beispiel A() = e 1 d = e 1 = e 1 + e 1 lim A() = lim ( 1 e e ) = e B Der Integrnd wird unendlich groß

16 Beispiel 1 A() = 1 3 d = 3 d = 1 1 = 1 lim A() = lim ( ) = Beispiel A() = d = 1 4 d = = 16 8 lim 0+0 A() = lim 0+0 (16 8 ) = 16