Integralrechnung. Aufgabe 62. Gegeben seien die beiden Funktionen f; g W R! R mit. f.x/ D 2x C 10 sowie g.x/ D x 2 C 2 :

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Julia Lehmann
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1 Integralrechnung Aufgabe 62 Integralrechnung: Fläche zwischen Kurven (Flaeche2) Gegeben seien die beiden Funktionen f; g W R! R mit f.x/ D 2x C sowie g.x/ D x 2 C 2 : a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von f und g. b) Berechnen Sie die Fläche, die durch die Graphen von f und g eingeschlossen wird. a) Schnittpunkte bei x D 4 und x D 2. b) 2 4 f.x/ g.x/dx D 2 x x 2 C 8x D C D 6 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 82 von 48) 82

2 Aufgabe 6 Integralrechnung: Nochmal Flächen (Flaeche) a) Man berechne das bestimmte Integral: I.y/ D y x 2 2 p dx.für y > / x C eigen Sie außerdem, dass I.y/ streng monoton wächst, und berechnen Sie I.2/. b) Berechnen Sie die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g mit f.x/ D 5 2 x2 g.x/ D x 2 C x C 2 eingeschlossen wird. (Hinweis: Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus den Schnittpunkten der Graphen.) Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 8 von 48) a) Substitutionsregel: Mit z D.x C / ) dz dx D x2 ) dz D x 2 dx folgt: x 2 2 p x C dx D z 2 dz D C z 2 C C C D.x C / 2 C C h i ) I.y/ D.x C / y q 2 D p y C 2 b) Schnittpunkte: f.x/ D g.x/ 5 2 x2 D x 2 C x C 2 2 x2 x C 9 2 D x ; 2 D 2 2 p4 C 2 D 2 D Fläche zwischen den Graphen: f.x/ g.x/dx D 2 x2 x C 9 2 dx D 2 x 2 x2 C 9 2 x D 2 2 C ( C D 2 2 D 6

3 Aufgabe 64 Integralrechnung: Grenzkosten (A.Integral.4) Gegeben sei eine Grenzkostenfunktion 8 ˆ< x für x 2 Œ; c.x/ D für x 2 Œ; 4 ˆ: 6 p x für x 2 Œ4; 9 : Die fixen Kosten betragen c./ D. Bestimmen Sie dazu eine stetige Gesamtkostenfunktion c.x/ und berechnen Sie die Gesamtkosten für x D ; x D 5 und x D ˆ< 2x 2 C : für x 2 ŒI c.x/ D x für x 2 ŒI 4 ˆ: :2 p x 2: für x 2 Œ4I 9 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 84 von 48) Damit: c./ D 2 : C : D : c.5/ D 5 D 4:5 c.625/ D :2 p 625 2: D 8: 84

4 Aufgabe 65 Integralrechnung: Produktlebenszyklus (A.Integral.5) Der momentane Umsatz eines Produktes zum eitpunkt t sei durch die Funktion u W R C! R C mit gegeben. u.t/ D.t C / e t 2 a) Skizzieren Sie die Funktion u im Planungszeitraum Œ; und berechnen Sie den Gesamtumsatz in Œ;T. b) Ermitteln Sie den Gesamtumsatz für T D und T!. a) y.t/ 2 GU.T / D T.t C / e t 2 dt D 6.2T C 6/ e T 2 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 85 von 48) b) u.t/ D.t C / e t 2 t lim GU.T / D lim T! T! GU./ D 6 26 e 5 5:825;8 2T C 6 6 e T 2 85 D 6 lim T! 2 2 e T 2! D 6:

5 Aufgabe 66 Integralrechnung: Umsatz, Kosten und Gewinn (A.Integral.6) Für ein Produkt sollen die Kosten- und Umsatzentwicklungen in Abhängigkeit der eit t = betrachtet werden. Dabei wurden für die Veränderung der Kosten k.t/ bzw. des Umsatzes u.t/ die Beziehungen folgendermaßen ermittelt: k.t/ D dk.t/ dt D t C bzw. u.t/ D du.t/ dt D.t C / 2 für alle t = a) eigen Sie, dass die Kosten k.t/ und der Umsatz u.t/ für t = monoton wachsen, während der Gewinn g.t/ D u.t/ k.t/ für t 5 9 monoton wächst und für t = 9 monoton fällt. b) Berechnen Sie die bestimmten Integrale k 9 D 9 k.t/ dt ; u 9 D 9 u.t/ dt ; g 9 D u 9 k 9 und interpretieren Sie diese Ergebnisse. c) eigen Sie, dass es eine obere Integrationsgrenze z = 9 mit g z D gibt (keine Berechnung erforderlich). Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 86 von 48) a) k.t/ und u.t/ sind jeweils die Ableitung von k.t/ bzw. u.t/. Da k.t/ und u.t/ positiv sind für alle t > müssen k.t/ bzw. u.t/ streng monoton steigen. b) k 9 D 9 g.t/ D u.t/ k.t/ D.t C / 2 t C D.t C / 2.9 t/ ) g.t/ > und damit g.t/ streng mon. steigend für < t < 9 und g.t/ < sowie g.t/ streng monoton fallend für t > 9. 9 h 9 k.t/ dt D lnˇˇt C ˇˇi D ln u 9 D u.t/ dt D t C g 9 D u 9 k 9 D 9 ln 669;74 c) g z D z C C ln.z C / D ln.z C / z C Beispielsweise gilt für z D e für 9 g e D D C D 9 e C ƒ < ln e C < ƒ < ln e D Weil g z stetig muss damit mind. ein 9 z e mit g z D existieren (wischenwertsatz)

6 Aufgabe 67 Integralrechnung: Absatzverlauf (A.Integral.7) Für den Verlauf des Absatzes y.t/ eines Produktes in Abhängigkeit der eit t wird die folgende Beziehung angenommen: dy.t/ dt D c a y.t/.a y.t// mit y.t/ 2 h;ai 8t (6) a) Formen Sie diese Gleichung in eine Integralgleichung der Form g.y/ dy D f.t/ dt um und berechnen Sie daraus eine Funktion y.t/, die Gleichung (6) erfüllt. b) Bestimmen Sie y.t/, wenn a D ; c D und y./ D 5 gilt. c) Skizzieren Sie die in b) erhaltene Funktion und interpretieren Sie Gleichung (6) mit Hilfe Ihrer Skizze. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 87 von 48) a) b) y./ D c) eichnung für t 2 ŒI dy dt D c a y.a y/ ) a y.a dy ) y C y/ dy D dy a y D c dt c dt ) ln y ln.a y/ D c t C k y ) ln a y D ct C k ) y a y D ect C K ) y.t/ D aect C e ct C K e C C K D 5 ) K D ) y.t/ D e t C e t 87

7 y.t/ 2 y.t/ D e t Ce t t y.t/ startet mit Steigung y./. y.// D 5. 5/ D 25 und sättigt für t! gegen. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 88 von 48) 88

8 Aufgabe 68 Integralrechnung: Gamma ganz groß (partielle.int) Die Gammafunktion W R! R mit.x/ D t x e t dt kann für n 2 N zur Berechnung der Fakultät nš genutzt werden. Im Folgenden soll mit Hilfe vollständiger Induktion gezeigt werden, dass.n/ D.n /Š gilt. a) eigen Sie, dass./ D ist. b) eigen Sie, dass.n C / D n.n/ gilt! Tipps für b): Verwenden Sie partielle Integration Sie dürfen verwenden, dass lim t! t n e t D. Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 89 von 48) a) b)./ D t ƒ D.n C / D e t dt D e t D. / D t nc e t dt D t n e t C nt n e t dt D C n 89.n/

9 Aufgabe 69 Integralrechnung: Exponentialverteilung (Exponentialverteilung) Ist identisch zu Aufgabe 6! Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 9 von 48) 9

10 Aufgabe 7 Integralrechnung: Ableiten und Integrieren (Logarithmus) Die Funktion f W R C nfg! R ist gegeben mit f.x/ D ln x x : a) Bestimmen Sie alle Extremwerte der Funktion, falls es welche gibt. b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.x/. a) f.x/ D x2 ln.x/ x 2 x 6 D ln.x/ f.x/ D 2 ln.x/ 7 x 5 ) f e x 4 D ln.x/ D x D e D 4 7 < Damit ist x D e das einzige Extremum, ein globales Maximum. b) f.x/ dx D x ln.x/dx D C x C ln.x/ 2 x 2 x dx D ln.x/ 2x 2 C 4x 2 C C D 2 ln.x/ 4 e 5 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Wirtschaftsmathematik Wintersemester 26/7 Aufgabensammlung (Seite 9 von 48) 9

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