Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur

Transkript

1 Insiu für Mahemaik Winersemeser 0/3 Universiä Würzburg 0 Februar 03 Prof Dr Jörn Seuding Dr Anna von Heusinger Frederike Rüppel Lineare Algebra I - Lösungshinweise zur Klausur Aufgabe : (0 Punke) Zeigen Sie durch vollsändige Indukion, dass 0 0 b n 0 0 b n de = b c b n c n b c n c n c Hierbei sind b,, b n, c,, c n Elemene eines Körpers K Indukionsanfang: Sei n = Dann is de ( ) = Indukionsvorrausezung: Die Behaupung gele für ein n N Indukionsschluss: Wir benuzen den Enwicklungssaz von Laplace Demnach gil 0 0 b n 0 0 b n de = b c n c n c 0 b n 0 0 de 0 b +( )n+ b n de c n c c n c n c Zur Berechnung der ersen Deerminane verwende man die Indukionsvorraussezung Um die zweie Deerminane zu berechnen, ausch man die erse Spale mi der rechen so of, bis die erse Spale in der lezen Spale seh, wodurch ein zusäzlicher Fakor von ( ) n enseh, also 0 0 b n 0 0 b n de = b c n c n c 0 0 ( b c b n c n )+( ) n+ ( ) n b n de 0 0 c n c n c n Die leze Deerminane is die Deerminane einer uneren Dreiecksmarix und daher 0 0 de 0 0 = c n c n c n c n

2 Insgesam ergib sich also 0 0 b n 0 0 b n de = ( b c b n c n ) + ( ) n b n c n b c n c n c = b c b n c n b n c n Aufgabe : (++++ Punke) Geben Sie Beispiele an für a) eine nich-kommuaive Gruppe mi endlich vielen Elemenen; b) ein lineares Gleichungssysem mi drei Gleichungen und drei Unbekannen, dessen Lösungsmenge eine Ebene im R 3 is; c) eine bijekive Abbildung f : V V mi f(x) x für alle x V, wobei V ein Vekorraum sei; d) Marizen A E, 0, sowie B 0 mi A = A und B = 0; e) einen unendlich-dimensionalen Vekorraum Begründen Sie Ihre jeweiligen Anworen kurz a) Ein Beispiel is die Gruppe der inverierbaren -Marizen über dem Körper mi Elemenen, GL (F ), dor gil = = b) Das lineare Gleichungssysem ha die Lösungsmenge x x = 0 x x = 0 3x 3x = 0 L = {(x, x, x 3 ) R 3 x = x } Dies is eine Ebene, da die zum Gleichungssysem zugehörige Marix A = den Rang ha, nach Dimensionssaz somi dim Ker(A) = is c) Ein Beispiel is f : R R, f(x) := x + Diese Abbildung is injekiv, da f(x ) = f(x ) x + = x + x = x, und surjekiv, da für y R beliebig x := y R und f(x) = y d) Beispiele sind A =, B =

3 e) Der Vekorraum der Polynome über einem beliebigem Körper is unendlichdimensional, eine Basis is zum Beispiel {, x, x, x 3, x 4, } Aufgabe 3: (6+4 Punke) Es sei K ein Körper a) Gegeben seien x, b K Besimmen Sie die Menge M aller A K, für die Ax = b gil b) Uner welchen Bedingungen an x und b is die Menge M (aus a)) i) leer, ii) einelemenig, iii) gleich K? Lösungshinweis Zur Lösung definieren wir f x : K K, f x (A) := x A Mi dieser Definiion is M = fx (b), beziehungsweise, M is die Lösungsmenge des linearen Gleichungssysems x A = b a) Is x = 0, so is M leer (falls b 0) oder M = K (falls b = 0) Sei x 0 Dann is { } a a M = A = K a a a = x (b a x ), a = x (b a x ) Für x = 0, x 0, gil ensprechendes b) i) M is leer, falls Rang( x) < Rang( x, b), das heiß, wenn x = 0 und b 0 is ii) Die Lösungsmenge is nie einelemenig, da dim(ker(f x )) = 4 dim(im(f x )) = 4 = (iii) Die Lösungsmenge is genau dann M = K, wenn dim Kerf x = 4 is und das Gleichungssysem lösbar is Dies is der Fall, wenn dim Imf x = 0 und b = 0 Aufgabe 4: (++3+3 Punke) Seien V und W Vekorräume über einem Körper K Beweisen oder widerlegen Sie: a) Die Vekoren v,, v n V \ {0} sind genau dann linear unabhängig, wenn span(v ) + + span(v n ) eine direke Summe is b) Für Unerräume U, U, U 3 von V gil U U = U U 3 U = U 3 c) Wenn es keine lineare Abbildung ψ : V W gib, die injekiv is, so gil dim V > dim W d) Die Menge von Marizen SO(n) := {A GL n (R) : A A = E n, de A = } bilde mi der üblichen Marizenmuliplikaion eine Gruppe a) Die Aussage is richig! Wir haben zwei Richungen zu zeigen: Da v,, v n linear unabhängig sind, bilden die n Vekoren eine Basis für span(v,, v n ) Also gib es lau Lemma für jedes Elemen v span(v,, v n ) eine eindeuige Darsellung n v = λ i v i i=

4 bzgl v,, v n, dh jedes Elemen v span(v,, v n ) besiz eine eindeuige Darsellung n v = i= mi w i W i := spanv i Also bilden span(v ) + + span(v n ) eine direke Summe nach Saz 6 Sei span(v ) + + span(v n ) eine direke Summe Dann folg mi Saz 6, dass aus w i w + + w n = 0 mi w i span(v i ), also w i = λ i v i mi λ i K, dass w i = 0 für i n Da v i V \ {0} folg λ i = 0 für alle i n und somi sind die v,, v n linear unabhängig 0 b) Die Aussage is falsch! Ein Geigenbeispiel is: Sei U = span, U 0 = span und U 3 = span Dann gil U U = R und U U 3 = R, aber U U 3 c) Die Aussage is richig! Wir nehmen an, dass dim V dim W Dann besiz W einen Unerraum U mi Dimension dim(u) = dim(v ) Dieser is isomorph zu V Somi gib es eine injekive lineare Abbildung ψ : V W mi ψ(v ) = U W, was ein Widerspruch zur Voraussezung is Somi gil die Behaupung d) Die Aussage is richig! (G0) Die Marizenmuliplikaion bilde eine Verknüpfung auf SO(n), da für A, B SO(n) gil: (AB) (AB) = (AB)( B A) = A(B B) A = A A = E n und aufgrund der Muliplikaiviä der Deerminane (de AB = de A de B) gil de(ab) = (G) Marizenmuliplikaion is nach VL assoziaiv (G) Das neurale Elemen is E n Offenlichlich gil E n E n = E n und de E n =, also E n SO(n) (G3) Das inverse Elemen zu A is A Für A gil A ( A) = AA = E n, da Inverse eindeuig sind Zudem gil = de E n = de A A = de A de A = de A aufgrund der Muliplikaiviä der Deerminane Also A SO(n) Aufgabe 5: (4+3+3 Punke) Sei F = {0, } der Körper mi zwei Elemenen, A F n n und f A : F n F n, x f A (x) := Ax a) Beweisen Sie ausführlich: Es gil genau dann de A 0, wenn Im f A = F n b) Zeigen Sie: Es gib naürliche Zahlen m k mi A m = A k c) Charakerisieren Sie die A, für welche eine naürliche Zahl l exisier, so dass fa l (x) = x für alle x F n gil (Hierbei is fa 0 := id, f A := f A und f m+ := f f m für m =,, )

5 a) de A 0 implizier die universelle Lösbarkei des LGSs AX = b durch x = A b, woraus Im f A = F n folg Hingegen ergib sich aus de A = 0 sofor Rang A = Rang f A < n, womi Im f A eine eche Teilmenge von F n is b) Die Einräge von A = (α ij ) F n n sind 0 oder, womi die Menge F n n insgesam n Elemene besiz, also endlich is Uner den unendlich vielen Poenzen A m müssen also Wiederholungen aufreen, dh es gib eine naürliche Zahl k mi A m = A k c) Gil de A = 0, so is nach i) das Bild von f A und dami ers rech von fa m für jedes m =,, eine eche Teilmenge von F n Beache hierbei: fa m(x) = Am x Hingegen folg aus de A 0 die Inverierbarkei von A Nach ii) beseh A k+l = A k (mi m = k + l) für naürliche Zahlen k, l, so dass k-fache Muliplikaion mi dem Inversen A auf A l = A 0 = E führ Dies zeig fa l (x) = x für alle x Fn Aufgabe 6: (4+6 Punke) Es sei R und die Marix A gegeben durch 0 A = 0 0 a) Berechnen Sie die Deerminane von A in Abhängigkei von Für welche R is A inverierbar? b) Berechnen Sie für alle R, für die dies möglich is, die Inverse A a) Mi der Regel von Sarrus ergib sich für die Deerminane de(a) = ( ) 0 ( ) 0 ( ) = ( Punke) Die Marix is für alle R \ {0} inverierbar ( Punke) b) Berechnung der Inversen mi Zeilenumformungen: