Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik. Aufgabensammlung zur. Systemtheorie

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1 Institut für Elektrotechnik und Informationstechnik Aufgabensammlung zur Systemtheorie Prof. Dr. techn. F. Gausch Dipl.-Ing. C. Balewski Dipl.-Ing. R. Besrat

2 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 0 Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe A. Durchführung einer Partialbruchzerlegung (PZB) 18 1

3 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 1 1. Aufgabe 01 Wiederholen Sie nachfolgende mathematischen Grundlagen: Determinante einer 2x2-Matrix Determinante einer 3x3-Matrix Berechnung einer inversen Matrix (allgemein) Berechnung einer inversen 2x2-Matrix Berechnung einer inversen 3x3-Matrix Berechnung der Eigenwerte einer 2x2-Matrix Beweisen Sie die nachfolgenden Aussagen über Determinanten für quadratische Matrizen am Beispiel eines Systems zweiter Ordnung. 1.1 det (A) = det ( A T ) 1.2 Eine Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen oder Spalten vertauscht werden. ([ ]) ([ ]) ca11 a 1.3 det 12 a11 a = c det 12 ca 21 a 22 a 21 a det (AB) = det (A) det (B), wenn A und B quadratische Matrizen sind. 2

4 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 2 2. Aufgabe Gegeben ist ein homogenes lineares Geichungssystem Ax = 0 (1) Was muss für die quadratische Matrix A gelten, damit eine nichttriviale Lösung x 0 existiert? 2.2 Gegeben ist ein inhomogenes lineares Geichungssystem Ax = b (2) Was muss für die quadratische Matrix A gelten, damit eine Lösung für b 0 existiert? Geben Sie die Voraussetzungen für ein System zweiter Ordnung an. 3

5 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 3 3. Aufgabe 03 Gegeben ist das lineare System ] [ ] [ ] [ẋ1 1 2 x1 = + ẋ x 2 y = [ 1 0 ] [ ] x 1 x 2 [ ] 0 u; x(t = 0) = x 1 0 (3) 3.1 Berechnen Sie das charakteristische Polynom p(s), die Eigenwerte der Systemmatrix und die dazugehörigen Eigenvektoren. 3.2 Lösen Sie das Differentialgleichungssystem mit u(t) = U 0 σ(t). 3.3 Berechnen Sie die Ausgangsgröße y(t) und skizzieren Sie diese für x 0 = 0. (4) 4

6 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 4 4. Aufgabe 04 Gegeben ist ein lineares System erster Ordnung (siehe Abb. 1). i(t) R u t = 0 C u (t) C Abb. 1: lineares System 1. Ordnung 4.1 Stellen Sie die Differentialgleichung des Systems auf. 4.2 Geben Sie ein Strukturbild des Systems an, mit der Eingangsgröße u und den Ausgangsgrößen u C und i. 4.3 Geben Sie eine Zustandsdarstellung des Systems an. 4.4 Wie lautet das charakteristische Polynom und die Eigenwerte des Systems? 4.5 Lösen Sie die Differentialgleichung grafisch mit dem Matlab/Simulink mit der Eingangsgröße u(t) = U 0 σ(t). 5

7 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 5 5. Aufgabe 05 Gegeben ist ein lineares System zweiter Ordnung (siehe Abb. 2). cx m f. d x x Abb. 2: lineares System 2. Ordnung (d, c > 0) 5.1 Stellen Sie die Differentialgleichung des Systems auf. 5.2 Geben Sie eine Zustandsdarstellung des Systems an. 5.3 Geben Sie ein Strukturbild des Systems an, mit der Eingangsgröße f und den Ausgangsgrößen x und ẋ = v. 5.4 Wie lautet das charakteristische Polynom und die Eigenwerte des Systems? 5.5 Lösen Sie die Differentialgleichung mit f(t) = F 0 σt. 6

8 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 6 6. Aufgabe 06 Gegeben ist das lineare zeitinvariante homogene System. [ ] 0 1 ẋ = λ 2 x (5) 2λ Berechnen Sie die Lösung x(t). 7

9 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 7 7. Aufgabe 07 Gegeben ist das in Abb. 3 gezeigte elektrische Netzwerk: D u D i D R 0 i C i u + C u C R y Abb. 3: elektrisches Netzwerk mit nichtlinearen Komponenten Das elektrische Verhalten der Diode wird durch ( ) I D0 e u D U D0 1 für u D > 0 i D = g (u D ) := 0 sonst (6) beschrieben, wobei I D0 und U D0 positive Konstanten sind. Die Eingangsgröße sei u und die Ausgangsgröße y. 7.1 Bestimmen Sie das nichtlineare Modell und zeichnen Sie das Strukturbild. 7.2 Linearisieren Sie dieses Modell für die Abweichungen um einen festen Arbeitspunkt, d.h., es gelte u = u AP. Bringen Sie das linearisierte Modell in die Form ẋ = ax + bu; y = cx + du und zeichnen Sie sein Strukturbild. 8

10 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 8 8. Aufgabe 08 Gegeben ist das lineare System mit dem Zustandsvektor z: ż = z + 0 u (7) a 0 a 1 a Zeigen Sie, dass die Koeffizienten a 0, a 1 und a 2 der charakteristischen Gleichung p(s) = s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (8) identisch sind mit den negativen Koeffizienten der letzten Zeile der gegebenen Systemmatrix. 8.2 Entwickeln Sie eine reguläre Transformation z = Tx, die ein lineares mathematisches Modell mit dem Zustandsvektor x in ein Modell mit dem Zustandsvektor z transformiert. Dabei soll das Modell in z die in Gleichung (7) gegebene Struktur besitzen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine solche Transformation? 9

11 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe 9 9. Aufgabe 09 Gegeben ist das lineare System mit dem Zustandsvektor z: 0 0 a 0 b 0 ż = 1 0 a 1 z + b 1 u (9) 0 1 a 2 b 2 y = [ ] z (10) 9.1 Zeigen Sie, dass die Koeffizienten a 0, a 1 und a 2 der charakteristischen Gleichung p(s) = s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 (11) identisch sind mit den negativen Koeffizienten der letzten Spalte der gegebenen Systemmatrix. 9.2 Entwickeln Sie eine reguläre Transformation x = Tz, die ein lineares mathematisches Modell mit dem Zustandsvektor x in ein Modell mit dem Zustandsvektor z transformiert. Dabei soll das Modell in z die in Gleichung (10) gegebene Struktur besitzen. Unter welchen Voraussetzungen existiert eine solche Transformation? 10

12 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 10 Betrachten Sie das in Abb. 4 gegebene elektrische Netzwerk: R1 R2 C uc R3 R4 i L + u L Abb. 4: Brückenschaltung Alle auftretenden Werte der Bauelemente sind positive Konstanten Bestimmen Sie das mathematische Modell Untersuchen Sie das Modell auf Steuerbarkeit. 11

13 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 11 Gegeben ist das lineare System (4) aus Aufgabe 3: ] [ ] [ ] [ ] [ẋ1 1 2 x1 0 = + u; x(0) = x ẋ x (12) y = [ 1 0 ] [ ] x 1 (13) x 2 Überprüfen Sie, ob das System steuerbar und/oder beobachtbar ist. 12

14 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 12 Gegeben sei das in Abb. 5 gegebene elektrisches Netzwerk, das aus einem Widerstand (R > 0) und einem Induktivitätsstern (L > 0) besteht. Das Netzwerk werde mit einer Spannungsquelle wie folgt beschaltet: R L L i 1 i 2 + u L R y Abb. 5: elektrisches Netzwerk 12.1 Bestimmen Sie das mathematische Modell mit den Strömen i 1 und i 2 als Zustandsgrößen Ermitteln Sie die Transitionsmatrix Φ(t) des Systems Überprüfen Sie das System auf Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit. Hinweis: sinh(x) = 1 2 (ex e x ) cosh(x) = 1 2 (ex + e x ) 13

15 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 13 Gegeben sei das freie mathematische Modell ẋ = 1 [ ] 4 1 x; x(0) = x T R 2, T > 0 (14) Skizzieren Sie die Trajektorien des Modells für die folgenden Fälle: a) x 0 = [ 0 0 ] T b) x 0 = [ 1 0 ] T c) x 0 = [ 4 0 ] T d) x 0 = [ 1 3 ] T e) x 0 = [ 2 3 ] T f) x 0 = [ 2 3 ] T 14

16 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 14 Gegeben sei das in Abb. 6 gegebene Tanksystem mit einem Zulauf und einem Ablauf. Der Zulauf sei durch den Volumenstrom Q zu und der Ablauf durch Q ab gekennzeichnet. Q zu h Q ab Abb. 6: Tanksystem 14.1 Geben Sie das mathematische Modell des Systems an Bestimmen Sie die Ruhelage des Systems Linearisieren Sie das System um die gefundene Ruhelage Das System befindet sich jetzt in seiner Ruhelage h RL. Durch eine Störung wird diese Ruhelage verlassen. Berechnen und Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf h(t). 15

17 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 15 Berechnen Sie die Übertragungsfunktionen G 1 (s) und G 2 (s) für das angegebene elektrische System (Abb. 7). i(t) R=10kΩ t = 0 C=22μF u (t) C U(s) G (s) 1 U (s) C u=1v U(s) G (s) 2 I(s) Abb. 7: lineares System 1. Ordnung und Darstellung als E/A-Verhalten 15.1 Ermitteln Sie die Differentialgleichung und lösen Sie sie mit Hilfe der Laplace- Transformation. 16

18 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Aufgabe Aufgabe 16 Gegeben ist das in Abb. 8 gezeigte ungedämpfte mechanische System mit der Eingangsgröße f(t) = f 0 sin(ω 0 t). cx m f(t)=f0sin( ω0t) x Abb. 8: ungedämpftes mechanisches System 16.1 Geben Sie das mathematische Modell an, und berechnen Sie die zeitlichen Verläufe [ ] T x v mit Hilfe der Laplacetransformation für ω0 c und ω m 0 = c. m 16.2 Berechnen Sie die Ruhelage und untersuchen Sie diese auf (asymptotische) Stabilität Untersuchen Sie das System bzgl. seiner Energie und treffen Sie eine Aussage über die BIBO-Stabilität des Systems. 17

19 Übungsaufgaben zur Systemtheorie Hinweis A A. Durchführung einer Partialbruchzerlegung (PZB) Ausgangspunkt bildet eine gebrochen rationale Funktion f(x) der Form f(x) = p(x) q(x). Dabei sind p(x) und q(x) Polynome vom Grad n bzw. m. 1. Ist der Grad n des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms, also n m, so wird eine Polynomdivison durchgeführt und es ergibt sich f(x) = p 1 (x) + p 2(x) q(x) mit den Polynomen p 1 (x) vom Grad n m, p 2 (x) vom Grad < m und q(x) vom Grad m. 2. Zerlege das Nennerpolynom q(x) in Faktoren der Form: (x a) m, wenn a m-fache reelle Nullstelle von q(x) ist und ((x a) 2 + b 2 ) m, wenn a ± jb m-fache komplexe Nullstelle von q(x) ist. 3. Der gebrochen rationale Teil von f(x) wird nun in Partial(teil)brüche aufgespalten, indem für Faktoren der Art (x a) m Ansätze in der Form ((x a) 2 + b 2 ) m Ansätze in der Form gemacht werden. A 1 x a + A 2 (x a) A m (x a) m und B 1 x + C 1 B 2 x + C 2 ((x a) 2 + b 2 ) ((x a) 2 + b 2 ) B mx + C m 2 ((x a) 2 + b 2 ) m 4. Ein Koeffizientenvergleich in der Ursprungsgleichung mit der gewünschten Gleichung liefert ein Gleichungssystem für die unbekannten Konstanten A i, B i und C i. 18

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