Erweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.
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- Gert Waldfogel
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1 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni 2007 In dieser Ahndlung sollen Betrchtungen, wie sie m rechtwinkligen Dreieck durchgeführt werden können um etw die Gleichungen für den Höhenstz oder die Kthetensätze von Euklid zu erhlten, uf llgemeine Dreiecke erweitert werden. Die Bedeutung und Anwendung dieser Gleichungen ist vielfch. Zum Beispiel knn durch sie die Äquivlenz der Euklidischen Flächensätze einschließlich des Stzes von Pythgors für ds rechtwinkligre Dreieck einfch nchgewiesen werden. Des Weiteren können sie verwendet werden, um ds Volumen eines unregelmäßigen Tetreders in Ahängigkeit von seinen 6 Knten zu erechnen. Als Konsequenz knn ds Volumen diverser konvexer Delteder ( z. B. 10- Delteder ) estimmt werden. Zur Verdeutlichung eginnen wir zunächst mit dem rechwinkligen Dreieck ABC mit den knonischen Bezeichnungen,,c für die eiden Ktheten zw. die Hypotenuse sowie h,p,q für die Höhe uf die Hypotenuse und den entsprechenden Hypotenusenschnitten. Herleitung der Kthetensätze: C h A q p B c Die Höhe h zerlegt ds Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke. Nch dem Stz des Pythgors gelten folgende Gleichungen: ( 1 ) 2 2 = c 2 ( 2 ) p 2 h 2 = 2 ( 3 ) q 2 h 2 = 2 ( 4 ) p q = c Formt mn ( 2 ) nch h 2 um und setzt den Term in ( 3 ) ein, erhält mn ( 3 ) q p 2 = 2 Setzt mn ( 3 ) und ( 4 ) in ( 1 ) ein, erhält mn folgende Gleichungskette:
2 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 2 2 q p 2 = (pq) q 2 - p 2 = p 2 2pq q = 2p 2 2pq 2 = p 2 pq 2 = p(pq) 2 = pc Aus Symmetriegründen muss eine entsprechende Gleichung für die ndere Kthete gelten: 2 = qc Die eiden letzten Gleichungen sind die eknnten Drstellungen der Kthethensätze. q.e.f Herleitung des Höhenstzes: Setzt mn die Gleichungen ( 2 ) ( 4 ) in ( 1 ) ein, folgt: p 2 h 2 q 2 h 2 = (pq) 2 p 2 h 2 q 2 h 2 = p 2 2pq q 2 p 2 2h 2 q 2 = p 2 2pq q 2 2h 2 = 2pq h 2 = pq q.e.f Um p, q, h in Ahängigkeit von den Dreieckseiten,,c erechnen zu können, knn mn die Gleichungen wie folgt umformen: p = 2 /c q = 2 /c h = / c h = sqrt(pq) Betrchtungen m llgemeinen Dreieck: 1. Fll: ABC ist spitzwinklig
3 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 3 C h A q p B c Jetzt gelten nur noch die Gleichungen ( 2 ) - ( 4 ): ( 2 ) p 2 h 2 = 2 ( 3 ) q 2 h 2 = 2 ( 4 ) p q = c Formt mn ( 2 ) nch h 2 um und setzt den Term in ( 3) ein, erhält mn ( 3 ) q p 2 = 2 Formt mn ( 4 ) nch q um und setzt den Term in ( 3 ) ein, erhält mn (c-p) p 2 = 2 c 2-2cp p p 2 = 2 c 2-2cp 2 = 2 2 c 2-2 = 2pc ( 2 c 2-2 )/2 = pc p = ( 2 c 2-2 )/2c Aus Symmetriegründen muss eine entsprechende Gleichung für q und,c, gelten: ( 2 c 2-2 )/2 = qc q = ( 2 c 2-2 )/2c Um für h Ahängigkeit von p,q zu ekommen, knn mn ( 2 ) und ( 3 ) ddieren und erhält: p 2 q 2 2h 2 = 2 2 2h 2 = 2 2 (p 2 q 2 ) 2h 2 = 2 2 (p 2 q 2 ) 2pq 2pq 2h 2 = 2 2 (p q) 2 2pq
4 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 4 2h 2 = 2 2 c 2 2pq h 2 = ( 2 2 c 2 )/2 pq h = sqrt (( 2 2 c 2 )/2 pq) Setzt mn den Term für p in ( 2 ) ein, erhält mn h in Ahängigkeit von,,c: [ ( 2 c 2-2 )/2c ] 2 h 2 = 2 h 2 = 2 - [ ( 2 c 2-2 )/2c ] 2 h 2 = 2 - [ 2 c 2-2 ] 2 / 4c 2 h 2 = ( 4 2 c 2 - [ 2 c 2-2 ] 2 ) / 4c 2 h 2 = ( 4 2 c 2 - [ 4 c c c 2 2 ] ) / 4c 2 h 2 = ( c c c 4 ) / 4c 2 h = sqrt( c c c 4 ) / 2c. q.e.f 2. Fll: ABC ist stumpfwinklig, β>90 C h A c B p Es gelten die Gleichungen ( 2 ) - ( 4 ): ( 2 ) p 2 h 2 = 2 ( 3 ) q 2 h 2 = 2 ( 4 ) p q = c, woei jetzt p < 0 ist Formt mn ( 2 ) nch h 2 um und setzt den Term in ( 3) ein, erhält mn ( 3 ) q p 2 = 2 Setzt mn ( 4 ) in ( 3 ) ein, erhält mn q
5 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 5 (c-p) p 2 = 2 c 2-2cp p p 2 = 2 c 2-2cp 2 = 2 2 c 2-2 = 2pc p = ( 2 c 2-2 )/2c Formt mn ( 3 ) nch h 2 und ( 4 ) nch p um und setzt die Terme in ( 2 ) ein erhält mn: (q-c) 2 2 q 2 = 2 q 2 2qc c 2 2 q 2 = 2 2qc c 2 2 = 2 2 c 2-2 = 2qc q = ( 2 c 2-2 )/2c Um für h Ahängigkeit von p,q zu ekommen, knn mn ( 2 ) und ( 3 ) ddieren und erhält: p 2 q 2 2h 2 = 2 2 2h 2 = 2 2 (p 2 q 2 ) 2h 2 = 2 2 (p 2 q 2 ) 2pq 2pq 2h 2 = 2 2 (p q) 2 2pq 2h 2 = 2 2 c 2 2pq h 2 = ( 2 2 c 2 )/2 pq h = sqrt(( 2 2 c 2 )/2 pq) Setzt mn den Term für p in ( 2 ) ein, erhält mn h in Ahängigkeit von,,c: [ -( 2 c 2-2 )/2c ] 2 h 2 = 2 h 2 = 2 - [ ( 2 c 2-2 )/2c ] 2 h 2 = 2 - [ 2 c 2-2 ] 2 / 4c 2 h 2 = ( 4 2 c 2 - [ 2 c 2-2 ] 2 ) / 4c 2
6 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 6 h 2 = ( 4 2 c 2 - [ 4 c c c 2 2 ] ) / 4c 2 h 2 = ( c c c 4 ) / 4c 2 h = sqrt( c c c 4 ) / 2c q.e.f Die erhltenen Gleichungen für p,q,h des llgemeinen Dreiecks heißen: p = ( 2 q = ( 2 c 2-2 )/2c c 2-2 )/2c h = sqrt( c c c 4 ) / 2c h = sqrt(( c 2 )/2 pq) C h A q p B c Zustz: Der Flächeninhlt A =ch/2, lso : A = sqrt( c c c 4 ) / 4 Vier Anwendungen: 1. Äquivlenz der Euklidischen Flächensätze: In jedem rechtwinkligen Dreieck mit den Ktheten, und der Hypotenuse c, der Höhe h uf c und den Hypotenusenschnitten p,q, sind folgende Gleichungen äquivlent:
7 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 7 ( P ) 2 2 = c 2 ( K ) 2 = pc, 2 = qc ( H ) h 2 = pq Bew.: Es genügt zu zeigen: ( K ) ( P ) und ( H ) ( P ) : 2 = pc 2 = qc 2 = ( 2 c 2-2 )/2c c, 2 = ( 2 c 2-2 )/2c c 2 = ( 2 c 2-2 )/2, 2 = ( 2 c 2-2 )/2 2 2 = 2 c 2-2, 2 2 = 2 c = c 2, 2 2 = c 2 h 2 = pq (sqrt(( c 2 )/2 pq)) 2 = pq ( c 2 )/2 pq = pq ( c 2 )/2 = c 2 = = c 2 q.e.d. Zustz: D die Rechtwinkligkeit eines Dreiecks quivlent zu ( P ) ist, knn mn sgen: Ein Dreieck ist genu dnn rechtwinklig, wenn einer der Gleichungen ( P ), ( K ), ( H ) gilt. 2. Volumen des unregelmäßigen Tetreders in Ahängigkeit von den Knten: Ds Tetreder he die Knten p,q,r in der Grundfläche ABC und von der Spitze S zur Grundfläche die Knten,,c. Deshl git es drei Pre gegenüerliegender Knten: p, q, c r
8 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 8 S( 0 / y / h ) c h 1 h C( r 2 -r 1 / h 2 / 0 ) q h 2 p A r B Mn denkt sich zunächst die Vorderfläche des Tetreders in die Eene der Grundfläche geklppt und führt ein geeignetes Koordintensystem ein: y C(r 2 -r 1 / h 2 / 0 ) q h 2 p A r 1 r 2 B x h 1 S r Die Längen von r 1, r 2, h 1, h 2 lssen sich mit den Fehringerschen Gleichungen in Ahängigkeit von den Knten,,c,p,q,r erechnen: r 1 = ( 2 r 2 = (q 2 r 2-2 )/2r r 2 - p 2 )/2r
9 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 9 h 1 2 = ( r r r 4 ) / 4r 2 h 2 2 = ( 2p 2 q 2 2p 2 r 2 2q 2 r 2 - p 4 - q 4 - r 4 ) / 4r 2 Berechnung der Koordinten von S( 0 / y / h ): Wegen IS0I 2 = h 2 1 folgt Gleichung ( 1 ): (0-0) 2 (y-0) 2 (h-0) 2 2 = h 1 ( 1 ) y 2 h 2 2 = h 1 Ds Dreieck ABS wird nun um die x-achse so lnge gedreht is ISCI 2 = c 2 ist. Mit S( 0 / y / h) und C( r 2 - r 1 / h 2 / 0) erhält mn Gleichung ( 2 ): (0 (r 2 - r 1 )) 2 ( y - h 2 ) 2 ( h - 0 ) 2 = c 2 (r 2 - r 1 ) 2 ( y - h 2 ) 2 h 2 = c 2 ( 2 ) ( y - h 2 ) 2 h 2 = c 2 - (r 2 - r 1 ) 2 Nun formt mn ( 1 ) nch h 2 um und setzt den Term in ( 2 ) ein : ( y - h 2 ) 2 h y 2 = c 2 - (r 2 - r 1 ) 2 y 2-2yh 2 h 2 2 h y 2 = c 2 - (r 2 - r 1 ) 2-2yh 2 h 2 2 h 1 2 = c 2 - (r 2 - r 1 ) 2 y = (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 r- c 2 ) / 2h 2 y 2 = (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 / 4h 2 2 Den Term für y 2 setzt mn in ( 1 ) ein und formt nch h 2 um : h 2 = h (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 / 4h 2 2 h 2 = ( 4h 1 2 h (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 ) / 4h 2 2 Betrchtet mn jetzt ds Qudrt des Volumens V 2 = 1/9 G 2 h 2 mit G 2 = 1/4 r 2 h 2 2 und
10 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 10 h 2 = ( 4h 1 2 h (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 ) / 4h 2 2 so folgt: V 2 = 1/9 G 2 h 2 V 2 = 1/9 1/4 r 2 h 22 ( 4h 1 2 h (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 ) / 4h 2 2 V 2 = 1/144 r 2 ( 4h 1 2 h (h 1 2 h 2 2 (r 2 - r 1 ) 2 - c 2 ) 2 ) Durch Einsetzen der Terme für r 1,r 2,h 1,h 2 und vereinfchen ( ws wegen der hohen Anzhl der Terme nicht gnz einfch ist) knn mn folgende Form erhlten: Volumenformel für ds unregelmäßige Tetreder : 2 2 ( p 2 q 2 - r 2 ) 2 c 2 ( p 2 - q 2 r 2 ) 2 c 2 ( - p 2 q 2 r 2 ) V 2 = 1/144 2 p 2 ( q 2 r 2 ) 2 q 2 ( p 2 r 2 ) c 2 r 2 ( p 2 q 2 ) q c p - 2 p 2 ( 2 p 2 ) - 2 q 2 ( 2 q 2 ) - c 2 r 2 ( c 2 r 2 ) r - p 2 q 2 r 2
11 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik Volumen des konvexen 10-Delteders Länge der Knten: φ r h /2 r-h ( 1 ) ( /2) 2 h 2 = r 2 ( 2 ) ( φ) 2 = (r h)2r mit φ = (sqrt (5)1)/2, φ 2 = φ1
12 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 12 Bestimmung von r: ( 2 ) nch h in ( 1 ) ( /2) 2 ((φ 2 2 2r 2 ) 2 /4r 2 = r 2 2 r 2 φ 4 4-4φ 2 2 r 2 4r 4 = 4r 4 4φ 2 2 r 2-2 r 2 = φ 4 4 (4φ 2-1) 2 r 2 = φ 4 4 (4φ 2-1) r 2 = φ 4 2 r 2 = (3φ2)/(4φ3) 2 ( wegen φ 2 = φ1 ) Berechnung der Körperhöhe: H=2 sqrt ( 2 - r 2 ) H=2 sqrt ( 2 (3φ2)/(4φ3) 2 ) H=2 sqrt ((φ1)/(4φ3)) r H Berechnung des Volumens: Der Körper setzt sich zusmmen us 5 kongruenten unregelmäßigen Tetredern mit 5 Kntenlängen und einer Knte H. Die Tetreder hen ds Volumen V T, ws mit der Volumenformel erechnet werden knn: V = 5V T V 2 T = 1/144 ( 3H 2 4 H 4 2 ) V 2 T = 1/144 ((84φ52)/(4φ3) 2 ) 6 V T = 1/6 sqrt (21φ13)/(4φ3) 2 3 V = 5/6 sqrt (21φ13)/(4φ3) 2 3
13 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik Volumen eines speziellen unregelmäßigen Tetreders: 4 Knten hen die Länge, 2 gegenüerliegende Knten die Länge Ds Volumen wird nch der eknnten Formel V = Gh/3 erechnet, woei G,h Grundfläche und Höhe des Körpers sind. Um die Höhe h in Ahängigkeit von den Knten zu ekommen werden zunächst die Koordinten des Spitze S erechnet: S(0/y/h) h h C h A B Zum esseren Verständnis denkt mn sich zunächst nur die Grundfläche des Körpers und die Vorderfläche in der x-y-eene liegend gegeengegeen, so dss die Punkte A,B,C uf den Achsen liegen. y C(0/h /0) S h A B x h ABS in die Eene z=0 gedreht
14 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 14 Berechnung von h : Zur Berechnung von h in Ahängigkeit von, wird die Fehringersche Gleichung ngewendet h = sqrt( ) / 2 h = sqrt ( ) / 2 h = sqrt 2 ( ) / 2 h = sqrt ( ) / 2 h = sqrt ( ) / 2 Berechnung der Koordinten y,h von S : Ds Dreieck ABS wird nun um die x-achse so lnge gedreht is ISCI 2 = 2 folgende Gleichung: ist. Ds liefert die (0-0) 2 (y-h ) 2 (h-0) 2 = 2 ( 1 ) (y-h ) 2 h 2 = 2 Eine zweite Gleichung ergit sich us IS0I 2 = h 2 : (0-0) 2 (y-0) 2 (h-0) 2 2 = h ( 2 ) y 2 h 2 = h 2 Formt mn ( 2 ) nch h2 um und setzt den Term in ( 1 ) ein, erhält mn : (y-h ) 2 h 2 -y 2 = 2 y 2-2yh h 2 h 2 - y 2 = 2-2yh 2h 2 = 2 2yh = 2h 2-2 y = (2h 2-2 )/2 h y = ((4 2-2 )/2-2 ) / sqrt ( ) y = ( ) / 2 sqrt ( ) y 2 = ( ) 2 / 4 ( ) Den Term für y 2 und den Term für h setzt mn in ( 2 ) ein und formt nch h um : h 2 = h 2 - y 2 h 2 = (4 2-2 )/4 - ( ) 2 / 4 ( ) h 2 = ((4 2-2 ) 2 - ( ) 2 ) / 4 ( )
15 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 15 h 2 = ( ) / 4 ( ) h 2 = ( ) / 4 ( ) h 2 = ( ) / ( ) h = sqrt (( ) / ( )) h = sqrt(2) sqrt (2 2 2 ) / sqrt ( ) Berechnung der Grundfläche : G = sqrt ( ) / 4 G = sqrt ( ) / 4 Berechnung des Volumens : V = Gh/3 V = sqrt ( ) / 4 sqrt (2) sqrt (2 2 2 ) / sqrt ( )/3 V = 2 sqrt (2) sqrt (2 2-2 ) / 12
16 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 16 Gleichungen für p,q,h des llgemeinen Dreiecks: p = ( 2 c 2-2 )/2c q = ( 2 c 2-2 )/2c h = sqrt( c c c 4 ) / 2c h = sqrt(( c 2 )/2 pq) C h A q Zustz: Der Flächeninhlt A = ch/2, lso: c p B A = sqrt( c c c 4 ) / 4
17 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 17 Volumenformel für ds unregelmäßige Tetreder : V = 1/12 sqrt 2 2 ( p 2 q 2 - r 2 ) 2 c 2 ( p 2 - q 2 r 2 ) 2 c 2 ( - p 2 q 2 r 2 ) 2 p 2 ( q 2 r 2 ) 2 q 2 ( p 2 r 2 ) c 2 r 2 ( p 2 q 2 ) - 2 p 2 ( 2 p 2 ) - 2 q 2 ( 2 q 2 ) - c 2 r 2 ( c 2 r 2 ) - p 2 q 2 r 2 q r c p
18 Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 18
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10 Anwendungen der Integralrechnung
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3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )
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4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
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