Physik III im Studiengang Elektrotechnik

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1 Physik III im Studiengang Elektrotechnik - Wärmetransport - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2008/09

2 Transportmechanismen Temperaturausgleich: T > Wärme T < Wärmeleitung T > Medium (f, fl, g) T < mikrospkopisch ungeordnete Bewegung Wärmestrahlung T > Licht Atome/Moleküle Elektronen T < Wärmeströmung T > Medium (fl, g) T < makrospkopisch geordnete Bewegung Wärmetransport 2

3 Wärmeleitung T > l Medium T < U R el I el Wärme fließt in endlicher Zeit: treibende Kraft: treibende Kraft: Q& I T U l Draht: Rel κel A T > T < Rth Q& Wärmestrom Temperaturdifferenz Potentialdifferenz U stabförmiges Medium: R th λ l A [ R th ] K W λ: : Wärmeleitf rmeleitfähigkeit [ λ] W m K Werkstoffeigenschaft Wärmetransport 3

4 Wärmeleitfähigkeit 20 C in W/(m. K) gute elektrische Leiter gute Wärmeleiter Wiedemann-Franz: λ ~ κ λ L T κ Diamant 2000,00 freie Elektronen L: Lorenzzahl 2, V²/K² Diamant: perfekter Einkristall perfekter Nichtleiter elastische Wellen Hindernisse für Phononen: Gitterstörungen Korngrenzen Gitterschwingungen Wärmetransport 4

5 Wärmeleitung durch mehrere Medien Parallelschaltung T > M : λ, l, A M 2: λ 2, l 2, A 2 T < G G + G 2 R R 2 Serienschaltung T > λ, l, A λ 2, l 2, A 2 2 T < R R + R R 2 häufig: ebene Geometrie (Wand): A A 2 A Def.: k-wert (U-Wert) k : R A th G A th W [ k] m² K Grenzschichttemperaturen Spannungsteiler Wärmetransport 5 k S R l λ l + λ 2 2

6 Temperaturverlauf im Medium Spannungsteiler: U I R U R x x R l x homogenes Medium: T x T> T< T< + l x R x R x l T > T < Mehrschichtenwand: λ < λ 2 < λ 3 λ T λ 2 λ 3 > l l2 l3 T < Grenzschichttemperatur: l T2 T> k ( T> T< ) λ T Steigungen ~ /λ i Wärmetransport 6 x

7 dynamische Effekte Wärmestrom warm kalt: T > Medium T < Abkühlen des warmen Reservoirs kaltes Reservoir: keine Erwärmung Analogie: Entladen eines Kondensators warmes Reservoir Kapazität C el C m WR c s WR wärmeleitendes Medium Widerstand l Rel Rth A λ Abklingkonstante s l c R C mwr A λ WR Wärmetransport 7 R T> ( t) T< ( T> (0) T< ) e Abkühlkurven t R C

8 Wärmeleitung: nicht ebene Geometrien eben: Kante: T > T2 T4 T< Wärmestromdichte konstant Wärmestromdichte ändert sich Isothermen gerade Isothermen krummlinig Temperaturverteilung, lokale Wärmestromdichte: r T ( x, y, z); j ( x, y, z) Wärmestromdichte Isotherme r Fourier: j Q ( x, y, z) λ grad T ( x, y, z) T T T grad T :,, x y z Gradient: Vektor in Richtung max. Steigung Wärmetransport 8 Q

9 Kontinuitätsgleichung Hülle umschließt Wärmequelle: Wärmestrom geht durch die Hülle Form der Hülle beliebig! Q& r r j Q da Wärmetransport 9 Hülle Hülle λ grad T Problem: Finden von T(x,y,z) und j Q (x,y,z) bei gegebener Geometrie von Wärmequelle (T > ) und senke (T < ) r da Ansatz: Symmetrie von Wärmequelle und senke Symmetrie von j Q (x,y,z) und T(x,y,z) r r r Hüllfläche so wählen, dass: jq // da, jq const. auf der Hülle r r r r j d a j da 0auf der Hülle Q Q

10 Beispiel: Zylindersymmetrie Wärmestrom: radial T a r i r a T i r Hüllfläche: konzentrische Zylinder r j Q const. auf dem Mantel r r d a 0 auf den Deckflächen r j Q j Q Q & l: Zylinderlänge 2 π l r Wärmestrom: 2 l Q& π λ ( Ta Ti ) ln( r / r ) a i Ta Ti r Temperaturverlauf T(r): T ( r) Ti + ln( ) ln( r / r ) r Wärmetransport 0 a i i

11 Konvektion Wärmetransport durch Materiebewegung Gase, Flüssigkeiten erzwungene Bewegung Pumpen, Ventilatoren, Wind... Auftriebsbewegungen thermisch bedingte Dichteunterschiede häufig: Wärmetransport Fluid Wand T F T W j Q v r Temperaturverlauf: Grenzschicht: keine Bewegung j Q λ F gradt T F linearer Ansatz: Q& A α K T Fluid: T const. bei x α K /λ Wand Wärmetransport Wärmeübergangskoeffizient x T W

12 Wärmeübergangskoeffizienten α [W/m²K] Wärmetransport 2

13 Wärmeübergangskoeffizienten α Wärmetransport 3

14 Anwendung: Aufwindkraftwerk Wärmetransport 4

15 Anwendung: Aufwindkraftwerk Wärmetransport 5

16 Wärmetauscher Wärme von einem Medium (Fluid) auf ein anderes übertragen Rekuperatoren Regeneratoren getrennte Stoffströme kontinuierliche Wärmeübertragung Wärmerückgewinnung (Lüftung) Autokühler Kühlkreisläufe (Kernkraftwerke) getrennte Stoffströme Wärmespeicher Laden: Stoffstrom, Entladen: Stoffstrom 2 Winderhitzer Mischwärmetauscher Stoffströme mischen sich Kühlturm Wärmetransport 6

17 Wärmetauscher Winderhitzer Wärmetransport 7

18 Rekuperatoren Gleichstromwärmetauscher E T 2 E T Q& Q& A T 2 A T Gegenstromwärmetauscher A T 2 E T Q& Q& E T 2 A T Kreuzstromwärmetauscher A T 2 E T E T 2 A Wärmetransport T 8

19 Wärmestrahlung Wärmetransport: elektromagnetische Strahlung Ursache der Strahlung: Beschleunigung von Ladungen (e( - ) Atom-/ Molekülbewegung jeder Körper bei bei T > 0 emittiert Licht abhängig von: Temperatur Oberflächenbeschaffenheit jeder Körper absorbiert Licht abhängig von: Oberflächenbeschaffenheit Reflektivität Wärmetransport 9

20 Absorptions-, Emissionsgrad, Reflektivität schwarzer Körper: weißer Körper: grauer Körper: absorbiert alle auftreffende Strahlung absorbiert keine auftreffende Strahlung Strahlung wird reflektiert absorbiert und reflektiert Strahlung Definitionen: Strahlungsintensität: I PStrahlung : Fläche Strahlungsrichtung Fläche Absorptionsgrad: Emissionsgrad: Reflektivität: α : ε : ρ : I abs sk I abs I I em sk em I I ref ein I I + I Wärmetransport 20 ein abs refl I sk abs α+ρ

21 Zusammenhang Emission - Absorption 2 Körper im thermischen Gleichgewicht: T ε α Spiegel P P 2 Spiegel T ε 2 α 2 * sk sk P P abs,2 Pem, von Körper 2 absorbierte Strahlung * P α 2 P von Körper absorbierte Strahlung * P α 2 P2 thermisches Gleichgewicht: P * * P2 2 schwarze Körper: sk Temperaturen gleich P sk abs, i P * sk sk, P abs P P2, em, 2 em i (2) schwarzer, () grauer Körper: * sk sk * sk P ε Pem, + ρ Pem,2 P2 Pem, 2 α( λ) ε( λ) Wärmetransport Kirchhoff: P em ~ α 2

22 Metalle: Emissionsgrade Stoff T / C ε Nichtmetalle: Wärmetransport 22

23 schwarzer Körper: Strahlungsgesetze Experimente von Stefan: spezifische Abstrahlung M M e : e σ in alle Richtungen abgestrahlte Leistung Strahlerfläche SB T spektrale Verteilung (M. Planck 900): M e 4 σ SB 5, π h c² dλ ( λ, T ) dλ 5 λ h c exp( ) λ k T Plancksches Wirkungsquantum h6, W m ²K Js Js Lage des Maximums abhängig von T: Wärmetransport 23 λ max T 2900µm K Wiensches Verschiebungsgesetz

24 Strahlungsaustausch (schwarze Körper) 2 welche Strahlungsleistung geht von 2? gradlinige Ausbreitung: Sichtfaktoren F 2 : Strahlung 2 Gesamtstrahlung thermisches Gleichgewicht: T T T T 2 : Q& A F σsb ( T ) 2 2 T2 einfach: Körper 2 umgibt Körper sk sk P 2 P A 2 F2 A2 F2 Wärmetransport 24 F Q& 2 A σsb ( T T 4 2 Halbraum über Ebene parallele Ebenen ( groß) dann: Wärmestromdichte )

25 Wärmetransport 25 Sichtfaktoren einfacher Geometrien Flächenelement parallel zu Rechteckfläche 2: h b b h a a b a b b a b a a F π : ~, ~ : )) ² ~ ~ arctan( ² ~ ~ ) ~ ² ~ arctan( ~ ² ~ ( 2,2 Flächenelement senkrecht zu Rechteckfläche 2: )) ~ ² ~ arctan( ~ ² ~ (arctan 2, π a b a b F Kugelförmiges Element senkrecht zu Rechteckfläche 2: ) ² ~ ~ ² ~ ~ arctan( 4,2 + + π b a b a F

26 Werte für Sichtfaktoren F,2 F,2 Flächenelement parallel zu Fläche 2 Sichtfaktor Flächenelement Fläche Sichtfaktor kugelförmiges Element Fläche 2 Wärmetransport 26

27 Werte für Sichtfaktoren F,2 F,2 Gleiche Rechtecke parallel Sichtfaktor Fläche Fläche 2 Rechtecke orthogonal, gleiche Länge Sichtfaktor Fläche Fläche 2 Wärmetransport 27

28 Umrechnung für andere Fälle Summationsgesetz: Summe der Sichtfaktoren über die Flächen, die einen Halbraum über der betrachtete Fläche bilden n k F i, k (i: Fläche, Flächenelement, Kugel) Wechselwirkungsgesetz (Flächen): F,2 A F2, A2 Zerlegungsgesetz: F,2 F,2' F,2'' Wärmetransport 28

29 Strahlungsaustausch (graue Körper) 2 teilweise Reflexion M M A F A M A F 2 ρ 2 F 2 M A F ε M A F ε ρ ρ F F M A F 2 ρ 2 F 2 ρ F Strahlung von 2: P 2 M A ε2 F2 ( ρ F2 ρ2 F2 ) i 0 i Wärmestrom von 2: Q& P 2 2 P2 Q& 2 Wärmetransport 29 A ε ε ρ 2 4 F2 ( T T A 2 ρ2 F2 A )

30 Strahlungsaustausch (umschlossene Flächen) Umhüllung A U A K F KU KU Körper Wärmestrom vom Körper 4 4 Q& A C ( T T ) K mit K K U C K U K U εk εu σsb A ρk ρu A C K U : Strahlungsaustauschkoeffizient K U Grenzfälle: A K A U (Rohrummantelung): große parallele Platten: C K U σ SB /( + ) ε ε K U A K << A U (Rohr mit Wand): CK U σsb εk εu Halbraum über ebener Fläche (Fußbodenheizung): F U SB C K U ( ε F )( εu 2 Wärmetransport 30 ε ε σ )