Geometrische Algorithmen Segmentschnitt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrische Algorithmen Segmentschnitt"

Transkript

1 Folie 1 von 36 Geometrische Algorithmen Segmentschnitt

2 Folie 2 von 36 Segmentschnitt Übersicht Zwei Segmente Lage zweier Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit Formeln zum Geradenschnitt Feststellen des Schnitts durch Prüfen der Punktlage Sonderfälle n Segmente Paarweiser Schnitt Reduktion von 2-dim auf 1-dim Verfahren des Scan-Line Vorgehen Beispiel/Gegenbeispiel Ausnutzung der Nachbarschaft Ordnungsrelation Beispiel zur dynamischen Ordnung Vereinfachende Annahmen Formulierung des Algorithmus Datenstrukturen

3 Folie 3 von 36 Zwei Segmente Einfacher Fall

4 Folie 4 von 36 Zwei Segmente Lage

5 Folie 5 von 36 Zwei Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit I Erste Idee: Berechnung der Geradengleichungen g und g' der Segmente s und s' Berechnung des Schnittpunkts p von g und g' Prüfen ob p in s und s'

6 Folie 6 von 36 Zwei Segmente Formeln Gegeben: Endpunkte der Segmente Geradengleichung für zwei Punkte

7 Folie 7 von 36 Zwei Segmente Prüfung auf Schnittfreiheit II Erste Idee: Berechnung der Geradengleichungen g und g' der Segmente s und s' Berechnung des Schnittpunkts p von g und g' Prüfen ob p in s und s' Problem: vertikale Segmente Vermeidung unangenehmer Sonderfälle

8 Folie 8 von 36 Zwei Segmente Lage und Schnitt

9 Folie 9 von 36 Zwei Segmente Formulierung des Grundproblems Reduktion auf das Problem: P3, P4 liegen auf der gleichen / verschiedenen Seiten der durch g induzierten Geraden

10 Folie 10 von 36 Zwei Segmente Prüfen der Punktlage Berechnung der Determinante Vorzeichen der Determinante gibt Auskunft über die Lage des Punktes zur Geraden. Wir unterscheiden 3 Fälle: D > 0: P liegt links von g D < 0: P liegt rechts von g D = 0: P liegt auf g

11 Folie 11 von 36 Zwei Segmente Prüfen aller Punktlagen Definition: Unter der Voraussetzung, dass alle Determinanten!= 0 sind, schneiden sich g und g' genau dann, wenn S1 und S2 sowie S3 und S4 jeweils verschiedene Vorzeichen haben

12 Folie 12 von 36 Zwei Segmente Sonderfälle Wenn alle Determinanten gleich Null sind, dann folgt daraus, daß alle vier Punkte kollinear sind. Falls eine Determinante Null ist:

13 Folie 13 von 36 n Segmente Allgemeiner Fall 1x

14 Folie 14 von 36 n Segmente Paarweiser Schnitt Naheliegendes Vorgehen: Überprüfe jedes Paar von Segmenten wende den zuvor skizzierten Algorithmus auf diese Paare an Wie viele Paare gibt es? Beispiel für NRW, Massstab 1: * Schnitt der Kanten der Bahnstrecken mit dem Straßennetz: 8454 * = geht es auch schneller? optimal wäre O(n * log n) (so schnell wie Sortieren) * Quelle: ArcDeutschland 500, ESRI

15 Folie 15 von 36 n Segmente Weitere Überlegungen Was wissen wir, was können wir ausnutzen? Vermeidung unnötiger Berechnungen, deren Ergebnis durch systematische Überlegung gewonnen werden kann Was ist eine besonders einfache Variante dieses Problems? alle Segmente liegen auf einer Geraden ( x-achse) eindimensionale Problemstellung Können wir die allgemeine (schwierige) Variante auf die spezielle (einfache) zurückführen?

16 Folie 16 von 36 n Segmente Reduktion von 2-dim auf 1-dim Überlappung der horizontalen Projektionen ist notwendig, aber nicht hinreichend für einen Schnitt 3x

17 Folie 17 von 36 n Segmente Was bringt die Reduktion? Nur Segmente, deren horizontale Projektionen sich überlappen, können sich auch schneiden Man kann die Prüfung auf diese Segmente einschränken Überprüfen aller Segmente durch sequentielles Vorgehen von links nach rechts ( Scannen ) Scan-Line

18 Folie 18 von 36 n Segmente Verfahren Scan-Line

19 Folie 19 von 36 n Segmente Vorgehen Scan-Line horizontale Scan-Line über die Ebene schieben aktive Elemente: Schnitt mit der Scan-Line nur aktive Elemente können horizontale Überschneidungen haben überprüfe aktive Elemente auf Schnittfreiheit Problem: Wo sind die Haltepunkte der Scan-Line? Anfangspunkt eines Segments Endpunkt eines Segments interessant sind also die x-koordinaten der Anfangs- und Endpunkte 1. Schritt: sortiere alle Punkte nach aufsteigenden x-koordinaten anders ausgedrückt: sortiere die x-koordinaten und statte jede x-koordinate mit einem Verweis auf den zugehörigen Punkt aus

20 Folie 20 von 36 n Segmente Beispiel Scan-Line 11x

21 Folie 21 von 36 n Segmente Gegenbeispiel Scan-Line Zu viele Elemente gleichzeitig aktiv: 2x

22 Folie 22 von 36 n Segmente Weitere Überlegungen zum Scan-Line Scannen allein reicht nicht zu viele Elemente gleichzeitig aktiv wir können uns an jedem Haltepunkt der Scan-Line maximal ein oder zwei (oder konstant viele) Tests erlauben also müssen wir sparen... und zusätzliches Wissen einspeisen nur benachbarte Segmente können sich schneiden

23 Folie 23 von 36 n Segmente Nachbarschaft 3x

24 Folie 24 von 36 n Segmente Ausnutzung der Nachbarschaft wie definiert man Nachbarschaft so, daß man sehr schnell erkennt, ob zwei Segmente benachbart sind?

25 Folie 25 von 36 n Segmente Was ist Nachbarschaft?

26 Folie 26 von 36 n Segmente Ausnutzung der Nachbarschaft wie definiert man Nachbarschaft so, daß man sehr schnell erkennt, ob zwei Segmente benachbart sind? Nutzung der Scan-Line Betrachte die Schnittpunkte der aktiven Segmente mit der Scan-Line ordne die Segmente nach den y-koordinaten ihrer Schnittpunkte mit der Scan-Line nenne diese Ordnung

27 Folie 27 von 36 n Segmente Ordnungsrelation 6x

28 Folie 28 von 36 n Segmente Ordnung der Segmente ist eine partielle Ordnung die nur auf der Menge der aktiven Elemente definiert ist die Ordnung zwischen zwei Elementen wird an ihren Schnittpunkten umgedreht aus wird am Schnittpunkt s von a und b diese Ordnung ist natürlich eindimensional und für die aktiven Elemente vollständig sie ist abhängig vom Haltepunkt x der Scan-Line diese Ordnung ist also dynamisch und hängt von x als Parameter ab tun wir vorübergehend so, als hätten wir diese Ordnung "im Griff"

29 Folie 29 von 36 n Segmente Beispiel Dynamische Ordnung 18x

30 Folie 30 von 36 n Segmente Zusatzfrage Scan-Line Wann wird der Schnittpunkt S1 erkannt? Übung: Wird ein Schnittpunkt ggf. mehr als einmal erkannt? 1x

31 Folie 31 von 36 n Segmente Scan-Line: Vereinfachende Annahmen Annahme: 2 Segmente schneiden sich höchstens in einem Punkt in keinem Punkt schneiden sich mehr als 2 Segmente die x-koordinaten aller Segmente sind paarweise verschieden kein Segment ist vertikal

32 Folie 32 von 36 n Segmente Algorithmus Scan-Line Input: S: eine Menge von Segmenten Output: die Schnittpunkte der Elemente von S Sei: T = Endpunkte der Segmente von S nach x- Koordinaten sortiert (Haltepunkte) L = // aktive Segmente von S while T do bestimme und entferne den nächsten Punkt p T x ist x-koordinate von p case: p ist linker Endpunkt von s fuege_ein(s,x,l) sl = vorgaenger(s,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) schnitt(sl,s,t); schnitt(s,sr,t); p ist rechter Endpunkt von s sl = vorgaenger(s,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) entferne(s,x,l) schnitt(sl,sr,t) p ist Schnittpunkt von s und t vertausche(s,t,l,x) // t < s sl = vorgaenger(t,x,l) sr = nachfolger(s,x,l) schnitt(sl,t,t) schnitt(s,sr,t)

33 Folie 33 von 36 n Segmente Algorithmus Scan-Line - Methoden fuege_ein(s,x,l): entferne(s,x,l): nachfolger(s,x,l): vorgaenger(s,x,l): schnitt(s,t,t): offene Probleme: fügt das Segment s in die Menge L ein entsprechend der Ordnung an der Stelle x entfernt das Segment s aus die Menge L an der Stelle x liefert den Nachfolger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden liefert den Vorgänger von s in L an der Stelle x, falls vorhanden prüft s und t auf Schnitt. Berechnet ggf. den Schnittpunkt p und fügt ihn als neuen Haltepunkt in T ein. eine geeignete Datenstruktur für T eine geeignete Datenstruktur für L Prüfung auf Schnitt, Berechnung des Schnittpunkts

34 Folie 34 von 36 n Segmente Datenstrukturen für T und S Datenstrukur für T AVL-Baum letztes Semester was ist ein AVL-Baum erstens ein Suchbaum zweitens ausgeglichen Datenstruktur für L AVL-Baum? Problem: "Vorgänger"und "Nachfolger" finden das wird vom AVL-Baum nicht unterstützt also: Variante des AVL-Baums alle Informationen sind in Blättern (nicht in inneren Knoten) die Blätter bilden eine doppelt verkettete Liste

35 Folie 35 von 36 Datenstruktur Variante des AVL-Baums mit einer doppelt verketteten Liste der Blätter für die Menge der aktiven Elemente

36 Folie 36 von 36 Datenstruktur für die Haltepunkte...mit den Operationen Einfügen eines gefundenen Schnittpunktes Finden und Entfernen des nächsten (also minimalen) Elements genügt ein normaler AVL-Baum obwohl man mit Kanonen auf Spatzen schießt besser: ein Heap (wie bei Dijkstra)

Geometrische Algorithmen

Geometrische Algorithmen Geometrische Algorithmen Bin Hu Algorithmen und Datenstrukturen 2 Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Institut für Computergraphik und Algorithmen Technische Universität Wien Einführung

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

Geometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Punkt-in-Polygon-Suche

Geometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche. Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Punkt-in-Polygon-Suche Folie 1 von 51 Geometrische Algorithmen Punkt-in-Polygon-Suche Folie 2 von 51 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Praxisbeispiel/Problemstellung Zählen von Schnittpunkten Schnitt einer Halbgerade mit der

Mehr

Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht

Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht Folie 1 von 43 Punkt-in-Polygon-Suche Übersicht! Praxisbeispiel/Problemstellung! Zählen von Schnittpunkten " Schnitt einer Halbgerade mit der Masche " Aufwandsbetrachtung! Streifenkarte " Vorgehen und

Mehr

Geometrische Algorithmen

Geometrische Algorithmen Geometrische Algorithmen Thomas Röfer Motivation Scan-line-Prinzip Konvexe Hülle Distanzprobleme Voronoi-Diagramm Rückblick Manipulation von Mengen Vorrangwarteschlange Heap HeapSort swap(a, 0, 4) 1 5

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (18 Bäume: Grundlagen und natürliche Suchbäume) Prof. Dr. Susanne Albers Bäume (1) Bäume sind verallgemeinerte Listen (jedes Knoten-Element kann mehr

Mehr

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny

Grundlagen der Informatik. Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny Grundlagen der Informatik Prof. Dr. Stefan Enderle NTA Isny 2 Datenstrukturen 2.1 Einführung Syntax: Definition einer formalen Grammatik, um Regeln einer formalen Sprache (Programmiersprache) festzulegen.

Mehr

7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren

7. Sortieren Lernziele. 7. Sortieren 7. Sortieren Lernziele 7. Sortieren Lernziele: Die wichtigsten Sortierverfahren kennen und einsetzen können, Aufwand und weitere Eigenschaften der Sortierverfahren kennen, das Problemlösungsparadigma Teile-und-herrsche

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert

1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert Inhalt Einführung 1. Arrays 1. Array unsortiert 2. Array sortiert 3. Heap 2. Listen 1. Einfach verkettete Liste unsortiert 2. Einfach verkettete Liste sortiert 3. Doppelt verkettete Liste sortiert 3. Bäume

Mehr

2.7.1 Inside-Test Konvexe Hülle Nachbarschaften Schnittprobleme

2.7.1 Inside-Test Konvexe Hülle Nachbarschaften Schnittprobleme 2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften 2.7.4 Schnittprobleme 1 2.7 Geometrische Algorithmen 2.7.1 Inside-Test 2.7.2 Konvexe Hülle 2.7.3 Nachbarschaften

Mehr

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare

Mehr

Definition Ein Heap (priority queue) ist eine abstrakte Datenstruktur mit folgenden Kennzeichen:

Definition Ein Heap (priority queue) ist eine abstrakte Datenstruktur mit folgenden Kennzeichen: HeapSort Allgemeines Sortieralgorithmen gehören zu den am häufigsten angewendeten Algorithmen in der Datenverarbeitung. Man hatte daher bereits früh ein großes Interesse an der Entwicklung möglichst effizienter

Mehr

Kapitel 9 Algorithm. Geometrie. Kürzeste Abstände Konvexe Hülle

Kapitel 9 Algorithm. Geometrie. Kürzeste Abstände Konvexe Hülle Kapitel 9 Algorithm. Geometrie Kürzeste Abstände Konvexe Hülle Überblick Teilgebiet der Informatik, in dem es um die Entwicklung effizienter Algorithmen und die Bestimmung der algorithmischen Komplexität

Mehr

1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee

1 AVL-Bäume. 1.1 Aufgabentyp. 1.2 Überblick. 1.3 Grundidee AVL-Bäume. Aufgabentyp Fügen Sie in einen anfangs leeren AVL Baum die folgenden Schlüssel ein:... Wenden Sie hierbei konsequent den Einfüge /Balancierungsalgorithmus an und dokumentieren Sie die ausgeführten

Mehr

Datenstrukturen. einfach verkettete Liste

Datenstrukturen. einfach verkettete Liste einfach verkettete Liste speichert Daten in einer linearen Liste, in der jedes Element auf das nächste Element zeigt Jeder Knoten der Liste enthält beliebige Daten und einen Zeiger auf den nächsten Knoten

Mehr

Was bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone

Was bisher geschah. 1. Zerlegung in monotone Polygone 2. Triangulierung der monotonen Teilpolygone Was bisher geschah Motivation, Beispiele geometrische Objekte im R 2 : Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon, ebene Zerlegung in Regionen (planare Graphen) maschinelle Repräsentation geometrischer

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (25 Sortieren vorsortierter Daten)

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen. (25 Sortieren vorsortierter Daten) Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (25 Sortieren vorsortierter Daten) 1 Untere Schranke für allgemeine Sortierverfahren Satz Zum Sortieren einer Folge von n Schlüsseln mit einem allgemeinen

Mehr

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen

Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen Vorlesung Informatik 2 Algorithmen und Datenstrukturen (21 - Balancierte Bäume, AVL-Bäume) Prof. Dr. Susanne Albers Balancierte Bäume Eine Klasse von binären Suchbäumen ist balanciert, wenn jede der drei

Mehr

Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)).

Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)). 8. Untere Schranken für Sortieren Alle bislang betrachteten Sortieralgorithmen hatten (worst-case) Laufzeit Ω(nlog(n)). Werden nun gemeinsame Eigenschaften dieser Algorithmen untersuchen. Fassen gemeinsame

Mehr

Geometrie 1. Roman Sommer. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Geometrie 1. Roman Sommer. Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen Geometrie 1 Roman Sommer Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Grundlagen Punkte, Vektoren Schreibweise: Skalar: Vektor: Komponente: Punkt: (spitzer) Winkel zw. zwei Vektoren:

Mehr

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können.

8. A & D - Heapsort. Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. 8. A & D - Heapsort Werden sehen, wie wir durch geschicktes Organsieren von Daten effiziente Algorithmen entwerfen können. Genauer werden wir immer wieder benötigte Operationen durch Datenstrukturen unterstützen.

Mehr

Übersicht. Rot-schwarz Bäume. Rot-schwarz Bäume. Beispiel. Eigenschaften. Datenstrukturen & Algorithmen. Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen

Übersicht. Rot-schwarz Bäume. Rot-schwarz Bäume. Beispiel. Eigenschaften. Datenstrukturen & Algorithmen. Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen Datenstrukturen & Algorithmen Übersicht Rot-schwarz Bäume Eigenschaften Einfügen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Rot-schwarz Bäume Binäre Suchbäume sind nur effizient wenn Höhe des Baumes

Mehr

13. Binäre Suchbäume

13. Binäre Suchbäume 1. Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume realiesieren Wörterbücher. Sie unterstützen die Operationen 1. Einfügen (Insert) 2. Entfernen (Delete). Suchen (Search) 4. Maximum/Minimum-Suche 5. Vorgänger (Predecessor),

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen

Geometrie I. Sebastian Redinger Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße Erlangen Geometrie I Sebastian Redinger 01.07.2015 Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Gliederung Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle - Graham Scan - Jarvis March 2 Gliederung

Mehr

Binärbäume: Beispiel

Binärbäume: Beispiel Binärbäume Als Beispiel für eine interessantere dynamische Datenstruktur sehen wir uns jetzt Binärbäume an Ein Binärbaum wird rekursiv definiert: Er ist leer oder besteht aus einem Knoten (die Wurzel des

Mehr

6. Algorithmen der Computer-Geometrie

6. Algorithmen der Computer-Geometrie 6. Algorithmen der Computer-Geometrie 1. Einführung 2. Schnitt von zwei Strecken 3. Punkt-in-Polygon-Test 4. Schnitt orthogonaler Strecken 5. Punkteinschlussproblem Geo-Informationssysteme 146 6.1 Computer-Geometrie

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume

Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Algorithmen und Datenstrukturen Balancierte Suchbäume Matthias Teschner Graphische Datenverarbeitung Institut für Informatik Universität Freiburg SS 12 Überblick Einführung Einfügen und Löschen Einfügen

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/3, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011

Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg 19.04.2011 Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 19.04.2011 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei

Mehr

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie

Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Übung zur Vorlesung Algorithmische Geometrie Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 8. Mai 2012 B. Rieck (CoVis)

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 6 FS 14 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérale de Zurich Politecnico federale di Zurigo Federal Institute of Technology at Zurich Institut für Theoretische Informatik 2. April

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 13 (18.6.2014) Binäre Suchbäume IV (Rot Schwarz Bäume) Algorithmen und Komplexität Rot Schwarz Bäume Ziel: Binäre Suchbäume, welche immer

Mehr

Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1

Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale Roboter 1 Vorlesung Geometrische Algorithmen Sichtbarkeitsgraphen und kurzeste Wege Sven Schuierer Uberblick 1. Kurzeste Wege 2. Sichtbarkeitsgraphen 3. Berechnung des Sichtbarkeitsgraphen 4. Kurzeste Wege fur polygonale

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier

Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier. Henning Fernau Universität Trier Algorithmen und Datenstrukturen SoSe 2008 in Trier Henning Fernau Universität Trier fernau@uni-trier.de 1 Algorithmen und Datenstrukturen Gesamtübersicht Organisatorisches / Einführung Grundlagen: RAM,

Mehr

Punktlokalisierung. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

Punktlokalisierung. Dr. Martin Nöllenburg Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Vorlesung Algorithmische Geometrie INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 22.05.2012 Nachtrag: Dynamische Bereichsabfragen Letzte Woche: kd-trees und Range-Trees

Mehr

Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich

Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich Informatik II Vorlesung am D-BAUG der ETH Zürich Vorlesung 9, 2.5.2016 [Nachtrag zu Vorlesung : Numerische Integration, Zusammenfassung Objektorientierte Programmierung] Dynamische Datenstrukturen II:

Mehr

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.

Vektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben. Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Das Voronoi Diagramm. 1. Definition. 2. Eigenschaften. 3. Größe und Speicherung. 4. Konstruktion. 5. Verwendung

Das Voronoi Diagramm. 1. Definition. 2. Eigenschaften. 3. Größe und Speicherung. 4. Konstruktion. 5. Verwendung Das Voronoi Diagramm 1. Definition 2. Eigenschaften 3. Größe und Speicherung 4. Konstruktion 5. Verwendung Das Voronoi- Diagramm Voronoi Regionen Euklidische Distanz: d(p,q) = (px-qx)^2+(py-qy)^2 Das Voronoi-Diagramm

Mehr

Geometrie 1. Christian Bay Christian Bay Geometrie / 46

Geometrie 1. Christian Bay Christian Bay Geometrie / 46 Geometrie 1 Christian Bay 02.07.2013 Christian Bay Geometrie 1 02.07.2013 1 / 46 Inhaltsverzeichnis Grundlagen CCW Polygone Picks Theorem Konvexe Hülle Christian Bay Geometrie 1 02.07.2013 2 / 46 Geometrie

Mehr

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung

2. Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 2 Woche: Eindeutige Entschlüsselbarleit, Sätze von Kraft und McMillan, Huffmancodierung 24/ 44 Zwei Beispiele a 0

Mehr

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen

Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Sommersemester 00

Mehr

13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren

13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren Schwerpunkte Aufgabe und Vorteile von Bäumen 13. Bäume: effektives Suchen und Sortieren Java-Beispiele: Baum.java Traverse.java TraverseTest.java Sortieren mit Bäumen Ausgabealgorithmen: - Preorder - Postorder

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Copyright, Page 1 of 8 AVL-Baum

Copyright, Page 1 of 8 AVL-Baum www.mathematik-netz.de Copyright, Page 1 of 8 AVL-Baum 1. Motivation und Einleitung Das Suchen, Einfügen und entfernen eines Schlüssels in einem zufällige erzeugten binären Suchbaum mit N Schlüsseln ist

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen

4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen 4. Kreis- und Wegeprobleme Abstände in Graphen Abstände in Graphen Definition 4.4. Es sei G = (V,E) ein Graph. Der Abstand d(v,w) zweier Knoten v,w V ist die minimale Länge eines Weges von v nach w. Falls

Mehr

186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 1. Übungstest WS 2010/11 26. November 2010

186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 1. Übungstest WS 2010/11 26. November 2010 Technische Universität Wien Institut für Computergraphik und Algorithmen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen 186.172 Algorithmen und Datenstrukturen 1 VL 4.0 1. Übungstest WS 2010/11 26.

Mehr

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2

ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 ADS: Algorithmen und Datenstrukturen 2 Teil 5 Prof. Peter F. Stadler & Dr. Christian Höner zu Siederdissen Bioinformatik/IZBI Institut für Informatik & Interdisziplinäres Zentrum für Bioinformatik Universität

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen Datenstrukturen und Algorithmen VO 708.031 Bäume robert.legenstein@igi.tugraz.at 1 Inhalt der Vorlesung 1. Motivation, Einführung, Grundlagen 2. Algorithmische Grundprinzipien 3. Sortierverfahren 4. Halden

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II 2007 Martin v. Löwis Priority Queues and Heapsort 2007 Martin v. Löwis 2 Priority Queue Abstrakter Datentyp Inhalt: Elemente mit Priorität Operationen: Einfügen: Angabe des Elements und seiner Priorität

Mehr

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume

Dynamische Mengen. Realisierungen durch Bäume Dynamische Mengen Eine dynamische Menge ist eine Datenstruktur, die eine Menge von Objekten verwaltet. Jedes Objekt x trägt einen eindeutigen Schlüssel key[x]. Die Datenstruktur soll mindestens die folgenden

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/2, Folie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI

Mehr

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4.8-4.11: Andere dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.6 AVL-Bäume 4.8 Rot-Schwarz-Bäume Idee: Verwende Farben, um den Baum vertikal zu

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 11 (4.6.2014) Binäre Suchbäume II Algorithmen und Komplexität Binäre Suchbäume Binäre Suchbäume müssen nicht immer so schön symmetrisch sein

Mehr

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel : Andere dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4.8-4.11: Andere dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2013/14 Prof. Dr. Sándor Fekete 1 4.6 AVL-Bäume 2 4.8 Rot-Schwarz-Bäume Rudolf Bayer Idee: Verwende Farben, um den

Mehr

Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5

Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5 Robert Elsässer Paderborn, den 15. Mai 2008 u.v.a. Beispiellösung zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 5 AUFGABE 1 (6 Punkte): Nehmen wir an, Anfang bezeichne in einer normalen

Mehr

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12

Folge 19 - Bäume. 19.1 Binärbäume - Allgemeines. Grundlagen: Ulrich Helmich: Informatik 2 mit BlueJ - Ein Kurs für die Stufe 12 Grundlagen: Folge 19 - Bäume 19.1 Binärbäume - Allgemeines Unter Bäumen versteht man in der Informatik Datenstrukturen, bei denen jedes Element mindestens zwei Nachfolger hat. Bereits in der Folge 17 haben

Mehr

3. Binäre Suchbäume. 3.1 Natürliche binäre Suchbäume. EADS 3.1 Natürliche binäre Suchbäume 78/598 ľernst W. Mayr

3. Binäre Suchbäume. 3.1 Natürliche binäre Suchbäume. EADS 3.1 Natürliche binäre Suchbäume 78/598 ľernst W. Mayr 3. Binäre Suchbäume 3.1 Natürliche binäre Suchbäume Definition 18 Ein natürlicher binärer Suchbaum über einem durch total geordneten Universum U ist ein als interner Suchbaum organisierter Binärbaum (also:

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 10 (3.6.2014) Binäre Suchbäume I Algorithmen und Komplexität Zusätzliche Dictionary Operationen Dictionary: Zusätzliche mögliche Operationen:

Mehr

Vorlesung Datenstrukturen

Vorlesung Datenstrukturen Vorlesung Datenstrukturen Binärbaum Suchbaum Dr. Frank Seifert Vorlesung Datenstrukturen - Sommersemester 2016 Folie 356 Datenstruktur Binärbaum Strukturrepräsentation des mathematischen Konzepts Binärbaum

Mehr

Teil III. Komplexitätstheorie

Teil III. Komplexitätstheorie Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein

Mehr

TU München, Fakultät für Informatik Lehrstuhl III: Datenbanksysteme Prof. Dr. Thomas Neumann

TU München, Fakultät für Informatik Lehrstuhl III: Datenbanksysteme Prof. Dr. Thomas Neumann TU München, Fakultät für Informatik Lehrstuhl III: Datenbanksysteme Prof. Dr. Thomas Neumann Blatt Nr. 8 Übung zur Vorlesung Grundlagen: Datenbanken im WS14/15 Harald Lang (harald.lang@in.tum.de) http://www-db.in.tum.de/teaching/ws1415/grundlagen/

Mehr

Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...)

Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...) Proseminar Kodierverfahren bei Dr. Ulrich Tamm Sommersemester 2003 Thema: Codierung von Bäumen (Prüfer Codes...) Inhalt: Einleitung, Begriffe Baumtypen und deren Kodierung Binäre Bäume Mehrwegbäume Prüfer

Mehr

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke

Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008. Prof. Dr. Rainer Lütticke Theoretische Informatik 1 WS 2007/2008 Prof. Dr. Rainer Lütticke Inhalt der Vorlesung Grundlagen - Mengen, Relationen, Abbildungen/Funktionen - Datenstrukturen - Aussagenlogik Automatentheorie Formale

Mehr

1. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012

1. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2011/2012 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders Moritz Kobitzsch, Dennis Schieferdecker. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 0/0 http://algo.iti.kit.edu/algorithmenii.php

Mehr

Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht (nur) AVL Bäumen: Löschen von Elementen in binären Suchbäumen. 1. Fall: zu löschendes Element ist Blatt: löschen

Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht (nur) AVL Bäumen: Löschen von Elementen in binären Suchbäumen. 1. Fall: zu löschendes Element ist Blatt: löschen Nachtrag zu binären Suchbäumen (nicht (nur) AVL Bäumen: Löschen von Elementen in binären Suchbäumen 3 1. Fall: zu löschendes Element ist Blatt: löschen 1 2 4 9 10 11 12 13 2. Fall: zu löschendes Element

Mehr

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012

Datenstrukturen. Mariano Zelke. Sommersemester 2012 Datenstrukturen Mariano Zelke Sommersemester 2012 Tiefensuche: Die globale Struktur Der gerichtete oder ungerichtete Graph G werde durch seine Adjazenzliste A repräsentiert. Im Array besucht wird vermerkt,

Mehr

Informatik II, SS 2014

Informatik II, SS 2014 Informatik II SS 2014 (Algorithmen & Datenstrukturen) Vorlesung 7 (21.5.2014) Binäre Suche, Hashtabellen I Algorithmen und Komplexität Abstrakte Datentypen : Dictionary Dictionary: (auch: Maps, assoziative

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Isomorphie von Bäumen

Isomorphie von Bäumen Isomorphie von Bäumen Alexandra Weinberger 23. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Einige Grundlagen und Definitionen 2 1.1 Bäume................................. 3 1.2 Isomorphie..............................

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

Sortierverfahren für Felder (Listen)

Sortierverfahren für Felder (Listen) Sortierverfahren für Felder (Listen) Generell geht es um die Sortierung von Daten nach einem bestimmten Sortierschlüssel. Es ist auch möglich, daß verschiedene Daten denselben Sortierschlüssel haben. Es

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V.

Definition Ein gerichteter Graph G = (V, E) ist ein Graph von geordneten Paaren (u, v) mit u V und v V. Kapitel 4 Graphenalgorithmen 4.1 Definitionen Definition 4.1.1. Der Graph G = (V, E) ist über die beiden Mengen V und E definiert, wobei V die Menge der Knoten und E die Menge der Kanten in dem Graph ist.

Mehr

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren. . Quicksort Wie bei vielen anderen Sortierverfahren (Bubblesort, Mergesort, usw.) ist auch bei Quicksort die Aufgabe, die Elemente eines Array a[..n] zu sortieren. Quicksort ist ein Divide-and-Conquer-Verfahren.

Mehr

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3

Klausur Informatik B April Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 1 von 8 Klausur Informatik B April 1998 Teil I: Informatik 3 Informatik 3 Seite 2 von 8 Aufgabe 1: Fragekatalog (gesamt 5 ) Beantworten Sie folgende Fragen kurz in ein oder zwei Sätzen.

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

Übersicht über Informatik und Softwaresystemtechnik WS 99/00, Prof. Dr. Andreas Schwill

Übersicht über Informatik und Softwaresystemtechnik WS 99/00, Prof. Dr. Andreas Schwill Konvexe Hülle Hierbei handelt es sich um ein klassisches Problem aus der Algorithmischen Geometrie, dem Teilgebiet der Informatik, in dem man für geometrische Probleme effiziente Algorithmen bestimmt.

Mehr

Wie beim letzten Mal - bitte besucht: http://pingo.upb.de/549170 Ihr seid gleich wieder gefragt... Übung Algorithmen I 4.5.16 Lukas Barth lukas.barth@kit.edu (Mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen

Algorithmen und Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen Dipl. Inform. Andreas Wilkens aw@awilkens.com Überblick Grundlagen Definitionen Elementare Datenstrukturen Rekursionen Bäume 2 1 Datenstruktur Baum Definition eines Baumes

Mehr

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume

Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Kap. 4.2: Binäre Suchbäume Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 11. VO DAP2 SS 2009 26. Mai 2009 1 Zusätzliche Lernraumbetreuung Morteza Monemizadeh:

Mehr

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem

Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Der Dreyfus-Wagner Algorithmus für das Steiner Baum Problem Andreas Moser Dietmar Ebner Christian Schauer Markus Bauer 9. Dezember 2003 1 Einführung Der in der Vorlesung gezeigte Algorithmus für das Steiner

Mehr

4.4.2 Virtuelles Hashing Erweiterbares Hashing Das Gridfile Implementation von Hashverfahren in Java

4.4.2 Virtuelles Hashing Erweiterbares Hashing Das Gridfile Implementation von Hashverfahren in Java Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 1 1.1 Algorithmen und ihre formalen Eigenschaften 1 1.2 Beispiele arithmetischer Algorithmen 5 1.2.1 Ein Multiplikationsverfahren 5 1.2.2 Polynomprodukt 8 1.2.3 Schnelle

Mehr

14. Rot-Schwarz-Bäume

14. Rot-Schwarz-Bäume Bislang: Wörterbuchoperationen bei binären Suchbäume effizient durchführbar, falls Höhe des Baums klein. Rot-Schwarz-Bäume spezielle Suchbäume. Rot-Schwarz-Baum mit n Knoten hat Höhe höchstens 2 log(n+1).

Mehr

11.1 Grundlagen - Denitionen

11.1 Grundlagen - Denitionen 11 Binärbäume 11.1 Grundlagen - Denitionen Denition: Ein Baum ist eine Menge, die durch eine sog. Nachfolgerrelation strukturiert ist. In einem Baum gilt: (I) (II) 1 Knoten w ohne VATER(w), das ist die

Mehr

Was bisher geschah ADT Menge mit Operationen: Suche nach einem Element Einfügen eines Elementes Löschen eines Elementes Realisierung durch

Was bisher geschah ADT Menge mit Operationen: Suche nach einem Element Einfügen eines Elementes Löschen eines Elementes Realisierung durch Was bisher geschah ADT Menge mit Operationen: Suche nach einem Element Einfügen eines Elementes Löschen eines Elementes Realisierung durch verschiedene Datenstrukturen: lineare Datenstrukturen: Array,

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

11. Elementare Datenstrukturen

11. Elementare Datenstrukturen 11. Elementare Datenstrukturen Definition 11.1: Eine dynamische Menge ist gegeben durch eine oder mehrer Mengen von Objekten sowie Operationen auf diesen Mengen und den Objekten der Mengen. Dynamische

Mehr

Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007

Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007 Übung: Algorithmen und Datenstrukturen SS 2007 Prof. Lengauer Sven Apel, Michael Claÿen, Christoph Zengler, Christof König Blatt 5 Votierung in der Woche vom 04.06.0708.06.07 Aufgabe 12 Manuelle Sortierung

Mehr

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Julian Universität Arz, des Timo LandesBingmann, Baden-Württemberg Sebastian und Schlag nationales

Mehr

Konvexe Hülle. Konvexe Hülle. Mathematik. Konvexe Hülle: Definition. Mathematik. Konvexe Hülle: Eigenschaften. AK der Algorithmik 5, SS 2005 Hu Bin

Konvexe Hülle. Konvexe Hülle. Mathematik. Konvexe Hülle: Definition. Mathematik. Konvexe Hülle: Eigenschaften. AK der Algorithmik 5, SS 2005 Hu Bin Konvexe Hülle Konvexe Hülle AK der Algorithmik 5, SS 2005 Hu Bin Anwendung: Computergraphik Boundary Kalkulationen Geometrische Optimierungsaufgaben Konvexe Hülle: Definition Mathematik Konvex: Linie zwischen

Mehr

Triangulierung von einfachen Polygonen

Triangulierung von einfachen Polygonen Triangulierung von einfachen Polygonen - Seminarvortrag von Tobias Kyrion - Inhalt: 1.1 Die Problemstellung Quellenangabe 1.1 Die Problemstellung Definition Polygon: endlich viele paarweise verschiedene

Mehr

Übung Algorithmen I

Übung Algorithmen I Übung Algorithmen I.6.5 Christoph Striecks Christoph.Striecks@kit.edu (Mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann und Sebastian Schlag.) Roadmap Hinweise zur Übungsklausur (Weitere) Traversierungen von Binärbäumen

Mehr

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6

Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Robert Elsässer u.v.a. Paderborn, 29. Mai 2008 Beispiellösungen zu den Übungen Datenstrukturen und Algorithmen SS 2008 Blatt 6 Aufgabe 1 (6 Punkte): Zunächst sollte klar sein, daß ein vollständiger Binärer

Mehr

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis

Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Kap. 4.4: B-Bäume Kap. 4.5: Dictionaries in der Praxis Professor Dr. Lehrstuhl für Algorithm Engineering, LS11 Fakultät für Informatik, TU Dortmund 13./14. VO DAP2 SS 2009 2./4. Juni 2009 1 2. Übungstest

Mehr

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen

Klausur Algorithmen und Datenstrukturen Technische Universität Braunschweig Sommersemester 2013 IBR - Abteilung Algorithmik Prof. Dr. Sándor Fekete Dr. Christiane Schmidt Stephan Friedrichs Klausur Algorithmen und Datenstrukturen 22.08.2013

Mehr