Höhere Mathematik griffbereit

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1 M.J. WYGODSKI Höhere Mathematik griffbereit In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. Ferdinand Cap, Innsbruck Mit 483 Abbildungen und 15 Tabellen AKADEMIE-VERLAG BERLIN 1972

2 Inhaltsverzeichnis Analytische Geometrie in der Ebene Grundsätzliches über die analytische Geometrie Koordinaten Rechtwinkliges Koordinatensystem Rechtwinklige Koordinaten Winkelbereiche oder Quadranten Schiefwinkliges Koordinatensystem Die Geradengleichung Gegenseitige Lage von Punkt und Kurve Gegenseitige Lage zweier Kurven Der Abstand zwischen zwei Punkten Teilabschnitte mit gegebenem Verhältnis Die Determinante zweiter Ordnung Der Flächeninhalt eines Dreiecks Die Geradengleichung in der nach у aufgelösten Form Achsenparallele Geraden Die allgemeine Geradengleichung Konstruktion einer Geraden aus ihrer Gleichung Parallelitätsbedingung für Geraden Schnittpunkte von Geraden Bedingung für die Orthogonalität zweier Geraden Der Winkel zwischen zwei Geraden Bedingung dafür, daß drei Punkte auf einer Geraden liegen Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte Geradenbüschel Die Gleichung einer Geraden, die parallel zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt verläuft Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu einer gegebenen Geraden Gegenseitige Lage einer Geraden und eines Punktepaares Der Abstand eines Punktes von einer Geraden Die Polarparameter der Geraden Die Normalform der Geradengleichung Die Bestimmung der Geradengleichung in Normalform Achsenabschnitte Die Abschnittsgleichung der Geraden Koordinatentransformation (Erläuterung der Methode) Verschiebung des Koordinatenursprungs 55

3 8 Inhaltsverzeichnis 36. Achsendrehung Algebraische Kurven und ihr Grad Der Kreis Bestimmung des Mittelpunktes und des Radius eines Kreises Die Ellipse als gestauchter Kreis Eine zweite Definition der Ellipse Konstruktion einer Ellipse aus ihren Achsen Die Hyperbel Die Form einer Hyperbel. Scheitel und Achsen Konstruktion einer Hyperbel aus ihren Achsen Die Asymptoten der Hyperbel Konjugierte Hyperbeln Die Parabel Konstruktion einer Parabel bei gegebenem Parameter p Die Parabel als Kurve mit der Gleichung у = ах 2 -\-Ъх + с Die Leitlinien einer Ellipse und einer Hyperbel Allgemeine Definition von Ellipse, Hyperbel und Parabel Kegelschnitte Die Durchmesser eines Kegelschnitts Die Durchmesser der Ellipse Die Durchmesser der Hyperbel Die Durchmesser der Parabel Kurven zweiten Grades Die Form der allgemeinen Gleichung zweiten Grades Vereinfachung der Gleichung zweiten Grades. Allgemeine Bemerkungen Vorläufige Transformation der Gleichung zweiten Grades Endgültige Transformation der Gleichung zweiten Grades Über Verfahren zur Erleichterung der Vereinfachung von Gleichungen zweiten Grades Kriterium für den Zerfall einer Kurve zweiten Grades Die Bestimmung der Geraden, aus denen eine zerfallende Kurve zweiter Ordnung besteht Die Invarianten einer Gleichung zweiten Grades Die drei Typen von Kurven zweiten Grades Zentralsymmetrische und nichtzentralsymmetrische Kurven zweiten Grades Die Bestimmung des Zentrums zentralsymmetrischer Kurven zweiter Ordnung Die Vereinfachung der Gleichung einer zentralsymmetrischen Kurve zweiter Ordnung Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der к Gleichung у = Die gleichseitige Hyperbel als grafische Darstellung der ~,.,»и + n Gleichung 5 Jу = px + q Polarkoordinaton. 119

4 Inhaltsverzeichnis Die Beziehung zwischen Polarkoordinaten und rechtwinkligen Koordinaten Die Archimedische Spirale Die Polargleichung der Geraden Die Polargleichung eines Kegelschnitts 126 Analytische Geometrie im Raum Grundsätzliches über Vektoren und Skalare Der Vektor in der Geometrie, Vektoralgebra Kollineare Vektoren Der Nullvektor Die Gleichheit von Vektoren Die Rückführung von Vektoren auf einen gemeinsamen Anfangspunkt Entgegengesetzte Vektoren Vektoraddition Die Summe mehrerer Vektoren Die Vektorsubtraktion Die Multiplikation und Division eines Vektors mit einer Zahl Beziehungen zwischen kollinearen Vektoren (Division eines Vektors durch einen anderen) Die Projektion eines Punktes auf eine Achse Die Projektion eines Vektors auf eine Achse Grundlegende Theoreme über die Projektionen eines Vektors Rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum Die Koordinaten eines Punktes Die Koordinaten eines Vektors Die Darstellung eines Vektors durch Komponenten und durch Koordinaten Operationen mit Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind Die Darstellung eines Vektors durch die Radiusvektoren seines Anfangs-und Endpunktes Die Länge eines Vektors. Der Abstand zwischen zwei Punkten Der Winkel zwischen den Koordinatenachsen und einem Vektor Ein Kriterium für die Kollinearität (Parallelität) von Vektoren Die Teilung einer Strecke in gegebenem Verhältnis Das Skalarprodukt zweier Vektoren Eigenschaften des Skalarprodukts Die Skalarprodukte der Achsenvektoren Die Darstellung des Skalarprodukts durch die Koordinaten der Faktoren Die Bedingung für die Orthogonalität von Vektoren Der Winkel zwischen Vektoren 154

5 10 Inhaltsverzeichnis 110. Rechts- und Linkssysteme von drei Vektoren Das Vektorprodukt zweier Vektoren Die Eigenschaften des Vektorprodukts Die Vektorprodukte der Achsenvektoren Die Darstellung des Vektorprodukts durch die Koordinaten der Faktoren Komplanare Vektoren Das gemischte Produkt Die Eigenschaften des gemischten Produktes Die Determinante dritter Ordnung Die Darstellung des gemischten Produktes durch die Koordinaten seiner Faktoren Kriterium für die Komplanarität in Koordinatenform Das Volumen eines Parallelepipeds Das doppelte Vektorprodukt Die Gleichung einer Ebene Spezialfälle der Lage von Ebenen bezüglich des Koordinatensystems Die Bedingung für die Parallelität von Ebenen Die Bedingung für die Orthogonalität zweier Ebenen Der Winkel zwischen zwei Ebenen Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu einer gegebenen Ebene Bestimmung einer Ebene durch drei Punkte Achsenabschnitte Die Abschnittsgleichung einer Ebene Die Gleichung einer Ebene durch zwei Punkte und orthogonal zu einer gegebenen Ebene Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und orthogonal zu zwei Ebenen Der Schnittpunkt dreier Ebenen Gegenseitige Lage von Ebene und Punktepaar Der Abstand zwischen Punkt und Ebene Die Polarparameter der Ebene Die Normalform der Ebenengleichung Die Bestimmung der Ebenengleichung in Normalform Die Gleichung einer Geraden im Raum Bedingung dafür, daß zwei Gleichungen ersten Grades eine Gerade darstellen Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Richtungsvektoren Der Winkel zwischen einer Geraden und den Koordinatenachsen Der Winkel zwischen zwei Geraden Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene.' Die Bedingungen für die Parallelität und Orthogonalität zwischen Gerade und Ebene Ebenenbüschel Die Projektionen einer Geraden auf die Koordinatenebenen Die symmetrischen Geradengleichungen 194

6 Inhaltsverzeichnis Die Bestimmung der Geradengleichungen in symmetrischer Form Die Parameterdarstellung der Geraden Der Schnitt einer Ebene mit einer Geraden in Parameterform Die Gleichung einer Geraden durch zwei gegebene Punkte Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Geraden Die Gleichung einer Geraden durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einer gegebenen Ebene Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und durch eine gegebene Gerade Die Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und parallel zu zwei gegebenen Geraden Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade und parallel zu einer anderen gegebenen Geraden Die Gleichung einer Ebene durch eine gegebene Gerade senkrecht zu einer gegebenen Ebene Die Gleichung der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gerade Die Länge der Senkrechten von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Gerade Die Bedingungen dafür, daß sich zwei Gerade schneiden oder in einer Ebene liegen Die Gleichung einer Geraden, die senkrecht zu zwei gegebenen Geraden ist Der kürzeste Abstand zwischen zwei Geraden. Richtung von Geraden Koordinatentransformation Die Gleichung einer Fläche Zylinderflächen, deren Erzeugende parallel zu einer der Koordinatenachsen sind Die Gleichung einer Kurve Die Projektion einer Kurve auf die Koordinatenachse Algebraische Flächen und ihr Grad Die Kugelfläche Das Ellipsoid Das einschalige Hyperboloid Das zweischalige Hyperboloid Der Kegel zweiter Ordnung Das elliptische Paraboloid Das hyperbolische Paraboloid Die Flächen zweiten Grades Geradlinige Erzeugende der Flächen zweiten Grades Rotationsflächen Determinanten zweiter und dritter Ordnung Determinanten höherer Ordnung Eigenschaften der Determinanten Ein praktisches Verfahren zur Berechnung von Determinanten Anwendung der Determinanten auf die Untersuchung und Lösung von Gleichungssystemen 244

7 12 Inhaltsverzeichnis 187. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Zwei Gleichungen und drei Unbekannte Das homogene System von zwei Gleichungen mit drei Unbekannten Drei Gleichungen mit drei Unbekannten, n Gleichungen. 249 Die Grundbegriffe der mathematischen Analysis Einführende Bemerkungen Die rationalen Zahlen Die reellen Zahlen Die Zahlengerade Variable und konstante Größen Funktionen Methoden zur Angabe einer Funktion Der Definitionsbereieh einer Funktion Intervalle Klassifikation der Funktionen Die wichtigsten elementaren Funktionen Die Bezeichnung von Funktionen Der Grenzwert einer Folge Der Grenzwert von Funktionen Die Definition des Grenzwerts einer Funktion Der Grenzwert einer konstanten Größe Unendlich kleine Größen Unendlich große Größen Die Beziehung zwischen unendlich großen und unendlich kleinen Größen Beschränkte Größen Erweiterung des Grenzwertbegriffs Die Grundeigenschaften von unendlich kleinen Größen Die Grundtheoreme über Grenzwerte Die Zahl e Der Grenzwert für ж-э-o 276 x 216. Äquivalente unendlich kleine Größen Vergleich von unendlich kleinen Größen Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt Eigenschaften von Funktionen, die in einem Punkt stetig sind Stetigkeit einer Funktion in einem geschlossenen Intervall Eigenschaften von Funktionen, die in einem abgeschlossenen Intervall stetig sind 283 Differentialrechnung Einführende Bemerkungen Die Geschwindigkeit Die Definition der Ableitung einer Funktion 286

8 Inhaltsverzeichnis Die Tangente Die Ableitungen einiger einfacher Funktionen Eigenschaften der Ableitung Das Differential Die mechanische Deutung des Differentials Die geometrische Bedeutung des Differentials Differenzierbare Funktionen Die Differentiale einiger einfacher Funktionen Die Eigenschaften des Differentials Die Invarianz des Ausdrucks f(x)dx Beschreibung der Ableitung durch Differentiale Zusammengesetzte Funktionen Das Differential einer zusammengesetzten Funktion Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ( Kettenregel") Die Differentiation eines Produkts Die Differentiation eines Quotienten Die Umkehrfunktion Der natürliche Logarithmus Die Differentiation des Logarithmus Die logarithmische Differentiation Die Differentiation der Exponentialfunktion Die Differentiation der trigonometrischen Funktionen Die Differentiation der Umkehrfunktionen Das Differential in der Näherungsrechnung Anwendung der Differentialrechnung auf die Fehlerabschätzung Differentiation impliziter Funktionen Eine in Parameterform gegebene Kurve In Parameterform gegebene Funktionen Die Zykloide Die Gleichung der Tangente an eine ebene Kurve Die Gleichung der Normalen Ableitungen höherer Ordnung Die Bedeutung der zweiten Ableitung in der Mechanik Differentiale höherer Ordnung Darstellung der höheren Ableitungen durch Differentiale Höhere Ableitungen von Funktionen, die in Parameterform gegeben sind Höhere Ableitungen impliziter Funktionen Die LEiBNizsche Regel Der Satz von ROLLE Der Mittelwertsatz von LAGRANGE Die Formel für einen endlichen Zuwachs Die Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes (CATTCHY) Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form oo S 268. Untersuchung eines unbestimmten Ausdrucks der Form Unbestimmte Ausdrücke anderer Form 338

9 14 Inhaltsverzeichnis 270. Historische Betrachtungen über die TAYLOEsche Formel Die TAYi,OR-Formel Anwendung der TAYLOR-Formel auf die Berechnung von Funktionswerten Zunehmende und abnehmende Funktionen Kriterien für die Zunahme oder Abnahme einer Funktion in einem Punkt Maximum und Minimum Notwendige Bedingung für ein Maximum oder ein Minimum Erste hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum Regel für die Bestimmung der Maxima und Minima Zweite hinreichende Bedingung für Maxima und Minima Die Bestimmung des größten und des kleinsten Werts einer Funktion Die Konvexität ebener Kurven. Wendepunkte Die konkave Seite Regel für die Bestimmung eines Wendepunkts Die Asymptoten Die Untersuchung von Asymptoten, die parallel zu den Koordinatenachsen sind Untersuchung der Asymptoten, die nicht zur Ordinatenachse parallel sind Verfahren zur Konstruktion von grafischen Darstellungen Lösung von Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen Die Lösung von Gleichungen. Die Sehnenmethode Die Lösung von Gleichungen. Die Tangentenmethode Kombination der Sehnenmethode mit der Tangentenmethode 386 Integralrechnung Einführende Bemerkungen Die Stammfunktion Das unbestimmte Integral Geometrische Erklärung der Integration Berechnung der Integrationskonstanten aus den Anfangsdaten Eigenschaften des unbestimmten Integrals Integraltafel ^ Unbestimmte Integration, Die Substitutionsmethode (Integration unter Verwendung einer Hilfsvariablen) Partielle Integration Integration einiger trigonometrischer Ausdrücke Trigonometrische Transformationen Rationale Funktionen Verfahren zur Integration von gebrochenen rationalen Funktionen Die Integration von Partialbrüchen 410

10 Inhaltsverzeichnis Die Integration rationaler Punktionen (allgemeine Methode) Die Paktorenzerlegung eines Polynoms Über die Integrierbarkeit der elementaren Funktionen Einige von Radikalen abhängige Integrale Das Integral eines Binomialausdrucks Integrale der Form / R(x, }W 2 + bx + c) dx Integrale der Form / Jäjsiii i, eos x) dx Das bestimmte Integral Eigenschaften des bestimmten Integrals Die geometrische Deutung des bestimmten Integrals Deutung des bestimmten Integrals in der Mechanik Abschätzung des bestimmten Integrals Der Mittelwertsatz der Integralrechnung Das bestimmte Integral als Funktion seiner oberen Grenze Das Differential eines Integrals Das Integral eines Differentials. Die Formel von NEWTON- LBIBNIZ Die Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe des unbestimmten Integrals Partielle bestimmte Integration Substitutionsmethoden bei der bestimmten Integration Uneigentliche Integrale Integrale mit unendlichen Grenzen Integrale über Funktionen mit Unstetigkeitsstellen Über die näherungsweise Berechnung eines Integrals Rechtecksformeln Die Trapezformel Die SlMPSONsche Formel (Parabolische Trapezformel) Der Flächeninhalt von Figuren, die durch rechtwinklige Koordinaten beschrieben werden Übersicht über die Anwendung des bestimmten Integrals Der Flächeninhalt von Figuren, die durch Polarkoordinaten gegeben sind Das Volumen eines Körpers Das Volumen eines Rotationskörpers Die Bogenlänge einer ebenen Kurve Das Differential der Bogenlänge Die Bogenlänge und ihr Differential in Polarkoordinaten Der Flächeninhalt einer Rotationsfläche 472 Überblick über ebene und räumliche Kurven Die Krümmung Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsradius und Krümmungskreis einer ebenen Kurve Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt einer ebenen Kurve Die Evolute einer ebenen Kurve Eigenschaften der Evolute einer ebenen Kurve 482

11 16 Inhaltsverzeichnis 347. Die Evolvente einer ebenen Kurve Die Parameterform von Raumkurven Schraubenlinien Die Bogenlänge einer Raumkurve Die Tangente an eine Raumkurve Die Normalebene Vektorfunktionen mit skalarem Argument Grenzwerte von Vektorfunktionen Die Ableitung einer Vektorfunktion Das Differential einer Vektorfunktion Eigenschaften der Ableitungen und der Differentiale von Vektorfunktionen Die Schmiegebene Die Hauptnormale. Das begleitende Dreibein Gegenseitige Lage von Kurve und Ebene Die Einheitsvektoren des begleitenden Dreibeins Krümmungsmittelpunkt, Krümmungsachse und Krümmungsradius einer Raumkurve Formeln für die Krümmung, den Krümmungsradius und den Krümmungsmittelpunkt von Raumkurven Über das Vorzeichen der Krümmung Die Torsion 505 Unendliche Reihen Einführende Bemerkungen Definition der unendlichen Reihe Konvergente und divergente unendliche Reihen Notwendige Bedingung für die Konvergenz einer unendlichen Reihe Der Rest einer unendlichen Reihe Einfache Operationen mit unendlichen Reihen Positive unendliche Reihen Vergleich von positiven Reihen Das D'Al.EMBEETSche Kriterium für positive Reihen Das Integralkriterium für die Konvergenz Alternierende Reihen. Das Kriterium von Leibnitz Absolute und bedingte Konvergenz Das D'AbBMBläBTsche Kriterium für beliebige Reihen Umordnen der Glieder einer unendlichen Reihe Zusammenfassen der Glieder einer unendlichen Reihe Multiplikation von unendlichen Reihen Die Division von unendlichen Reihen Reihen mit veränderlichen Gliedern Der Konvergenzbereich einer Reihe mit veränderlichen Gliedern Über gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz Definition der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz Geometrische Deutung der gleichmäßigen und ungleichmäßigen Konvergenz 536

12 Inhaltsverzeichnis Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz; reguläre Reihen Die Stetigkeit der Summe einer unendlichen Reihe Die Integration von unendlichen Reihen Die Differentiation von unendlichen Reihen Potenzreihen Konvergenzintervall und Konvergenzradius einer Potenzreihe Die Bestimmung des Konvergenzradius Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe in x x Das Theorem von ABEI Operationen mit Potenzreihen Differentiation und Integration von Potenzreihen Die TAYLOR-Reihe Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe Die Entwicklung der elementaren Funktionen in Potenzreihen Die Anwendung der unendlichen Reihen auf die Berechnung von Integralen Hyperbolische Funktionen Die Umkehrfunktionen für die hyperbolischen Funktionen Die Herkunft der Namen für die hyperbolischen Funktionen Über komplexe Zahlen Komplexe Funktionen von reellen Argumenten Die Ableitung einer komplexen Funktion Komplexer Exponent einer positiven Zahl Die EuLBRSche Formel Trigonometrische Reihen Historische Bemerkungen über die trigonometrischen Reihen Die Orthogonalität des Systems der Funktionen cos nx und sin и ж Die Formeln von ETJLER-FOURTER ForjRiER-Reihen Die FoTTRiER-Reihe einer stetigen Funktion Die FouRlER-Reihen für gerade und ungerade Funktionen FouRlER-Reihen für unstetige Funktionen 586 Differential- und Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler Funktionen von zwei Variablen Funktionen von drei und mehr Variablen Verfahren zur Angabe von Funktionen mehrerer Variabler Grenzwerte von Funktionen mehrerer Variabler Über die Größenordnung von Funktionen mehrerer Variabler Stetigkeit von Funktionen mehrerer Variabler Partielle Ableitungen Wygodski II

13 18 Inhaltsverzeichnis 426. Geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen für den Fall von zwei Argumenten Totaler Zuwachs und partieller Zuwachs Das partielle Differential Darstellung der partiellen Ableitung durch das Differential Das totale Differential Die geometrische Bedeutung des totalen Differentials Die Invarianz des Ausdrucks f x dx + f äy -j- / z <fe für das totale Differential Die Technik des Differenzierens Differenzierbare Funktionen Die Tangentialebene und die Flächennormale Die Gleichung der Tagentialebene Die Gleichung der Normalen Differentiation zusammengesetzter Funktionen "Übergang von rechtwinkligen Koordinaten zupolarkoordinaten Formeln für die partiellen Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion Die totale Ableitung Differentiation impliziter Funktionen von mehreren Argumenten Partielle Ableitungen höherer Ordnung Die totalen Differentiale höherer Ordnung Die Technik des mehrmaligen Differenzierens Vereinbarung über die Bezeichnungsweise von Differentialen Die TAYLOBsche Formel für Funktionen von mehreren Variablen Extremwerte (Maxima und Minima) von Funktionen mehrerer Argumente Regel für die Bestimmung von Extremwerten Hinreichende Bedingung für ein Extremum (für den Fall von zwei Variablen) Das Doppelintegral Die geometrische Bedeutung des Doppelintegrals Eigenschaften des Doppelintegrals Abschätzung des Doppelintegrals Berechnung des Doppelintegrals (einfache Fälle) Berechnung des Doppelintegrals (allgemeiner Fall) Punktfunktionen Das Doppelintegral in Polarkoordinaten Der Flächeninhalt eines Flächenstücks Das dreifache Integral Berechnung des dreifachen Integrals (einfache Fälle) Die Berechnung eines dreifachen Integrals (allgemeiner Fall) Zylinderkoordinaten Das dreifache Integral in Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Das dreifache Integral in Kugelkoordinaten 646

14 Inhaltsverzeichnis Leitfaden für die Anwendung von Doppelintegralen und dreifachen Integralen Das Trägheitsmoment Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch Doppelintegrale ausdrücken lassen Einige physikalische und geometrische Größen, die sich durch dreifache Integrale ausdrücken lassen Das Kurvenintegral Die Bedeutung des Kurvenintegrals in der Mechanik Die Berechnung des Kurvenintegrals Die GBBEsrsche Formel Bedingung für die Unabhängigkeit des Kurvenintegrals vom Weg Eine andere Form für die Bedingung aus dem letzten Paragraphen 660 Differentialgleichungen Grundbegriffe Gleichungen erster Ordnung Die geometrische Bedeutung einer Gleichung erster Ordnung Isoklinen Partikuläre Lösung und allgemeine Lösung einer Gleichung erster Ordnung Gleichungen mit separierten Variablen Separation der Variablen. Singulare Lösung Gleichungen mit totalen Differentialen Die homogene Gleichung Lineare Gleichung erster Ordnung Die CbAiRAUTsche Gleichung Die Enveloppe Die Integrierbarkeit von Differentialgleichungen Näherungsweise Integration einer Gleichung erster Ordnung nach der Methode von EITLER Integration von Differentialgleichungen mit Hilfe von unendlichen Reihen Über das Aufstellen von Differentialgleichungen Gleichungen zweiter Ordnung Gleichungen и-ter Ordnung Reduktion der Ordnung Die lineare Gleichung zweiter Ordnung Die lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die homogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Die inhomogene lineare Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Lineare Gleichung beliebiger Ordnung Die Methode der Variation der Konstanten Systeme von Differentialgleichungen. Lineare Systeme *

15 20 Inhaltsverzeichnis Einige bemerkenswerte Kurven Die Strophoide Die Kissoide des DIOKLBS Das Kartesische Blatt Die Versiera der AGNBSI Die Konchoide des NIKOMEDES Die PASCALsche Schnecke. Die Kardioide CASsraische Linien Die BEKNOiTLLische Lemniskate Die Archimedische Spirale Die Kreisevolvente Die logarithmische Spirale Die Zykloide Die Epizykloide und die Hypozykloide Die Traktrix Die Kettenlinie 753 Tabellen 757 Sachverzeichnis 776