MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

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1 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben ( ) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die kreisförmige Pltte B := {(x, y) R x + y R } eines Kondenstors werde durch Elektronen ufgelden, welche sich gemäß der Flächenldungsdichte ϱ(x, y) α(r x y ) uf B verteilen. Berechnen Sie die Gesmtldung Q := B ϱ df der Pltte mithilfe von Polrkoordinten. Mit Hilfe der Polrkoordinten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ über dy dx = r dϕ dr ergibt sich: B ϱ df! = α = απ R π ( R r ) R r dϕ dr = α π ( R r ) r dr [ R r r4 ] R = απr4. Anders ls bei direkter Berechnung (siehe Aufgbe T4. von Bltt ) ist hier weder die Formelsmmlung noch prtielle Integrtion notwendig oft ist es günstig, die ntürliche Symmetrie eines Problems zu berücksichtigen. Aufgbe T Mn betrchte den Kegel K im R 3 mit der Spitze (,, 3) und der Grundfläche B = {(x, y, ) R 3 x + y }.. Vernschulichen Sie sich die Sitution durch eine geeignete Skizze des Kegels.. Stellen Sie den Kegelboden ls Normlbereich B R, und den Kegelmntel ls Funktion h : B R dr. Berechnen Sie sodnn ds Volumen V des Kegels über V = h df (Tip: Polrkoordinten). 3. Der Kegel knn uch direkt drgestellt werden, z.b. ls K = { (x, y, z) : < z < 3, x + y < 3 z}. Überlegen Sie sich geeignetere Koordinten für die Drstellung des Kegels (Tip: Zylinderkoordinten). Berechnen Sie sodnn ds Volumen des Kegels erneut, diesml über V = dv. B K. B ist eine Kreisfläche in der xy-ebene um den Ursprung und knn ls Normlbereich drgestellt werden: B = { (x, y) : < x <, x < y < x }. Der Kegelmntel (ls Fläche über B) wird durch eine Funktion h(x, y) beschrieben, die lediglich vom Abstnd des Punktes (x, y) vom Ursprung bhängt. Genuer fällt sie vom Seite von 6

2 Ursprung bis zum Rnd von B liner b, mit h(x, y) = 3 flls x + y = und h(x, y) = flls x + y =. Dmit folgert mn h(x, y) = 3 3 x + y. Zu berechnen ist x ( V = 3 3 x + y ) dy dx. x Dies knn durch Polrkoordinten erheblich vereinfcht werden. Mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und somit dy dx = r dϕ dr ergibt sich: V = π ( ) 3 3r r dϕ dr = [ = π 3 r r 3] = π. π ( 3r 3r ) dr. Zur Beschreibung von K bieten sich Zylinderkoordinten n: Mit der Trnsformtion x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und z = z erhält mn K für z [, 3], ϕ [, π] und r [, z 3 ]. Für die Jcobi-Mtrix J(r, ϕ, z) der Trnsformtion gilt det J(r, ϕ, z) = r. Mit Hilfe dieser Trnsformtion ergibt sich für ds Volumen V von K: V = K dv = 3 π z 3 3 = π 3 z + 8 z dz = π det J(r, ϕ, z) dr dϕ dz = 3 π [ z 6 z + ] 3 54 z3 = π. [ r ] z 3 dϕ dz Aufgbe T3* Es sei f : [, b] R eine stetige Funktion mit f (x) x [, b]. Wir betrchten den Rottionskörper K f, der entsteht, indem mn den Grphen von f um die x-achse rotieren lässt (genuer lssen wir die Menge {(x, y) R x b, y f (x)} um die x-achse rotieren). Wir möchten zeigen, dss für ds Volumen von K f folgende Formel gilt: b vol(k f ) = π f (x) dx. ( ). Mchen Sie sich die Formel nschulich plusibel (mit einer geeigneten Riemnn- Summe).. Zeigen Sie unter Verwendung von Zylinderkoordinten, dss die Formel ( ) richtig ist.. Wir stellen uns den Rottionskörper K f entlng der x-achse in n Scheiben der (kleinen) Dicke x zerlegt vor. Die i-te Scheibe ht wegen ihrer kreisförmige Grundfläche näherungsweise ds Volumen V i F(x i ) x = π f (x i ) x, wobei x i [, b] einen zur i-ten Scheibe gehörigen Punkt uf der x-achse bezeichnet. Näherungsweise gilt lso fã 4 r ds Gesmtvolumen vol(k f ) n i= V i. Ds exkte Volumen ergibt sich dnn ls Riemnnsche Summe: vol(k f ) = lim n n i= V i = lim n n i= π f (x i ) x = b π f (x) dx.. Die Idee, K f entlng der x-achse in (kreisförmige) Scheiben zu zerlegen, führt uf folgende Drstellung: K f = {(x, y, z) : x b, y + z f (x)}. Es liegt nun nhe, K f ls Zylinder entlng der x-achse ufzufssen (mit vriblem Rdius f (x)). Wir verwenden dher die folgenden Zylinderkoordinten: T(x, r, ϕ) = x y = x r cos ϕ. z r sin ϕ Seite von 6

3 In diesen Koordinten entspricht K f (bis uf Nullmengen) der Menge D := {(x, r, ϕ) : x b, r f (x), ϕ π}. Die Menge D ist ein Normlbereich in Richtung r-achse (mit g(x, ϕ) und h(x, ϕ) = f (x)) über dem zweidimensionlen Normlbereich {(x, ϕ) : x b, ϕ π}. Für die Volumenverzerrung ergibt sich wie in der Vorlesung det J T = r. Nch diesen Vorüberlegungen können wir nun die Trnsformtionsformel nwenden und ds nschließend uftretende Dreifchintegrl teilweise bestimmen: vol(k f ) = dv = K f D det J T dv = b π f (x) r dr dϕ dx = Dmit ist die Formel für ds Volumen eines Rottionskörpers nchgewiesen. b π f (x) dx. Seite 3 von 6

4 Husufgben (9..) Aufgbe H Berechnen Sie die Funktionldeterminnten der folgenden Koordintentrnsformtionen, und skizzieren Sie ihre Koordintengitter:. Prbolische Koordinten x = (u v ) y = uv (u, v R). Prbolische Zylinderkoordinten x = (u v ) y = uv z = z (u, v, z R) 3. Rottionsprbolische Koordinten x = uv cos ϕ y = uv sin ϕ z = (u v ) (u, v R, ϕ [, π]). Trnsformtion: Jkobimtrix: Funktionldeterminnte: T(u, v) = ( (u v ) ) uv ( ) u v DT(u, v) = v u det DT = u ( v ) = u + v (*) Die Linien des Koordintengitters sind ds Bild von T bei jeweils einem konstnten u- bzw. v-wert. u konstnt ( (u Interpretiere (*) ls Funktion T u (v) = v ) ) und plotte ds Bild von T uv u für verschiedene Werte von u. Alterntiv knn ds Bild von T u uch direkt ls Abbildung f u : R R drgestellt werden. Löse dzu (*) nch y uf und plotte die entstehende Funktion für verschiedene u: f ± u (x) := y = u ±u x v konstnt Anlog: Plotte ds Bild von T v (u) oder den Funktionsgrphen von jeweils für einige verschiedene v. f ± v (x) := y = ±v v + x, Seite 4 von 6

5 . Trnsformtion: Jkobimtrix: T(u, v, z) = (u v ) uv (*) z DT(u, v) = u v v u Funktionldeterminnte: Nch dem Entwicklungsstz für Determinnten gilt ( ) u v det DT = det = u + v. v u 3. Trnsformtion: Jkobimtrix: T(u, v, z) = uv cos ϕ uv sin ϕ (u v ) v cos ϕ u cos ϕ uv sin ϕ DT(u, v) = v sin ϕ u sin ϕ uv cos ϕ u v (*) Funktionldeterminnte: Nch dem Entwicklungsstz für Determinnten gilt ( ) ( ) det DT = u cos ϕ uv sin ϕ v cos ϕ uv sin ϕ u det + v det u sin ϕ uv cos ϕ v sin ϕ uv cos ϕ = u 3 v + v 3 u. Aufgbe H Ein Gsriese ist in der Astronomie ein großer Plnet, der us einem festen, kugelförmigen Gesteinskern und einem diesen umgebenden Gsmntel mit vribler Dichte besteht. Wir modellieren einen solchen Plneten durch eine Kugel im R 3 mit Gesmtrdius. Der Kern hbe den Rdius R k <. Die Mssedichte des Kerns sei konstnt, d.h. ρ k (x, y, z) δ k. Die Mssedichte des gsförmigen Mntels steige von der Plnetenoberfläche bis zum Rnd des Kerns liner n, d.h. mit δ k, δ, δ R +. ρ g (x, y, z) = δ + δ ( x + y + z ), Bestimmen Sie die Gesmtmsse des Plneten durch Volumenintegrtion der Mssedichten. Benutzen Sie Kugelkoordinten. Der Plnet setzt sich zusmmen us dem Kern { } B k = (x, y, z) R 3 x + y + z R k und dem Gsmntel B g = { } (x, y, z) R 3 R k x + y + z. Seite 5 von 6

6 Die Gesmtmsse ist dmit M = B k ρ k (x, y, z) d(x, y, z) }{{} M k + B g ρ g (x, y, z) d(x, y, z) }{{} M g Für die Funktionldeterminnte der Trnsformtion uf Kugelkoordinten gilt (x, y, z) (r, ϕ, δ) = r cos δ, und somit d(x, y, z) = r cos δ d(r, ϕ, δ). In Kugelkoordinten ergibt sich somit und M k = Rk π π π δ k r cos δ dδ dϕ dr Rk π = δ k r [sin δ] π π dϕ dr [ ] Rk = δ k 4π 3 r3 = 4 3 π δ k R3 k. M g = π π R k pi π r R k = δ ( δ + δ ( r) ) r cos δ dr dϕ dδ [sin δ] π π π dϕ dr + δ r [sin δ] π π R k π dϕ dr δ r 3 [sin δ] π R k π dϕ dr [ ] 4 [ ] 4 [ ] 4 = δ 3 πr3 + δ R 3 πr3 δ k R 4 πr4 k R k = 4 ) ( 3 δ ( π R 3 k + δ π 3 4 ) 3 R3 k + R4 k. Hinweis: Ds Gleichheitszeichen mit Achtungsymbol ( )! = deutet druf hin, dss n dieser Stelle je nch Vorwissen evtl. noch einige rechnerischen Zwischenschritte eingefügt werden können. Seite 6 von 6