Geometrische Anwendung des Integrals: Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers

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1 Geometrische Anwendung des Integrals: Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers 1 E

2 Rotation einer Kurve um die x Achse Abb. 5 1: Eine im Intervall [a, b] stetige Funktion y = f (x) und die Fläche zwischen der Funktionskurve und der x Achse Die über dem Intervall [a, b] gelegene Kurve mit der Funktionsgleichung y = f (x) erzeugt bei Rotation um die x Achse einen Rotationskörper. 1 1

3 Rotationskörper Abb. 5 2: Ein Körper, der durch Rotation der ebenen Kurve y = f(x) (Abb. 5 1) um die x Achse entsteht (Rotationswinkel π) 1 2

4 Rotationskörper Abb. 5 3: Ein Körper, der durch Rotation der ebenen Kurve y = f(x) (Abb. 5 1) um die x Achse entsteht (Rotationswinkel 2 π) 1 3

5 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 4: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 8 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt. Der Rotationskörper wird durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in Scheiben gleicher Dicke zerlegt. Jede Scheibe wird dann durch eine Zylinderscheibe er setzt, deren Radius durch den Maximalwert von f (x) im Bereich der Scheibe gegeben ist. Das Volumen einer solchen Scheibe beträgt näherungsweise 1 4 V x = y 2 x = f 2 x x

6 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 5: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 16 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt 1 5

7 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 5: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 16 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt 1 5

8 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 6: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 16 kreis förmigen Zylinderscheiben ersetzt. Der Radius einer Zylinderscheibe entspricht dem Minimalwert von f (x) im Bereich der Scheibe. 1 6

9 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 7: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 64 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt 1 7

10 Volumen eines Rotationskörpers Abb. 5 8: Schnittfläche des Rotationskörpers mit der x,y Ebene. Der Rotationskörper wird durch 128 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt 1 8

11 Einzoomen Abb. 5 9: Der Rotationskörper wird durch 128 kreisförmigen Zylinderscheiben ersetzt Wir zoomen ein, um den Unterschied zwischen dem Rotationskörper und dem Treppenkörper zu bemerken. 1 9

12 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers Beim Grenzübergang n geht die Scheibendicke x gegen Null, und man erhält für das Rotationsvolumen folgende Formel: V x = f 2 x x n Vx = f lim n x i 0 i =1 2 dv x = f 2 x dx b b 2 x i xi = f x dx = y 2 dx a a Ist die x Achse die Rotationachse, liegt der Schwerpunkt r S = auf der x Achse: 1 xs = Vx V y S = 0, x dv x = V x V r dv zs = 0 b x y 2 dx = V x a b x f 2 x dx a

13 Rotationskörper a) b) Abb. 6 1: Der Kreiskegel (a), der Zylinder (b) Zu den in der Mathematik bekannten Rotationskörpern gehören die Kugel, der Kreiskegel, der Zylinder, das Rotationsporaboloid und der Torus. 2 1

14 Rotationskörper a) b) Abb. 6 2: Der Torus (a), der Rotationsparaboloid (b) 2 2

15 Rotationskörper Abb. 6 3: Ein Körper, die Vase, die durch die Rotation der ebenen Kurve y = f (x) um die x Achse entsteht f x = sin 2 x, x [0, ]

16 Rotationskörper Abb. 6 4: Ein Teil der russischen Kirche in Hamburg mit Kirchenzwiebeln, die als Rotationskörper, mit Mathematica erzeugt wurden. 2 4

17 Rotationskörper tavolga.ru/fileadmin/files/images/art/crw_9288.jpg Abb. 7 1: Rotationskörper 2 5

18 Rotationskörper Abb. 7 2: Kirchenglocke als Rotationskörper 2 6

19 Rotationskörper Abb. 7 3: Hut als Rotationskörper 2 7