Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR"

Transkript

1 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine ungerichtete Größe, lso einen Ausdruck, der keine Richtung ht. Mn könnte lso sgen, ein Sklr ist ds Gegenteil zu einem Vektor. Ein Vektor ht eine Richtung, ein Sklr ht keine Richtung. Wie nun so ein Sklr ussehen knn, ist gnz einfch: Jede Zhl ist ein Sklr, d diese eknnterweise keine Richtung ht. Unter der Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr, ersteht mn lso nichts nderes ls die Multipliktion eines Vektors mit einer Zhl. Wie dies nun mthemtisch funktioniert, sei n einem Beispiel erklärt: Beispiel: Berechne Mn muss nun jede Zeile des Vektors mit dem Sklr multiplizieren: ) ( Noch ein weiteres Beispiel: Beispiel: Berechne Wir multiplizieren wieder jede Zeile des Vektors mit dem Sklr: ) ( Stz: Ein Vektor wird mit einem Sklr multipliziert, indem mn jede Zeile des Vektors mit dem Sklr multipliziert. Es sei R und y x y x y x Üung: Üungsltt ; Aufge

2 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Nun müssen wir er noch klären, ws eigentlich grfisch pssiert, wenn ich einen Vektor mit einem Sklr multipliziere. Mchen wir uns dies wieder n einem Beispiel deutlich: Beispiel: Es soll lso hier der Vektor mit multipliziert werden. Dzu zeichnen wir uns zunächst einml einen Pfeil ls Repräsentnten für diesen Vektor: Ds Resultt dieser Multipliktion erhlten wir nun, indem wir den x-wert (.Zeile des Vektors) und den y-wert (. Zeile des Vektors) mit multiplizieren: Wir erkennen, dss wir ls Resultt einen Vektor erhlten, der diesele Richtung und Orientierung ht, wie der ursprüngliche Vektor, er doppelt so lng ist (Bechte: Wir wissen zwr nicht die exkte Länge dieses Vektors, wissen er, dss er doppelt so lng wie der Ausgngsektor ist). Würden wir lso einen Vektor mit multiplizieren, so ist der neue Vektor drei Ml so lng wie der ursprüngliche Vektor.

3 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Würden wir einen Vektor mit multiplizieren (lso durch diidieren), so ht der neue Vektor nur mehr der Länge des ursprünglichen Vektors. Stz: Multipliziert mn einen Vektor mit einer Zhl, so ht der neue Vektor die -fche Länge des ursprünglichen Vektors. Ws pssiert nun er geometrisch, wenn ich einen Vektor mit einer negtien Zhl multipliziere? Nehmen wir dzu folgendes Beispiel: Beispiel: ( ) Wir zeichnen uns wieder unseren Ausgngsektor uf: Nun wird j sowohl der x-wert ls uch der y-wert mit - multipliziert. Wir erhlten lso folgenden Vektor: Wir erkennen, dss wir den Vektor durch die Multipliktion mit - umgedreht hen (sprich: Wir hen seine Orientierung geändert) Würden wir lso einen Vektor mit - multiplizieren, so würden wir seine Länge erdoppeln und seine Orientierung ändern.

4 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Würden wir einen Vektor mit multiplizieren, so würden wir die Länge des Vektors dritteln und seine Orientierung ändern. Stz: Multipliziert mn einen Vektor mit einer negtien Zhl, so ändert mn die Orientierung des Vektors. Üung: Üungsltt ; Aufge Mittels des oen ngeführten Zusmmenhngs können wir uch feststellen, o zwei Vektoren prllel sind oder nicht. Dzu müssen wir uns Folgendes ü- erlegen: Sind die Zhlenwerte des einen Vektors lediglich Vielfche des nderen, so ist zwr der eine Vektor länger zw. kürzer ls der ndere, uch die Orientierung knn geändert sein (Multipliktion mit einer negtien Zhl), die Richtung der eiden Vektoren ist er gleich, folglich sind sie lso prllel. Derrtig knn mn lso feststellen, o zwei Vektoren prllel sind oder nicht. Prllelitätskriterium: Zwei Vektoren sind genu dnn zueinnder prllel, wenn der eine Vektor ein Vielfches des nderen ist, d.h.: x x R y y Dies hört sich nun einigermßen kompliziert n. An einem Beispiel wird ihnen dies er gleich klr: Beispiel: Üerprüfe, o die Vektoren und zueinnder prllel 9 sind? Wenn die eiden Vektoren prllel sind, muss der eine Vektor ein Vielfches des nderen Vektors sein. Es muss lso eine Zhl geen, mit der mn den einen Vektor multipliziert um den nderen Vektor zu erhlten. Es muss lso gelten: 9 Nun splten wir unsere Gleichung in die erste und in die zweite Zeile uf und erhlten ddurch zwei Gleichungen: I : II : 9 Nun rechnen wir die Vrile in jeder Gleichung us. Erhlten wir dei zweiml denselen Wert, so sind die Vektoren prllel, erhlten wir unterschiedliche Werte, so sind die Vektoren nicht prllel:

5 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester 9 II I : : D jedes Ml wird, sind die Vektoren lso prllel. Noch ein weiteres Beispiel: Beispiel: Üerprüfe, o die Vektoren und zueinnder prl- lel sind? Im Flle, dss die Vektoren zueinnder prllel sind, muss es wieder eine Zhl geen, mit der wir den einen Vektor multiplizieren müssen, um den nderen zu erhlten: Wir splten wieder in die einzelnen Zeilen uf und erechnen : II I : : D wir hier unterschiedliche Werte für ekommen (Dies knn j logischerweise nicht sein), sind diese Vektoren lso nicht prllel. Üung: Üungsltt ; Aufgen - 7 Beispiel: Üerprüfe rechnerisch, om welchem Typ ds Viereck ist (Qudrt, Rechteck, Prllelogrmm, Rute, Trpez, Deltoid, llgemeines Viereck): A(-/-), B(/-), (/), ) / ( D Wir stellen zunächst einml Vektoren uf, die die Seiten drstellen: A B AB B B D D D A DA Als Erstes untersuchen wir, o gegenüerliegende Seiten (entsprechend ntürlich die Vektoren) prllel sind:

6 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Zunächst etrchte ich die Vektoren AB und D. Wir können die Untersuchung der Prllelität wie oen drgelegt usführen, es ist er uch so einsichtig, dss Folgendes gilt: ( ) Die Seiten (entspricht Vektor AB ) und c (entspricht Vektor D ) sind lso prllel. Nun untersuchen wir die Vektoren B und DA. Auch hier erkennen wir hoffentlich (sonst müssen sie usführlich rechnen): ( ) Es sind lso uch die Seiten (entspricht Vektor B ) und d (entspricht Vektor DA ) prllel. Wir hen nun lso festgestellt, dss ei diesem Viereck lle gegenüerliegenden Seiten prllel sind. Dies edeutet er, dss es sich ei diesem Viereck nur noch um ein Qudrt oder eine Rute hndeln knn. Anmerkung: Sttt der Prllelität, hätten wir uch die einzelnen Seitenlängen usrechnen können. Nun müssen wir uns noch üerlegen, wie wir zwischen einem Qudrt und einer Rute unterscheiden können. Eine Möglichkeit: Bei einem Qudrt sind die Digonlen gleich lng, ei einer Rute sind sie unterschiedlich lng. Wir erechnen lso zunächst jene Vektoren, die die Digonlen drstellen: A A BD D B Dmit wir die Längen der einzelnen Digonlen wissen, rechnen wir uns den Betrg dieser Vektoren us: e A f BD ( ) Die eiden Digonlen sind lso gleich lng, folglich hndelt es sich ei unserem Viereck um ein Qudrt. Üung: Üungsltt ; Aufge

7 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Der Einheitsektor Eine sehr wichtige Anwendung eim Rechnen mit Vektoren ist die Suche nch einem Vektor, der eine estimmte Richtung ht und genu lng ist. Dies enötigt mn immer, wenn mn einer Strecke eine estimmte Länge zuordnen will. Zunächst stellt sich lso die Frge: Wie mche ich einen Vektor lng? Dies ist theoretisch gnz einfch entwortet. Wir hen j ereits festgestellt, dss jeder Vektor eine estimmte Länge ht. Wenn nun ein Vektor lng ist müssen wir ihn durch diidieren, dmit er lng ist. Ist er lng, müssen wir ihn durch diidieren, u.s.w. Generell müssen wir lso einen Vektor durch seine Länge diidieren, dmit er die Länge ht. Diesen Vektor mit der Länge nennt mn den Einheitsektor. Mn kennzeichnet den Einheitsektor zu einem gegeenen Vektor, indem mn ihm den Index git: Den Einheitsektor zum Vektor ezeichnet mn mit. Den Einheitsektor zum Vektor D ezeichnet mn mit D. Nun können wir die Formel zum Berechnen des Einheitsektors zu einem gegeenen Vektor ngeen: LängedesVektors Die Länge des Vektors ezeichnen wir eknntermßen ls Betrg des Vektors:. Diese Formel formen wir us optischen Gründen noch etws um: Den Einheitsektor erhlten wir lso folgendermßen: durch den Betrg des Vektors ml dem Vektor. 7

8 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Definition: Den zu einem Vektor mn folgendermßen: gehörenden Einheitsektor erechnet Der Einheitsektor ht diesele Richtung und Orientierung wie, ist er genu lng. Beispiel: Berechne den Einheitsektor zu. Lut Definition müssen wir den Einheitsektor zum Vektor folgendermßen erechnen: Wir erechnen uns zuerst den Betrg des Vektors : ( ) Nun setzen wir in unsere Formel ein: Anmerkung: Mit dem Zhlenwert ( Hier ) multipliziert mn eim Einheitsektor oft nicht in den Vektor hinein, d mn ei längeren Rechnungen hofft, dß mn eentuell später noch kürzen knn. Noch ein zweites Beispiel: 7 Beispiel: Berechne den Einheitsektor zum Vektor. Wir erechnen zuerst wieder den Betrg des Vektors: ( 7) Nun setzen wir in unsere Formel ein: 7

9 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Üung: Üungsltt ; Aufge 9 Nun noch ein Beispiel, dmit Sie erstehen, wozu mn diesen Einheitsektor enötigt. Beispiel: Von einem Prllelogrmm kennt mn die Eckpunkte A( / ) und B ( / ). Der Eckpunkt liegt on B us in Richtung des Vektors s, wo- ei die Seite lng ist. Berechne die Eckpunkte und D. Wir mchen uns den Zusmmenhng wieder n einer Skizze deutlich: Der Weg ist zunächst einml einfch gedcht. Wir müssen n den Eckpunkt B einen Vektor hängen, der die Richtung des Vektors s ht und genu lng ist. Ds Prolem ist, wie ich diesen Vektor so lnge mche. Die Lösung führt üer den Einheitsektor. Wir erechnen uns zuerst den Einheitsektor zu s, welcher j genu lng ist. Wenn ich diesen er mit multipliziere, so ht er genu die gewünschte Länge. Wir gelngen lso zum Eckpunkt, indem wir n den Eckpunkt B ml den Vektor s hängen. Wir schreien dies uf: B s 9

10 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester Nun erechnen wir uns zunächst. Dzu enötigen wir den Betrg des Vektors s s : ) ( s Nun können wir in unsere Formel für den Einheitsektor einsetzen und erhlten dmit : s s So, nun können wir unseren Eckpunkt erechnen. Wir setzen in unsere Üerlegung ein: s B Wir diidieren Wir multiplizieren den Vektor mit ht lso die Koordinten: ) / ( Der Eckpunkt D ereitet uns nun wieder keine Proleme. Zu D gelngen wir, indem wir n den Eckpunkt A den Vektor hängen: B B A D Wir erechnen den Vektor : B B B Nun setzen wir ein: D Der Eckpunkt D ht die Koordinten D( / ) Üung: Üungsltt ; Aufge

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG

ARBEITSBLATT 5L-6 FLÄCHENBERECHNUNG MITTELS INTEGRALRECHNUNG Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-6 FLÄHENBEREHNUNG MITTELS INTEGRLREHNUNG Geschichtlich entwickelte sich die Integrlrechnug us folgender Frgestellung: Wie knn mn den Flächeninhlt

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

Beispiellösungen zu Blatt 24

Beispiellösungen zu Blatt 24 µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen

Mehr

2.2. Aufgaben zu Figuren

2.2. Aufgaben zu Figuren 2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

Berechnung von Flächen unter Kurven

Berechnung von Flächen unter Kurven Berechnung von Flächen unter Kurven Es soll die Fläche unter einer elieigen (stetigen) Kurve erechnet werden. Dzu etrchten wir die (sog.) Flächenfunktion, mit der die zu erechnende Fläche qusi ngenähert

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in )

3. Das Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit Brüchen (Rechnen in ) Brüche sind Teile von gnzen Zhlen. Zwischen zwei unterschiedlichen gnzen Zhlen ht es immer unendlich viele Brüche. Brüche entstehen us einer Division; eine gnze Zhl

Mehr

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren. .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur

Mehr

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg

1. Kapitel: Arithmetik. Ergebnisse mit und ohne Lösungsweg Arithmetik Lösungen Lö. Kpitel: Arithmetik. Ergenisse mit und ohne Lösungsweg Zu Aufge.: ) 7 ist eine rtionle Zhl, d sie sich ls Bruch us zwei gnzen Zhlen (Nenner 0) drstellen lässt: 7 7. 6 ) Eenso, denn

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor)

Kurvenintegrale. 17. Juli 2006 (Korrigierte 2. Version) 1 Kurvenintegrale 1. Art (d.h. f ist Zahl, kein Vektor) Kurvenintegrle Christin Mosch, Theoretische Chemie, Universität Ulm, christin.mosch@uni-ulm.de 7. Juli 26 (Korrigierte 2. Version Kurvenintegrle. Art (d.h. f ist Zhl, kein Vektor Bei Kurvenintegrlen. Art

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} +

dem Verfahren aus dem Beweis zu Satz 2.20 erhalten wir zunächst die folgenden beiden ε-ndeas für die Sprachen {a} {b} und {ε} {a} + Lösungen zu Üungsltt 3 Aufge 1. Es gilt L(( ) ) = ({} {}) {} = ({} {}) ({} {} + ). Mit dem Verfhren us dem Beweis zu Stz 2.20 erhlten wir zunächst die folgenden eiden -NDEAs für die Sprchen {} {} und {}

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm

ARBEITSBLATT 1-13. Maßeinheiten. 1. Längenmaße. km m dm cm mm. Beispiel: Schreib mehrnamig: 2,032801 km Lösung: 2,032801 km = 2 km 32 m 8 dm 1 mm ARBEITSBLATT 1-13 13 Mßeinheiten 1. Längenmße 1000 10 10 10 km m dm cm mm Beispiel: Schreib mehrnmig:,03801 km Lösung:,03801 km = km 3 m 8 dm 1 mm Beispiel: Drücke in km us: 4 km 0 m 3 cm Lösung: 4 km

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.

6. Übungsblatt. (i) Von welchem Typ ist die Grammatik G? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. Vorlesung Theoretische Informtik Sommersemester 2015 Prof. S. Lnge 6. Üungsltt 1. Aufge Es sei die folgende Grmmtik G = [Σ, V, S, R] gegeen. Dei seien Σ = {, } und V = {S, B}, woei S ds Strtsymol ist.

Mehr

Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200:

Vektorrechnung im R 3 mit dem Voyage 200: Wir legen einen neuen Folder n: VAR-LINK F, 5 (CREATE FOLDER) Nme: vektor3 Wechseln in den Folder: MODE Current Folder vektor3 uswählen Vektorrechnung im R 3 mit dem Voge 00: Punkte und Vektoren werden

Mehr

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung

Kapitel 1. Anschauliche Vektorrechnung Kpitel 1 nschuliche Vektorrechnung 1 2 Kpitel I: nschuliche Vektorrechnung Montg, 13. Oktoer 03 Einordnung Dieses erste Kpitel ht motivierenden Chrkter. Es führt n die geometrische nschuung nknüpfend die

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Das Rechnen mit Logarithmen

Das Rechnen mit Logarithmen Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

Die Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel Die Keplersche Fssregel K. Gerer Bei vielen Aufgen, z.b. ei der Lösung von Differentilgleichungen, tucht die Schwierigkeit uf, dss Integrtionen nicht durchgeführt werden können. So können z.b. die folgenden

Mehr

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2) . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010 R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl

Mehr

Einführung in die Integralrechnung

Einführung in die Integralrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung Einführung in die Integrlrechnung In der Differentilrechung estnd die ufge u drin, zu einer gegeenen Funktion f deren leitungsfunktion

Mehr

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

2. Klausur in K2 am

2. Klausur in K2 am Nme: Punkte: Note: Ø: Profilfch Physik Azüge für Drstellung: Rundung:. Klusur in K m.. 04 Achte uf die Drstellung und vergiss nicht Geg., Ges., Formeln, Einheiten, Rundung...! Aufge ) (8 Punkte) In drei

Mehr

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften

Vorkurs Mathematik Fachhochschule Frankfurt, Fachbereich 2. Fachhochschule Frankfurt am Main Fachbereich Informatik und Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mthemtik Fchhochschule Frnkfurt, Fchereich Fchhochschule Frnkfurt m Min Fchereich Informtik und Ingenieurwissenschften Vorkurs Mthemtik Sie finden lle Mterilien sowie ergänzende Informtionen unter

Mehr

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui qwertyuiopsdfghjklzxcvnmqwerty uiopsdfghjklzxcvnmqwertyuiopsd fghjklzxcvnmqwertyuiopsdfghjklzx Aufgen M-Beispielen cvnmqwertyuiopsdfghjklzxcvnmq Vorereitung uf die. Schulreit wertyuiopsdfghjklzxcvnmqwertyui

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG)

Skript für die Oberstufe und das Abitur 2015 Baden-Württemberg berufl. Gymnasium (AG, BTG, EG, SG, WG) Sript für die Oerstufe und ds Aitur Bden-Württemerg erufl. Gymnsium (AG, BTG, EG, SG, WG) Mtrizenrechnung, wirtschftliche Anwendungen (Leontief, Mterilverflechtung) und Linere Optimierung Dipl.-Mth. Alexnder

Mehr

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK

Prof. Dipl.-Ing. Edgar Neuherz MATHEMATIK. Mathematik und angewandte Mathematik HAK Prof. Dipl.-ng. Edgr Neuherz MATHEMATK 2 und ngewndte HAK lizensiert für: Dipl.-ng. Edgr Neuherz 2. Schulreit (2013-08-01 23:56) Schuljhr 2012/13 Verntwortlich für den nhlt Dipl.-ng. Edgr Neuherz Grz,

Mehr

4 Die rationalen Zahlen

4 Die rationalen Zahlen 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr.

Wirtschaftsmathematik 00053: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Kurseinheit 2: Lineare Algebra II. Autor: Univ.-Prof. Dr. Wirtschftsmthemtik 0005: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler I Kurseinheit : Linere Alger II Leseproe Autor: Univ.-Prof. Dr. Wilhelm Rödder 5. Linere Gleichungssysteme und Mtrixgleichungen So verwundert

Mehr

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Definitionen Definitionen Wir gehen von der Gleichung c und dem Beispiel 8 2 us: nennt mn Potenz nennt mn Bsis nennt mn Eponent Allgemein: "Unter versteht mn die -te Potenz zur Bsis " " ist hoch " Beispiel: 2 8 Vorgng:

Mehr

9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen

9 Satzgruppe des Pythagoras und Kongruenzabbildungen Stzgruppe des Pythgors Mthemtik. Klsse 9 Stzgruppe des Pythgors und Kongruenzbbildungen Stz 4 Stz von Pythgors In einem rechtwinkligen Dreieck mit Ktheten und b und Hypotenuse c gilt: + b c Aufgbe 59 Beweisen

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik

Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, 15.01.2010, 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl

Mehr

Grundbegriffe der Mengenlehre

Grundbegriffe der Mengenlehre Reiner Winter Grundegriffe der Mengenlehre 1. Der Mengenegriff Die Mengenlehre wurde von Georg Cntor (1845-1918) egründet. Im Jhre 1895 g er die folgende, erühmt gewordene Begriffsestimmung der Menge n:

Mehr

1 Folgen von Funktionen

1 Folgen von Funktionen Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Aufge 69. Quizz Integrle. Es sei Höhere Mthemtik für Informtiker II (Sommersemester

Mehr

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung

Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes

Mehr

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung)

Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012. Sprachen. Grammatiken (Einführung) Wörter, Grmmtiken und die Chomsky-Hierrchie Sprchen und Grmmtiken Wörter Automten und Formle Sprchen lis Theoretische Informtik Sommersemester 2012 Dr. Snder Bruggink Üungsleitung: Jn Stückrth Alphet Ein

Mehr

1. Rechensteine und der Pythagoräische Lehrsatz.

1. Rechensteine und der Pythagoräische Lehrsatz. 1. Rechensteine und der Pythgoräische Lehrstz. Der Beginn der wissenschftlichen Mthemtik fällt mit dem Beginn der Philosophie zusmmen. Er knn uf die Pythgoräer zurückdtiert werden. Die Pythgoräer wren

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I

KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I Mthemtik mcht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, I 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Erkläre, wrum die eiden drgestellten Dreiecke ähnlich zueinnder sind und erechne die fehlenden Seitenlängen x und

Mehr

3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen

3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Zunähst im -dimensionlen: A 4 Gegeen sind die Punkte B 5 C 4 und D Koordintensystem. in einem krtesishen AB CD d Zu

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Nullstellen quadratischer Gleichungen

Nullstellen quadratischer Gleichungen Nullstellen qudrtischer Gleichungen Rolnd Heynkes 5.11.005, Achen Nch y ufgelöst hen qudrtische Gleichungen die Form y = x +x+c. Zeichnet mn für jedes x uf der rechten Seite und ds drus resultierende y

Mehr

5. Vektor- und Matrizenrechnung

5. Vektor- und Matrizenrechnung Ü F-Studiengng Angewndte lektronik, SS 6 Üungsufgen zur Lineren Alger und Anlysis II Vektor- und Mtrizenrechnung Für die Vektoren = (,,,) und = (,,,) erechne mn die Linerkomintion ( ) + ( + ), die Längen,

Mehr

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B

Erkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten

Mehr

Bruchterme. Franz Embacher

Bruchterme. Franz Embacher mthe online Skripten http://www.mthe-online.t/skripten/ Bruchterme Frnz Emcher Fkultät für Mthemtik der Universität Wien E-mil: frnz.emcher@univie.c.t WWW: http://homepge.univie.c.t/frnz.emcher/ In diesem

Mehr

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.

Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt. Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen.

Mehr

Theoretische Physik I: Klassische Mechanik

Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Theoretische Physik I: Klssische Mechnik Dirk H. Rischke Wintersemester 2009/2010 Inhltsverzeichnis 1 Mthemtische Vorereitungen 1 1.1 Vektoren..................................... 1 1.1.1 Einführung...............................

Mehr

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit

Vorbereitung auf die Mathematik Schularbeit Vorbereitung uf die Mthemtik Schulrbeit 7. März 0 Alles Gute ll deinen Bemühungen, KL, KV Viel Erfolg! . Schulrbeit: MATHEMATIK KL.: M3b/I. - S. Mi, 7.03.0 ) Zeichne ds Prllelogrmm us den Bestimmungsstücken

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

Lernumgebungen zu den binomischen Formeln

Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Lernumgebungen zu den binomischen Formeln Die Fchmittelschule des Kntons Bsel-Lnd ist ein dreijähriger Bildungsgng der zum Fchmittelschulzeugnis führt. Dbei entspricht die 1.FMS dem 10. Schuljhr. Zu Beginn

Mehr

5 Gleichungen (1. Grades)

5 Gleichungen (1. Grades) Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner

Mehr

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3

1.6 Bruchterme. 1 Einführung und Repetition 2. 2 Multiplikation und Division von Bruchtermen 3. 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 .6 Bruchterme Inhltsverzeichnis Einführung und Repetition 2 2 Multipliktion und Division von Bruchtermen 3 3 Die Addition von zwei Bruchtermen-Methode I 3 4 Doppelbrüche 5 5 Die Addition von zwei Bruchtermen

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von:

Mehr

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6

Themenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung

Mehr

Name... Matrikel Nr... Studiengang...

Name... Matrikel Nr... Studiengang... Proeklusur zur Vorlesung Berechenrkeitstheorie WS 201/1 1. Jnur 201 Prof. Dr. André Schulz Bereitungszeit: 120 Minuten [So oder so ähnlich wird ds Deckltt der Klusur ussehen.] Nme... Mtrikel Nr.... Studiengng...

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Elemente der Geometrie 1

Elemente der Geometrie 1 Elemente der Geometrie Inhlt Der Rote Fden. Definition. Geschichte Elementre Längenverhältnisse und Flächen 4. Elementre Bezeichnungen 4. Kreisögen 5.3 Flächen 5 3 Ds Innendreieck 6 4 Der Kreis des Archimedes

Mehr

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( )

A.25 Stetigkeit und Differenzierbarkeit ( ) A.5 Stetigkeit / Differenzierbrkeit A.5 Stetigkeit und Differenzierbrkeit ( ) Eine Funktion ist wenn die Kurve nicht unterbrochen wird, lso wenn mn sie zeichnen knn, ohne den Stift vom Bltt bzusetzen.

Mehr

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.)

(Analog nennt man a die und b die des Winkels β.) Mthemtik Einführung Ws edeutet ds Wort und mit ws eschäftigt sich die? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Eck' Beispiel: Pentgon ds Fünfeck mit 5 Winkeln

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6

2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 Gnze Zhlen 1 35 Ausgngstempertur +6 C... ) Temperturbnhme um 9 C b) Temperturbnhme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 36 Ausgngstempertur 4 C... ) Temperturzunhme um 10 C b) Temperturzunhme um 21 C (

Mehr

Orientierungstest Mathematische Grundlagen

Orientierungstest Mathematische Grundlagen Orientierungstest Mthemtische Grundlgen Lösungen:. Welche Zhlenmengen git es? Beispiele? Menge der ntürlichen Zhlen N {,,, } Menge der gnzen Zhlen Z {,, 0,,, } Menge der rtionlen Zhlen Q Menge ller ls

Mehr

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN

14. INTEGRATION VON VEKTORFUNKTIONEN 120 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen.

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen. Inhltsüersicht Kpitel 5: evil forces: Vektorrechnung Vektorrechnung in der Eene Ungleichungen in zwei Vrilen Der Vektorrum R n, Vektoropertionen Eenen im Rum Linere Gleichungssysteme Gußsche Elimintion

Mehr