1 Grundlagen Entscheidungstheorie: Der Entscheidungsträger wählt aus einer Menge von Alternativen, Annahmen:

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1 1 Grundlagen Entscheidungstheorie: Der Entscheidungsträger wählt aus einer Menge von Alternativen, dem Aktionenraum A = {a 1, a 2, a m }. Annahmen: Der Entscheidungsträger ist gezwungen, eine der betrachteten Alternativen zu ergreifen. gleichzeitig kann immer nur eine der Alternativen realisiert werden, d.h. die Alternativen schließen einander aus. Das Ergebnis der gewählten Handlungsalternative hängt vom Umfeld ab. Die Menge aller relevanten Umfeldzustände z 1, z 2, z n bildet den Zustandsraum Z. Man unterscheidet Entscheidung unter Unsicherheit, falls keinerlei Information über die Eintrittswahrscheinlichkeiten der z i vorliegt. Entscheidung unter Risiko, falls Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sind. Die Ergebnismatrix gibt die Ergebnisse der einzelnen Alternativen für die einzelnen Umfeldzustände an, genauer e ij beschreibt das Ergebis von Alternative a i bei Umfeldzustand z j. 1

2 z 1 z 2 z n p 1 p 2 p n a 1 e 11 e 12 e 1n..... Dominanzprinzipien: absolute Dominanz a m e m1 e m2 e mn Eine Alternative a i dominiert eine Alternative a j absolut, wenn das schlechtestmögliche Ergebnis von a i nicht kleiner als das bestmögliche Ergebnis von a j ist. a i dominiert a j absolut min k e ik max l (unter der Annahme, dass hohe Werte von e ij angestrebt werden.) Bsp: a 2 dominiert a 3 absolut. Zustandsdominanz z 1 z 2 z 3 min max a a a e jl 2

3 Eine Alternative a i dominiert eine Alternative a j, wenn in jedem Umfeldzustand a i besser bzw. mindestens gleich gut wie a j ist, d.h. a i dominiert a j e ik e jk e il > e jl für alle k für mindestens ein l Bsp: z 1 z 2 z 3 min max a a a a a 4 dominiert a 2 (im Sinn der Zustandsdominanz). Wahrscheinlichkeitsdominanz: (nur bei Entscheidung unter Risiko!) Für jede Alternative a i kann das Ergebnis als Zufallsvariable aufgefasst werden. Sei f i die entsprechende Dichte und F i die entsprechende Verteilungsfunktion dieser Zufallsvariablen. a i dominiert a j nach dem Kriterium der stochastischen Dominanz erster Ordnung, falls F i (x) F j (x), x, und F i ( x) < F j ( x) für mindestens ein x. 3

4 a i dominiert a j nach dem Kriterium der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung, falls Bsp. 1: x F i(ξ)dξ x F j(ξ)dξ, x z 1 z 2 z 3 z 4 p 1 = 0.3 p 2 = 0.2 p 3 = 0.4 p 4 = 0.1 a a x < 10 0 x < x < x < 30 F 1 (x) = x < 40 F 2 (x) = x < x < x < x 1 60 x F 2 (x) F 1 (x) 1 F 2 (x) 1 F 1 (x) d.h. die Wahrscheinlichkeit, einen Gewinn höher als x zu erzielen ist bei Alternative a 2 größer als bei a 1. Bsp. 2: 4

5 z 1 z 2 z 3 p 1 = 0.4 p 2 = 0.2 p 3 = 0.4 a a x < 30 0 x < 0 F 1 (x) = x < x < 120 F 2 (x) = x < x < x x 0 x < 0 F 2 (x) F 1 (x) = x < x < x < x < x < x a 1 dominiert a 2 im Sinn der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung, da x (F 2 (ξ) F 1 (ξ))dξ 0 Entscheidung unter Ungewissheit Maximin-Regel 5

6 andere Bezeichnungen: Mini-max Kriterium, Wald Regel Wähle jene Alternative mit dem maximalen Minimum. Bsp: z 1 z 2 z 3 z 4 min a a Wähle a 1. a Eigenschaften: extrem risikoscheu, bewertet Alternativen nur nach dem schlechtesten Ergebnis. z 1 z 2 z 3 z 4 min a a Nach der Maximin-Regel entscheidet man sich für a 2. Maximax-Regel Wähle jene Alternative mit dem maximalen Maximum. Bsp: 6

7 z 1 z 2 z 3 z 4 min max a a a Wähle a 3. Eigenschaften: extrem risikofreudig, bewertet Alternativen nur nach dem besten Ergebnis. Hurwicz-Regel Kombination von Maximin-Regel und Maximax-Regel. λ [0, 1] Optimismusparameter Wähle jene Alternative, für die der Präferenzwert Φ(a i ) = λ max j (e ij ) + (1 λ) min j (e ij ) maximal ist. z 1 z 2 z 3 z 4 min max Φ a a Wähle a 2. a Savage-Niehans-Regel andere Bezeichnungen: Regel des kleinsten Bedauerns, Minimax Regret Kriterium 7

8 Bestimme für jede Spalte, d.h. für jeden Umfeldzustand, das Maximum der Ergebnismatrix. Bestimme die Matrix des Bedauerns, indem in jeder Spalte vom Spaltenmaximum der jeweilige Wert abgezogen wird, d.h. r ij = max k (e kj ) e ij Bestimme für jede Zeile, d.h. für jede Alternative, das Maximum der Regret-Matrix Wähle jene Alternative, für die das maximale Bedauern minimal ist. z 1 z 2 z 3 z 4 a a Regret-Matrix: a z 1 z 2 z 3 z 4 max a a Wähle a 2. a Laplace-Kriterium: Nehme an, dass jeder Umfeldzustand mit Wahrscheinlichkeit p = 1/n angenommen wird. 8

9 z 1 z 2 z 3 z 4 Φ a a Wähle a 1. a Axiomen-Katalog Milnors zehn Axiome, denen eine brauchbare Entscheidungsregel genügen sollte: 1 Ergebnis-Linearität: Die Präferenzrelation zwischen zwei bel. Alternativen a 1 und a 2 soll unverändert bleiben, wenn sämtliche Ergebniswerte e ij, i = 1, 2, j = 1, 2,, n der gleichen beliebigen positiv-linearen Transformation e ij = α + βe ij, β > 0 unterzogen werden: 2 Zeilenhinzufügen: Die Präferenzrelation zwischen zwei bel. Alternativen a 1, a 2 soll nur durch den individuellen Vergleich von a 1 mit a 2 bestimmt werden, unabhängig vom Aussehen des sonstigen Aktionsraumes, d.h. insbesondere darf das Hinzufügen weiterer Alternativen die Präferenzrelation nicht beeinflussen. 9

10 3 Addition zu einer Spalte: Die Präferenzrelation soll sich nicht ändern, wenn zu einer bestimmten Spalte eine Konstante addiert wird. 4 Streichung einer identischen Spalte Die Präferenzrelation soll zwischen beliebigen Alternativen unverändert bleiben, wenn zwei Umweltzustände mit identischen Ergebnissen zu einem Umweltzustand zusammengefasst werden. 5 Dominanz: Eine von einer anderen Alternative dominierte Alternative kann nicht optimal sein. Die Savage-Niehans-Regel verletzt Axiom (4) Maxi-Min Regel und Hurwicz-Regel verstossen gegen (3) und (5) Laplace verletzt gegen (4) 2 Entscheidung unter Risiko: Das µ Prinzip: Für jede Alternative a i kann das Ergebnis als Zufallsvariable aufgefasst werden. Beim µ Prinzip werden die Alternativen nun anhand des Erwartungswertes des Ergebnisses bewertet und jene 10

11 Alternative gewählt, für die der Erwartungswert maximal (bzw. minimal) ist. Präferenzfunktion: Φ(a i ) = µ i = n j=1 e ij p j Bsp. Eine faire Münze wird geworfen. Als Entscheidungsalternative können unterschiedlich hohe Einsätze gewählt werden. Der Gewinn ist gegeben durch: Kopf Zahl µ p 1 = 0.5 p 2 = 0.5 a a a a Petersburger Paradoxon: Eine ideale Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl erscheint. Erscheint beim n ten Wurf zum ersten mal Zahl, so erhält der Spieler 2 n Euro ausbezahlt. Frage: Welchen Spieleinsatz wären Sie bereit zu zahlen, um an diesem Spiel teilzunehmen? 11

12 i = 1 i = 2 i = 3 n p i n Gewinn(i) n p i *Gewinn(i) Der Erwartungswert ist + 12

13 Entscheidung auf Grundlage von Erwartungswert und Streuung (µ σ Prinzip) Verwende Varianz bzw. Standardabweichung als Mass für das Risiko: V ar(a i ) = σi 2 = n p k (e ik µ i ) 2 σ i = V ar(a i ) Standardabweichung Die Präferenzfunktion hängt nun von Erwartungswert und Standardabweichung (bzw. Varianz) ab, Φ = Φ(µ, σ) Def: Ein Entscheidungsträger heißt risikofreudig wenn er bei gleichem Erwartungswert jene Alternative mit dem größeren Risiko vorzieht. Ein Entscheidungsträger heißt risikoscheu (oder risiko-avers) wenn er bei gleichem Erwartungswert jene Alternative mit dem kleineren Risiko vorzieht. Ein Entscheidungsträger heißt risikoneutral wenn er bei Alternativen mit gleichem Erwartungswert indifferent ist. µ σ Kombinationen, die denselben Präferenzwert ergeben, bilden Indifferenzkurven Φ(µ, σ) =const. Häufige Ansätze für Präferenzfunktionen: k=1 13

14 Φ(µ, σ) = µ + ασ Φ(µ, σ) = µ + ασ 2 Φ(µ, σ) = µ + α(µ 2 + σ 2 ) 2.1 safety-first criterion Consider the following two lotteries: x p(x) y p(y) Computing expected value and variance leads to E(x) = = 2, E(x2 ) = = E(y) = = 2, E(y2 ) = = Using the µ/σ criterion a decision maker would be indifferent. Risk = variability of x below the threshold t. Semi-Variance: σ 2 (t) = t (x t)2 f(x)dx Variance vs. Semi-Variance: Variance: mean squared distance to the expected value 14

15 Semi-Variance: mean squared distance to the threshold, given that the values are below the threshold. The decision is made according to the preference function Φ[ x] = IE( x) + ασ 2 (t) Ex. Consider the following 2 alternatives: A B x p x p µ/σ criterion: B has a higher gain than A: IE( x A) = 7 < IE( x B) = 7.23 A has higher risk than B σ 2 ( x A) = 19 > σ 2 ( x B) = a risk avers decision maker (i.e. α < 0) chooses B, as Φ( x A) = α < α = Φ( x B). 15

16 safety first -criterion Assume that the threshold is t = 0 and α = 1. A has no risk, as x can never be below the threshold. Semi-Variance for B: σ 2 (t = 0) =.01( 20 0) 2 = 4 using the preference function Φ( x) = IE( x) σ 2 (t = 0) one obtains Φ( x A) = 7 1(0) = 7 and Φ( x B) = (4) = 3.23 Portfolio-risiko Folgende Tabelle gibt die Renditen zweier Wertpapiere A und B sowie die Rendite einer Portfolios P, das sich zu gleichen Teilen aus A und B zusammensetzt, an. Alle Umweltzustände sind gleich wahrscheinlich. S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 µ σ 2 σ p i r A r B r P

17 Beobachtung: Das Risiko des Portfolios ist kleiner als die Risiken der einzelnen Wertpapiere. Betrachten dies nun für Portfolios die sich beliebig aus r a und r b zusammensetzen und eine beliebige Korrelation aufweisen. Bernoulli-Prinzip Zur Lösung des Petersburger Paradoxons: Statt des Erwartungswertes der möglichen Gewinne soll der erwartete Nutzen der Gewinne herangezogen werden (Daniell Bernoulli, 1738). Wiederentdeckt von John von Neumann und Oskar Morgenstern, Ordne den Ergebnissen e ij jeder Alternative mit Hilfe einer Nutzenfunktion u Nutzenwerte u(e ij ) zu. Nutzenmatrix (bzw. Entscheidungsmatrix) z 1 z 2 z n p 1 p 2 p n a 1 u(e 11 ) u(e 12 ) u(e 1n )..... a m u(e m1 ) u(e m2 ) u(e mn ) Als entscheidungsrelevanter Präferenzwert Φ(a i ) wird der Erwartungswert der Nutzenwerte herangezogen: 17

18 Φ(a i ) = E(u(a i )) = n p k u(e ik ) k=1 Bsp: z 1 z 2 z 3 z 4 p 1 = 0.4 p 2 = 0.1 p 3 = 0.2 p 4 = 0.3 a a Nutzenfunktion u(x) = log(x) z 1 z 2 z 3 z 4 Φ(a i ) p 1 = 0.4 p 2 = 0.1 p 3 = 0.2 p 4 = 0.3 a a Bemerkung: Für nach oben unbeschränkte Nutzenfunktionen löst das Bernoulli-Prinzip jedoch nicht das Petersburger Paradoxon. i = 1 i = 2 i = 3 n p i n Gewinn(i) x 1 x 2 x 3 x n Nutzen(i) u(x 1 ) = 2 u(x 2 ) = 2 2 u(x 3 ) = 2 3 u(x n ) = 2 n p i *Nutzen(i)

19 Der Erwartungswert des Nutzens ist + Bestimmung der Nutzenfunktion: Def: In der ökonomischen Theorie werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen als Lotterien (oder Chancen) bezeichnet. Bsp: In einer Entscheidungssituation unter Risiko bilden die möglichen Ergebnisse e ij bei Wahl der Alternative a i eine Lotterie. (e i1, p 1 ; e i2, p 2 ; ; e in, p n ). Bsp: Einfache Chance: bekomme mit Wahrscheinlichkeit p den Gewinn x und mit Wahrscheinlichkeit 1 p den Gewinn y : (x, p; y) Satz: Alle Nutzenfunktionen, die durch eine positive Lineartransformation auseinander hervorgehen, sind bezüglich des Bernoulli-Prinzips äquivalent (d.h. ergeben dieselbe Präferenzrelation zwischen den Alternativen.) 2 Nutzenfunktionen: u 1 (x), u 2 (x) positive Lineartransformation: u 2 (x) = α + βu 1 (x), β > 0, Präferenzfunktionen: Φ 1 (a i ) = E(u 1 (a i )), Φ 2 (a i ) = E(u 2 (a i )), 19

20 Φ 2 (a i ) = E(u 2 (a i )) = E(α + βu 1 (a i )) = α + βe(u 1 (a i )) = α + βφ 1 (a i ) Φ 2 (a i ) > Φ 2 (a j ) Φ 1 (a i ) > Φ 1 (a j ) Bestimmung der Nutzenfunktion: Aus der Menge der möglichen Ergebnisse wird das beste Ergebnis ē und das schlechteste Ergebnis e ausgewählt. Setze: u(ē) = 1, u(e) = 0. Zur Ermittlung der Nutzenwerte u(e ij ) wird der Entscheidungsträger vor die Wahl zwischen dem sicheren Ergebnis e ij und der einfachen Chance (ē, p; e) gestellt. Der Entscheidungsträger muss angeben, bei welcher Wahrscheinlichkeit p er zwischen dem sicheren Ergebnis und der Lotterie indifferent ist. Setze: u(e ij ) = p. Def: Unter dem Sicherheitsäquivalent (SÄ) einer Lotterie versteht man jenen sicheren Betrag, der dem Entscheidungsträger gleichwertig mit der betrachteten Lotterie ist. Mit anderen Worten: der Nutzen des Sicherheitsäquivalents s muss mit dem erwarteten Nutzen der Lotterie (bzw. Alternativen) 20

21 A übereinstimmen; u(s) = E(u(A)). Risiko-einstellung: Der Entscheidungsträger ist risikoneutral genau dann, wenn seine Nutzenfunktion linear ist. risikofreudig genau dann, wenn seine Nutzenfunktion konvex ist. risikoscheu genau dann, wenn seine Nutzenfunktion konkav ist. Axiome des Bernoulli-Prinzips: Ordinalprinzip: Vergleichbarkeit, i.e. für jedes Paar von Lotterien (bzw. Alternativen) a und b gilt: a b oder a b oder a b. Transitivität, i,e, aus a b und b c folgt a c. Dominanzprinzip (Monotonieprinzip) Stehen zwei Alternativen in Form von einfachen Chancen a 1 = (ē, p 1 ; e) und a 2 = (ē, p 2 ; e) zur Auswahl (ē > e) so gilt: p 1 > p 2 a 1 a 2. Stetigkeitsaxiom: Stehen eine sichere Alternative e und eine einfache Chance 21

22 (ē, p; e) mit e < e < ē zur Auswahl, so gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, sodass beide Alternativen äquivalent sind, i.e. (e, 1) (ē, p; e). Substitutionsaxiom (Unabhängigkeitsaxiom) Gegeben seien drei Lotterien (bzw. Alternativen) a 1, a 2, a 3. Es gilt: a 1 a 2 (a 1, p; a 3 ) (a 2, p; a 3 ) p [0, 1] Bsp: Wir betrachten die folgenden Lotterien: a 1 = (2000, 1), a 2 = (10000, 0.25; 0), a 3 = (10000, 1/3; 0). Entsprechend dem Substitutionsaxiom gilt: a 1 a 2 (a 1, 0.25; a 3 ) (a 2, 0.25; a 3 ) Das Allais Paradoxon Betrachten Sie folgende Lotterien: a = (2500, 0.33; 2400, 0.66; 0, 0.01) b = (2400, 1) c = (2500, 0.33; 0, 0.67) d = (2400, 0.34; 0, 0.66) Versuchspersonen müssen dann ihre Präferenz zwischen a und b bzw. zwischen c und d bekannt geben. Die meisten Personen 22

23 wählen: b a bzw. c d. Dies widerspricht jedoch dem Unabhängigkeitsaxiom. Def: Unter dem Sicherheitsäquivalent (SÄ) einer Lotterie versteht man jenen sicheren Betrag, der dem Entscheidungsträger gleichwertig mit der betrachteten Lotterie ist. Mit anderen Worten: der Nutzen des Sicherheitsäquivalents s muss mit dem erwarteten Nutzen der Lotterie (bzw. Alternativen) A übereinstimmen; u(s) = E(u(A)). Risiko-einstellung: Der Entscheidungsträger ist risikoneutral genau dann, wenn seine Nutzenfunktion linear ist. Das Sicherheitsäquivalent stimmt mit dem Erwartungswert der unsicheren Alternative überein, i.e. s = E(A). risikoscheu genau dann, wenn seine Nutzenfunktion konkav ist. Das Sicherheitsäquivalent ist kleiner als der Erwartungswert der unsicheren Alternative, s < E(A). Die Differenz zwischen dem Erwartungswert der unsicheren Alternative und dem Sicherheitsäuivalent bezeichnet man als Risikoprämie π = E(A) s. Die Risikoprämie ist jener Betrag, den ein Entscheidungsträger bereit ist zu zahlen, um ein sicheres Einkommen in der Höhe des Erwartungswertes zu 23

24 erhalten, anstatt eine Unsicherheit in Kauf zu nehmen. risikofreudig genau dann, wenn seine Nutzenfunktion konvex ist. Das Sicherheitsäuivalent ist größer als der Erwartungswert der unsicheren Alternative, s > E(A). Maße der Risikoaversion: Def: Sei u(x) eine zweimal differenzierbare streng monoton steigende Nutzenfunktion. Das Arrow-Pratt Maß der absoluten Risikoaversion ist gegeben durch r A (x) = u (x) u (x) Der Koeffizient der relativen Risikoaversion ist gegeben durch: r R (x) = xu (x) u (x) Ausgehend vom Vermögen x betrachten wir die Lotterie: (x + ɛ, p; x ɛ, 0.5 p). Jener Wahrscheinlichkeitswert p für den der Entscheidungsträger zwischen der Lotterie und der sicheren Auszahlung x indifferent ist, heißt Wahrscheinlichkeitssprämie. Vergleich von Entscheidungsträgern bzgl. ihrer Risikoaversion: Wir betrachten zwei Entscheidungsträger mit monoton wachsenden Nutzenfunktionen u 1 bzw. u 2. 24

25 Satz: äquivalent sind: (1) r A,2 (x) r A,1 (x), x (2) es existiert eine monoton steigende konkave Funktion Ψ, sodass u 2 (x) = Ψ(u 1 (x)), x d.h. u 2 ist eine konkave Transformation von u 1 (3) Füer beliebige Lotterien ist das Sicherheitsäquivalent des ersten Entscheidungsträgers größer als das des zweiten. s 1 s 2 (4) Für die Risikoprämien π gilt: π 2 π 1 (für bel. Lotterien) (5) Für die Wahrscheinlichkeitsprämie gilt: p 2 p 1, x (6) Wenn Entscheidungsträger 2 eine unsichere Auszahlung X besser beurteilt als eine sichere x, dann tut dies auch Entscheidungsträger 1. d.h. E[u 2 (X)] u 2 ( x) E[u 1 (X)] u 1 ( x) Satz: Personen mit streng fallender absoluten Risikoaversion gehen höhere Risiken ein, je reicher sie sind. Satz: Falls sich zwei Nutzenfunktionen in 2 verschiedenen Punkten schneiden, so können sie nicht äquivalent sein. 25

26 Vergleich des Risikos von Lotterien mit gleichem Erwartungswert Rothschild und Stiglitz, Increasing Risk I, a Definition., J. Economic Theory 2, Eine Lotterie X ist riskanter als eine Lotterie Y, genau dann wenn einer der folgenden Punkte (und damit auch alle anderen) zutrifft: jeder im Sinn der Nutzentheorie risikoscheuer Entscheider bevorzugt die Lotterie Y gegenüber X i.e. E[u(Y )] E[u(X)], konkaven Nutzenfunktionen u X dominiert Y im Sinn der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung. X ist aus Y durch einen mean preserving spread gewonnen worden, d.h. aus der Mitte der Verteilung von Y werden Elemente herausgenommen und an den Rand der Verteilung transformiert, ohne den Erwartungswert zu verändern. z.b. X ist aus Y durch Addition einer Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 gewonnen worden. (zusammengesetzte Lotterien) 26

27 Dies ergibt eine Partialordnung auf der Menge der Lotterien mit gleichem Erwartungswert. Andere Möglichkeit von früher: (µ σ Prinzip) Ordne Lotterien mit gleichem Erwartungswert entsprechend ihrer Varianz. Dies ergibt eine Totalordnung. Jedoch stimmen diese beiden Begriffe von Risiko nicht überein: Bsp: µ σ E( L i ) L 1 = (10, 0.99; 1090, 0.01) L 2 = (1, 0.8; 100, 0.2) Entscheidung bei Mehrfachzielsetzung: Bsp. 1: Ein Mineralölkonzern sucht einen Standort für eine neue Tankstelle. Als Alternativen kommen der Stadtrand (a 1 ) oder das Stadtzentrum (a 2 ) in Frage. Die erzielbaren Gewinne und Umsätze sind bekannt und in folgender Tabelle zusammengefasst: Gewinn Umsatz a 1 (Stadtrand) a 2 (Stadtzentrum)

28 Will der Konzern sowohl Gewinn als auch Umsatz maximieren, so liegt ein Zielkonflikt vor. allgemeines Modell: A = {a 1, a 2, } Menge von Alternativen n Evaluatoren: X 1, X n ( Konsequenzen, Ziele ) a (X 1 (a), X 2 (a),, X n (a)) R = {(X 1 (a), X 2 (a),, X n (a)) a A} Range-set Suche Wertefunktion (Präferenzfunktion, Nutzenfunktion) v : {(X 1,, X n )} IR, (x 1,, x n ) v(x 1,, x n ) die eine Präferenzordnung auf der Menge der Konsequenzen und damit auf A liefert. v(x 1,, x n) v(x 1,, x n ) (x 1,, x n) (x 1,, x n ) Bsp: Für n = 2 : v(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2, c i 0 v(x 1, x 2 ) = x α 1 x β 2, α, β 0 v(x 1, x 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 (x 1 b 1 ) α (x 2 b 2 ) β c i, α, β 0 Def: Zwei Wertefunktionen heißen (strategisch) äquivalent falls sie die selbe Präferenzordnung induzieren. Satz: Sei T : IR IR eine monoton wachsende Funktion und v 1 eine Wertefunktion. Dann sind v 2 = T v 1 und v 1 strategisch äquivalent. 28

29 Wünschenswert: partielle Nutzenfunktionen v i (x i ), und eine einfache Funtion f, sodass: v(x 1,..., x n ) = f(v 1 (x 1 ),..., v n (x n )). Die Bildung von partiellen Nutzenfunktionen ist nicht möglich, wenn die Präferenz bezüglich einer Konsequenz von den Werten der anderen Konsequenzen abhängt. Bsp: X 1 = {Weisswein, Rotwein}, X 2 = {Steak, Fisch}. Mehrheitlich werden wohl folgende Präferenzen erwartet: (Rotwein, Steak) (Weisswein, Steak) (Rotwein, Fisch) (Weisswein, Fisch) Eine isolierte Bewertung von Ziel 1 ist nicht möglich, da die Präferenz von der Ausprägung von Ziel 2 abhängt. Präferenzunabhängigheit n = 2 : Ziel 1 heißt präferenzunabhängig von Ziel 2, falls gilt: (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ), für beliebiges x 2, x 2 Gilt zusätzlich, dass Ziel 2 präferenzunabhängig von Ziel 1 ist, so heißen die beiden Ziele gegenseitig präferenzunabhängig. Für allgemeines n gilt: Betrachten eine Teilmenge von Konsequenzen und die dazu komplementäre Menge, d.h. der Vektor von Konsequenzen x wird partitioniert als x = ( y, z). 29

30 Def: Die Menge von Konsequenzen Y ist präferenzunabhängig von der komplementären Menge Z, genau dann wenn die bedingte Präferenzstruktur auf dem y Raum für gegebenes z nicht von z abhängt, d.h. [( y, z ) ( y, z )] [( y, z) ( y, z)] z, y, y. Def: Die Konsequenzen X 1,, X n heißen (stark) präferenzunabhäng falls jede Teilmenge von Konsequenzen von ihrer Komplementärmenge präferenzunabhängig ist. Im weiteren nehmen wir an, dass die Konsequenzen stark präferenzunabhängi sind und die partiellen Präferenzordnungen numerisch repräsentierbar sind. partielle Nutzenfunktionen. Bemerkung: Durch Zusammenfassen präferenzabhängiger Ziele zu einer übergeordneten Zielgröße kann oft die Päferenzunabhängigkeit erreicht werden. Präferenzunabhängigkeit kann vielfach durch sinnvolle Einengung des Aktionenraums gewährleistet werden. Def: Zwei Ziele verhalten sich zueinander indifferent (bzw. neutral), wenn die Realisierung des einen 30

31 Zieles ohne jeden Einfluss auf den Realisierungsgrad des anderen Zieles ist. komplementär wenn durch die Erfüllung des einen Zieles auch der Realisierungsgrad des anderen Zieles gesteigert wird. Man unterscheidet symmetrische Komplementarität wenn die Abhängigkeit zwischen den Realisierungsgraden der beiden Ziele wechselseitig ist, und asymmetrische Komplementarität wenn ein erhöhter Realisierungsgrad des einen Zieles zwar zur Förderung des anderen Zieles führt aber nicht umgekehrt. konkurrierend, falls die Erfüllung eines Zieles den Realisierungsgrad des anderen Zieles beeinträchtigt. Bsp: Asymmetrische Komplementarität liegt etwa zwischen Kapitalrendite und Kapitalumschlag vor. Eine Beschleunigung des Kapitalumschlags fördert die Kapitalrendite, eine verbesserte Kapitalrentabilität ist hingegen nicht notwendig mit einem beschleunigten Kapitalumschlag verbunden. Indifferenzkurven und marginale Substitutionsrate Betrachen den Fall von 2 Zielen X und Y. Unter einer Indifferenzkurve versteht man die Menge 31

32 {(x, y) v(x, y) = c} Frage: Steigt X um Einheiten, um wieviel muss Y fallen um indifferent zu bleiben, d.h. (x +, y?) (x, y) Wenn man am Punkt (x, y) bereit ist λ Einheiten von Y aufzugeben, um Einheiten von X zu gewinnen, so heißt λ die marginale Substitutionsrate von Y für X an der Stelle (x, y). v(x, y) = c y = y(x) λ = y (x) v(x, y(x)) = c v(x, y) x + v(x, y) y dy dx = 0 λ = v x v y (x, y) (x, y) Dominanz Def: Der Konsequenzvektor x dominiert x, falls x i x i, i und x j > x j, für mindestens ein j. Eine Alternative heißt ineffizient, falls X(a) von mindestens einem Konsequenzvektor x R dominiert wird, d.h. falls mindestens ein a A existiert, mit 32

33 x i (a ) x i (a), i und x j (a ) > x j (a), für mindestens ein j. Die Menge der Konsequenzvektoren in R, die nicht dominiert sind, heißt effiziente Grenze von R oder Pareto optimale Menge. Bsp: x 1 x 2 x 3 x 4 a a a a a a 1 ist ineffizient, da von a 2 dominiert und a 3 ist ineffizient, da von a 5 dominiert. Spezielle Entscheidungsregeln: Lexikographische Ordnung: Ordne die Zielvektoren (bzw. die Alternativen) allein nach dem wichtigsten Ziel. Stimmt bei Zielvektoren das wichtigste Ziel überein, so ordne sie nach dem zweitwichtigsten Ziel, etc. Bsp: Angenommen das primäre Ziel ist Gewinnmaximierung und das zweite Ziel ist Umsatzmaximierung. 33

34 Gewinn Umsatz a a a a a Nach der Lexikographischen Ordnung erhält man die Präferenzstruktur: a 1 a 2 a 5 a 4 a 3 Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades Körth (1969) Voraussetzung: verhältnisskalierte Nutzenmessung. 1. Berechne für jede Alternative und jedes Ziel den Erreichungsgrad des Zieles. Erreichungsgrad des Zieles = Quotient aus tatsächlichem Nutzenwert und dem maximalen Nutzenwert. v i (x i (a j )) max k v i (x i (a k )) 2. Bilde für jede Alternative, den minimalen Zielerreichungsgrad (Zeilenminimum). v( x(a j )) = min i 34 v i (x i (a j )) max k v i (x i (a k ))

35 3. Wähle jene Alternative, für die der minimale Zielerreichungsgrad maximal ist. Bsp: Zielerreichungsgrad: x 1 x 2 x 3 x 4 a a a a a max x 1 x 2 x 3 x 4 min. a a a a a Wähle a 5, da bei dieser Alternative jedes Ziel zu mehr als 50% erreicht wird. Goal-Programming

36 Der Entscheidungsträger soll bestimme Zielvorgaben erfüllen. Er wählt daher jene Alternative, sodass die Abweichung von den Zielvorgaben minimal wird. Sei ˆx i die Zielvorgabe für Ziel X i so gilt: v( x(a j )) = i x i (a j ) ˆx i Verallgemeinerungen: unterschiedliche Gewichtung der Abweichungen bei verschiedenen Zielen v( x(a j )) = i α i x i (a j ) ˆx i unterschiedliche Gewichtung ob Abweichung von der Zielgröße nach oben oder nach unten erfolgt. v( x(a j )) = i α i x i (a j ) ˆx i + i β i x i (a j ) ˆx i wobei x + = x für x 0 0 für x < 0 x = 0 für x 0 x für x < 0 Bsp: ˆx 1 = 6, ˆx 2 = 5, ˆx 3 = 14, ˆx 4 = 8 36

37 x 1 x 2 x 3 x 4 a a a a a x i ˆx i v( x(a j )) a a a a a Wähle a 3 Zielgewichtung: Wahl von positiven Gewichten g i. Multiplikation der partiellen Nutzen v i (x i ) mit den Gewichten und anschliessendes Aufsummieren. v( x(a j )) = i g i v i (x i (a j )) Bsp: Der Entscheidungsträger hat eine Dringlichkeitsordnung bezüglich der Ziele X 1,, X 4 im Verhältnis 4 : 3 : 2 : 1. Daraus ergeben sich die Gewichte: g 1 = 0.4, g 2 = 0.3, g 3 = 0.2, g 1 =

38 x 1 x 2 x 3 x 4 g i v i (x i ) a a a a a Wähle a 4. Entscheidung bei Mehrfachzielsetzung: Keeney R. L., Raiffa H. (1993) Theorem 3.6: Gegeben seien die Konsequenzen X 1,, X n. Eine additive Wertefunktion v(x 1, x 2,, x n ) = n i=1 v i (x i ) existiert genau dann, wenn die Konsequenzen stark präferenzunabhängig sind. Gegenbeispiel (siehe Fishburn 1979) X = {1, 2, 3} {1, 3, 5}. (x 1, x 2 ) (y 1, y 2 ) u(x 1, x 2 ) < u(y 1, y 2 ) mit u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 + (x 1 ) x 2. 38

39 Dies ergibt: u(2, 1) = 4 u(1, 3) = 4 u(1, 5) = 6 u(3, 1) = 6 u(2, 5) = 42 u(3, 3) = 36 Da die Wertefunktion für festes x 2 in x 1 monoton wachsend ist, und für festes x 1 in x 2 monoton wachsend ist, sind X 1 und X 2 voneinander präferenzunabhängig. Angenommen es gibt eine additive Wertefunktion u(x 1, x 2 ) = u 1 (x 1 ) + u 2 (x 2 ). Dann gilt: u 1 (2) + u 2 (1) = u 1 (1) + u 2 (3) u 1 (1) + u 2 (5) = u 1 (3) + u 2 (1) und nach Addieren und Kürzen u 1 (2) + u 2 (5) = u 1 (3) + u 2 (3) d.h. (2, 5) und (3, 3) müssten äquivalent sein. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu u(2, 5) = 42 > 36 = u(3, 3). Bemerkung: Präferenzunabhängigkeit ist eine notwendige Bedingung für die Existenz einer additiven Wertefunktion aber sie ist nicht hinreichend. Im weiteren nehmen wir jedoch an, dass die Präferenzordnung auf X durch eine additive Wertefunktion beschrieben werden kann, i.e. es existieren partielle Wertefunktionen v i (x i ) und die Präferenzordnung 39

40 auf X ist durch v(x i ) = n i=1 w i v i (x i ) gegeben. MAUT Multi Attribute Utility Theory Es wird jene Alternative a i gewählt, für die der entsprechende Konsequenzenvektor x(a i ) die additive Wertefunktion v(x i ) = n i=1 w i v i (x i ) maximiert: Üblicherweise gelten die Normierungen: i w i = 1, 0 w i 1, 0 v i (x i ) Bestimmen der partiellen Wertefunktionen: Wie bei der Bestimmung des Nutzens im Rahmen der Bernoulli-Nutzentheorie: v i (x min i ) = 0, v i (x max Medianverfahren i ) = 1, (x max i 2. Bestimmen der Gewichte w i : Man vergleicht für beliebiges x 3,, x n : d.h. w 1 v 1 (u min 1 )+w 2 v 2 (u max 2 )+ n (x min 1, x max 2 ) (?, x min 2 ) i=3 40, p; x min i, 1 p) x i v i (x i ) = p v i (x i ) = w 1 v 1 (?)+w 2 v 2 (u min 2 )+ n i=3 v i (x i )

41 da v i (x min i ) = 0 und v i (x max i ) = 1 w 2 = w 1 v 1 (?). Bemerkung: Insgesamt erhält man n(n 1) Paarvergleiche und damit (n(n 1) + 1 Gleichungen zur Bestimmung der n Gewichte. Ein Problem bei MAUT ist, dass es aufgrund dieser Überbestimmtheit zu Inkonsistenzen kommt. AHP Analytical Hierarchy Process Grundidee: Auflösen des Oberzieles eines multikriteriellen Entscheidungsproblems in eine Hierachie von Unterzielen. Das Bestimmen der partiellen Wertefunktionen und der Gewichte erfolgt auf sehr ähnliche Weise. Im einfachsten Fall: Ein Oberziel, dessen Nutzen als gewichtete Summe der (partiellen) Nutzen der Alternativen bezüglich der einzelnen Konsequenzen gegeben ist. D.h. bilden einer Präferenzfunktion Φ AHP = i=1,n g i v i (.). Bestimmen der Wertefunktionen 41

42 Wir betrachten eine Konsequenz X k und n Alternativen a i, i = 1, n und wollen v k (a i ) bestimmen (k fest, i = 1, n). Möglichkeit 1: Auswahl einer Alternative, z.b der Schlechtesten. Setzen v k (a min ) = 0 und bestimmen durch Vergleich die v k (a i ). Normieren derart, dass Wert der besten Alternative = 1 ist. Insgesamt n 1 Vergleichurteile erforderlich. Da der Vergleich jeweils mit einer bestimmten Alternative erfolgt, besteht die Gefahr systematischer Fehler. Möglichkeit II: Jede Alternative a i wird mit jeder Alternative a j verglichen n(n 1) Vergleichsurteile. Der Paarvergleich wird durch Verhältnisse ausgedrückt, d.h. der Entscheidungsträger gibt an, um wieviel eine Alternative a i besser ist als Alternative a j im Hinblick auf Konsequenz X k. Man erhält eine empirische Paarvergleichsmatrix V = 1 v k (1, 2) v k (1, n) v k (2, 1) 1 v k (2, n)..... v k (n, 1) v k (n, n 1) 1 dabei bedeutet z.b. v k (i, j) = 3, dass a i 3-mal besser eingeschätzt wird als a j bezüglich Konsequenz X k. 42

43 Oft wird angenommen, dass der Paarvergleich nur Werte zwischen 1 und 9 annehmen kann (und die Reziprokwerte). Verhielte sich der Entscheidungsträger konsistent müsste ausserdem Es wird angenommen, dass die Matrix V reziprok ist, d.h. v k (i, j) = 1 v k (j, i) gelten. (Konsistenzbedingung) v k (i, j)v k (j, l) = v k (i, l) Ziel des AHP: Bestimmen einer konsistenten Wertefunktion, die möglichst gut den Angaben des Entscheidungsträgers entspricht. Betrachten zunächst die konsistente Situation: v k (i, j) = v k(a i ) v k (a j ) d.h. das Verhältnis entspricht dem Quotienten der partiellen Wertefunktionen. Klarerweise ist die Konsistenzbedingung erfüllt: v k (i, j)v k (j, l) = v k(a i ) v k (a j ) v k (a j ) v k (a l ) = v k(a i ) v k (a l ) = v k(i, l) Eine konsistente Paarvergleichsmatrix hat also die Gestalt 43

44 V = 1 v k (a 2 ) v k (a 1 ) 1. v k (a n ) v k (a 1 ) v k (a 1 ) v k (a 2 )... v k (a 1 ) v k (a n ) v k (a 2 ) v k (a n ). v k (a n ) v k (a n 1 ) 1 Bestimme nun eine konsistente Paarvergleichsmatrix, d.h. eine partielle Wertefunktion v k (a i ) die möglichst der empirischen Matrix entspricht: Regressionsanalytischer Ansatz: n n i=1 j=1 v k (i, j) v k(a i ) v k (a j ) 2 min, unter den Nebenbedingungen: v k (a i ) 0, v k (a i ) = 1. Eigenwertverfahren: Gegeben ist die inkonsistente empirische Matrix V und gesucht ist ein Vektor v = (v k (a 1 ), v k (a 2 ),, v k (a n )) t der die Wertefunktion konsistent approximiert. Angenommen, die empirische Matrix ist konsistent. Dann gilt: v k (i, j) = v k(a i ) v k (a j ) Durch Summieren v k (i, j)v k (a j ) = v k (a i ) i, j = 1,... n n j=1 d.h. unter Konsistenz gilt: v k (i, j)v k (a j ) = nv k (a i ) i = 1,... n V v = n v 44

45 Somit ist n Eigenwert von V und v ist der dazugehörende Eigenvektor. Nun gilt für konsistente Paarvergleichsmatrizen, dass der größte Eigenwert n ist, und alle anderen Eigenwerte = 0 sind. D.h. in der konsistenten Situation ist v der Eigenvektor zum grössten Eigenwert von V. Für inkonsistente Paarvergleichsmatrizen bestimmt man nun v ebenfalls als Eigenvektor zum grössten Eigenwert der Paarvergleichsmatrix. Er wird derart normiert, dass i v k (a i ) = 1. Inkonsistenzmass Für positive reziproke n n Matrizen gilt stets: λ max n. IK = λmax n n 1 Inkonsistenzmass Je grösser IK ist, desto inkonsistenter sind die Paarvergleiche des Entscheidungsträgers. Ist IK > 0.1 so sollte der Entscheidungsträger seine Vergleichsurteile nochmals überdenken. Bestimmen der Gewichte: Die Bestimmung der Gewichte erfolgt analog zur Bestimmung der Wertefunktion. Bezüglich verschiedener Konsequenzen X k und X l müssen Vergleichsurteile G(k, l) abgegeben werden. Bei Konsistenz gilt: G(k, l) = g k g l 45

46 Es werden konsistente Gewichte bestimmt, die so gut wie möglich die tatsächlichen Urteile approximieren. Bsp: Wohnung Lärmbelästigung Größe Entfernung A laut 52 qm 30 min B sehr laut 23 qm 5 min C leise 15 qm 25 min D noch nicht zu laut 30 qm 15 min Präferenzurteile bezüglich Lärm: A B C D A 1 3 1/5 1/3 B 1 1/9 1/5 C 1 4 D 1 1 = gleichwertig, 3=etwas günstiger, 5=günstiger, 7=viel günstiger, 9=sehr viel günstiger Bezüglich Lärm ist Wohnung A etwas günstiger als B. etc. Eigenwert: λ max = 4.127, Eigenvektor: (0.110, 0.048, 0.611, 0.231). d.h. die partielle Wertefunktion ist: v L (A) = 0.110, v L (B) = 0.048, v L (C) = 0.611, v L (D) = Das Inkonsistenzmass ist: IK =

47 Bezüglich Grösse: A B C D A B 1 3 1/4 C 1 1/5 D 1 λ max = 4.231, v G = (0.650, 0.087, 0.045, 0.218) t, IK = Bezüglich Entfernung: A B C D A 1 1/9 1/3 1/5 B C 1 1/4 D 1 λ max = 4.230, v G = (0.045, 0.659, 0.083, 0.213) t, IK = Bestimmen der Gewichte: Lärm Grösse Entfernung Lärm 1 1/3 4 Grösse 1 9 Entfernung 1 47

48 λ max = 3.01, (g L, g G, g E ) = (0.250, 0.681, 0.069) Präferenzfunktion Φ AHP (.) = g L v L (.) + g G v G (.) + g E v E (.) Wohnung A B C D Φ AHP Präferenzordnung: A D C B 48

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