Aufgabe 5.1 (Gruppenaufgabe)

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1 Aufgabe 5.1 (Gruppenaufgabe) (a) Zeigen Sie: Ist eine Gerade l (Leitgerade) und ein nicht auf ihr liegender Punkt F gegeben, so liegen alle Punkte P, welche von F und der Leitgeraden den gleichen Abstand haben, auf einer Parabel. Weisen Sie (a) mit den Mitteln der Klassenstufe 8 so nach, dass SuS dieser Klassenstufe Ihre Erklärung nachvollziehen können. 2. Didaktische Reduktion Die Schüler bekommen zu Beginn der Unterrichtsstunde das beiliegende Arbeitsblatt ausgeteilt. Der allgemeine Beweis wird anhand eines ausgewählten Beispiels erklärt. Sie sollen dabei folgende Aufgabe bearbeiten: Sei der Punkt F(0 2) und die Gerade g= 0 x - 2 gegeben. Gesucht sind alle Punkte P, die denselben Abstand von F und der Geraden g haben. Was fällt dir dabei auf? Zunächst wird gemeinsam besprochen was die Aufgabenstellung bedeutet, dabei sollen die Schüler ausfüllen was gegeben und gesucht ist (siehe Arbeitsblatt). Nun sollen die Schüler die Angaben in das Koordinatensystem übertragen und selbstständig einige Punkte P finden. Hierbei können sie den Tipp zur Hilfe nehmen. Danach überlegen sich die Schüler, ob ihnen beim Betrachten der Punkte eine Gemeinsamkeit auffällt ( alle Punkte P liegen auf einer Parabel), die Ergebnisse werden in der Klasse zusammengetragen. Durch Auflegen der Folie (siehe Anhang: Folie zur Unterrichtseinheit Parabeln ) wird den Schülern das Ganze nochmal veranschaulicht. Nun wird das Ganze verallgemeinert um auf die Parabellgleichung schließen zu können. (Tafel) Wie auf der Folie werden die Punkte F(0 2), P(x y) und A(x -2) betrachtet. Die Koordinaten der Punkte werden den Schülern gegeben. Sie wissen, dass laut der Aufgabenstellung gelten muss: = Durch ihr Vorwissen können die Schüler den Abstand zwischen 2 Punkten bzw. eine Strecke zwischen 2 Punkten berechnen. = = Die Gleichung wird gemeinsam an der Tafel gelöst. =

2 x² + y² - 4y + 4 = y² + 4y + 4 x² = 8y x² = y Parabelgleichung: y = x² Die Schüler sehen somit, dass alle Punkte P auf dieser Parabel liegen. Arbeitsblatt zum Thema Parabeln Aufgabe: Sei der Punkt F(0 2) und die Gerade g= 0 x - 2 gegeben. Gesucht sind alle Punkte P, die denselben Abstand von F und der Geraden g haben. Was fällt dir dabei auf? Schreibe zunächst auf was gegeben und was gesucht ist. Gegeben: Gesucht: Zeichne nun alle bekannten Angaben in das Koordinatensystem ein. Versuche nun einige Punkte zu finden, die den gleichen Abstand von F und der Geraden g haben. Tipp: Bastel dir aus einem Papier jeweils 2 kleine, dünne Lineale der Größe 2, 3, 4 bzw. 5 cm. Verwende immer 2 gleichlange Lineale und lege das 1. Lineal senkrecht an deine Leitgerade g, das 2. an den Punkt F. Verschiebe die Lineale so, dass sich die beiden Spitzen in einem Punkt treffen. Dieser Punkt sollte nun den gleichen Abstand zu F sowie zu der Geraden g haben.

3 Was fällt dir beim Betrachten dieser Punkte auf? Folie zur Unterrichtseinheit Parabeln (b) Eine wichtige Anwendungsaufgabe (z. B. Parabolspiegel) im Zusammenhang mit Parabeln ist die Eigenschaft einer Parabel, dass ein zur Symmetrieachse der Parabel symmetrisches Parallelbündel von Strahlen so reflektiert wird, dass die reflektierten Strahlen sich im Brennpunkt sammeln, bzw. umgekehrt, dass sich Strahlen, die vom Brennpunkt ausgehen (z. B. Autoscheinwerfer), so reflektiert werden, dass sie zu einem Parallelbündel werden (Man nennt dies die Brennpunkteigenschaft einer Parabel). Weisen Sie (b) mit den Mitteln der Klassenstufe 8 so nach, dass SuS dieser Klassenstufe Ihre Erklärung nachvollziehen können. Die Schüler bekommen zu Beginn der Stunde ein Arbeitsblatt zum Thema Parabolspiegel ausgeteilt (siehe Blatt Parabolspiegel ). Während der Stunde bearbeiten die Schüler gemeinsam mit dem Lehrer das Blatt. Die Lösungen werden auf Folien oder an der Tafel verglichen. Lösungssblatt zum Thema Parabolspiegel Wie ihr in der Physik bereits gelernt habt, gilt für einen ebenen Spiegel das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel α = Ausfallswinkel β

4 Wie ihr vielleicht wisst, kann man das Reflexionsgesetz auch auf gekrümmte Spiegel anwenden, indem man sich den Spiegel aus kleinen ebenen Spiegelstückchen zusammengesetzt denkt. Die folgende Skizze zeigt einen Querschnitt durch einen parabelförmig gebogenen Spiegel (Parabolspiegel), in den parallel zur Symmetrieachse Licht einfällt. Skizze: Aufgabe 1: Vervollständige die noch fehlenden einfallenden und reflektierenden Lichtstrahlen. Tipp: Denke dir die einzelnen Punkte als kleine ebene Spiegelstückchen (vergleiche mit den bereits eingezeichneten Strahlen).

5 Wie ihr seht, wird bei einem derart gebogenen Spiegel das parallel einfallende Licht in einem Punkt B gesammelt. Dieser Punkt heißt Brennpunkt. Wenn alle parallel zur Spiegelachse einfallenden Strahlen nach der Reflexion durch den Brennpunkt B gehen, muss der gebogene Spiegel die Form einer Parabel haben. Diese Erkenntnis wollen wir uns nun gemeinsam erarbeiten. Dazu nehmen wir an, dass ein parallel zur y-achse einfallender Strahl an einem Punkt P(x y) reflektiert wird und nach der Reflexion durch den Punkt B(0 2) geht. Skizze:

6 Aufgabe 2: (a) Verlängere den einfallenden Strahl nach unten. Was fällt dir dabei in Bezug auf die Gerade g auf und den neuentstandenen Winkel? Tipp: gegenüberliegender Winkel Antwort: Der Winkel zwischen dem einfallenden verlängerten Strahl und dem reflektierten Strahl wird durch die Gerade g halbiert. Der neuentstandene Winkel entspricht α. (b) Vergleiche die Strecken und. Antwort: Die beiden Strecken sind gleich lang. (c) Zeichne eine Parallele h zu der Strecke, die durch den Punkt A verläuft. Nenne den Schnittpunkt von der Geraden h und dem verlängerten Strahl C.

7 Wie du siehst bilden die Punkte A, B, C und P eine Raute. Da in einer Raute alle Seiten gleichlang sind, muss gelten: =. Aufgabe3: (a) Berechne die Streckenund! Antwort: = = = = (b) Da = gelten muss, setze deine Ergebnisse gleich und löse nach y auf. Was fällt dir nun auf? Antwort: = = x² + y² - 4y + 4 = y² + 4y + 4 x² = 8y x² = y Parabelgleichung: y = x² Somit wurde gezeigt, dass der Punkt P auf einer Parabel liegt. Dies zeigt: Wenn der reflektierte Lichtstrahl durch B geht, dann liegt P auf der Parabel mit der Gleichung y = x². Der Spiegel muss also so gebogen werden, dass er die Form eines Paraboloids hat. Alle parallel zur Spiegelachse einfallenden Strahlen gehen dann nach der Reflexion durch B; man nennt deshalb B den Brennpunkt des Paraboloids.

8 Aufgabe 5.2 Sie haben in Klasse 9 die Lösungsformel für quadratische Gleichungen behandelt und wollen nun den Satz von Vieta unterrichten. Im Rahmen einer didaktischen Konzeption eines Stundenentwurfs sollten die folgenden Phasen bearbeitet werden: Formulierung des Unterrichtsziels Klärung des Vorwissens und Einordnung in eine größere Unterrichtseinheit Entdeckung der Aussagen Formulierung des Satzes Begründung des Satzes 3 Aufgaben zur Sicherung und Festigung des Gelernten 1) Formulierung des Unterrichtsziels Die Schüler sollen einen Zusammenhang zwischen den Lösungen und den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung erkennen. Sie sollen den Satz von Vieta formulieren und anwenden können (mittels Satz von Vieta ihr Ergebnis einer quadratischen Gleichung überprüfen oder eine quadratische Gleichung aufstellen können, usw.) 2) Klärung des Vorwissens und Einordnung in eine größere Unterrichtseinheit Quadratische Gleichungen 1. Sequenz: Einführung in die Quadratischen Gleichungen (1 Stunde) 2. Sequenz: Einfache (rein) quadratische Gleichungen (2 Stunden) 3. Sequenz: Gemischt quadratische Gleichungen Grafisches Lösungsverfahren (1,5 Stunden) 4. Sequenz: Rechnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung (2 Stunden) 5. Sequenz: Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen (1,5 Stunden) 6. Sequenz: Zerlegen quadratischer Terme in Linearfaktoren und Der Satz von Vieta (2 Stunden, die 2. Stunde wird gezeigt) Der Satz von Vieta wird erst am Ende der Unterrichtseinheit eingeführt. Die Schüler können daher schon mit quadratischen Gleichungen umgehen und diese zeichnerisch sowie rechnerisch lösen.

9 3) Entdeckung der Aussagen Zum Einstieg in die heutige Stunde werden noch einmal kurz die letzten Stunden zum Thema quadratischer Gleichungen wiederholt. Dazu sollen die Schüler ein paar Aufgaben bearbeiten (siehe Folie zum Einstieg). In der letzten Stunde haben sich die Schüler folgenden Merksatz notiert: Hat eine quadratische Gleichung der Form x² + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x 2 (wobei auch x 1 = x 2 sein kann), so gilt: x² + px + q = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Dieser wird kurz besprochen und die wichtigsten Dinge dazu wiederholt. VON DEN LÖSUNGEN ZUR GLEICHUNG In der heutigen Stunde will der Lehrer zunächst zeigen, dass man von den Lösungen auf eine quadratische Gleichung schließen kann. Dazu lässt er sich von den Schülern beliebige Lösungen quadratrischer Gleichungen geben und berechnet ganz schnell die dazugehörige Gleichung im Kopf und schreibt diese an die Tafel. Die Schüler sollen nun versuchen zu erraten wie er so schnell auf das Ergebnis kommt. Der Lehrer lässt sich von den Schülern zwei Lösungen geben, z.b. x 1 = 5 und x 2 = 4. Daraufhin schreibt der Lehrer sehr schnell das Ergebnis an die Tafel: x² x 20 = 0. Die Schüler sollen das Ergebnis mittels PQ-Formel kontrollieren: x² x 20 = 0 x 1,2 = ± = ± = ± = ± x 1 = 5 und x 2 = 4 Der Lehrer hatte recht. Die Schüler nennen noch weitere Lösungen quadratischer Gleichungen: x 1 = 298 und x 2 = 1347 Der Lehrer schreibt wieder das Ergebnis an: x² x = 0 Er weist die Schüler daraufhin, dass sie einfachere Zahlen nehmen sollen. Tipp: Der Lehrer gibt als Tipp, dass er sich an der allgemeinen Form x² + px + q = 0 orientiert. Die Schüler sollen ein weiteres Beispiel nennen: x 1 = 3 und x 2 = 7 Der Lehrer schreibt wieder das Ergebnis an die Tafel: x² 10x + 21 = 0. Die Schüler überprüfen wieder das Ergebnis es stimmt.

10 Manche Schüler haben vielleicht schon das Ergebnis erraten. Sie sollen die Lösung noch für sich behalten, um den anderen noch ein bisschen Zeit zum Überlegen zu geben. Tipp: Der Lehrer gibt den Tipp, die Lösungen der quadratischen Gleichung mit den Koeffizienten der quadratischen Gleichung zu vergleichen. Dazu fertig er noch eine Tabelle an, in die er die bisherigen Ergebnisse einträgt. x x p 1 10 q Die Schüler geben dem Lehrer ein erneutes Beispiel: x 1 = 8 und x 2 = 8 Der Lehrer schreibt wieder das Ergebnis an: x² 64 = 0 Die Schüler erkennen nun einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung. p = (8 + ( 8)) = 0 und q = 8 ( 8) = 64 Der Lehrer ergänzt die ganze Zeit die Tabelle. x x p q Die Schüler geben dem Lehrer ein letztes Beispiel: x 1 = 6 und x 2 = 2 Der Lehrer lässt nun einen der Schüler das Ergebnis anschreiben: x² 4x 12 = 0 Die Schüler erkennen nun auch einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung im Allgemeinen. p = (x 1 + x 2 ) und q = x 1 x 2

11 Folie zum Einstieg Aufgabe 1: Welche Antwort ist richtig? Kreuz an. Die Lösungen der Gleichung x² - 6x - 5 = 0 können mithilfe der folgenden Lösungsformel bestimmt werden: A: x 1,2 = - 3 ± B: x 1,2 = 3 ± A B C: x 1,2 = 3 ± D: x 1,2 = - 3 ± C D Aufgabe 2: Bestimme die Lösungen. a) x² + 4x 21 = 0 a) b) 10 5x = 5x² b) 4) Formulierung des Satzes Satz von Vieta Hat eine quadratische Gleichung der Form x² + px + q = 0 die Lösungen x 1 und x 2, so gilt: p = (x 1 + x 2 ) und q = x 1 x 2. Beispiel: Für die Gleichung x² x 20 = 0 erhält man nach der Lösungsformel x 1 = 5 und x 2 = 4 Probe: x 1 + x 2 = 5 + ( 4) 1 = p, x 1 x 2 =5 ( 4) = 20 = q. Beispiel 1: (Aufstellen der Gleichung bei vorgegebenen Lösungen) Eine Gleichung x² + px + q = 0 soll die Lösungen 2 und -7 haben. Dann muss p = (2 7) =

12 5 und q = 2 ( 7) = 14 sein. Damit erhält man x² + 5x 14 = 0. Beispiel 2: (Lösungen durch sinnvolles Probieren) Wenn die Lösungen x² + x 6 = 0 ganzzahlige Lösungen hat, so müssen sie wegen q = x 1 x 2 Teiler von 6 sein. Nur die beiden Teiler 2 und 3 erfüllen die Bedingung (x 1 + x 2 ) = 1.Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass 2 und 3 Lösungen sind. Beispiel 3: (Geometrische Interpretation) Schneidet eine nach oben geöffnete Normalparabel die x-achse bei x 1 = 2,5 und x 2 = 1,4, so kann man x 1 und x 2 als Lösungen der Gleichung x² + px + q = 0 auffassen mit p = ( 2,5 + 1,4) = 1,1 und q = ( 2,5) 1,4 = 3,5. Die Parabel hat also die Gleichung y = x² + 1,1x 3,5. Eventuell könnte man noch eine Folie mit dem Bild von Vieta zeigen. VIETA, lateinisch für Viète, François, französischer Mathematiker und Jurist ( ). Vieta erhielt den Ehrennamen Vater der Algebra, weil er sich große Verdienste um die Verbreitung von Symbolen (Buchstaben) als Variable in der Algebra erworben hat. Er formulierte auch den obigen Satz. 5) Begründung des Satzes Die Schüler sollen nun den Satz von Vieta beweisen bzw. herleiten. Dabei hilft ihnen der Lehrer, indem er das Vorgehen zusammen mit den Schülern an der Tafel bespricht. Die Gleichung x² + px + q = 0 hat falls sie zwei Lösungen hat die Lösungen x 1 = + und x 2 = =. Dann gilt: x 1 + x 2 = + + ( ) = + = = p x 1 x 2 = ( + ) ( ) = ( )² ( )² = ( )

13 = = q Man könnte den Satz von Vieta auch herleiten, indem man auf die letzte Stunde verweist. Aus der Gleichung x² + px + q = (x x 1 ) (x x 2 ) können wir Beziehungen zwischen den Lösungen x 1 und x 2 und den Koeffizienten p und q herleiten. Durch Anwendung des Distributivgesetzes erhält man nämlich: (x x 1 ) (x x 2 ) = x² x 1 x x 2 x + x 1 x 2 = x² (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = x² + p x + q Durch Vergleich ergibt sich: p = (x 1 + x 2 ) und q = x 1 x 2 (Ich würde wahrscheinlich eher den zweiten Weg wählen, da dieser schneller ist und auch einen Zusammenhang zwischen den Stunden schafft.) 6) Aufgaben zur Sicherung und Festigung des Gelernten Arbeitsblatt zum Thema Satz von Vieta Aufgabe 1: Gib mithilfe des Satzes von Vieta die Zahlen p und q in der quadratische Gleichung x² + px +q = 0 an, wenn x 1 und x 2 ihre Lösungen sind. a) x 1 = 2 und x 2 = 5 b) x 1 = 0 und x 2 = 7 c) x 1 = x 2 = d) x 1 = und x 2 = Aufgabe 2: Sophie hat die quadratische Gleichung mithilfe des Satzes von Vieta gelöst. Kontrolliere!

14 Aufgabe 3: Bestimme die zweite Lösung x 2 und den Wert für p bzw. q. a) x² + px 10 = 0; L = {4; } b) x² + px + 4 = 0; L = { ; } c) x² x + q = 0; L = { ; } d) x² 0,7x + q = 0; L = { ; } Aufgabe 4: Gib die Gleichung der Normalparabel an. Bestimme ihren Scheitel. Lösungsblatt Aufgabe 1: a) x² 7x + 10 = 0 b) x² 7x = 0 c) x² + x + = 0 d) x² 5 = 0 Aufgabe 2: Falsch Richtig Falsch Falsch Aufgabe 3: a) x 2 = 2,5; p = 1,5 b) x 2 = 6; p =

15 c) x 2 = ; q = d) ) x 2 =2,2; q = 1,54 Aufgabe 4: a) x² 2x 1,25 = 0; S(1 2,25) b) x² 4,5x + 2 = 0; S(2,25 3)

16 Dorothee Müller Gymnasium Klasse 8/9 Mathematik Ziele: Die SuS sollen den Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizie erkennen Die SuS sollen den Satz von Vieta formulieren und anwenden könne überprüfen oder eine quadratische Gleichung aufstellen können). Zeit/ Phasen Lehrerinnentätigkeiten Schüler(innen)tätigkeiten Medien/ Sozialform Einstieg L begrüßt die SuS und erinnert an Die SuS sollen im Gespräch mit dem L Plenum

17 das Ergebnis der letzten Stunden Lösungsformel für quadratische Gleichungen das Ergebnis der letzen Stunde wiederholen. (Folie, Overheadpro (7min) Hinführung (9min) L-SuS-Gespräch L rechnet einige Aufgaben vor und lässt SuS rätseln. Die SuS kommen mit L ins Gespräch. SuS sollen durch Probieren auf die Lösung kommen. SuS kontrollieren Ergebnisse des Ls. Plenum (Tafel) Erarbeitung (15min) Die SuS haben den Zusammenhang zwischen den Lösungen und den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung erkannt. Die L formuliert den Satz von Vieta und geht einige Beispiele durch. Die SuS wiederholen ihr Ergebnis. Plenum (Tafel) Festigungsund Vertiefungsphase (13min) L teilt die Arbeitsblätter aus. L läuft während der Bearbeitung durch die Klasse und schaut, ob Hilfe gebraucht wird. Die SuS bearbeiten allein oder in Kleingruppen das Arbeitsblatt. Einzel- bzw. Gruppenarbe (Arbeitsblätte Ende (1min) L verabschiedet SuS Plenum SuS steht für Schülerinnen und Schüler Person L steht für die unterrichtende