AUFGABEN. Verständnisfragen
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- Eva Schulz
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1 AUFGABEN Gelegetlich ethalte die Aufgabe mehr Agabe, als für die Lösug erforderlich sid. Bei eiige adere dagege werde Date aus dem Allgemeiwisse, aus adere Quelle oder sivolle Schätzuge beötigt. eifache Aufgabe mit weige Recheschritte mittelschwere Aufgabe, die etwas Dearbeit ud uter Umstäde die Kombiatio verschiedeer Kozepte erforder aspruchsvolle Aufgabe, die fortgeschrittee Kozepte uter Umstädeauch aus spätere Kapitel) oder eigee mathematische Modellbildug beötige Verstädisfrage Warum werde leere Summe gleich Null, leere Produte aber gleich Eis gesetzt? Bestimme Sie die Summe aller atürliche Zahle vo Eis bis Taused. 3 Ei müder Floh sprigt zuerst eie Meter, da ur mehr eie halbe, da gar ur mehr eie Viertelmeter, urz bei jedem Sprug schafft er ur mehr die Hälfte der voragegagee Distaz. Wie weit ist er ach siebe Sprüge geomme? 4 Wie viele Summade habe die folgede Summe? A = 9 m> a m, B = 9 m= b m, 5 Scheitert der Beweis vo + ist für alle 00 eie gerade Zahl am Idutiosafag, am Idutiosschritt oder a beidem? 6 Führe Sie aalog zum Vorgehe für Z auf Seite?? die ratioale Zahle Q mit Hilfe eier geeigete Äquivalezrelatio ei. 7 a mit N seie beliebige reelle Zahle. Eie Summe der Form T := a + a ) et ma eie Telesopsumme. Bestimme Sie eie geschlossee Formel für de Wert eier solche Summe ud beweise Sie sie mittels vollstädiger Idutio. 8 Fide Sie eie Aussage zusätzlich zu de bereits auf Seite?? agegebee), die für alle N falsch ist, für die sich der Idutiosschritt aber trotzdem durchführe lässt. 9 Fide Sie de Fehler im folgede Beweis dafür, dass der Mars bewoht ist: Satz: We i eier Mege vo Plaete eier bewoht ist, da sid alle bewoht. Beweis mittels vollstädiger Idutio: = : trivial + : Laut Aahme sid vo eier Mege vo Plaete alle bewoht, sobald ur eier bewoht ist. Nu betrachte wir eie Mege vo + Plaete die wir willürlich mit p bis p + bezeiche). Vo diese schließe wir vorläufig eie aus usere Betrachtuge aus, z.b. p +. We vo der übriggebliebee Mege vo Plaete ur eier bewoht ist, sid alle bewoht laut Aahme). Nu schließe wir vo de bewohte Plaete eie aus, z.b. p, ud ehme p + wieder hizu. Wir erhalte wieder eie Mege vo Plaete, die bis aus p + bewoht sid. Auf jede Fall ist eier bewoht, demach alle, also ist auch p + bewoht. Korollar: Der Mars ist bewoht. Beweis: Betrachte die Plaete des Soesystems = 9, vo ugesicherte astroomische Beobachtuge wolle wir hier absehe). Die Erde ist bewoht, damit sid alle Plaete des Soesystems bewoht auch der Mars.
2 Recheaufgabe ud Awedugsprobleme 0 Ma beweise mittels vollstädiger Idutio für alle N: + ) = + ) Ma beweise für N, : ) = )! = Ma beweise für alle die Gültigeit der Summeformel zweiter ud dritter Ordug + ) + ) = 6 0.) { } + ) 3 = 0.) 3 Ma beweise die Pascal sche Formel ) ) ) + = + + +??) eierseits durch diretes Nachreche, adererseits durch vollstädige Idutio. 4 Ma beweise durch vollstädige Idutio für alle atürliche : ) < Ma beweise für N: ) = ) ) = 0 6 Ma zeige für N: + ) ) = + ) 4 ) 6 7 Ma beweise für alle N: = + + ) ) ) = ) 8 Beweise Sie mittels Idutio für alle atürliche : ist durch 6 teilbar + + ist durch 33 teilbar 3 ) ist durch + teilbar 9 Beweise oder widerlege Sie: p := + 4 ist für alle N eie Primzahl. 0 Ma beweise + x ) + x + x x, we alle x, 0) oder alle x 0 sid ud leite daraus die Beroulli-Ugleichug + + a für a > ab. Ma beweise für alle N, : ) = + ) + ) 3 = x R sei eie feste Zahl, ud es sei p x) := + x. Nu defiiere wir für N: p + x) = + x ) p x) Beweise Sie für alle N: p x) = x
3 3 Beweise Sie für N: Ergäzugsaufgabe Ma beweise mittels vollstädiger Idutio für alle atürliche Zahle : ) = 5 Ma beweise mittels Idutio für alle atürliche Zahle : ) 3 = 6 Ma beweise für N: ) = ) ) = Ma beweise für alle N: + ) = + = + 8 Beweise Sie mittels Idutio für alle atürliche : 7 ist durch 5 teilbar ist durch 5 teilbar ) ) 3 ist durch 9 teilbar 9 Beweise Sie für N: 4 + ) Die folgede beide Aufgabe setze die d Ketis der Produtregel dx fg) = f g + fg der Differetialrechug voraus: 30 Beweise Sie die erweiterte Produtregel d dx f f... f ) = = f f... f + f f... f f f... f 3 Beweise Sie für N die Leibiz sche Ableitugsformel d f g) = dx ) f ) g ) 0.3) Hiweis: Die Pascal sche Beziehug??) erweist sich hier wieder eimal als ützlich.) 3
4 AUFGABEN Gelegetlich ethalte die Aufgabe mehr Agabe, als für die Lösug erforderlich sid. Bei eiige adere dagege werde Date aus dem Allgemeiwisse, aus adere Quelle oder sivolle Schätzuge beötigt. eifache Aufgabe mit weige Recheschritte mittelschwere Aufgabe, die etwas Dearbeit ud uter Umstäde die Kombiatio verschiedeer Kozepte erforder aspruchsvolle Aufgabe, die fortgeschrittee Kozepte uter Umstädeauch aus spätere Kapitel) oder eigee mathematische Modellbildug beötige Verstädisfrage Warum eret ma ohe Rechug, dass die Reihe + ) ud ) divergiere? Kostruiere Sie eie divergete Reihe der Form ) a, wobei a eie positive Nullfolge sei soll. Warum besteht hier ei Widerspruch zum Leibiz-Kriterium? 3 a ) sei eie beliebige Folge reeller Zahle. Uter welcher Bedigug overgiert die Reihe a a + ), ud was ist da ihr Wert? Was läßt sich daraus über die Kovergez der beide Reihe a ud a + ausage? Hiweis: Partialsumme betrachte) 4 a ) sei eie mooto wachsede ud beschräte Folge mit positive Glieder. Zeige Sie, dass die Reihe ) a+ a overgiert. Hiweis: Ma beutze, dass mit der Mootoie atürlich a a für alle ist.) 5 Beweise Sie das Leibiz-Kriterium für alterierede Reihe. Hiweis: Utersuche Sie die Partialsummefolge s ) ud s + ) mit Hilfe des Hauptsatzes für mootoe Zahlefolge auf Kovergez.) 6 Beweise Sie de Cauchy sche Verdichtugssatz. Hiweis: Utersuche Sie zuächst eie allgemeie Partialsumme s ud fide Sie geeigete Abschätzuge ach obe bzw. ach ute.) Recheaufgabe ud Awedugsprobleme 7 Der Erwartugswert eier Größe ist die Summe aller mögliche Werte gewichtet mit jeweils der Wahrscheilicheit für ihr Eitrete siehe auch??). So ist der Erwartugswert eies faire) - seitige Würfels W = = ) = + ) = + Bestimme Sie, wie sich dieser Wert durch die Zusatzregel ädert, dass beim Würfel der höchste Zahl jeweils weitergewürfelt ud das Ergebis immer zum bisherige addiert wird. 4
5 8 Die Koch sche Scheefloceurve wird auf folgede Art ostruiert: Ma begit mit eiem gleichseitige Dreiec der Seiteläge s. Aus desse Seite wird u jeweils das mittlere Drittel etfert ud darüber ei eues gleichseitiges Dreiec der Seiteläge s/3 errichtet. Dabei verwirft ma die Basisseite, ma erhält isgesamt also eie eizele geschlossee ud uverzweigte Liie.) Dieses Etfere des mittlere Drittels ud Aufsetze eies leiere Dreiecs wird u mit alle gerade Abschitte wiederholt, ud zwar immer wieder. Im Grezübergag zu uedlich viele Schritte erhält ma so die Scheefloceurve. Bestimme Sie die de Umfag ud de Flächeihalt des Gebildes ach derartige Schritte bzw. für die fertige Scheefloceurve ). 9 Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: + b) 3 3 d) =0 0 Ma utersuche die Reihe )! ) auf Kovergez. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: ) si 5/ b) ) + d) l 5/4 3! Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: b) d) + ) + 5 ) [e ) + ) ] 3 + ) Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez: =0 ) 5! b) 4 d) ) Ma bestimme jeweils alle x R, für die die folgede Reihe overgiere: si x) b) x 4) d) 5 Überprüfe Sie die Reihe si π + 4 )) auf Kovergez. 6 Zeige Sie, dass die Reihe q x! e x geau für q < overgiert ud bestimme Sie ihre Wert. Hiweis: Nutze Sie die Aalogie zur geometrische Reihe.) 5
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