Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl."

Transkript

1 1 by Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 014 Übungskapitel Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse) Verschiedene Lösungsmethoden von quadratischen Gleichungen kennen und durchführen können ( neben den Lösungsformeln)und die Lösungsformeln gelernt abrufen können und dann in diese einsetzen können Beschaffenheit und Eigenschaft von quadratischen Gleichungen kennen: Aussagen über die Diskriminante treffen können; Sonderfälle, Werte, Koeffizientenaussagen- Art der Lösung feststellen können Ziel dieses Kapitels (dieses Übungsleuchtturms) ist: Kleine und große Lösungsformel und alle Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen kennen und anwenden können Folgerungen aus dem Ausdruck unter der Wurzel in der Formel und in der Angabe ziehen können und nach der Bauart der Gleichung (Koeffizienten) Schlüsse ziehen können Ausführliche Lösungen findest du ab Seite 7 Beachte den Theorieteil auf Seite 16 Seite 1

2 by Kreuze mittels X in an, wo es sich um eine falsche Aussage handelt: (bei wahren Aussagen bleibt das Feld frei) Überprüfe, wo es erforderlich und doch richtig ist, rechnerisch deine Feststellungen und Entscheidungen. Beantworte die Zusatzfragen ) ist mittels der Methode des Zerfällens lösbar..) Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist kleiner Null. Welchen Wert hat D?? 3.) ist mittels der Methode des Heraushebens lösbar. Wie würde die Lösungsmenge L lauten? 4.) Eine Lösung dieser quadratischen Gleichung ist -9. Seite

3 3 by 5.) ist mittels großer Lösungsformel lösbar. Wie würde die Lösungsmenge L lauten? Zerfällen dieser Gleichung ist nicht möglich,da ja 613 keine Quadratzahl ist,aus der wir die Wurzel ziehen können. Führe das Zerfällen aus. 6.) verhält sich bei Lösen mit Wurzelziehen bezüglich der Lösungsmenge genauso wie wenn bei Anwendung der kleinen Formel D < 0 ist Seite 3

4 4 by Kreuze mittels X in an, wo es sich um eine wahre Aussage handelt: Überprüfe, wo erforderlich, rechnerisch deine Feststellungen und Entscheidungen (bei falschen Aussagen bleibt das Feld frei) 1.) 6, hat eine Doppellösung..) ist eindeutig lösbar und hat { 10,8; 3,8} L (auf 1 Dez gerundet) als Lösung. 3.) ist mittels Wurzelziehen in R nicht lösbar. Ist ein Sonderfall der quadratischen Gleichung a + b + c 0 a, b, c R a 0 4.) 3,5 0 hat die Lösungsmenge L { 0}. Seite 4

5 5 by Ergänze die leeren Felder : Ist der Ausdruck allgemeinen Formel) (gesucht ist dessen Bezeichnung in der unter der Wurzel in einer quadratischen Gleichung -er wird genannt, negativ, so gibt es Eine Doppellösung liegt dann vor, wenn eindeutige Lösungen liegen dann vor, wenn Seite 5

6 6 by Handelt es sich bei der angegebenen Gleichung nach Vereinfachen und so weit als möglichem Zusammenfassen-um eine quadratische Gleichung?? Falls ja, überprüfe (nur), ob die angegebene Lösungsmethode richtig oder falsch ist quadratische Gleichung ja oder nein eintragen in w.a. oder f.a. eintragen in (Falls keine quadratische Gleichung vorliegt,bleibt dieses Feld leer. Gib an,welche Art von Gleichung dann vorliegt) 1.) Zerfällen.) , Kleine Lösungsformel 3.) Große Lösungsformel 4.) Wurzelziehen 5.) 808 Herausheben ) ( ) ( ) Kleine Lösungsformel Seite 6

7 7 by Kreuze mittels X in an, wo es sich um eine falsche Aussage handelt: (bei wahren Aussagen bleibt das Feld frei) Überprüfe, wo es erforderlich und doch richtig ist, rechnerisch deine Feststellungen und Entscheidungen. Beantworte die Zusatzfragen ) ist mittels der Methode des Zerfällens lösbar. b 0 X wäre nur mittels kleiner und großer Lösungsformel lösbar. Am besten die kleine.) Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist kleiner Null. w. A. Welchen Wert hat D?? D 1371 < 0 3.) ist mittels der Methode des Heraushebens lösbar. w. A. Ansatz: Wie würde die Lösungsmenge L lauten? L { 0; 18} Seite 7

8 8 by 4.) Eine Lösung dieser quadratischen Gleichung ist -9. Herausheben 6 ( 9 1) 0 X 1 L 0; 9 5.) ist mittels großer Lösungsformel lösbar. w. A. a 1 b 0 c 613 D 45 Wie würde die Lösungsmenge L lauten? L { ± 613 } { ± } Zerfällen dieser Gleichung ist nicht möglich,da ja 613 keine Quadratzahl ist,aus der wir die Wurzel ziehen können. Zerfällen ist möglich, da natürlich auch aus Nicht-Quadratzahlen die Wurzel im Sinne der 3.Binomischen Formel ziehbar ist. Führe das Zerfällen aus. X ( 613 )( + 613) 0 Wurzel kann stehen gelassen werden L { ± 613 } { ± } Seite 8

9 9 by 6.) verhält sich bei Lösen mit Wurzelziehen bezüglich der Lösungsmenge genauso wie wenn bei Anwendung der kleinen Formel D < 0 ist Lösen mit Wurzelziehen keine Lösung in R daher muss D < 0 sein. Anwendung der kleinen Formel 0 0 1, ± 613 D 613 < 0 keine Lösung in R 4 Die beiden Methoden verhalten sich bezüglich ihrer Lösung und Diskriminantenaussage also gleich. Seite 9

10 10 by Kreuze mittels X in an, wo es sich um eine wahre Aussage handelt: Überprüfe, wo erforderlich, rechnerisch deine Feststellungen und Entscheidungen (bei falschen Aussagen bleibt das Feld frei) 1.) 6, hat eine Doppellösung. f. A. Überlege, es liegt keine Doppellösung vor, da b nicht 0 ist. D 457,4 < 0.) ist eindeutig lösbar und hat { 10,8; 3,8} L (auf 1 Dez gerundet) als Lösung. D 53,5 L { 10,8; 3,8} X Seite 10

11 11 by 3.) ist mittels Wurzelziehen in R nicht lösbar. X D < 0 keine Lösung in R 6 Mittels Zerfällen auch nicht lösbar, da im Sinne der 3.Binomischen Formel in der Mitte steht. y ein Plus Ist ein Sonderfall der quadratischen Gleichung a + b + c 0 a, b, c R a 0 ja, b 0 4.) 3,5 0 hat die Lösungsmenge L { 0}. L 0 1, { 0 () } 0 f. A. Achtung!!!!!! Eine quadratische Gleichung hat immer Lösungen. Die hochgestellte Klammer muss gesetzt werden, da Null doppelt gezählt wird. Seite 11

12 1 by Ergänze die leeren Felder : Ist der Ausdruck b^-4ac allgemeinen Formel) (gesucht ist dessen Bezeichnung in der unter der Wurzel in einer quadratischen Gleichung -er wird Diskriminante genannt, negativ, so gibt es keine Lösung in R Eine Doppellösung liegt dann vor, wenn D0 eindeutige Lösungen liegen dann vor, wenn D>0 Seite 1

13 13 by Handelt es sich bei der angegebenen Gleichung nach Vereinfachen und so weit als möglichem Zusammenfassen-um eine quadratische Gleichung?? Falls ja, überprüfe nur, ob die angegebene Lösungsmethode richtig oder falsch ist quadratische Gleichung ja oder nein in w.a. oder f.a. in (Falls keine quadratische Gleichung vorliegt,bleibt dieses Feld leer.gib an,welche Art von Gleichung dann vorliegt) 1.) Zerfällen nein In der Angabe kommt kein Quadrat vor, wird auch nicht multipliziert, es kann keine quadratische Gleichung sein. Lineare Gleichung Sowohl die linke Seite als auch die rechte Seite der linearen Gleichung hebt sich weg. Es bleibt über: 0 0.) , Kleine Lösungsformel ja w. A. 3.) nein Große Lösungsformel eine Gleichung 3.Grades liegt vor. Seite 13

14 14 by 4.) Wurzelziehen nein Sowohl die linke Seite als auch die rechte Seite der Gleichung (samt quadratischen Termen) hebt sich weg. Es bleibt über: 0 0 und damit keine quadratische Gleichung mehr. 5.) 808 Herausheben ja f. A Es ist zwar eine quadratische Gleichung, aber wir können nicht herausheben da b 0 ist hat die Lösungsmenge L { 0}. L 0 1, { 0 () } 0 Achtung!!!!!! Eine quadratische Gleichung hat immer Lösungen. Die hochgestellte Klammer muss gesetzt werden, da Null doppelt gezählt wird. Seite 14

15 15 by ) ( ) ( ) Kleine Lösungsformel nein ( 4 7) ( 4 + 7) BIfo Es bleibt über: 0 0 und damit keine quadratische Gleichung mehr. C by JZ MLeuchtturm 015 Seite 15

16 16 by Theorieteil Die Gleichung + p + q 0 p, q R lösen wir mit der kleinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen Diese lautet + p + q 0 p, q R 1, p ± p q + p + q 0 p, q R 1, p ± p q Steht kein Koeffizient vor dem quadrat, (wir denken uns 1 mal kleine Lösungsformel, primär verwendet. Anwendung : ,5 0 ), wird diese Formel, die Falls ein anderer Koeffizient als 1 sich vor dem befindet, a 1, schreiben wir: b ± b a + b + c 0 a, b, c R a 0 1, a große Lösungsformel an. Anwendung : ac und wir wenden die siehe weiter unten Die Lösungsformeln ausgeführt Seite 16

17 17 by Was sagt die Diskriminante D über die Lösungen einer quadratischen Gleichung aus??? Diskriminante D Ausdruck unter der Wurzel in der quadratischen Lösungsformel 1.) D > 0 eindeutige Lösungen in den reellen Zahlen.) D < 0 keine Lösung in R Ausdruck unter der Wurzel ist negativ Die beiden Lösungen sind keine Elemente aus den reellen Zahlen, sie wären eine komplee Zahl. 3.) D 0 b 4ac Doppelösung inr der eine resultierende Wert wird doppelt Seite 17

18 18 by Keine primär notwendige Anwendung der großen oder kleinen Lösungsformel Wir starten von a + b + c 0 a, b, c R a 0 a + c 0 a,, c R a 0 Solche Gleichungen löst du am besten 1.) durch Hinüberbringen des konstanten Gliedes (der Zahl, die alleine steht), entweder durch die Äquivalenzumformung oder + (und dann noch Dividieren durch die Zahl vor dem Quadrat, dass dieses alleine steht. Dann wird die Wurzel gezogen mit plus/minus 1, ±... Achtung! Eine quadratische Gleichung (die in R lösbar ist) hat immer Lösungen!!! Musterbeispiel: Löse : oder 7 1, ± 7 Seite 18

19 19 by oder.) durch Zerfällen nach der 3.binomischen Formel Musterbeispiel1 Löse ( a b) ( a b) a b + 3.Bifo ( 3 19) ( ) Nach dem Produkt-Null-satz gilt: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren Null ist , ± 19 3 Beachte: Gleichungen der Form (Zahl mal) nicht lösbar. plus Zahl (auch Kommazahl, Bruch) sind Leicht einsehbare Begründung: Ausdruck nicht in Klammern a + b ist keine binomische Formel und deshalb zerfällt der oder Bringen wir die Zahl auf die rechte Seite, haben wir und es gibt ja keine Zahl,deren Quadrat negativ ist!!!! minuszahl denn Minus entsteht nicht durch Multiplikation zweier gleicher Vorzeichen also minus mal minus oder plus mal plus (was ja Quadrat bedeutet Zahl /VZ mal sich selbst) denn minus mal plus ist minus oder plus mal minus ist minus kein doppeltes Vorzeichen!!! Seite 19

20 0 by a + b 0 a,, b R a 0 Solche Gleichungen löst du am besten durch Herausheben und Anwendung des Produkt-Null-Satzes ( ist stets heraushebbar) Musterbeispiel 3: ( 14) 0 7 Herausheben jene Zahl und/oder Variable,die gemeinsam in beiden Gliedern vorkomm(t)(en) ( 14) Anwendung des Produkt-Null-Satzes (siehe Musterbsp.) Vergiss nicht die Lösungsmenge anzuschreiben!!! { 0;14 } L geordnet der Größe nach Seite 0

21 1 by Die Lösungsformeln ausgeführt 1.) kleine Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die Gleichung + p + q 0 p, q R lösen wir mit der kleinen Lösungsformel für quadratische Gleichungen Diese lautet + p + q 0 p, q R 1, p ± p q + p + q 0 p, q R 1, p ± p q Steht kein Koeffizient vor dem quadrat, (wir denken uns 1 mal kleine Lösungsformel, primär verwendet. ), wird diese Formel, die q negativ Ü Löse ,5 0 1.) p + 11 q 30,5 1, ± ( 30,5) Achte auf die Mitnahme des Vorzeichens!!!!!!! Hier ist der Koeffizient p (Zahl vor dem ) positiv plus!!!!!!, und q (die Zahl alleine ) negativ. Achte auf das Minus!!!! wenn q negativ, bedeutet q in der Formel (-30,5) nach Crash regel -> +30,5!!!! Seite 1

22 by 11 ± ( 30,5) ± , + 30,5 Du kannst die Zahl in der Klammer im TR ausrechnen oder nach den Bruchpotenzier-regeln (siehe M Leuchtturm 3.&4.&UE klasse!!) Zähler und Nenner quadrieren und dann ausrechnen Die Diskriminante ist positiv. Es gibt eindeutige Lösungen! 11 1, ± 60,5 5,5 ± 7, ,5 + 7,77817, Lösung 1 5,5 7, ,7817. Lösung Bemerkung ,5 0 rechnest du mit der großen Formel a1 a 1 b + 11 c 30,5 1, 1, 1, 1 ( + 11) ± ( + 11) 4 1 ( 30,5) 1 11± 11 ( 11) beachte : die Klammer 11± , ,7817 wird zu plus aufgelöst!!!!! Seite

23 3 by.) große Lösungsformel Falls ein anderer Koeffizient als 1 sich vor dem befindet, a 1, schreiben wir: b ± b a + b + c 0 a, b, c R a 0 1, a 4ac und wir wenden die große Lösungsformel an. Bsp Achte auf die Mitnahme des Vorzeichens!!!!!!! Hier ist der Koeffizient a (Zahl vor dem ^) positiv plus!!!!!!, b aber negativ (Zahl vor dem ) und c (die Zahl alleine ) auch negativ. Achte auf das Minus!!!! wenn b negativ, bedeutet b in der Formel (-99) nach Crash regel -> +99!!!! Seite 3

24 4 by 1 a 3 1, 1, 1, + 99 ± + 99 ± b 99 ( 99) ± c 17 ( 99) ( 04) beachte : die Klammer wird zu plus aufgelöst!!!!! ( 17) + 99 ± + 99 ± ,05 33, ,05 0, (1 ( 17)) 6. Lösung Die Diskriminante ist positiv. Es gibt eindeutige Lösungen! 1. Lösung Bemerkung: würdest du mit der kleinen Lösungsformel rechnen, must du zuerst die Gleichung durch 3 dividieren! Seite 4

25 5 by Bsp Achte auf die Mitnahme des Vorzeichens!!!!!!! Hier sind alle Koeffizienten (Zahlen vor dem ^, und alleine stehende Zahl) positiv plus!!!!!! a 13 b + 1 c , 1 ± ± Der Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante ist kleiner null. Es gibt keine Lösung in den reellen Zahlen! Seite 5

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Übungen zum Kurs Quadratische Gleichungen

Übungen zum Kurs Quadratische Gleichungen 1. Kapitel (Aufgaben) Wandle die Gleichungen in die Normalform um: 1A) 1B) 1C) + 8+ 6 0 4 + 8+ 16 0 5 + 5+ 5 0 Wandle die Gleichungen in die Normalform bzw. Allgemeine Form um: 1D) ( + )( 5) 0 1E) ( +

Mehr

Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion

Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion Die quadratische Gleichung und die quadratische Funktion 1. Lösen einer quadratischen Gleichung Quadratische Gleichungen heißen alle Gleichungen der Form a x x c = 0, woei a,, c als Parameter elieige reelle

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Aufgabe: Versuche eine Lösung zu den folgenden Zahlenrätseln zu finden:.) Verdoppelt man das Quadrat einer Zahl und addiert, so erhält man 00..) Addiert man zum Quadrat einer Zahl

Mehr

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom

Mehr

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten!

Skript und Aufgabensammlung Terme und Gleichungen Mathefritz Verlag Jörg Christmann Nur zum Privaten Gebrauch! Alle Rechte vorbehalten! Mathefritz 5 Terme und Gleichungen Meine Mathe-Seite im Internet kostenlose Matheaufgaben, Skripte, Mathebücher Lernspiele, Lerntipps, Quiz und noch viel mehr http:// www.mathefritz.de Seite 1 Copyright

Mehr

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert

Download. Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Jens Conrad, Hardy Seifert Download Jens Conrad, Hardy Seifert Mathematik üben Klasse 8 Terme und Gleichungen Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 8 Terme

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Übungsbuch Algebra für Dummies

Übungsbuch Algebra für Dummies ...für Dummies Übungsbuch Algebra für Dummies von Mary Jane Sterling, Alfons Winkelmann 1. Auflage Wiley-VCH Weinheim 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 527 70800 0 Zu Leseprobe

Mehr

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x =

= 26 60 (Hauptnenner) 15x 12x + 10x = 26 60 zusammenfassen 13x = 26 60 :13 (Variable isolieren) x = WERRATALSCHULE HERINGEN KOMPENSATION MATHEMATIK JG. 11 1 Lineare Gleichungen Das Lösen linearer Gleichungen ist eine wichtige Rechenfertigkeit, die immer wieder gefordert wird und für den Mathematikunterricht

Mehr

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung

Werkstatt Euler und die Lösung der quadratischen Gleichung Werkstatt Leonhard Euler und die Lösung der quadratischen Gleichungen Im Jahr 1767 hat der Mathematiker Leonhard Euler (1707 1783) das Buch Vollständige Anleitung zu Algebra im russischen Original veröffentlicht,

Mehr

AUFFRISCHERKURS 2. Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören!

AUFFRISCHERKURS 2. Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören! AUFFRISCHERKURS 2 AUFGABE 1 Kreuze für jede der Zahlen bzw. Rechenausdrücke an, zu welchen der angegebenen Zahlenmengen sie gehören! Zahl keine davon ( ) AUFGABE 2 Löse alle vorhandenen Klammern auf und

Mehr

Rabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2'950.00 Fr. 2'457.35 Fr.

Rabatt und Skonto. Rechnung Computersystem. Bruttopreis Rabatt Nettopreis Skonto Zahlung. 2'950.00 Fr. 2'457.35 Fr. Ratt und Skonto Rechnung Computersystem Computer P7 '650.00 Fr. Drucker XX 300.00 Fr. Total '950.00 Fr. 15% 44.50 Fr. '507.50 Fr. % 50.15 Fr. '457.35 Fr. Bruttopreis Ratt Nettopreis Skonto Zahlung Worterklärungen

Mehr

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen.

Bevor lineare Gleichungen gelöst werden, ein paar wichtige Begriffe, die im Zusammenhang von linearen Gleichungen oft auftauchen. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 13.0.010 Lineare Gleichungen Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable

Mehr

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES

4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4. QUADRATISCHE GLEICHUNGEN, GLEICHUNGEN HÖHEREN GRADES 4.1. Quadratische Gleichungen (a) Definition Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender gerader Zahlen beträgt 808. Wie lauten die beiden

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 1. Semester ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN ARBEITSBLATT 3 RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem Widerspruch mit bisher geltenden

Mehr

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft

Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Berufsbildende Schule 11 der Region Hannover Hinweise zu Anforderungen des Faches Mathematik in Klasse 11 des Beruflichen Gymnasiums Wirtschaft Das folgende Material soll Ihnen helfen sich einen Überblick

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen Ungleichungen. Lineare Gleichungen Sei die Gleichung ax = b gegeben, wobei x die Unbekannte ist a, b reelle Zahlen sind. Diese Gleichung hat als Lösung die einzige reelle Zahl x = b, falls

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1

Didaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

Gleichungen Aufgaben und Lösungen

Gleichungen Aufgaben und Lösungen Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Mathe-Übersicht INHALTSVERZEICHNIS

Mathe-Übersicht INHALTSVERZEICHNIS S. 1/13 Mathe-Übersicht V. 1.1 2004-2012 by Klaus-G. Coracino, Nachhilfe in Berlin, www.coracino.de Hallo, Mathe-Übersicht Diese Datei enthält verschiedene Themen, deren Überschriften im INHALTSVERZEICHNIS

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN

INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN INFOMAPPE ZUM EINSTUFUNGSTEST MATHEMATIK AN DER FOS/BOS MEMMINGEN Liebe Schülerinnen und Schüler, wie schnell man einen bereits einmal gekonnten Stoff wieder vergisst, haben Sie sicherlich bereits schon

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man

Primzahlen zwischen 50 und 60. Primzahlen zwischen 70 und 80. Primzahlen zwischen 10 und 20. Primzahlen zwischen 40 und 50. den Term 2*x nennt man die kleinste Primzahl zwischen 0 und 60 zwischen 0 und 10 zwischen 60 und 70 zwischen 70 und 80 zwischen 80 und 90 zwischen 90 und 100 zwischen 10 und 20 zwischen 20 und 0 zwischen 0 und 40 zwischen 40

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

2 Terme 2.1 Einführung

2 Terme 2.1 Einführung 2 Terme 2.1 Einführung In der Fahrschule lernt man zur Berechnung des Bremsweges (in m) folgende Faustregel: Dividiere die Geschwindigkeit (in km h ) durch 10 und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren.

Komplexe. Zahlen. Ein Leitprogramm in Mathematik. Verfasst von Christina Diehl Marcel Leupp. Du weißt. Instinkt. Bei uns Tigern ist das angeboren. Komplexe Hier ist noch eine Matheaufgabe, die ich nicht lösen kann. Was ist 9+4? Oh, die ist schwer. Dafür brauchst du Analysis und imaginäre Zahlen. Imaginäre Zahlen?! Du weißt schon. Elfzehn, zwölfunddreißig,

Mehr

Rationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen

Rationale Zahlen. Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt.. Setze das richtige Zeichen. a) -3 4 b) - -3

Mehr

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014

Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von 6 16.08.2014 15:04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, 15 19.9.2014 Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik

Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Zur Einstimmung Wir haben die Formel benutzt x m n = x m n nach der eine Exponentialzahl potenziert wird, indem man die Exponenten multipliziert. Dann sollte

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

Aufgabenbeispiele/ Schwerpunkte zur Vorbereitung auf die Eignungsprüfung im Fach Mathematik

Aufgabenbeispiele/ Schwerpunkte zur Vorbereitung auf die Eignungsprüfung im Fach Mathematik Aufgabenbeispiele/ Schwerpunkte zur Vorbereitung auf die Eignungsprüfung im Fach Mathematik. Bruchrechnung (ohne Taschenrechner!!!) a) Mache gleichnamig! 4 und ; und ; 4 7 b) Berechne! 8 7 8 + 4 9 8 4

Mehr

Lernziele Matbu. ch 8

Lernziele Matbu. ch 8 Lernziele Matbu. ch 8 Beachte auch den Refernzrahmen des Stellwerk8 www. stellwerk- check. ch LU Priorität Grobziel (aus Mathbu.ch 8) Lernziele Begriffe 2 1 Mit gebrochenen Zahlen operieren: Gebrochene

Mehr

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen

Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Tage des Unterrichts in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik Rostock 2010 Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock, http://www.math.uni-rostock.de/~sill/

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

3 Berechnungen und Variablen

3 Berechnungen und Variablen 3 Berechnungen und Variablen Du hast Python installiert und weißt, wie man die Python-Shell startet. Jetzt kannst Du etwas damit machen. Wir fangen mit ein paar einfachen Berechnungen an und wenden uns

Mehr

5. bis 10. Klasse. Textaufgaben. Alle Themen Typische Aufgaben

5. bis 10. Klasse. Textaufgaben. Alle Themen Typische Aufgaben Mathematik 5. bis 10. Klasse 150 Textaufgaben Alle Themen Typische Aufgaben 5. bis 10. Klasse 1.3 Rechnen mit ganzen Zahlen 1 25 Erstelle zu den folgenden Zahlenrätseln zunächst einen Rechenausdruck und

Mehr

MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE

MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Europäische Schulen Büro des Generalsekretärs Abteilung für pädagogische Entwicklung Ref.:2010-D-581-de-2 Orig.: EN MATHEMATIKLEHRPLAN 4. SCHULJAHR SEKUNDARSTUFE Kurs 4 Stunden/Woche VOM GEMISCHTER PÄDAGOGISCHER

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Berufsreifeprüfung Studienberechtigung. Mathematik. Einstiegsniveau

Berufsreifeprüfung Studienberechtigung. Mathematik. Einstiegsniveau Berufsreifeprüfung Studienberechtigung Mathematik Einstiegsniveau Zusammenstellung von relevanten Unterstufenthemen, die als Einstiegsniveau für BRP /SBP Kurse Mathematik beherrscht werden sollten. /brp

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Propädeutikum. Wichtige Grundlagen der Mathematik. Stand WS 2011 / 2012. Dörte Fröhlich

Propädeutikum. Wichtige Grundlagen der Mathematik. Stand WS 2011 / 2012. Dörte Fröhlich Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 0 / 0 Dörte Fröhlich Mathe-Grundlagen D. Fröhlich Wichtige Grundlagen der Mathematik Für Ihr Studium und sicher nicht nur für das Fach Wirtschaftsmathematik

Mehr

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches

Komplexe Zahlen. 1) Motivierende Aufgabe. 2) Historisches Annelie Heuser, Jean-Luc Landvogt und Ditlef Meins im 1. Semester Komplexe Zahlen Will man nur addieren und subtrahieren, multiplizieren und dividieren, kommt man uneingeschränkt mit reellen Zahlen aus.

Mehr

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quadratwurzel. Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? 1. Zahlenpartner Quadratwurzel Wie lassen sich die Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995) Variationen: (a) einfachere Zahlen (b) ein weiteres

Mehr

Gleichungen lösen Wie mach ich das?

Gleichungen lösen Wie mach ich das? Gleichungen lösen Wie mach ich das? Wozu ist das gut? Ein alter Bauer sagt: Ich habe einige Hühner und Schafe. Gemeinsam sind wir eine fröhliche achtköpfige Familie mit 24 Füßen. Können wir herausfinden,

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen?

Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen? Modulabschlussprüfung ALGEBRA / GEOMETRIE Lösungsvorschläge zu den Klausuraufgaben Aufgabe 1: Wie lässt sich die Multiplikation von Bruchzahlen im Operatorenmodell und wie im Größenmodell einführen? Im

Mehr

II* III* IV* Niveau das kann ich das kann er/sie. Mein Bericht, Kommentar (Einsatz, Schwierigkeiten, Fortschritte, Zusammenarbeit) Name:... Datum:...

II* III* IV* Niveau das kann ich das kann er/sie. Mein Bericht, Kommentar (Einsatz, Schwierigkeiten, Fortschritte, Zusammenarbeit) Name:... Datum:... Titel MB 7 LU Nr nhaltliche Allg. Buch Arbeitsheft AB V* Mit Kopf, Hand und Taschenrechner MB 7 LU 3 nhaltliche Allg. Buch Arbeitsheft AB einfache Rechnungen im Kopf lösen und den TR sinnvoll einsetzen

Mehr

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen

Mathematische Grundlagen 2. Termrechnen Inhaltsverzeichnis: 2. Termrechnen... 2 2.1. Bedeutung von Termen... 2 2.2. Terme mit Variablen... 4 2.3. Vereinfachen von Termen... 5 2.3.1. Zusammenfassen von gleichartigen Termen... 5 2.3.2. Vereinfachen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

FORMEL EDITOR VON WORD 2007 / EQUATION EDITOR 3.0- EINE EINFÜHRUNG

FORMEL EDITOR VON WORD 2007 / EQUATION EDITOR 3.0- EINE EINFÜHRUNG FORMEL EDITOR VON WORD 2007 / EQUATION EDITOR 3.0- EINE EINFÜHRUNG 1 FORMELN EINGEBEN FORMELFELD ÖFFNEN UND SCHLIEßEN Um eine Formel eingeben zu können öffnen Sie den Formeleditor mit EINFÜGEN / FORMEL

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

WOCHENPLAN MATHEMATIK

WOCHENPLAN MATHEMATIK Wochenplan Übersicht NACHHILFE WINTERTHUR & ÜRICH WOCHENPLAN MATHEMATIK Mathematik Sekundarstufe Woche Thema Unterthema/ Hilfsmittel 1 : Umformen Klammern, Brüche, Potenzen, Variablen Algebra: Gleichungen

Mehr

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Becker I Brucker Erfolg in Mathe 2015 Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Aufgaben 5 1 Algebra.......................................

Mehr

Das Mathematik-Abitur im Saarland

Das Mathematik-Abitur im Saarland Informationen zum Abitur Das Mathematik-Abitur im Saarland Sie können Mathematik im Abitur entweder als grundlegenden Kurs (G-Kurs) oder als erhöhten Kurs (E-Kurs) wählen. Die Bearbeitungszeit für die

Mehr

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Beurteilung Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra

15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra Ma th ef it Wir verwenden hier wxmaxima 0.8.6 und Maxima 5.22.1. Es ist möglich, Teile dieses Kapitels bereits früher bei den entsprechenden Buchabschnitten zu verwenden. Einen ausgezeichneten Online-Lehrgang

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen

Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben Negative Zahlen/Brüche/Prozentrechnen Zusammengestellt von der Fachschaft Mathematik der Kantonsschule Willisau Inhaltsverzeichnis A) Lernziele... 1

Mehr

Mathematik I Prüfung für den Übertritt aus der 9. Klasse

Mathematik I Prüfung für den Übertritt aus der 9. Klasse Aufnahmeprüfung 015 für den Eintritt in das 9. Schuljahr eines Gymnasiums des Kantons Bern Mathematik I Prüfung für den Übertritt aus der 9. Klasse Bitte beachten: - Bearbeitungsdauer: 60 Minuten - Alle

Mehr

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Repetitionsaufgaben: Gleichungssysteme

Repetitionsaufgaben: Gleichungssysteme Repetitionsaufgaben: Gleichungssysteme Zusammengestellt von Roman Oberholzer und Lukas Fischer, KSA Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen.... B) Lernziele.... C) Repetition...... 3. Einführung.... 3. Lösungsverfahren

Mehr

1) Mit welcher Zahl muss 18 multipliziert werden, um 234 zu erhalten? Kontrolliere! 2) Finde die Zahl, mit der 171 multipliziert werden muss, um 4104

1) Mit welcher Zahl muss 18 multipliziert werden, um 234 zu erhalten? Kontrolliere! 2) Finde die Zahl, mit der 171 multipliziert werden muss, um 4104 1) Mit welcher Zahl muss 18 multipliziert werden, um 234 zu erhalten? Kontrolliere! 2) Finde die Zahl, mit der 171 multipliziert werden muss, um 4104 zu erhalten? Probe! 3) Von zwei Zahlen ist die eine

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Mathematikskript Realschule Klasse 10 (Baden-Württemberg) Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 2016 Unterrichtsbegleitung im 10.

Mathematikskript Realschule Klasse 10 (Baden-Württemberg) Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 2016 Unterrichtsbegleitung im 10. Mathematikskript Realschule Klasse 0 (Baden-Württemberg) Vorbereitung Realschulabschlussprüfung 06 Unterrichtsbegleitung im 0. Schuljahr inkl. aller Prüfungsaufgaben von 005-05 Dipl.-Math. Alexander Schwarz

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Algebra in den Jahrgangsstufen 5 bis 8. Lerninhalte Natürliche Zahlen. Lernziele Natürliche Zahlen. Didaktik der Algebra und Gleichungslehre

Algebra in den Jahrgangsstufen 5 bis 8. Lerninhalte Natürliche Zahlen. Lernziele Natürliche Zahlen. Didaktik der Algebra und Gleichungslehre Didaktik der Algebra und Gleichungslehre Algebra in den Jahrgangsstufen 5 bis 8 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Sommersemester 2008 Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe

Mehr

Mathematik. Prüfung zum mittleren Bildungsabschluss 2011. Saarland. Schriftliche Prüfung Pflichtaufgaben. Name: Vorname: Klasse:

Mathematik. Prüfung zum mittleren Bildungsabschluss 2011. Saarland. Schriftliche Prüfung Pflichtaufgaben. Name: Vorname: Klasse: Prüfung zum mittleren Bildungsabschluss 2011 Schriftliche Prüfung Pflichtaufgaben Mathematik Saarland Ministerium für Bildung Name: Vorname: Klasse: Bearbeitungszeit: 120 Minuten Wenn du deine Arbeit abgibst,

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer)

BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Bildungsdirektion des Kantons Zürich Mittelschul- und Bildungsamt BMS Aufnahmeprüfung Jahr 2014 Basierend auf Lehrmittel: Mathematik (Schelldorfer) Fach Mathematik Teil 1 Serie A Dauer 45 Minuten Hilfsmittel

Mehr

Niedersächsisches Kultusministerium. Name: Klasse / Kurs: Schule: Allgemeiner Teil Hauptteil Wahlaufgaben Summe. Mögliche Punkte 28 36 20 84

Niedersächsisches Kultusministerium. Name: Klasse / Kurs: Schule: Allgemeiner Teil Hauptteil Wahlaufgaben Summe. Mögliche Punkte 28 36 20 84 Niedersächsisches Abschlussprüfung zum Erwerb des Sekundarabschlusses I Hauptschulabschluss Schuljahrgang 9, Schuljahr 2012/2013 Mathematik G- und E-Kurs Prüfungstermin 30. April 2013 Name: Klasse / Kurs:

Mehr

Mathematik-Dossier Rechnen mit Zahlvariablen

Mathematik-Dossier Rechnen mit Zahlvariablen Name: Mathematik-Dossier Rechnen mit Zahlvariablen Inhalt: Was bringt Algebra? Bilden und Umformen von Termen in Z Gleichungen Ungleichungen Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung

Mehr

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft.

Was ist Mathematik? Eine Strukturwissenschaft, eine Geisteswissenschaft, aber keine Naturwissenschaft. Vorlesung 1 Einführung 1.1 Praktisches Zeiten: 10:00-12:00 Uhr Vorlesung 12:00-13:00 Uhr Mittagspause 13:00-14:30 Uhr Präsenzübung 14:30-16:00 Uhr Übungsgruppen Material: Papier und Stift wacher Verstand

Mehr

Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 2015 / 2016 Dörte Fröhlich

Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 2015 / 2016 Dörte Fröhlich Propädeutikum Wichtige Grundlagen der Mathematik Stand WS 05 / 06 Dörte Fröhlich Mathe-Grundlagen Dörte Fröhlich Seite Wichtige Grundlagen der Mathematik Für Ihr Studium und sicher nicht nur für das Fach

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Aufgabe 1: Der Weidezaun

Aufgabe 1: Der Weidezaun Aufgabe 1: Der Weidezaun Eine quadratische Viehweide mit der Fläche 870 m² soll eingezäunt werden. Dabei sollen 3 m für ein Tor freigelassen werden. Wie viel Meter Zaun werden benötigt? Informative Figur:

Mehr

4 Rechnen mit rationalen Zahlen

4 Rechnen mit rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen 31 4 Rechnen mit rationalen Zahlen 4.1 Ausgewählte Probleme Zur Bildung des Begriffs der rationalen Zahlen Die Schüler haben negative Zahlen in verschiedenen Erfahrungsbereichen,

Mehr