11. Darstellung von Kurven und Flächen

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1 H.J. Oberle Approximation WS 23/4. Darstellung von Kurven und Flächen Bézier Kurven. Unser Ziel ist es, polynomiale Kurven auf dem Rechner möglichst effizient darzustellen. Hierzu nutzen wir die Basisdarstellung mit Hilfe der Bernstein-Polynome aus; man vergleiche hierzu auch Abschnitt 4. Definition (.) Für n N sind die Bernstein Polynome vom Grad n definiert durch ( ) n B n (t) := t ( t) n, =,,..., n. Satz (.2) Die Bernstein-Polynome erfüllen die folgenden elementaren Eigenschaften a) B n (t) besitzt eine -fache Nullstelle in t = und eine (n )-fache Nullstelle in t =. Ferner hat man die Symmetrie B n (t) = B n n ( t), t R, =,,..., n. b) Die B n (t) sind auf dem Intervall [, ] nichtnegativ und haben in tn := /n ein strites globales Maximum (bezogen auf [, ]). c) Es gelten für t R = B n (t), t = n Bn (t), t 2 = ( ) n (n ) Bn (t). (.3) Insbesondere bilden die B n, =,..., n, eine Zerlegung der Eins. d) Die Bernstein-Polynome lassen sich reursiv über den folgenden Nevilleartigen Algorithmus auswerten B (t) :=, für m =,..., n B m (t) := Bm m (t) :=, B m end m. (t) := t Bm (t) + ( t) Bm (t), =,..., m, (.4) 25

2 e) Weierstraßscher Approximationmssatz: Für f C[, ] onvergieren die Bernstein-Approximationen B n (f)(t) := f( n ) Bn (t), t, für n gleichmäßig auf [, ] gegen die Funtion f. f) Die Bernstein-Polynome (B n,..., B n n) bilden eine Basis des Polynomraums Π n Abb.. Bernstein-Polynome B n für n = 4 und n = Definition (.5) Aufgrund des Satzes (.2) f) hat jedes Polynom p Π n eine eindeutig bestimmte Darstellung als Linearombination der Bernstein Polynome p(t) = a B n (t) (.6) Die Darstellung (.6) heißt die Bézier-Darstellung des Polynoms p. Die Koeffizienten a,..., a n heißen die Bèzier-Punte von p, das Polygon mit den Ecen (/n, a ), =,..., n, heißt das Bézier-Polygon zu p. Bemerung (.7) Für die Ableitung der Bernstein-Polynome ergibt sich aus (.) wobei wie in (.4) B n d d t Bn (t) := n (B n (t) Bn (t)), =,..., n, (.8) Pierre Etienne Bézier (9-999); Paris (t) := B n (t) := gesetzt wird. n 26

3 (/n,a ) p(t) Abb..2 Bézier-Polygon und zugehöriges Polynom Verwendet man die Beziehung (.8) zur Differentiation des Polynoms p(t), so ergibt sich p (t) := n n (a + a ) B n (t). (.9) An dieser Beziehung liest man ab, dass das Bézier-Polynom in den Randpunten t = und t = tangential am Bézier-Polygon verläuft, vgl. Abbildung.2. Weiterhin folgt aus der Bézier-Darstellung (.6) und den Eigenschaften B n(t) sowie n Bn (t) =, dass die Werte p(t) ganz in der onvexen Hülle der Bézier- Punte (a,..., a n ) verlaufen müssen: p(t) conv(a,..., a n ). (.) Bei Kenntnis der Bézier-Punte (a,..., a n ) ist damit der ungefähre Verlauf des Bézier-Polynoms einzuschätzen. Ferner lässt sich durch Veränderung einzelner Bézier-Punte gezielt Einfluß auf den Verlauf des Bézier-Polynoms nehmen. Man nennt die Bézier-Punte daher auch Kontrollpunte. Die genannten Eigenschaften von Bézier-Polynomen lassen sich unmittelbar auf den vetorwertigen Fall einer polynomialen Kurve p(t) R m übertragen. Die Bézier- Darstellung lautet dann p(t) = a B n (t), (.) wobei die Bézier-Punte nun Vetoren a R m sind. Das Bézier-Polygon lässt sich dann als ein Polygonzug im R m interpretieren mit den Ecen (a,..., a n ) und es gelten analog zum salaren Fall: p(t) conv(a,..., a n ). p () (a a ), p () (a n a n ). (.2) 27

4 a 2 a p(t) a a 3 Abb..3 Bézier-Polygon und zugehöriges Polynom im R 2 Der Algorithmus von de Casteljau 2. Der Wert p(t) eines Bézier-Polynoms (.6) lässt sich durch fortgesetzte lineare Interpolationen mit Hilfe eines Neville-artigen Algorithmus berechnen. Der Einfachheit halber betrachten wir hier wieder den salaren Fall und definieren in Verallgemeinerung von (.6) die folgenden Bézier-Polynome a m i (t) := a i+ B m (t), m =,..., n, i =,..., n m. (.3) Offensichtlich sind die a m i (t) Polynome aus Π m. Es gilt a i (t) = a i, i =,..., n, sowie a n (t) = p(t). Satz (.4) Die Bézier-Polynome a m i (t), t, lassen sich wie folgt reursiv berechnen: a i (t) := a i, i =,..., n, a m i (t) := ( t) a m i Damit ist p(t) = a n (t). (t) + t a m (t), m =,..., n, i =,..., n m. i+ Ferner gilt für die Ableitung des Bézier-Polynoms p (t) = n (a n (t) a n (t)). Beweis: Wir verwenden die Reursion (.4) für die Bernstein-Polynome: 2 Paul de Faget de Casteljau (geb. 93 in Besançon); Paris 28

5 a m i (t) = = = t = t a i+ B m (t) ( a i+ t B m (t) + ( t) Bm (t) ) m = t a m i+ a i+ B m (t) + ( t) m m a i++ B m (t) + ( t) (t) + ( t) am (t)). i a i+ B m (t)) a i+ B m (t)) Für die Ableitung des Bézier-Polynoms ergibt sich mit (.9) p (t) = n n (a + a ) B n (t) = n ( a n (t) a n (t) ). Tableau von de Casteljau (.5) a a a 2 a (t) a (t)..... a n (t) a n a n (t)... a n (t) a n (t) Konretes Zahlenbeispiel: (n = 3) p(t) = B(t) B(t) B3(t) 3 + B3(t) 3 = ( t) ( t) 2 t + 9 ( t) t 2 Für t =.4 (also t =.6) erhält man das Tableau: Somit ist p(.4) = 2.88 und p (, 4) = 3 ( ) =

6 Der de Casteljau Algorithmus in (.4) beschreibt in der Tat eine iterierte lineare Interpolation, wobei jeweils zwei bereits onstruierte benachbarte Punte im gleichen Verhältnis t unterteilt werden. a 2 a p(t) a a 3 Abb..4 Konstrution von de Casteljau für t =.4 Iteriert man diese Konstrution, wie in Abb..4 angedeutet, so erhält man einen Punt des Bézier-Polynoms und die Tangente in diesem Punt. Damit hat man nun einen sehr einfaches geometrisches Werzeug, um geeignete Kurven zu onstruieren. Diese Hilfmittel wird vielfach im Computer Aided Geometric Design (CAGD) eingesetzt. Bézier Flächen. Unter einer Parameterdarstellung einer Fläche im R 3 versteht man eine stetig differenzierbare Abbildung Φ : [, ] 2 R 3, (u, v) T x = Φ(u, v). Zur Approximation von Flächen verwendet man häufig omponentenweise und loal Polynomräume in zwei Variablen Π n,m := { p(u, v) = i= j= a ij u i v j : u, v R }. (.6) Offensichtlich ist Π n,m ein (n + ) (m + ) dimensionaler R Vetorraum und man sieht unmittelbar, dass die Produtpolynome eine Basis von Π n,m bilden. B n (u) B m l (v), n, l m, 3

7 Jedes Vetorpolynom p(u, v) R 3 besitzt daher eine eindeutig bestimmte Bézier- Darstellung p(u, v) = a ij Bi n (u) Bj m (v). (.7) i= j= Wiederum heißen die Koeffizienten a ij R 3 die Bézier-Punte von (.7) und die durch die Parameterdarstellung x = p(u, v) definierte Fläche heißt Bézier-Fläche u(x,y) y x.6.8 Abb..5 Biubische Bézier-Fläche im R 3 Die Berechnung der Flächenpunte p(u, v) bei vorgegebenen Parametern (u, v) erfolgt durch iterative Verwendung des Algorithmus von de Casteljau für den eindimensionalen Fall. Dazu schreibt man (.7) wie folgt um p i (v) = a ij Bj m (v), i =,..., n, p(u, v) = j= i= p i (v) B n i (u). (.8) Jeder dieser Ausdrüce ist ein eindimensionales Bézier-Polynom zu den Bézier- Punten a i,... a im, bzw. p (v),... p n (v). Es sind also zur Auswertung von (.7) jeweils (n+2) eindimensionale Bézier-Polynome im R 3 mittels (.4) zu berechnen. Im Folgenden gehen wir noch auf urz auf zwei wichtige Eigenschaften von Bézier- Flächen ein. Konvexe Hüllen Eigenschaft: Es gelten B n i (u) B m j (v) sowie Bi n (u) Bj m (v) =. i= j= 3

8 Damit ist p(u, v) = n i= j= a ij B n i (u) B m j (v) eine Konvexombination der Bézier- Punte a ij. Die Bézier-Fläche x = p(u, v) verläuft also ganz in der onvexen Hülle der Bézier-Punte. Partielle Ableitungen: Analog zum eindimensionalen Fall (vgl. Satz (.4)) lassen sich die partiellen Ableitungen der Bézier-Fläche sehr leicht mit Hilfe des Algorithmus von de Casteljau berechnen. Es gilt nämlich n u p(u, v) = n i= v p(u, v) = m i= (a i+,j a ij ) Bi n (u) Bj m (v) j= m (a i,j+ a ij ) Bi n (u) Bj m (v). j= (.9) Insbesondere lässt sich hiermit ein Einheits-Normalenvetor an die Bézier-Fläche wie folgt berechnen n(u, v) = p u(u, v) p v (u, v) p u (u, v) p v (u, v). (.2) B Spline Kurven und Flächen. Ganz ähnliche Darstellungen und Berechnungsmethoden erhält man, wenn man in den Gleichungen (.) und (.7) die Bernstein-Polynome durch B-Splines zu einem festen Gitter t m < t m+ <... < t <... < t n <... < t n+m ersetzt. Die zu (.) analoge Darstellung lautet dann p(t) = n j= m a j+m B mj (t). (.2) Wieder heißen die a,... a m+n Kontrolpunte (manchmal auch de Boor-Punte) der B-Spline Kurve (.2). Wegen B m,j (t) und n j= m B m,j (t) =, vgl. (5.25) und (5.26), erfüllen B-Spline Kurven (und analog B-Spline Flächen) ebenfalls die Konvexe Hüllen Eigenschaft p(t) conv(a,..., a m+n ). Die einfache Berechnung mit Hilfe des de Casteljau Algorithmus lässt sich ebenfalls auf B-Spline Kurven und Flächen übertragen. Anstelle der Dreiterm-Reursion (.4) für die Bernstein-Polynome verwendet man hierzu die Dreiterm-Reursion (5.23) für die B-Splines. 32

9 Gegenüber den Bézier-Kurven und Fläche haben die B-Spline Kurven und Flächen einen wichtigen Vorteil, der sich aufgrund der ompaten Träger der B-Splines ergibt, vgl. (5.25): Fehler in einem Kontrolpunt a j+m beeinflussen die B-Spline Kurve p(t) nur loal, nämlich im Intervall t j t t j+m+, dem Träger von B m,j. 33