Lineare Iterationsverfahren: Definitionen

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1 Lineare Iterationsverfahren: Definitionen 1. Ein Lösungsverfahren zur Berechnung von Ax = b heißt iterativ, falls ausgehend von einem Startwert x eine Folge x k von Iterierten bestimmt wird. 2. Ein Iterationsverfahren heißt konvergent, falls unabhängig vom Startwert gilt wobei x die exakte Lösung ist. lim k xk = x, 3. Es heißt konsistent, falls aus x k = x folgt, dass x k+1 = x. 4. Es heißt linear, falls x k+1 linear von x k und b abhängt, d. h. es gibt zwei Matrizen M,N R n n mit x k+1 = Mx k +Nb Typeset by FoilTEX 1

2 Lineare Iterationsverfahren Ein allgemeines konsistentes lineares Iterationsverfahren zur Lösung von Ax = b hat die Form x k+1 = Mx k +Nb mit M = (Id NA). Mit der Zerlegung A = L+D +U erhalten wir folgende Verfahren: Jacobi-Verfahren: x k+1 = D 1 (L+U)x k +D 1 b vorwärtiger Gauß Seidel: x k+1 = (D+L) 1 Ux k +(D +L) 1 b rückwärtiger Gauß Seidel: x k+1 = (D +U) 1 Lx k +(D+U) 1 b SOR Verfahren für ω (,2): (D+ωL)x k+1 = ( (1 ω)d ωu ) x k +ωb Typeset by FoilTEX 2

3 Definition: Konvergenzrate und Fehlerreduktion Sei ρ(m) := max{ λ j : λ j EW von M} der Spektralradius der Matrix M. 1. ρ(m) heißt Konvergenzrate 2. It(M) := 1 ln(ρ(m)) definiert ein Maß für die Fehlerreduktion Bemerkung: 1. Je kleiner ρ(m), desto weniger Iterationen werden benötigt, um den Fehler um einen vorgegebenen Faktor zu reduzieren. 2. It(M) gibt an, wieviele Iterationen notwendig sind, um den Fehler um den 1 Faktor ρ(m) zu reduzieren. Folgerung: ρ(m 1 ) = ρ(m 2 ) 2 It(M 1 ) = 1 2 It(M 2) Typeset by FoilTEX 3

4 Historische Bemerkungen C.F. Gauß in einem Brief vom an Gerling: Ich empfehle Ihnen diesen Modus zur Nachahmung. Schwerlich werden Sie je wieder direct eliminieren, wenigstens nicht, wenn Sie mehr als 2 Unbekannte haben. Das indirecte Verfahren lässt sich halb im Schlafe ausführen, oder man kann während desselben an andere Dinge denken. [C.F. Gauß: Werke Bd. 9, S. 28f, Göttingen 193] Block Gauß Seidel Verfahren: ( ) Supplementum theoriae combinationis observationum erroribus minime obnoxiae C.G. Jacobi: 1845 Über eine neue Auflösungsart der bei der Methode der kleinsten Quadrate vorkommenden linearen Gleichungen Typeset by FoilTEX 4

5 Jacobi und Gauß Seidel im Vergleich Ax = b A R n n, b R n, x R n, x R n A = , b = i., x = n , x = n. 1 5 n=1 Fehlernorm Jacobi Gauss Seidel Symm. GS Anzahl der Iterationen Typeset by FoilTEX 5

6 Konvergenz für SOR-Verfahren Für die Matrix M ω des SOR-Verfahrens gilt M ω = (D+ωL) 1( (1 ω)d ωu ). Konvergenz liegt vor, falls für den Spektralradius ρ(m ω ) < 1 < ω < 2 gilt. Der Spektralradius ρ(m ω ) nimmt sein Minimum für den optimalen Dämpfungsparameter 2 ω opt = 1+ 1 ρ 2 J an, wobei ρ J den Spektralradius der Iterationsmatrix M J = D 1 (L+U) des Jacobi-Verfahrens bezeichnet. Dann gilt für die Konvergenzrate Allgemein gilt ρ(m ωopt ) = 1 1 ρ 2 J ρ 2 J ρ(m ω ) = { ω 1 für ωopt ω 2, 1 ω ω2 ρ 2 J +ωρ J 1 ω ω2 ρ 2 J für ω ω opt. Typeset by FoilTEX 6

7 Asymptotische Konvergenzrate für SOR-Verfahren 1 Konvergenzrate ρ ρ J =.3 ρ J =.5 ρ J =.7 ρ J = Dämpfungsparameter ω Typeset by FoilTEX 7

8 SOR für verschiedene Dämpfungsparameter Poisson-Matrix Fehlernorm w =.2 w =.6 w = 1 w = 1.4 w = 1.8 Fehlernorm w =.8 w =.9 w = 1 w = 1.1 w = Anzahl der Iterationen Figure 1: Dämpfungsparameter im Bereich [.2, 1.8] Anzahl der Iterationen Figure 2: Dämpfungsparameter im Bereich [.8, 1.2] Typeset by FoilTEX 8

9 Idee zur adaptiven Berechnung von ω opt 1. Setze ω alt = 1 und wähle einen Startvektor x. 2. Führe k Schritte des SOR-Verfahrens mit ω alt durch. 3. Berechne eine Approximation von ρ(m ω ) mit l 1 3 ρ = l Ax k b / Ax k l b =: S. 4. Falls ρ > ω alt 1 (Wurzelast) berechne β 2 = (S +(ω alt 1)) 2 Sωalt 2, ω neu = 5. Falls ρ ω alt 1 (linearer Ast) berechne 6. Setze x = x k und gehe zu Schritt 2. ω neu = ω alt+2(1+ρ) β 2. Typeset by FoilTEX 9

10 Optimaler Dämpfungsparameter für Poisson Matrix Adaptive Bestimmung für k = 1 Schritte mit ω alt num exact Fehler ω ωopt opt n=3 n=6 n=9 n= Iterationen Adaptive Strategie zur numer. Bestimmung von w opt bei SOR Dämpfungsparameter num numerisches ω opt exact exaktes ω opt Dimension m=n 2 optimaler Dämpfungsparameter für n im Bereich [3, 12] Typeset by FoilTEX 1

11 Iterative Löser bei gut-konditionierten Matrizen Massenmatrix Strukturiertes Gitter auf (,1) 2, Gitterweite h = 1/(N 1), N N, Knoten x ij = (hi,hj), 1 i,j N, Matrixeinträge zu x ij aus 1/36 1/9 1/36 5 Struktur der Matrix 1/9 4/9 1/ /36 1/9 1/ n = 16 = N 2,A R n n Typeset by FoilTEX 11

12 Iterative Löser bei gut-konditionierten Matrizen Massenmatrix.6.5 Zeit, bis Fehler < 1-8 LU (voll) GS Konditionszahl κ 2 (A) Zeit Konditionszahl n n 2 Gut geeignet um große, gut konditionierte, dünnbesetzte Matrizen zu lösen Typeset by FoilTEX 12

13 Iterative Löser bei nicht gut-konditionierten Matrizen Poisson-Matrix.6 Zeit, bis Fehler < 1-8 LU (voll) GS 1 4 Konditionszahl κ 2 (A) Zeit.3.2 Konditionszahl n n 2 Typeset by FoilTEX 13