Kapitel XIV - Anpassungstests

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel XIV - Anpassungstests"

Matilde Rothbauer
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XIV - Anpassungstests Induktive Statistik Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig Senska Carlo Siebenschuh

2 2. Grundannahme: (Verteilungsannahme) Für die den Umweltzustand beschreibende Zufallsvariable Y kann eine Klasse von Wahrscheinlichkeitsverteilungen angegeben werden, der die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y angehört. Sei W die Klasse der Verteilungen, F W die Menge der zugehörigen Verteilungsfunktionen Aufgabe: Überprüfung der Verteilungsannahme Kapitel XIV - Anpassungstests 2

3 Formal: Sei P(F ) die wahre Wahrscheinlichkeitsverteilung (Verteilungsfunktion) der Zufallsvariable Y. Gehört P(F ) der Klasse W der Wahrscheinlichkeitsverteilungen (F W der Verteilungsfunktionen) an? Zwei Entscheidungsmöglichkeiten (ja/nein): Testaufgabe Information: Stichprobenwerte Hypothesen: H 0 : P W (F F W ) gegen H 1 : P / W (F / F W ) Kapitel XIV - Anpassungstests 3

4 Vorgehensweise bei parametrischer Verteilungsannahme: Schätzung des Parameter(vektor)s γ durch einen Schätzwert ˆγ Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung Pˆγ (Verteilungsfunktion Fˆγ ) zum Schätzwert ˆγ Prüfen, ob P = Pˆγ (F = Fˆγ ) mit den Stichprobenwerten vereinbar ist. Dabei ist der Schätzfehler zu berücksichtigen, genauer, dass der Schätzwert selbst zufällig ist. Kapitel XIV - Anpassungstests 4

5 Zunächst vereinfachtes Problem: Prüfung, ob die Verteilung einer Zufallsvariable mit einer vorgegebenen Verteilung übereinstimmt. (W enthält nur ein Element.) Vorteil: Das Schätzproblem und die Berücksichtigung des Schätzfehlers entfällt. Sei P 0 diese Wahrscheinlichkeitsverteilung und F 0 die zugehörige Verteilungsfunktion. Die Hypothesen lauten jetzt: H 0 : P = P 0 (F = F 0 ) gegen H 1 : P P 0 (F F 0 ) Kapitel XIV - Anpassungstests 5

6 Anpassungstests nach Kolmogorow-Smirnow Ansatzpunkt: Hauptsatz der Statistik lim P(sup F emp,n (t) F (t) < ɛ) = 1 n t R Die Empirische Verteilungsfunktion F emp,n und die tatsï 1 2chliche Verteilungsfunktion F weichen für großes n kaum voneinander ab. Kapitel XIV - Anpassungstests 6

7 (x 1, x 2,..., x n ) = x sei das Stichprobenergebnis, k n (x) = supremaler Abstand, F emp,n (t) die zugehörige empirische Verteilungsfunktion. Kapitel XIV - Anpassungstests 7

8 Entscheidungsfunktion: { d0 k δ c (x) = n (x) c k n (x) > c d 1 Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art: P F0 (k n (X ) > c) Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art wird die Verteilung der Zufallsvariablen k n (X ) bei Gültigkeit der Nullhypothese benötigt. Kapitel XIV - Anpassungstests 8

9 Eigenschaft: Die Verteilung der Zufallsvariablen k n (X ) bei Gültigkeit der Nullhypothese stimmt für alle stetigen Verteilungen überein. (k n (X ) ist unabhängig von der Ausgangsverteilung, man sagt k n (X ) ist verteilungsfrei ). Grund: Der Abstand der empirischen Verteilungsfunktion von der theoretischen ändert sich bei einer Transformation bei stetigen Verteilungen nicht. Stetige Verteilungen können ineinander überführt werden. Kapitel XIV - Anpassungstests 9

10 Sei F kn(x )(t) die Verteilungsfunktion von k n (X ) dann gilt P I (δ c, P 0 ) = P P0 (k n (X ) > c) = 1 F kn(x )(c) = α c ist das (1 α)-quantil der Verteilung von k n (X ), welces im Folgenden, z.b. auf Seite 14, als d n,1 α bezeichnet wird. Die Quantile sind für die üblichen Werte von α tabelliert. Kapitel XIV - Anpassungstests 10

11 Beispiel: s. Büning/Trenkler S. 69 Es sei zu testen, ob für einen bestimmten PKW-Typ der Benzinverbrauch in Litern pro 100 km bei einer Geschwindigkeit von 100 km/h normalverteilt ist mit µ = 12 und σ = 1. Eine Stichprobe von 10 Fahrzeugen dieses Typs ergab folgenden Literverbrauch auf 100km: 12.4, 11.8, 12.9, 12.6, 13.0, 12.5, 12.0, 11.5, 13.2, 12.8 Die theoretische Verteilungsfunktion F µ,σ (x) und die empirische Verteilungsfunktion F emp,n (x) sind auf der nächsten Abbildung dargestellt: Kapitel XIV - Anpassungstests 11

12 Fn emp (x) und F N (12,1) (x) = F 0 (x) Kapitel XIV - Anpassungstests 12

13 x (i) F µ,σ unterer Wert oberer Wert Abwei chung Wert der Testgröße ist damit Zum Niveau α = 0.05 ist die Testschranke d 10,0.95 = Die Nullhypothese wird also nicht abgelehnt. Kapitel XIV - Anpassungstests 13

14 Kritische Grenzen beim Kolmogorov - Smirnov - Anpassungstest: (Die Tabelle gibt folgende kritischen Grenze für den Einstichprobentest an: Beim einseitigen Test: d + n;1 α maximal mit P(D n + d+ n;1 α ) 1 α; beim zweiseitigem Test: d n;1 α maximal mit P(D n d n;1 α ) 1 α;) einseitig: d + n;1 α α = α = 0.01 α = α = 0.05 α = 0.1 zweiseitig: d n;1 α α = 0.01 α = 0.02 α = 0.05 α = 0.1 α = 0.2 n = Näherung für n > n n n n n Kapitel XIV - Anpassungstests 14

15 Beim allgemeinen Testproblem H 0 : F F W gegen H 1 : F / F W kann im Fall einer parametrischen Verteilungsannahme als Testgröße verwendet werden. Dabei ist ˆk n (x) = sup F emp,n (t) Fˆγ (t) t Fˆγ (t) der Wert der Verteilungsfunktion bei dem Schätzwert ˆγ des Parameters an der Stelle t. Kapitel XIV - Anpassungstests 15

16 Die Verteilung der zugehörigen Zufallsvariable ˆk n (X ) stimmt aber nicht mit der Verteilung von k n (X ) für wahren Parameter überein. Benutzt man bei der Entscheidungsfunktion { d0 ˆk δ c (x) = n (x) c ˆkn (x) > c d 1 dennoch die Testschranken d n,1 α, so hat der Test eine Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art von weniger als α, (man sagt, der Test ist konservativ). Kapitel XIV - Anpassungstests 16

17 χ 2 -Anpassungstest (für diskrete Verteilungen) Hypothesen: H 0 : P = P 0 gegen H 1 : P P 0 Ansatzpunkt: Vergleich der relativen Häufigkeiten bei den Realisationen (Beobachtungen) mit den Wahrscheinlichkeiten. Kapitel XIV - Anpassungstests 17

18 Voraussetzung: Es gibt Häufungen Wenn nicht: Zusammenfassung von Werten zu Gruppen (gruppierte Daten) bzw. Einteilung des Wertebereichs in Klassen (klassierte Daten) Nachteil: Willkür bei der Gruppenbildung bzw. Klassierung Kapitel XIV - Anpassungstests 18

19 Sei n der Stichprobenumfang und p k Wahrscheinlichkeit für einen Wert α k (in Gruppe k, Klasse k) n p k theoretische Häufigkeit für den Wert α k bei n Wiederholungen des Zufallsexperiments (Beobachtungen) h k (x)(p k (x)) absolute (relative) Häufigkeit der Stichprobenwerte mit Wert α k (in Gruppe k, Klasse k) beim Stichprobenergebnis x Vergleich von absoluten/relativen Häufigkeiten und theoretischen Häufigkeiten mit der Testgröße: χ 2 (x) = K k=1 (h k (x) np k ) 2 np k = n K (p k (x) p k ) 2 Kapitel XIV - Anpassungstests 19 k=1 p k

20 Entscheidungsfunktion: { d0 χ δ c (x) = 2 (x) c χ 2 (x) > c d 1 Ermittlung der Testschranke zu vorgegebenem Niveau: P I (δ c, P 0 ) = P P0 (χ 2 (X ) > c) Benötigt: Verteilung von χ 2 (X ) (schwierig zu berechnen) Kapitel XIV - Anpassungstests 20

21 Satz: χ 2 (X ) ist asymptotisch χ 2 (K 1)-verteilt. Folgerung: Das (1 α)-quantil der χ 2 (K 1)-Verteilung ist eine Approximation der exakten Testschranke. Bemerkung: Um gute Ergebnisse zu erzielen, sollte die Gruppierung bzw. Klassierung so gewählt werden, dass p 1 = p 2 =... = p K = 1/K und K klein gegenüber n ist. Kapitel XIV - Anpassungstests 21

22 Beispiel: (Büning/Trenkler, S. 75) Mit einem Computer werden 500 vierstellige Zufallszahlen erzeugt, die über dem Intervall [0,1] gleichverteilt sein sollen. Die folgende Übersicht zeigt die gewählte Einteilung in K = 10 Klassen mit den absoluten Häufigkeiten h k (x) der in der k-ten Klasse aufgetretenen Zufallszahlen (k = 1,..., 10). Klasse [0.0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) h k (x) Klasse [0.5,0.6) [0.6,0.7) [0.7,0.8) [0.8,0.9) [0.9,1.0) h k (x) Kapitel XIV - Anpassungstests 22

23 Bei Annahme einer Gleichverteilung (Nullhypothese) der Zufallsvariablen sind in jeder der Klassen wegen der insgesamt n = 500 Zufallszahlen genau 50 Zufallszahlen zu erwarten. Testgröße in diesem Beispiel: 7.84 Zum Niveau α = 0.05 wird die Nullhypothese wegen χ 2 (9) 0.95 = nicht abgelehnt. Kapitel XIV - Anpassungstests 23

24 Beim zusammengesetzten Testproblem sind zuerst die Parameter zu schätzen. Die Parameter können dabei aus den Stichprobenergebnissen direkt den gruppierten/klassierten Daten mit Hilfe von... Kapitel XIV - Anpassungstests 24

25 ... GBE-Schätzfunktionen ML-Schätzfunktionen anderen Schätzverfahren geschätzt werden. Kapitel XIV - Anpassungstests 25

Ähnliche Dokumente

Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3

PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Statistik II für Betriebswirte Vorlesung 3 5. November 2013 Beispiel: Aktiensplit (Aczel & Sounderpandan, Aufg. 14-28) Ein Börsenanalyst