Themenkatalog. Mathe-Party Fulda 1 Wintersemester 2016/17

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1 Themenkatalog Mengenlehre Aussagenlogik Relationen Funktionen Vollstänige Inuktion Folgen Reihen Grenzwerte Funktionseigenschaften Differentialrechnung Integralrechnung Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

2 Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

3 Mengenlehre ) Gegeben sei ie Menge A mit allen Natürlichen Zahlen zwischen un, ie urch rei teilbar sin un ie Menge 7;9;;;;;5;6;7;8;9;0. Geben Sie ie Lösungsmenge auf je Varianten an (Aufzählung un Eigenschaften). a) b) c) \ ) \ ) Gegeben sei ie Menge ;;;;5;6;7;8. Bei welchen er gegebenen Zerlegungen hanelt es sich um eine Klasseneinteilung? a) ;5;8;;;;7;5 b) 5;;;;6;7;8; c) ;7;8;;;;5;6 ) Vereinfachen Sie folgenen Ausruck un geben Sie ie angewanten Gesetze an.!!!!!!!"# $ " $"# ) Sei &" ie Potenzmenge von 0;. Die Relation ' &" &" sei efiniert urch *,," ' *, a) Geben Sie ie Menge PX" eplizit an? b) Geben Sie alle Elemente von R an! c) Fertigen Sie eine Skizze an, ie R vollstänig beschreibt! ) Kreuzen Sie einfach an (ausnahmsweise ohne Begrünung): Die Relation R ist refleiv wahr falsch transitiv wahr falsch symmetrisch wahr falsch antisymmetrisch wahr falsch vollstänig wahr falsch ) Ist ie Relation R eine Funktion? (Begrünung) Aussagenlogik 5) Geben Sie zu er gegebenen Aussage ie KNF un DNF an. A( p, q, r) ( r ( p q)) ( r q) 6) Zeigen Sie mittels Verfahren (Wahrheitstabellen, Gesetzen oer Resolution), ass folgene Implikation gilt. A p, q p q p ( ) q Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

4 Relationen 7) Geben Sie ie Eigenschaften er folgenen Relation an: { a, b) ΝΝ a b k; k Ν} ( Ν { 0,,,... }. 8) Geben Sie ie Eigenschaften er folgenen Relation an: ψ { y R R ( ) + ( ) ( y ) + ( y ) }; (, ), y ( y, y ) Funktionen 9) Geben Sie zu en Funktionen eren Definitionsbereich an un bestimmen ie Schnittpunkte an a) " 6" b) 7" 89: 9;< 9 : ;<9 >9 0) Begrünen Sie bei en folgenen Aufgaben, warum es sich um eine Funktion hanelt un welche weiteren Eigenschaften iese besitzt. { α (, y) RR y e ;α Ζ} Vollstänige Inuktion ) Zeigen Sie mittels vollstäniger Inuktion, ass ie folgene Aussage über ie Teilbarkeit gültig ist. 9 B +7;n 0 ist urch 8 teilbar ) Beweisen Sie, ass ie Bernoulli-Ungleichung +R * +*" U ;R N gültig ist. ) Zeigen Sie, ass ie Gleichung X " YRZ [ Folgen [A? \R YRR" YRR!" gültig ist. ) Begrünen Sie mittels Differenz- oer Quotientenmethoe ie Monotonie er gegebenen Folge un beweisen eren Beschränktheit. * U +^A8U ;R >0 5) Untersuchen Sie bei er Folge ie Konvergenz. Berechnen Sie azu ie Monotonie un Schranken un geben en zugehörigen Grenzwert an. * U;? `* U +; *?,5 arb R Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

5 Reihen 6) Untersuchen Sie bei er Reihe ie Konvergenz un bestimmen eren Grenzwert. c " [;? [e8 9 [ X+"! 7) Bestimme Sie bei er folgenen Reihe eren Konvergenzraius. c XU [ ;R N X! [ef 8) Für welche R ist ie folgene Gleichung erfüllt? ch [ i ch [;? 5 i " [ ;R N [e? [ef Grenzwerte 9) Bestimmen Sie ie folgenen Grenzwerte un geben as angewante Verfahren an. a) cos(5π π) lim + b) lim 8 c) lim e ) Berechnen Sie von er gegebenen Folge en Grenzwert für R. Ab welchem Element ist ie Abweichung von iesem Wert kleiner als 0,05? * U 5 +5 ) Bestimmen Sie en folgenen Grenzwert auf zwei Arten. Asymptoten lim m 9 f n 9+ ) Bestimmen Sie as Verhalten er Funktionen an en Grenzen es Definitionsbereichs, interpretieren Sie Ihre Ergebnisse, berechnen Sie ie Schnittpunkte mit en Achsen un fertigen eine grobe Skizze an. a) f ( ) b) g ( ) c) h ) + + ( Mathe-Party Fula 5 Wintersemester 06/7

6 Funktionseigenschaften ) Prüfen Sie für welche Parameter ie folgene Funktion stetig un ifferenzierbar ist. + a + b; f ( ) ( b) + a; < ) Vereinfachen Sie ie folgenen Funktionen mittels er Aitionstheoreme un bestimmen Sie en Wertebereich, as Symmetrieverhalten, beweise ie Perioe. π a) f ( ) sin ( + π ) b) g( ) cos( + c) h ( ) [ cos(,5π ] 5) Prüfen Sie as Symmetrieverhalten er folgenen Funktionen. a) ( ) ( cos( ) ) ln + f b) h + ( ) sin ( ) 5 Ableitungen 6) Bestimmen Sie ie erste Ableitung er folgenen Funktionen. a) f ( ) e b) g( ) 0,5 ( cos() ) c) h( ) 5 ( ) 7) Berechnen Sie von er folgenen Funktion ie Wenepunkte un Etrempunkte. Anwenung er Differentialrechnung 9 f ( ) + + 8) Bestimmen Sie ie Seitenlänge a un b sowie en Flächeninhalt A esjenigen gleichschenkligen Dreiecks, as bei em gegebenen Umfang U 6cm en maimalen Flächeninhalte A hat. 9) Bestimmen Sie ie Gleichung einer ganzrationalen Funktion vom Gra, eren Graph bei einen Tiefpunkt hat un einen Wenepunkt bei Z/ 8 \ hat. Die Tangente im > Wenepunkt hat ie Steigung -. Integrale 0) Berechnen Sie ie folgenen Integrale un klassifizieren es. 0,5 a) ( e ) b) ( 8) 6 + c) ) 0, 5 ( ) α + ) Bestimmen Sie ie Fläche zwischen en gegebenen Funktionen. a) f ( ) + Achse b) f ( ) + 5 g( ) ) Geben Sie ie zugehörige Stammfunktion er gegebenen Funktionen an. a) h ( ) b) + 5 g( ) c) f ( ) sin( ) Mathe-Party Fula 6 Wintersemester 06/7

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8 Mengenlehre ) Gegeben sei ie Menge A mit allen Ganzen Zahlen zwischen - un 7, ie urch teilbar sin un ie Menge ;;;5;7;8;9. Geben Sie ie Lösungsmenge auf je Varianten an (Aufzählung un Eigenschaften). a) A B b) A B c) A/ B ) B / A ) Gegeben sei ie Menge A { T, O, R}. Geben Sie ie zugehörige Potenzmenge P( A) an un geben an, welche er gegebenen Aussagen wahr bzw. falsch sin? a) ROT P(A) b) { } P(A) c) { TR } P(A) ) { T} P(A) e) R P(A) f) { TOR } P(A) g) { TO} P(A) h) { } P(A) i) { } P(A) 5) Vereinfachen Sie folgenen Ausruck un geben Sie ie angewanten Gesetze an. A ( B A) ( A B) ( A B) 6) Berechnen Sie en ggt von 67 un 57 mit Hile es Eukliischen Algorithmus. Aussagenlogik 7) Bestimmen Sie ie Erfüllungsmenge Ε er folgenen Aussagenverbinung. Geben Sie anschließen an, ob es sich um eine Tautologie, Kontingenz bzw. Kontraiktion hanelt. a) A ( p, q, r) p ( q r) ( q r) p b) A( p, q, r) : ( p ( q r)) ( q r) c) A( a, b, c) : a b c a ( b c) 8) Prüfen Sie, ob ie beien Ausrücke A (, y, z) : ( y) ( y) z un A (, y, z) : y z ientisch sin. Begrünen Sie Ihre Lösung, in em Sie ie Gültigkeit urch Herleitung un mit Hilfe er Wahrheitstabelle zeigen. 9) Überführen Sie ie gegebene Aussageform in ie KNF un DNF. Ist Sie kanonisch? A( p, q, r) ( p q) q ( p r) Mathe-Party Fula 8 Wintersemester 06/7

9 Relationen 0) Betrachte ie Menge aller Zahlentripel?, 8, >," p. Welche Eigenschaften besitzt ie Relation Qy y mit, y R? ) Gegeben ist ie folgene Situation: Auf em Alphabet {,, } wir ie Menge L ( ), ie aus allen Strings er Länge mit Symbolen aus besteht, gebilet. Wir efinieren ie Relation R mit ) ( R {(, y) L( L ) un y haben ie selbe Anzahl gleicher Zeichen} Beschreiben Sie ie Menge L ( ) urch Aufzählung ihrer Elemente un beweisen ie Eigenschaften er Relation. Funktionen ) Geben en Definitionsbereich an un berechnen ie Nullstellen er Funktionen. a) f ( ) 7 b) 5 7 g ( ) + + ) Gegeben sin zwei Funktionen R R 8 un 6 R 8 R mit ",+" un 6," 5. Bestimmen Sie ie Kompositionen 6 un 6. Folgen ) Bestimmen Sie mittels Differenz- un Quotientenmethoe ie Monotonie er Folge. * U R ; R 5) Geben Sie von en rekursiven Folgen ie intuitive Darstellung un auch ie eplizite Definition an un beweisen iese. a) * U? r stu ; *?? 8 b) * U * UA? + R+; *? 6) Zeigen Sie: Die Folge an sei rekursiv gegeben mit an + an + ; a für a) Die Folge ist streng monoton wachsen oer fallen. b) Die Folge besitzt eine obere un untere Schranke. c) Die Folge ist konvergent. ) Berechnen Sie en Grenzwert. Vollstänige Inuktion Mathe-Party Fula 9 Wintersemester 06/7 n. 7) Zeigen Sie mittels vollstäniger Inuktion, ass ie folgene Aussage gültig ist. 8) Zeigen Sie, ass R 8 R+5;R > gilt. U;? + >U;? ;R 0 7vw bayh 5 w^7y,* 9) Beweisen Sie, ass ie Gleichung X "?;U" >UA<" richtig ist. 8

10 Reihen 50) Untersuchen Sie bei er Reihe ie Konvergenz un bestimmen eren Grenzwert. c{h 8[ i h 8 X i [e> 5) Bestimme Sie bei er folgenen Reihe eren Konvergenzraius. c}h A[ 9 i [e 8 " [ 5) Für welche R ist ie folgene Gleichung erfüllt? ch [ 7 i ch 8;[ i +" [ [e? [ef Grenzwerte 5) Bestimmen Sie ie folgenen Grenzwerte un geben as angewante Verfahren an. sin( ) cos( ) a) ln( + ln( ) lim b) π cos() lim sin( π) c) lim ;(Arten) 0 + 5) Bestimmen Sie en Grenzwert mittels einer geeigneten Substitution. lim 9 f ~ YRh i 55) Bestimmen Sie en Grenzwert auf zwei Arten. lim h 6 9 < 8 i Asymptoten 56) Bestimmen Sie as Verhalten er Funktionen an en Grenzen es Definitionsbereichs, interpretieren Sie Ihre Ergebnisse, berechnen Sie ie Schnittpunkte mit en Achsen un fertigen eine grobe Skizze an. a) 0 f ( ) b) g ( ) c) h ( ) Mathe-Party Fula 0 Wintersemester 06/7

11 Funktionseigenschaften 57) Überprüfen Sie ob ie gegebene Funktion an er Stelle 0 stetig un ifferenzierbar ist. f ( ) ( ) e 58) Prüfen Sie as Symmetrieverhalten er folgenen Funktionen. 5 f b) h ( ) sin() + a) ( ) ( ) Ableitungen 59) Bestimmen Sie ie erste Ableitung er folgenen Funktionen. ln a) h( ) b) sin( ) g( ) 5 5 cos ( ) c) f ( ) ( ) 60) Berechnen Sie ie Achsenschnittpunkte un geben en Definitionsbereich an. f ( ) + 5 6) Berechnen Sie en Definitionsbereich un ermitteln ggf. ie Ersatzfunktion. Anwenung er Differentialrechnung " > 8 + > ) Bestimmen Sie ie Seitenlänge a un b sowie en Flächeninhalt A esjenigen Rechtecks, as bei em gegebener Diagonalen Länge b 6 en maimalen Flächeninhalte A hat. 6) Bestimmen Sie ie Gleichung einer achsensymmetrischen, ganzrationalen Funktion vom Gra, eren Graph bei eine Wenetangente " hat. Integrale 6) Berechnen Sie ie folgenen Integrale un klassifizieren es. a) sin( ) π 0 b) ( sin( 0,5 )) c) ( ) α ) 65) Bestimmen Sie ie Fläche zwischen en gegebenen Funktionen. a) f ( ) + Achse b) f ( ) 5 g( ) + 66) Geben Sie ie zugehörige Stammfunktion er gegebenen Funktionen an. a) h( ) ln b) ( ) 5 g( ) 5 c) f ( ) e Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

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13 Mengenlehre 67) Gegeben sei ie Menge A mit allen Natürlichen Zahlen kleiner gleich 6, ie urch vier teilbar sin un ie Menge ;;;5;6;7;8;9;0. Geben Sie ie Lösungsmenge auf je Varianten an (Aufzählung un Eigenschaften). b) b) c) \ ) \ 68) Gegeben sei ie Menge *;,;y;b;^;;6;h. Welchen er gegebenen Aussagen bzgl. Element bzw. Teilmenge sin wahr? a) a; g; A b) { b; c }; { g; h} A c) { b; c; } A ) { }; { } A e) { e} ; f } A f) { a; g; { f ;{ e }; { } A g) { }; h A h) { ; f ; c } A i) g; { } A 69) Vereinfachen Sie folgenen Ausruck un geben Sie ie angewanten Gesetze an. ( Y ) X ) Y Y X X 70) Interpretieren Sie ie Zahl 0 als Dual- un Heaezimalzahl. Welchen Wert haben iese Zahlen im Dezimalsystem? Ist iese Abbilung injektiv? Aussagenlogik 7) Geben Sie für ie folgenen beien Schaltungen ie zugehörigen Aussageformeln an un zeigen Sie, ass beie Ausrücke äquivalent zueinaner sin (Begrünung). I. II. y z y z 7) Formen Sie en folgenen Ausruck unter Benennung aller angewanten Gesetze um? F (, y, a, b, c): (( y) ( a b c) (( y) a b c) 7) Bestimmen Sie ie zugehörige KNF un DNF? Relationen A ( p, q, r) p ( q r) ( q r) p! 7) Gegeben sei ie Menge Μ Z f mo0 (geraen, positiven Zahlen). Begrünen Sie alle relevanten Eigenschaften. ˆ;" Μ Μ 8 ; N f Š 75) Bestimmen Sie alle Eigenschaften er Relation auf er Fläche (, y) (, y ) un y y R efiniert urch 76) Betrachten Sie ie Menge,,,,5,6,7,8,9,0 un B0,0,60 Die Relation ' sei efiniert urch *,," R *,. Geben Sie alle Elemente von R an un fertigen eine Skizze an. Welche Eigenschaften besitzt ie Relation? Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

14 Funktionen 77) Geben Sie en Definitionsbereich an un bestimmen ie Schnittpunkte er Funktionen. a) f ( ) ; g( ) b) i ( ) ( 0 ); j( ) + 78) Untersuchen Sie ie gegebenen Relationen auf Funktionseigenschaft un benennen eren Eigenschaften. Machen Sie sie anschließen bijektiv. a)," R R v7r 8 " b)," R R < 9 : AŒ + c)," R R YR # Folgen 79) Bestimmen Sie mittels Differenz- un Quotientenmethoe ie Monotonie er Folge. * U +h U 5 i ; R 0 80) Geben Sie von en rekursiven Folgen ie intuitive Darstellung un auch ie eplizite Definition an un beweisen iese. b) * U;? * U ; *? b) * U ;9;7;5 8) Zeigen Sie: Die Folge an sei rekursiv gegeben mit a n + an + 5; a für e) Die Folge ist streng monoton wachsen oer fallen. f) Die Folge besitzt eine obere un untere Schranke. g) Die Folge ist konvergent. h) Berechnen Sie en Grenzwert. Vollstänige Inuktion n. 8) Zeigen Sie mittels vollstäniger Inuktion, ass ie folgene Aussage gültig ist. 8) Zeigen Sie, ass U >R > ;R 0 gilt. 8U +7;R 0 7vw bayh 8 w^7y,* 8) Beweisen Sie, ass ie folgene Gleichung für ie folgene Prouktreihe richtig ist. h+ X+ i,x > R+ Mathe-Party Fula Wintersemester 06/7

15 Reihen 85) Untersuchen Sie bei er Reihe ie Konvergenz un bestimmen eren Grenzwert. c{ 8[;? [e> X! 86) Bestimme Sie bei er folgenen Reihe eren Konvergenzraius. c X> +" [ 5 [ [ef 87) Für welche w R ist ie folgene Gleichung erfüllt? c}h [ i Ž y vyr"# b [e8 Grenzwerte 88) Bestimmen Sie ie folgenen Grenzwerte un geben as angewante Verfahren an.? a) 6 lim + + sin ( ) sin( ) b) lim 0 cos() c) lim ;Arten ) Berechnen Sie von er gegebenen Folge en Grenzwert für R. Ab welchem Element ist ie Abweichung von iesem Wert kleiner als 0,00? Funktionseigenschaften * U 0, ) Überprüfen Sie ob ie Funktion für alle reellen Zahlen stetig un ifferenzierbar ist. ; > f ( ) + 9; 9) Wie müssen ie beien Parameter a;b N gewählt weren, amit ie Funktion sowohl stetig als auch ifferenzierbar ist? ( ) ; sin π f ( ) a + b; > π 9) Prüfen Sie as Symmetrieverhalten er folgenen Funktionen. 7 a) f ( ) (( ) ( + ) + cos( ) b) h( ) ( ) + (5 ) sin( ) cos( ) Mathe-Party Fula 5 Wintersemester 06/7

16 Asymptoten 9) Bestimmen Sie as Verhalten er Funktionen an en Grenzen es Definitionsbereichs, interpretieren Sie Ihre Ergebnisse, berechnen Sie ie Schnittpunkte mit en Achsen un fertigen eine grobe Skizze an. a) f ( ) b) g ( ) c) + 0 h ) ( Ableitungen 9) Bestimmen Sie ie erste Ableitung er folgenen Funktionen. 5 a) h ( ) b) ( 7) g( ) e c) f ( ) 5 sin( ) ln 95) Berechnen Sie ie Achsenschnittpunkte un geben en Definitionsbereich an. Anwenung er Differentialrechnung f ( ) 9 96) Für eine Bewässerungsanlage soll ein Kanal mit trapezförmingen Querschnitt aus rei gleich großen Betonfertigplatten (Länge 6m) gebaut weren. Wie sin ie Platten anzuornen, ass möglichst viel Wasser transportiert weren kann. 97) Der Graph einer punktsymmetrische, ganzrationalen Funktion vom Gra 5 berührt ie - Achse im Ursprung un hat in Z/ 8 \ einen Wenepunkt.? Integrale 98) Berechnen Sie ie folgenen Integrale un klassifizieren es. a) 9 5 b) ( e ) 0 6 c) α ( ) ) ( ) + 99) Bestimmen Sie ie Fläche zwischen en gegebenen Funktionen. a) f ( ) 8 + Achse b) f ( ) + 0 g( ) 8 00) Geben Sie ie zugehörige Stammfunktion er gegebenen Funktionen an. 5 a) h ( ) ( 5) (8 5) b) g ( ) sin( + π ) c) f ( ) cos( ) sin( + ) Mathe-Party Fula 6 Wintersemester 06/7