Klassische Finanzmathematik (Abschnitt KF.1 )

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1 Die Finanzatheatik ist eine Disziplin der angewandten Matheatik, die sich insbesondere it der Analyse und de Vergleich von Zahlungsströen und die theoretisch Erittlung des Geldwertes von Finanzprodukten. Es gilt folgende grobe Gliederung: lassische Finanzatheatik (F), die sich it Zins, Renten und Tilgungsrechnung befasst. Hier wird in erster Linie diese behandelt. Stochastische Finanzatheatik (SF), die sich it der Theorie der Preise von Wertpapieren i Rahen eines stochastischen Modell des Marktes befasst. F.1 Zinsforen Folgende Bezeichnungen werden konsequent eingehalten: 0 n p i d n für Anfangskapital für Endkapital für Zinssatz (Zinsfuß) in Prozente für Zinsrate als Dezialzahl (interest rate) für Diskontrate für Laufzeit, Zinsperioden Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Zinsen zu berechnen: * Einfache (lineare) Verzinsung: Die Zinsen werden für die gesate Laufzeit berechnet (proportional zur Laufzeit). * Zinseszinsen (exponentielle Verzinsung): Nach jeder Zinsperiode werden die aufgelaufenen Zinsen de apital zugeschlagen und tragen von da an selbst wieder Zinsen. * Nachschüssige (dekursive) Verzinsung: Die Zinsen werden vo Anfangskapital berechnet und de apital a Ende der Laufzeit (bzw. Zinsperiode) zugeschlagen * Vorschüssige (antizipative) Verzinsung: Die Zinsen (Diskont) werden vo Endkapital berechnet und a Beginn der Laufzeit gezahlt. 1

2 F.1.1 Einfache (lineare)verzinsung Nachschüssige Verzinsung In der Regel wird die einfache Verzinsung für Geldströe it weniger als ein Jahr als Laufzeit oder für Anleihen verwendet. Wenn ein Anfangskapital 0 einfach (linear) n Zinsperioden nachschüssig (dekursiv) verzinst wird, dann ergibt sich ein Wertzuwachs und ein Endkapital n geäß folgender Forel : (F1-F1) n = 0 (1 + i n) = 0 q, wobei der Faktor q = 1+ i n auch als Aufzinsfaktor bezeichnet wird. Alternativ kann die Anzahl der Zinsperioden auch it t bezeichnet und es ergibt sich das Endkapital (t) (F1-F1a) (t) = 0 ( 1+ i t) Wenn das Anfangskapital 0 gesucht wird, welches nach n Zinsperioden zu den Endkapital n führt, dann wird dies (Ustellung nach 0 ) it der Forel n (F1-F2) = = n v 1+ i n berechnet, wobei der Faktor 1 v = 1 + i n auch als Abzinsfaktor bezeichnet wird. Man bezeichnet den gesuchten Wert 0 als Barwert oder Gegenwartswert. Das Handelsrecht verlangt für die Bilanzierung in bestiten Fällen eine Abzinsung zur Buchwerterittlung, z.b. für langfristige Rückstellungen (vgl. 253 Abs. 2 Satz 1 HGB). Eine Person A erhält einen redit von für 5 Jahre zu 4 % einfachen Zinsen. Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag? 0 = ; i = 0,04 ; n = 5 ; n =? n = (1 + 0,04 5) = In der Regel werden Zinsen nachschüssig (postnuerando)zugeführt. 2

3 Vorschüssige Verzinsung Werden die Zinsen aus de apital a Ende der Zinsperiode berechnet und a Anfang der Zinsperiode bereits verrechnet, so spricht an von vorschüssiger (prenuerando) oder antizipativer Verzinsung. Diese Art der Verzinsung wird vor alle bei der Wechseldiskontierung angewendet. Mit eine Wechsel verpflichtet an sich, zu eine späteren Zeitpunkt einen bestiten Betrag n zu zahlen. Wenn der Epfänger des Wechsels ihn schon früher einlösen will, erhält er von der Bank den u die Diskontzinsen verinderten Betrag. Die Zinsen betragen n n d, wobei d die Diskontrate ist, so dass der Auszahlungbetrag 0 ist daher Auszahlungbetrag ( 0 )= Endkapital Zinsen vo Endkapital (F1-F3) 0 = nv (1 n d) oder Man spricht auch vo so genanten kaufännischen Diskont oder kurz Bankdiskont. (F1-F3a) nv = (1 n d) 1 Ein Wechsel, der auf den Betrag n = 800 lautet, wird 2 Monate vor seiner Fälligkeit eingelöst. Welche Sue wird ausgezahlt, wenn die Bank d = 6,0 % Diskontzinsen berechnet? 2 = 800 (1 0,06) = Eine Rechnung lautet auf den Betrag 0 = Ein Geschäftsann will sie durch einen Wechsel begleichen, der in 3 Monaten fällig ist. Auf welchen Betrag uss er den Wechsel n ausstellen, wenn 4,0 % Diskontzinsen berechnet werden? 1400 n = = = 1414,14 1 n d 3 1 0, Jeand leiht sich 1000 ein Jahr lang zu Diskontsatz d = 10% aus. Welcher vorschüssige Zinssatz wäre dazu äquivalent? 1000 n n = 1111,11 ; 1,1111 i 0,11 (1 0,1 1) = = = 0 3

4 Das letzte Beispiel zeigt, dass die Diskontrate d ist nicht ier gleich it der noinellen Zinsrate i ist. F.1.2 Exponentielle Verzinsung ( Zinseszinsen ) Wenn zu einen Anfangskapital 0 a Ende jeder Zinsperiode die Zinsen dazugerechnet werden, dann erfolgt eine nachschüssige (postnuerando) Verzinsung, d.h. Endkapital = Anfangskapital + Zinsen auf das Anfangskapital Werden auf das so entstandene Endkapital erneut nachschüssige Zinsen gezahlt, dann ergibt sich eine exponentielle Verzinsung und nach n Zinsperioden folgendes Endkapital: (F1-F4) n = 0 (1 + i ) n = 0 q n wobei der Faktor q = 1+ i auch als Aufzinsfaktor bezeichnet wird. Für die Laufzeit n und die Zinsrate i erfolgen aus (F4): nn ln( ) (F1-F5) n = ln(1 + i) nn i = n 1 0 Wenn das Anfangskapital 0 (Barwert, Gegenwartwert) gesucht wird, welches nach n Zinsperioden it Zinseszinsen zu den Endkapital nn führt, dann wird dies (Ustellung nach 0 ) it der Forel (F1-F6) nn = = n nn v (1 + i) berechnet, wobei der Faktor 1 v = 1 + i auch als Abzinsfaktor bezeichnet wird. n Ein apital 0 von wird für 5 Jahre zu eine Jahreszinssatz von 4 % angelegt. a) Wie hoch ist das Endkapital, wenn jährliche nachschüssige Verzinsung vereinbart wird. 5 = ( 1+ 0,04) 5 = ,79 4

5 b) ) Wie hoch ist das Endkapital, wenn onatliche Verzinsung vereinbart wird. 0, (1 ) = + = ,95 In der Regel werden Zinsen nachschüssig (postnuerando)zugeführt., Wenn es unterschiedliche Zinsraten gibt, dann stellt sich die Frage nach der Effektivzinsrate, die über die Forel (F1-F7) q = q q q = ; i = q 1 Eff 1 2 Eff Eff zu berechnen ist. Das Äquivalenzprinzip der Finanzatheatik Zahlungen dürfen nur dann verglichen, d.h addiert, subtrahiert werden, wenn sie zuvor auf denselben Stichtag auf- oder abgezinst wurden. Beispiel: 1) Für eine Iobilie liegen zwei Angebote vor: A bietet sofort und in 3 Jahren; B bietet je in den ersten 2 Jahren und i 3. Jahr. Welches Angebot ist bei einer Verzinsung von 5 % für den Verkäufer günstiger? Die Veranschaulichung auf den Zeitstrahl: Wir können beispielsweise alle Zahlungen auf das Ende des 3. Jahres aufzinsen: A: , = 33152,50 B: , ,05 = 32287,50 Angebot A ist also für den Verkäufer etwas günstiger 5

6 F.1.3 Unterjährige Verzinsung Wenn die Zinsen für weniger als ein ganzes Jahr erfolgen, dann gibt es eine unterjährige Verzinsung. Sei die Anzahl der Zinsperioden i Jahr. - Die relative Zinsrate definiert als (F1-F8) i r = i - Die konfore (äquivalente) unterjährige Zinsrate i kon ist so definiert, dass sie zu einer jährlichen effektiven Zinsrate i Eff führt, die gleich der jährlichen Zinsrate i ist. (F1-F8) Hinweis: (1 + i ) = 1+ i ; i = (1 + i) 1 ; q = 1+ i kon kon kon Die relative Zinsrate i r sollte in der Regel nicht verwendet werden, weil sie eine höhere effektive Zinsrate ergibt. Beispiel 1: Wenn i = 0,08 und = 4 (vierteljährliche Verzinsung), dann ist 0,08 i 4 r = = 0,02 ; ikon = 1+ 0,08 1 = 0, Aus einer Anlage von 1000 entsteht nach 1,5 Jahre ein Endkapital von 1,5 = ,08 1,5 = 1122,37 berechnet it der jährlichen Zinsrate i = 0,08 6 = ,02 6 = 1126,16 berechnet it der relativen Zinsrate i r = 0,02 6 = , = 1126,37 berechnet it der konforen Zinsrate i kon Es ergeben sich widerspruchsfreie Ergebnisse, nur wenn an den konforen unterjährigen Zinssatz verwendet. F.1.4 onventionen zur Zinsberechnung Für Zinsberechnungen stellt sich allgeein die Frage, wie die Zinsen für eine Periode zu errechnen sind. Die Art dieser Erittlung ist in den einzelnen nationalen Märkten unterschiedlich. Grundsätzlich kann von der folgenden Forel ausgegangen werden: T (F1-F11) Z = i B 6

7 wobei das apital, i die jährliche Zinsrate, T dir Anzahl der Tage und B die Berechnungsbasis, d.h. die Anzahl der Tage eines Jahres, sind. Für die Berechnung von T, d.h. die Anzahl der verstrichenen Tage, gibt es folgende konventionell festgelegte Arten: ACT-Methode, d.h. es werden die tatsächlich verstrichenen Tage gezählt. Zinsperiode 1.01 bis T = 30 ; Zinsperiode 1.01 bis 1.02 T = Methode: Jeder Monat wird it 30 Tagen gerechnet. Zinsperiode 1.01 bis T = 29 ; Zinsperiode 1.01 bis T = 30 30E-Methode: Jeder Monat wird it 30 Tagen gerechnet. Der 31. eines Monats wird it de 30. gleichgesetzt.. Zinsperiode 1.01 bis T = 29 ; Zinsperiode 1.01 bis 1.02 T = 30 Die 30E Methode ist a Euroarkt und in auch in einigen anderen kontinentaleuropäischen Märkten üblich. Für die Berechnungsbasis (B) gibt es auch drei gebräuchliche Methoden. 360-Methode: Das Jahr wird it 360 Tagen gerechnet. 365-Methode: Das Jahr wird it 365 Tagen gerechnet. ACT-Methode: I Geldarkt ist die ACT-Methode auch als ISDA-Methode bezeichnet. Gerechnet wird it der Anzahl der tatsächlichen Jahrestage (Schaltjahr 366, norales Jahr 365). I Anleihearkt ist due ACT-Methode als ISMA-Methode bezeichnet. F.1.5 Stetige Verzinsung Wenn die noinelle Zinsrate i stetige Werte annit, dann sind der effektive Aufzinsfaktor q eff das Endkapital n und der Barwert durch (F1-F12) q eff = e i n = 0 e in 0 = n e -in gegeben, wobei e die Eulersche Zahl ist. 7

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