Praktikum Schwingungsanalyse

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1 Praktikum Schwingungsanalyse (Stand: Wintersemester 2017/18) Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA

2 2 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

3 Herzlich willkommen zum Praktikum Schwingungsanalyse! Auf der Webseite finden Sie (noch einmal) das Skript und Ihre Messdaten für die Praktikumsauswertung. Bitte drucken Sie sich das Skript in DIN A4 (eine Seite je Blatt) zweiseitig aus und heften dies in einem Ordner ab, so dass Sie in der Lage sind weitere Zwischenblätter mit Ergänzungen und Anmerkungen einzufügen. Dieses Praktikum basiert auf unterschiedlichen Literaturquellen. Eine Auswahl finden Sie in der Literaturliste. Bitte bereiten Sie sich auf das Praktikum durch Studium dieses Skriptes vor. Für das Praktikum gibt es eine Eingangsprüfung. Hierzu werden Ihnen zwei Fragen aus dem Fragenkatalog gestellt. Im Anschluss an das Praktikum führen Sie eine Auswertung der Messdaten durch und erstellen einen kurzen (maximal 5 DIN A4 Blätter) Messbericht. Hierzu erhalten Sie im Praktikum die Aufgabenstellung. Schalten Sie bitte während des Praktikums alles ab was Sie in der Aufmerksamkeit stören könnte. Bitte keine Handys oder anderweitige elektronischen Geräte, kein Facebook, kein twitter, keine Telefonate, Sollte die Nutzung der sozialen Medien während des Praktikums überhand nehmen, werden die betreffenden Personen gebeten das Praktikum zu verlassen. Haben Sie Fragen, dann stellen Sie diese bitte laut. Dann haben alle anderen Vorlesungsteilnehmer auch etwas davon und nicht nur Ihre Nachbarschaft. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 3

4 Inhalt 1. Fragenkatalog GRUNDLAGEN 2. Schwingungen messen Messkette Sensoren Anbringung und Position Impedanzwandler und Messverstärker Datenerfassung Kabel IEPE Kennwerte und Umrechnungen 3. Schwingungsanalyse - Zeitsignal Zeitsignaldarstellung Pegel(Verlauf) Gestalten und anwenden von Filter Abklingendes Zeitsignal Moduliertes Zeitsignal 4. Schwingungsanalyse - Transformation in den Frequenzbereich DFT / FFT - Grundlagen FFT in der praktischen Anwendung 5. Literatur 6. Schwingungsanalyse mit MATLAB BEISPIELE 7. Anwendungsbeispiel - Spieluhren 8. Anwendungsbeispiel - Kennwerte Beschleunigungsaufnehmer 9. Anwendungsbeispiel - Abgasanlage 10. Anwendungsbeispiel - Getriebe 11. Anwendungsbeispiel - Impulshammer-Messung / Übertragungsfunktionen 12. Anwendungsbeispiel - Schwingungstilger 13. Anwendungsbeispiel - Elektromotor 4 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

5 1. Fragenkatalog Für die Eingangsprüfung zum Praktikum Schwingungsanalyse werden Ihnen zwei Fragen aus diesem Fragenkatalog gestellt. Was bewirkt das Tiefpass-Filter in der Messkette? Wie errechnet sich aus dem gemessenen Spannungswert die physikalische Größe des Messwerts? Welche Position innerhalb einer Schwingform eines Objekts ist am geeignetsten für die Platzierung eines Schwingungssensors? Was ist ein Impedanzwandler? Was ist ein Messverstärker? Was wird durch IEPE beschrieben? Wie lautet das Grundgesetz der Nachrichtentechnik? Wofür steht RMS? Was versteht man unter Dezibel? Was sind Terzen? Was versteht man unter einem modulierten Zeitsignal? Womit wird in der Schwingungsanalyse üblicherweise die Transformation des Zeitsignals in den Frequenzbereich durchgeführt? Welche Annahme liegt der FFT zugrunde? Wie ist der Zusammenhang zwischen Frequenz- und Zeitauflösung der FFT? Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 5

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7 2. Schwingungen messen Zur Messung von Schwingungen ist eine geeignete Messkette erforderlich. Diese besteht aus einem oder mehreren Sensoren, Vorverstärker (Impedanzwandler), Messverstärker und einer Signalerfassung. 2.1 Messkette, [Bild 2-01] Schematische Darstellung einer Messkette Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 7

8 2.2 Sensoren Geeignet für eine Schwingungsanalyse sind alle Sensoren, die physikalische Größen erfassen und über einen definierten Frequenzbereich mit einem nachprüfbaren Übertragungsfaktor spezifiziert sind. Aus dem Datenblatt des Sensors muss erkennbar sein, welchen Übertragungswert und bis zu welchem Frequenzbereich der Sensor einsetzbar ist. Sensoren beeinflussen aufgrund ihrer Masse und Geometrie das Ergebnis von Schwingungsanalysen. Bei Messungen außerhalb der üblichen Labortemperatur muss auch der Temperaturbereich des Sensors beachtet werden. Eventuell sind Korrekturen im Übertragungswert durchzuführen bzw. ist der Sensor für die Messtemperatur ungeeignet. [Bild 2-02] Kalibrierzertifikat (Auszug) eines 1/4 Mikrofons (Schwingungssensor für Luftdruck = Schalldruck) Quelle: Microtech Gefell GmbH [Bild 2-03] Kalibrierzertifikat eines B&K Beschleunigungsaufnehmers aus dem Jahr 1970 (der Beschleunigungsaufnehmer ist noch immer im Einsatz) 8 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

9 2.3 Anbringung und Position Mit Ausnahme des Laservibrometers und den Schalldrucksensoren (Mikrofone) werden Sensoren auf das zu analysierende Objekt aufgebracht. Dabei ist auf eine optimale Schwingungsübertragung zu achten. Neben der Oberfläche und Steifigkeit des Montagepunkts hat die Verbindungstechnik ebenso einen Einflus auf dass Messergebnis. Im Wesentlichen ist dies die maximal mögliche Analysefrequenz. Verbindungstechnik Tastspitze Kleben (Klebstoff bzw. Wachs) Magnet Schraube Isolierflansch typ. max. Analysefrequenz ca. 1,5 Hz 300 Hz (X60 große Klebefuge)... ca. 7 khz (Wachs, Cyanacrylate) khz ca. 8 khz 5 khz Neben der Anbringung hat auch die Position des Sensors auf dem Messobjekt einen großen Einfluss auf das Messergebnis. Optimal positioniert ist ein Sensor dann, wenn das Mess-Signal hohe Werte liefert. Dies ist dann der Fall, wenn der Sensor auf den Schwingungsbauch und nicht im Schwingungsknoten positioniert wird. Schwingungsbauch und Schwingungsknoten sind jedoch struktur- und frequenzabhängig. Woraus folgt, dass oft eine Voranalyse (FEM, Schwingungsanalyse,..., Modalanalyse) sowie mehrere Sensoren erforderlich sind. In der Praxis hat auch die Erreichbarkeit eines Messpunktes, Kabelverlegung etc. einen Einfluss auf den gewählten Messpunkt. Das zeigt auch, dass eine Schwingungsanalyse Zeit benötigt - eine weitere Interpretation des 1. Grundgesetzes der Nachrichtentechnik, wonach zu einem Zeitpunkt keine Signalanalyse möglich ist. Schwingungsbauch Schwingungsknoten [Bild 2-04] Schwingform eines Biegebalkens mit Schwingungsbauch und Schwingungsknoten 2.4 Impedanzwandler und Messverstärker Je nach Aufbau des Sensors (z.b. Piezoressistiv, Ladung, Kondensator) benötigt die Messkette zur elektrischen Stabilisierung des Mess-Signals einen Impedanzwandler. Nur dadurch wird ermöglicht, dass die - wenn auch minimalen - Ströme den Sensor nicht derart belasten, dass das Spannungssignal zusammenbricht und dadurch ein falsches bzw. kein Mess-Signal liefert. Messverstärker verstärken das Mess-Signal damit dieses ohne Verluste und mit geringerem Störeinfluss über Kabel an die Datenerfassung angeschlossen werden können. Mess-Signale sollten möglichst auf hohe Spannungswerte verstärkt werden. Je höher das Nutzsignal desto niedriger der Störeinfluss durch äußere elektromagnetische Störungen. Impedanzwandler und Messverstärker sollten möglichst nahe mit kurzen Kabellängen am Sensor angebracht sein. Dadurch wird der Störeinfluss elektromagnetischer Strahlung minimiert. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 9

10 2.5 Datenerfassung Nachdem der physikalische Messwert über Impedanzwandlung und Verstärkung zu einem messfähigen Spannungswert gewandelt wurde, kann er nun über die Datenerfassung zu Messwerten überführt werden. Es liegt auf der Hand, dass die Datenerfassung für eine Schwingungsanalyse viele Messdaten je Sekunde generieren muss, damit die jeweiligen Frequenzen analysiert werden können. Vor der tatsächlichen Analog-Digital-Wandlung muss jedoch sichergestellt werden, dass nur jene Signalanteile digitalisiert werden, die für die spätere Signalanalyse nötig sind. Hierzu sind die beiden Filter in der Messkette verantwortlich. Das Hochpass-Filter entfernt den Gleichspannungsanteil und das Tiefpass-Filter entfernt jene Signalanteile die sich oberhalb der Abtastfrequenz befinden (näheres hierzu im Kapitel Abtasttheorem). Beide Filter müssen im analogen Teil der Messkette realisiert sein, sonst haben sie für die Digitalisierung keine Wirkung. Für das Hochpass-Filter, welches meist bereits im Messverstärker vorhanden ist, haben sich die Eckfrequenzen 0,1; 0,2; 0,5; 1; 2 und 10 Hz bewährt. Das Tiefpass-Filter steht im direkten Zusammenhang mit der tatsächlich genutzten Abtastrate. Es befindet sich im Analogteil des A/D-Wandlers. Die Eckfrequenz muss so bemessen sein, dass diese nicht wesentlich höher liegt als die gerade verwendete Abtastfrequenz. Ist dies nicht der Fall, kommt es zu scheinbaren tieffrequenten Signalanteilen, die jedoch tatsächlich nicht vorhanden sind. Abtastraten bis zu 192 khz bei 24 Bit Signalauflösung sind üblich. Das führt zu erheblichen Datenströmen. Eine Messung mit 10 Messpunkten (3-Achs-Sensoren) über 60 Sekunden in einem üblichen Frequenzbereich (12,5 khz) ergibt Messwerte (zu je drei Byte) je Sekunde, einen Datensatz von 172,8 MByte mit einem Datenstrom von 2,9 MByte/Sekunde (entspricht ca. 23 MBit/Sekunde). 2.6 Kabel Wie unter [Bild 2-01] ersichtlich, werden für die Messkette mindestens ein, oft jedoch mehrere (Mess)Kabel benötigt. Die in der Messtechnik übliche symmetrische Verkabelung mit Koax-Kabel (BNC und Co.) weist mehrere erhebliche Nachteile gegenüber der asymmetrischen Verkabelung (XLR) in der Audio-Technik auf. 1. Wird die Schirmung mit dem Nullpunkt (Masse) gekoppelt, führt das dazu, dass bei ungeschickter Verlegung, ggf. fehlendem Masseausgleich von Messobjekt und Messgerät, es zu einem Netzbrummen kommt. Hier wird in der Schwingungsanalyse bei 50 Hz ein Messwert sichtbar, der real nicht existiert. 2. Es werden oft sehr kleine und mechanisch schwache Stecker verwendet, die vollkommen unbemerkt keine einwandfreie Signal- und Masseverbindung herstellen. 3. Es ist zwar von Vorteil für die Baugröße des A/D-Wandlers, wenn je Mess-Signal lediglich ein PIN benötigt wird und der Nullpunkt den gemeinsame Masse/Schirm der Verkabelung darstellt. So werden jedoch alle Störungen, die die Schirmung nicht abfangen kann, in der Signalleitung und damit in der Messung sichtbar. Dies ist bei einer asymmetrischen Verkabelung, bei der immer der Spannungswert zwischen Signalleitung und Masseleitung gemessen wird, nicht der Fall, denn dort befindet sich die Störung auf Signalleitung und Masseleitung gleichermaßen. Besonders kritisch gegen Störeinflüsse ist die Verkabelung von piezoresistiven Aufnehmern bis zum Impedanzwandler. Dieses Kabel verändert seine elektrische Kapazität bei Bewegung. Zudem ist der Impedanzwandler aufgrund der minimalen effektiven Spannungsänderungen sehr sensitiv gegenüber Störeinstrahlung über die Abschirmung des Kabels. 10 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

11 2.7 IEPE Die Abkürzung IEPE steht für Integrated Electronics Piezo Electric. Hiermit wird ein Industriestandard für piezoelektrische Sensoren bezeichnet, die mit eingebauter Impedanzwandler-Elektronik versehen sind. Dabei kann es sich um Beschleunigungs-, Kraft- und Drucksensoren handeln. Auch für Messmikrofone wird der IEPE-Standard angewandt. Bei den Produktbezeichnungen ICP, CCLD, u.a. produktspezifische, teilweise markengeschützte Bezeichnungen, handelt es sich um solche Sensorelektronik. Die IEPE-Sensorelektronik wandelt das Signal des piezoelektrischen Sensors in ein Spannungssignal mit einer geringen Impedanz von etwa 100 Ω. Ein niederimpedantes Sensorsignal ist vorteilhaft, weil es sich verlustarm über lange Leitungen übertragen lässt. Außerdem kann auf die bei piezoelektrischen Sensoren sonst erforderlichen störarmen Spezialkabel verzichtet werden. Die Sensorelektronik wird mit einem Konstantstrom versorgt, der zwischen 2 und 20 ma liegt. Die Besonderheit des IEPE-Prinzips liegt darin, dass der Versorgungsstrom und das Sensorsignal gemeinsam über ein einfaches Koaxialkabel übertragen werden. Über dem Sensor bildet sich bei Speisung mit Konstantstrom eine positive Arbeitspunktspannung. Das eigentliche Mess-Signal des Sensors überlagert sich als Wechselspannung mit dieser Arbeitspunktspannung. 2.7 Kennwerte und Umrechnungen Am Analog-Digital-Wandler des Mess-Systems liegt eine Spannung an. Die Messwerte der Datenerfassung werden demnach als Spannungswerte erfasst. Um nun auf den physikalischen Messwert zu kommen sind Umrechnungen erforderlich. In diesem Zusammenhang tritt der Begriff EU (Engineering Unit) auf. Unter Engineering Unit wird die Einheit aus dem ISO-Einheiten-System verstanden, die der physikalischen Größe zugeordnet ist. Zum Beispiel s der Größe Zeit, m der Größe Länge, usw. Für Beschleunigung ist dies m/s2, für Geschwindigkeit (auch Schwinggeschwindigkeit) m/s und für den Weg m. Kennwerte von Sensoren, Impedanzwandler und Messverstärker: Sensoren: mv/eu; pc (1) /EU Impedanzwandler: mv/pc Messverstärker: Verstärkungsfaktor, Verstärkungsfaktor db (2) Sensoren, Impedanzwandler und Messverstärker weisen als weiteren Kennwert den (Arbeits)Frequenzbereich auf, innnerhalb dessen ein lineares - immer proportionales - Übertragungsverhalten vorliegt. Grundsätzlich ist ein lineares Übertragungsverhalten innerhalb der Messkette nicht zwingend erforderlich. Ein nichtlineares Übertragunsgverhalten einzelner bis aller Komponenten der Messkette kann über ein Korrekturkenfeld (Entzerrung) prinzipiell ausgeglichen werden. Dies verkompliziert jedoch den Umgang mit den original Messwerten (Rohdaten). Allerdings stößt die Korrekturmöglichkeit nichtlinearer Messketten innerhalb der Messdynamik an seine Grenzen. Berechnung der physikalischen Messgröße am Beispiel eines piezeoresitiven Sensors: pc (1) : db (2) : Picocoulomb, ISO-Einheit für Ladung Dezibel, Kennzeichnung des dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier gleichartiger Energie- bzw. Leistungsgrößen Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 11

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13 3. Schwingungsanalyse - Zeitsignal 3.1 Zeitsignaldarstellung [Bild 3-01] Zeitsignaldarstellung eines 12,5 Hz Signals (Zeitachse 10s, Amplitudenachse 3 [EU]). Bei einer Abtastfrequenz von 20 khz sind hierfür Messwerten erforderlich. [Bild 3-02] Zeitsignal wie in [Bild 3-01] jedoch mit stark schwankender Amplitude. Grundgesetz der Nachrichtentechnik: Zu einem Zeitpunkt ist keine Signalanalyse möglich. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 13

14 3.2 Pegel(verlauf) Bei der Darstellung des Pegelverlaufs wird i.d.r. der Effektivwert des zu bewertenden Signals betrachtet. Unter dem Effektivwert versteht man in der Elektrotechnik den quadratischen Mittelwert einer zeitlich veränderlichen physikalischen Größe. Vorzugsweise wird der Begriff auf Wechselgrößen angewandt, allgemein auf Größen mit stationärem Verlauf. Der Effektivwert hängt sowohl vom Scheitelwert als auch von der Kurvenform ab. In der englischen Sprache wird der Effektivwert mit RMS (Abkürzung für Root Mean Square, Quadratisches Mittel) bezeichnet. [Bild 3-03] Eine sinusförmige Wechselsgröße. (hier eine Spannung) 1 = Scheitelwert (Amplitude), 2 = Spitze-Spitze(Tal)-Wert, 3 = Effektivwert, 4 = Periodendauer [F3-01] Die Schreibweise verdeutlicht die Merkregel, die in der englischen Bezeichnung root mean square steckt: Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats. Lässt sich der Verlauf des Signals u(t) nicht als Funktion angeben, kann man zur Berechnung des Effektivwertes ein Näherungsverfahren mit abgetasteten Messwerten anwenden. Mit in der Zeit T erfassten n Werten, so dass T zur Summe von t wird. Bei konstanten Abständen t vereinfacht sich das zu T=n * t und der Effektivwert rechnet sich zu [F3-02] Für sinusförmige Signale gilt [F3-03] 14 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

15 [Bild 3-04] Signalverlauf einer 12,5 Hz Schwingung als Zeitsignal und RMS-W [Bild 3-05] Signalverlauf einer Messung mit Beschleunigungsaufnehmer an einem Elektromotor, Abtastrate 48 khz [Bild 3-05] zeigt, dass eine Darstellung des Zeitsignals bei hohen Abtastraten keinen hohen Informationsgehalt aufweist. Die Kurve mit den RMS-Werten (T=100mS) weist überraschend niedrige Werte auf. Erst die verbesserte Auflösung der Zeitachse zeigt, dass es aufgrund der hohen Datendichte zu einer optischen Täuschung gekommen ist. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 15

16 Messwete RMS 100 ms Signalwert Zeit [Bild 3-06] Signalverlauf einer Messung mit Beschleunigungsaufnehmer an einem Elektromotor, Abtastrate 48 khz Zeitausschnitt 1 bis 1,05 [Bild 3-07] Demo-Stab Signalverlauf über 25 Sekunden 16 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

17 Dezibel (0 + 0 = 3) Pegeldarstellungen erfolgen oft in Dezibel (db). Das Bel ist eine nach Alexander Graham Bell benannte Hilfsmaßeinheit zur Kennzeichnung von Pegeln. Das Bel findet seine Anwendung u. a. in der Elektrotechnik für Dämpfung und in der Akustik. In der Regel wird statt des Bels das Dezibel (Einheitenzeichen db) verwendet, also der zehnte Teil eines Bels. Das Bel dient zur Kennzeichnung des dekadischen Logarithmus des Verhältnisses zweier gleichartiger Energie- bzw. Leistungsgrößen P 1 und P 2. [F 3-03] Für Q (P) ergibt sich beispielsweise der Wert 1 B, wenn das Leistungsverhältnis P 1 /P 2 = 10 ist. Das gebräuchlichere Dezibel wird mit Hilfe des Einheitenvorsatzes Dezi (Vorsatzzeichen d) gebildet. [F 3-04] In linearen Systemen verhalten sich die Leistungsgrößen P proportional zu den Quadraten der Effektivwerte von einwirkenden Feldgrößen F (z. B. elektrische Spannung, Schalldruck). [F 3-05] Soll von Feldgrößen ausgehend ein Pegel berechnet werden, so gilt damit: [F 3-06] Einheiten Bedeutung Schreibweise gem. DIN, IEC, ISO dbu dbv dba dbm dbw dbµ Spannungspegel mit der Bezugsgröße 0,7746 V Spannungspegel mit der Bezugsgröße 1 V A-bewerteter Schalldruckpegel / Schallleistungspegel Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 mw Leistungspegel mit der Bezugsgröße 1 W Pegel der elektrischen Feldstärke mit der Bezugsgröße 1 µv/m Lu (re 0,775 V) =... db LV (re 1 V) =... db LPA (re 20 µpa) =... db LWA (re 1 pw) =... db LP (re 1 mw) =... db LP (re 1 W) =... db LE (re 1 µv/m) =... db [Bild 3-08] Tabelle der genormten db-einheiten Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 17

18 3.3 Gestalten und anwenden von Filter Hochpass-Filter (Tiefensperre, low-cut filter, high-pass filter, Trittschallfilter, Bass-Cut-Filter) [Bild 3-09] Schaltzeichen für Hochpass-Filter Als Hochpass-Filter bezeichnet man Filter, die Frequenzen oberhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen und tiefere Frequenzen dämpfen. Gebräuchlich sind solche Filter in der Elektronik, entsprechende Filterfunktionen werden aber auch in anderen Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik, Hydraulik oder Elektrotechnik genutzt. [Bild 3-10] Qualitativer Verlauf eines Hochpassfilters 1. und 2. Ordnung Quelle: wikipedia.de Tiefpass-Filter (Höhensperre, Höhenfilter, Treble-Cut-Filter, High-Cut-Filter, Rauschfilter) [Bild 3-11] Schaltzeichen für Tiefpassfilter Als Tiefpass-Filter bezeichnet man die Signalanteile mit Frequenzen unterhalb ihrer Grenzfrequenz annähernd ungeschwächt passieren lassen, Anteile mit höheren Frequenzen dagegen dämpfen. Entsprechende Filterfunktionen können in Bereichen, wie zum Beispiel Mechanik, Akustik oder Hydraulik vorkommen. Auch jede Art von mechanischer Trägheit wirkt sich tiefpassbildend aus. Mit der Abschwächung verbunden ist eine Zeitverzögerung, durch die sich bei sinusförmigem Signalverlauf der Phasenwinkel verschiebt. Tiefpass-Filter können verschiedenartig realisiert werden. Im Rahmen der Elektronik sind passive analoge Tiefpässe üblich, die aus Widerständen, Spulen und Kondensatoren bestehen. Durch schaltungstechnische Erweiterungen um aktive Bauelemente wie Operationsverstärker oder Transistoren, können aktive analoge Tiefpässe realisiert werden. Eine weitere Variation besteht im Rahmen der digitalen Signalverarbeitung als zeitdiskretes Tiefpassfilter in Filterstrukturen wie dem FIR- oder IIR-Filter. Die Realisierung kann in digitalen Schaltungen wie FPGAs oder mittels sequentieller Computerprogramme erfolgen. 18 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

19 Tiefpässe für hohe Leistungen im Bereich der Hochfrequenztechnik und elektrischen Energietechnik werden in analoger Technik aus Kondensatoren und Spulen aufgebaut. Hauptanwendung ist die Hochfrequenztechnik, man findet sie auch an den Lastausgängen von Frequenzumrichtern, Klasse-D-Verstärkern und in Netzfiltern. Tiefpass-Filter in der Niederfrequenztechnik werden anwendungsbezogen auch als Höhensperre, Höhenfilter, Treble-Cut-Filter, High-Cut-Filter oder Rauschfilter bezeichnet. Diese Begriffe sind in der Tontechnik gebräuchlich; sie weisen darauf hin, dass ein solches Filter, zum Beispiel in einem Equalizer, die Höhen des Signals bzw. das Rauschen abschwächt, das vorwiegend hohe Frequenzen enthält; siehe auch Entzerrung (Tontechnik). Weiterhin sind Tiefpässe den Tieftonlautsprechern in Lautsprecherboxen vorgeschaltet. Tiefpass-Funktionen kommen auch in der Mechanik (Schwingungsdämpfung), Akustik (die Schallausbreitung tiefer Frequenzen ist verlustärmer), Optik (Kantenfilter), Hydraulik oder der Lichtausbreitung in der Atmosphäre vor, werden dort jedoch nicht so genannt. In der Messtechnik wird der Tiefpass auch als arithmetischer Mittelwertbilder bezeichnet und angewendet, z. B. im Drehspulmesswerk oder bei der Erzeugung einer variablen Gleichspannung mittels Pulsweitenmodulation Bandpassfilter [Bild 3-12] Schaltzeichen für Bandpass-Filter Als Bandpass-Filter wird ein Filter bezeichnet, der nur Signale eines Frequenzbands passieren lässt. Die Frequenzbereiche unterhalb und oberhalb des Durchlassbereiches werden dabei gesperrt oder deutlich abgeschwächt. Ein Bandpass(filter) stellt das Gegenstück zur Bandsperre dar. Der Durchlassbereich, welcher aus der Übertragungsfunktion ersichtlich ist, ist durch eine Bandbreite B um die Mittenfrequenz f 0 charakterisiert. Die Mittenfrequenz wird auch als Resonanzfrequenz bezeichnet und ist definiert als das geometrische Mittel von f H und f L : [F 3-07] Die Bandbreite B des Filters stellt die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenzfrequenz (f H und f L ) dar. Bei den Grenzfrequenzen wird eine Reduktion um 3 db gegenüber dem Maximalwert gemessen. 0 db B f f L f 0 f H [Bild 3-13] Betrag der Übertragungsfunktion. Quelle: wikipedia.de Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 19

20 3.3.4 Oktavfilter, ntel-oktavfilter... Terzen Ein Oktavfilter ist eine bestimmte Form eines Bandpassfilters, dessen Grenzfrequenzen im konstanten Verhältnis von 2:1 stehen (f 2 = f 1 * 2). Oktavfilter für Messungen sind nach DIN EN genormt, wobei z. B. Grenzfrequenzen f 1 und f 2, Mittenfrequenz f 0, Bandbreite B bzw. Gütefaktor Q, und nicht die Flankensteilheiten in db pro Oktave oder db pro Dekade festgelegt sind. Die meisten Messungen werden mit Filtern und Normfrequenzen der Reihe b nach DIN EN ISO 266 ausgeführt, bei denen die Frequenz f = 1000 Hz als Mittenfrequenz vorkommt. Für sequentielle ntel-oktavsiebanalysen werden Filter angeboten, bei denen umschaltbare elektrische Komponenten jeweils neue Durchlassbereiche bilden. Die elektrischen Einschwingvorgänge beim Schalten können die Ausführung der Analyse stärker als bei Oktavfiltern verzögern, denn mehr Schaltvorgänge ergeben längere Einschwingzeiten. Aus diesem Grund sind Parallelfilterbänke mit 1/3 Oktavfiltern bzw. mit Terzfiltern ausgeführt worden. Wie bei den Oktavfiltern kann ein einzelnes digitales Terzfilter im Zeitmultiplexbetrieb eine solche Bank ohne Nachteil ersetzen. Ein praktischer Nutzen bei der Nutzung von ntel-oktavfilter wird durch die nachfolgende Signalverarbeitung i.d.r. Pegelmessung des gefilterten Zeitsignals erzeilt. Die Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich durch parallele Darstellung der Pegelwerte erreicht. Terzfilter = 1/3 Oktavfilter fm 31, Hz fu 28 35, Hz fo 35, Hz [Bild 3-14] Auszug DIN EN ISO 266 Frequenztabelle 1/3 Oktavfilter (Terzfilter) Gebräuchlich ist die Darstellung eines FFT-Frequenzspektrums als Terzen oder Oktaven. Hierbei handelt es sich um einen reichlich schlampigen Sprachgebrauch! Die Terz-/Oktav-Darstellung eines Frequenzspektrums auf Basis einer FFT ist die Summierung der Frequenzlinien und weist eine höhere Flankensteilheit sowie ein anderes zeitliches Verhalten auf Technische Realisierung von Filtern - FIR Ein Filter mit endlicher Impulsantwort (englisch finite impulse response filter, FIR-Filter) ist ein diskretes, meist digital implementiertes, Filter und wird im Bereich der digitalen Signalverarbeitung/ Signalanalyse eingesetzt. Charakterististisch für FIR-Filter ist, dass sie über eine Impulsantwort mit garantiert endlicher Länge verfügen. Das bedeutet: FIR-Filter können niemals instabil werden oder zu einer selbstständigen Schwingung angeregt werden. FIR-Filter sind meistens nichtrekursive Filter, weisen also keine Rückkopplungen oder Schleifen in ihrer Struktur auf. Meistens werden FIR-Filter als digitale Filter realisiert. Gängige Softwaretools zur Signalanayse und digitaler Messwerterfassung bieten oft umfangreiche Möglichkeiten in der Gestaltung von FIR-Filtern. Zusätzlich stehen Tools aus der Tonstudiotechnik zur Verfügung, die ebenfalls diese Aufgabenstellungen lösen. 20 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

21 3.3.6 Zeitliches Verhalten von Filter Jedes analoge Filter benötigt eine Einschwingzeit bzw. einen Einschwingvorgang. Der Einschwingvorgang erfolgt asymptotisch. Bei geringen Signalveränderungen ist eine sehr gute zeitliche Auflösung möglich. Bei großen Signalveränderungen (Impulsen) ist jedoch nur eine geringe zeitliche Auflösung erreichbar, weil diese wiederum zu einem Einschwingvorgang des Filters führt. Zudem weisen analoge Filter einen ausgeprägten Phasenversatz auf. Digitale FIR-Filter benötigen eine Einschwingzeit. Diese ist in der Anzahl gleich der Filterkoeffizienten Filter anwenden Um Filter anwenden zu können wird Software benötigt. Zum Beispiel bietet MATLAB eine Toolbox für Filter an. Die meisten Softwareprodukte (LMS, PAK, Artemis, Pulse, DIADem, LabVIEW) bieten Möglichkeiten Signale zu filtern. Die ntel-oktavfilter sind meist als Funktionen mit anschließender RMS-Wert-Bildung ausgeführt. Beispiel: Schwingungsanalyse am Elektromotor [Bild 3-15] Zeitsignal: Beschleunigung über 20 s gemessen am Motorgehäuse Aus dem in [Bild 3-15] dargestellten Zeitsignal aus einer Körperschallmessung (Beschleunigung) wurden beispielhaft zwei anteilige Frequenzbereiche herausgefiltert und einer weiteren Analyse unterzogen. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 21

22 [Bild 3-16] 100 Hz-Anteil sowie RMS-Verlauf über 20 s [Bild 3-17] 100 Hz-Anteil sowie RMS-Verlauf im Zeitfenster 0 bis 1 s. Die hohe zeitliche Auflösung der Signaldarstellung lässt den Einschwingvorgang des verwendeten FIlters sichtbar werden. 22 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

23 3.4 Abklingendes Zeitsignal [Bild 3-18] 500 ms Körperschall-Zeitsignal von einem Messpunkt am Demo-Stab In [Bild 3-18] ist das Zeitsignal einer Körperschallmessung für eine experimentelle Modalanalyse dargestellt. Das Zeitfenster weist eine Länge von 500 ms auf. Die Amplitude des Zeitsignals nimmt mit fortschreitender Zeit ab. Diese Erscheinung wird als Dämpfung bezeichnet. Bei einem im Prinzip schwingfähigen System nimmt die Amplitude einer Schwingung mit der Zeit ab oder je nach Umständen tritt überhaupt keine Schwingung auf. Die Schwingung beruht nach einmalig zugeführter Energie (z.b. Anregung mit Impulshammer) auf der Wechselbeziehung zweier Energieformen; z. B. bei einer mechanischen Welle werden kinetische Energie und potentielle Energie gegenseitig ausgetauscht. Wird dabei Energie in eine dritte Energieform abgezweigt oft etwa als Wärme so ist dies die Ursache der Dämpfung. Ferner wird der Begriff Dämpfung angewendet auf eine abschwächende Erscheinung, die in Zusammenhang mit schwingungs-, strahlungs- oder wellenartigen Vorgängen steht; hierbei charakteristische physikalische Größen zeigen aber nicht notwendigerweise ein zeitlich abklingendes, sondern durchaus stationäres Verhalten. Dieser Vorgang kann ohne zeitliche Befristung ablaufen. Hier wird fortlaufend Energie zugeführt und letztlich als Wärme weitergegeben. Das Maß für die Dämpfung ist der Dämpfungsgrad D. Der Dämpfungsgrad D ist dimensionslos. Er beschreibt das Schwingverhalten eines ganzen physikalischen Systems. Er steht in direkter Beziehung zum logarithmischen Dekrement Λ über die Gleichung: [F 3-08] Diese Größe ist auch als logarithmisches Dämpfungsmaß α in db zu finden. [F 3-09] α = 20 lg D db Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 23

24 Das logarithmische Dekrement errechnet sich aus dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Amplitude zweier beliebiger aufeinanderfolgender Ausschläge gleicher Richtung. [F 3-10] mit x m = Amplitude des 1. Ausschlages. x n = Amplitude des 2. Ausschlages. δ = Abklingkonstante. D = Dämpfungsgrad. ω = Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. T = Schwingungsdauer. Alternativ kann man Λ auch wie folgt berechnen [F 3-11] Die Ermittlung von Λ ist durch praktische Messung der Amplitude recht einfach. Daraus lässt sich dann problemlos der Dämpfungsgrad ermitteln. [Bild 3-19] Abklingende Schwingung bei 220 Hz des Demo-Stabs. Auch hier ist das Einschwingen des verwendeten Filters zu Beginn der Zeitsignaldarstellung wieder gut sichtbar. 24 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

25 Messwerte aus [Bild 3-19]: U (1) = 52,85 m/s 2 U (2) = 39,42 m/s 2 n = 10 Unter Anwendung von [F 3-11] und [F 3-08] ergibt sich Λ zu 0,0293 und der Dämpfungsrad D zu 0,0047 bzw. nach [F 3-09] das logarithmische Dämpfungsmaß α zu -46,6 db. 3.5 Moduliertes Zeitsignal Am Beispiel eines einstufigen Getriebes lässt sich leicht die Modulation von Signalen mechanischen Ursprungs darstellen. Betrachtet wird ein Getriebe dessen Eingangswelle mit einer Drehzahl = 120/min (Drehfrequenz = 2 Hz) betrieben wird. Das Zahnrad auf der Eingangswelle weist 80 Zähne auf. Hieraus ergibt sich eine Zahneingriffsfrequenz f Zahn = 160 Hz. Die Getriebeübersetzung beträgt i = n Antrieb / n Abtrieb = 10. [Bild 3-20] Anwendungsbeispiel Getriebe: 160 Hz Zahneingriffsfrequenz Die Abtriebswelle hat aufgrund eines Fertigunsgfehlers erhebliche Exzentrizität. Da die Abtriebswelle bei i = 10 mit einer Drehzahl = 12/min (Drehfrequenz = 0,2 Hz) wird die Amplitude der Zahneingriffsfrequenz entsprechend moduliert. [Bild 3-21] Anwendungsbeispiel Getriebe: 160 Hz Zahneingriffsfrequenz moduliert mit 2 Hz (Drehzfrequenz der Abtriebswelle) - Ursache z.b. starke Exzentrizität der Welle, Biegung der Abtriebswelle, etc. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 25

26 [Bild 3-22] Anwendungsbeispiel Elektromotor: Der Signalanteil bei 714 Hz weist unterschiedliche Modulationen auf. 26 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

27 4. Schwingungsanalyse - Transformation in den Frequenzbereich 4.1 DFT / FFT - Grundlagen Zu einem Zeitpunkt ist eine Signalanalyse nicht möglich Die Fourier-Analyse ist die Theorie der Fourier-Reihen und Fourier-Integrale. Ihre Ursprünge reichen in das 18. Jahrhundert zurück. Benannt sind die Fourier-Analyse, die Fourier-Reihe und die Fourier-Integrale nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier, der im Jahr 1822 in seiner Théorie analytique de la chaleur Fourier-Reihen untersuchte. Die Fourier-Analyse ist in vielen Wissenschafts- und Technikzweigen von außerordentlicher praktischer Bedeutung. Die Anwendungen reichen von der Physik (Akustik, Optik, Gezeiten, Astrophysik) über viele Teilgebiete der Mathematik (Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie), der Signalverarbeitung und Kryptographie bis zur Ozeanographie und Wirtschaftswissenschaften. Je nach Anwendungszweig erfährt die Zerlegung vielerlei Interpretationen. In der Akustik ist sie beispielsweise die Frequenz-Transformation des Schalls in Oberschwingungen. Aus Sicht der abstrakten harmonischen Analyse sind sowohl die Fourier-Reihen und die Fourier-Integrale als auch die Laplace-Transformation, die Mellin-Transformation oder auch die Walsh-Transformation (dabei werden die trigonometrischen Funktionen durch die Walsh-Funktionen ersetzt) Spezialfälle einer allgemeineren (Fourier-)Transformation. Die schnelle Fourier-Transformation (englisch fast Fourier transform, daher meist FFT abgekürzt) ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Mit ihr kann ein digitales Signal in seine Frequenzanteile zerlegt und anschließend analysiert werden. Analog gibt es für die diskrete inverse Fourier-Transformation die inverse schnelle Fourier-Transformation (IFFT). Es kommen bei der IFFT die gleichen Algorithmen mit anderen Koeffizienten zur Anwendung. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 27

28 Die FFT hat zahlreiche Anwendungen im Bereich der Ingenieurswissenschaften, der Naturwissenschaften und der angewandten Mathematik. Sie ist ein wichtiger Bestandteil fast aller modernen Medien- und Kommunikationstechnologien und findet sich z. B. bei der Komprimierung von digitalen Bildern, insbesondere beim weit verbreiteten JPEG-Verfahren, und ist ein Bestandteil der meisten Verfahren zur Videokompression, etwa den MPEG-Standards, die bei der DVD, der Blu-ray-Technologie und beim Digitalfernsehen verwendet werden. Außerdem kommt sie in Mobilfunktechnologien wie UMTS und LTE und bei der drahtlosen Datenübertragung zum Einsatz, etwa in der WLAN-Funknetztechnik. Die FFT gehört zu den Teile-und-herrsche-Verfahren, so dass im Gegensatz zur direkten Berechnung zuvor berechnete Zwischenergebnisse wiederverwendet und dadurch arithmetische Rechenoperationen eingespart werden können. Genau genommen wurde eine Form des Algorithmus bereits 1805 von Carl Friedrich Gauß entworfen, der ihn zur Berechnung der Flugbahnen der Asteroiden (2) Pallas und (3) Juno verwendete. Zum ersten Mal publiziert wurde eine Variante des Algorithmus von Carl Runge im Jahre 1903 und Aus dem Lösungsansatz von Fourier zur Wärmeausbreitung in Festkörpern mittels Fourier-Reihen (ca. 1807), nach der sich jede stetig differenzierbare Funktion, die auf dem Intervall [0,T] definiert ist, in eine Fourierreihe entwickeln läst. Mit der Grundfrequenz F=1/T und den Kreisfrequenzen gilt: [F 4-01] Die Fourier-Transformation erlaubt es, sich Funktionen mit reellem Argument (und diversen Einschränkungen), Schwingungen zusammengesetzt zu denken: [F 4-02] Eine wichtige Erkenntnis der Fourier-Theorie ist, dass die Amplitude sich ähnlich bestimmen lässt: [F 4-03] Beim Übergang von der Fourier-Transformation zur DFT sind folgende Veränderungen zu beachten: Das Signal muss zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten vorliegen (T: Abstand zweier aufeinanderfolgender Zeitpunkte), 0 ist einer dieser Zeitpunkte. Das Signal muss eine endliche Länge aufweisen (2N+1: Anzahl der Werte), welche als Werte innerhalb eines großen Intervalls [-NT,NT] interpretiert werden. Die Integrale bei der Berechnung der Fourier-Koeffizienten werden bei der DFT zu Summen. Das Spektrum wird nur für eine endliche Anzahl von Frequenzen berechnet. Jede periodische Funktion mit reellem Argument und Periode L kann als Funktionenreihe mit sinusförmigen Funktionsverlauf, die Bruchteile von L als Periode haben, dargestellt werden (so genannte Fourier-Reihen): [F 4-04] Die diskrete Fourier-Transformation besitzt ein periodisches Spektrum, es wiederholt sich mit der Abtastfrequenz und ist symmetrisch zur Abtastfrequenz. 28 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

29 [F 4-05] Enthält das abgetastete Signal Frequenzanteile oberhalb der halben Abtastfrequenz überlappen sich die Spektren des ursprünglichen Signals mit den an der Abtastfrequenz gespiegelten Signalanteilen und es kommt zum Alias-Effekt Alias-Effekt In der Regel entsteht das zeitdiskrete Signal durch Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals. Die durch die DFT entstehenden Spektren sind nur dann mit den Spektren des zugrundeliegenden kontinuierlichen Signals identisch, wenn bei der Abtastung das Abtasttheorem nicht verletzt wurde. Für Signale im Basisband muss gelten, dass die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß sein muss wie die maximal auftretende Frequenz (Nyquist-Frequenz). Bei Verletzung des Abtasttheorems tritt eine Verfälschung des Originalsignals auf (Aliasing im Zeitbereich). Eine Möglichkeit des Anti-Aliasing ist die Bandbegrenzung des Signals am Eingang des Systems, um diesen Effekt zu vermeiden Leck-Effekt (Leakage effect) Aufgrund der zeitlichen Begrenzung des Signals kann es dazu kommen, dass das Eingangssignal abgeschnitten wird. Ein abgeschnittenes Eingangssignal kann nur dann korrekt mit der DFT transformiert werden, wenn es periodisch fortsetzbar ist. Falls das Signal nicht periodisch fortsetzbar ist, enthält es Frequenzen, die nicht zu den von der DFT berechneten diskreten Frequenzen gehören. Die DFT nähert diese Frequenzen durch die benachbarten Frequenzen an, dabei wird die Energie auf diese Frequenzen verteilt. Dies wird als Leck-Effekt (engl. leakage effect) bezeichnet. Die zeitliche Begrenzung kommt einer Multiplikation mit einer Rechteckfunktion gleich. Dies ist eine andere Betrachtungsweise um den Leck-Effekt zu erklären. Das gilt natürlich auch im Falle anderer Fensterfunktionen (z. B. Hamming, von Hann, Gauss). Somit ist das Spektrum der Fensterfunktion (bzw. die Breite des Spektrums) ausschlaggebend für das Leck. Die Amplitudengenauigkeit ist das andere Kriterium einer Fensterfunktion DFT als Bandfilterbank Eine DFT einer zeitbegrenzten Funktion kann man auch als Bandfilterbank ansehen. Die Mittenfrequenzen dieser Bandfilter entsprechen den Frequenzlinien der Funktion, die entsteht, wenn man den betrachteten Zeitabschnitt periodisch wiederholt (Vielfache von 1/Fensterbreite). Die Breite und Flankensteilheit der Bandfilter wird durch die Fourier-Transformierten des Zeitfensters bestimmt. Durch die Wahl einer geeigneten Zeitfenster-Funktion kann man die Eigenschaften der Bandfilter verändern Zeit- und Frequenz-Auflösung der DFT Will man Signale mit hoher Frequenzauflösung analysieren, muss man die Zeitfenster sehr groß machen, man erhält eine geringe Zeitauflösung. Benötigt man eine hohe Zeitauflösung, muss man die Breite der Zeitfenster sehr kurz machen, dann kann man aber nur wenige Frequenzlinien bestimmen. Es gilt: Frequenz-Auflösung 1/Zeitfensterbreite (wird eine Frequenzauflösung von 1 khz gewünscht muss das Zeitfenster mindestens 1 ms lang sein) FFT Für Blocklängen N, die sich als Potenz von 2 darstellen lassen, kann die Berechnung mit dem Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT) erfolgen. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 29

30 Die diskrete Fouriertransformation (DFT) eines Vektors der Dimension 2n lautet [F 4-06] Die klassische Variante der FFT ist im Gegensatz zur DFT nur durchführbar, wenn die Länge des Eingangsvektors einer Zweierpotenz entspricht. Die Anzahl der Abtastpunkte kann also beispielsweise 1, 2, 4, 8, 16, 32 usw. betragen. Andere Längen sind mit alternativen Algorithmen möglich Ergebnis der FFT Das Ergebnis einer FFT ist nie falsch. Der FFT-Algorithmus liefert aus n komplexen Eingangswerten n komplexe Ergebniswerte. Der Betrag jedes dieser Ausgangswerte entspricht der Länge, und das Argument jedes Ausgangswerts dem Winkel eines Vektors zum Zeitpunkt t=0. Wenn man nun alle Vektoren mit den richtigen Geschwindigkeiten um den Nullpunkt kreisen lässt - und sie zueinander addiert - erhält man wieder die Eingangswerte. Tendenziell ist das Quantisierungsrauschen bei der schnellen Fourier-Transformation aufgrund der geringeren Zahl an fehlerbehafteten Rechenoperationen geringer als bei der DFT Zusammenfassung FFT Allgemein handelt es sich hierbei um die Transformation aus dem Zeitbereich x(t) in den Frequenzbereich X(jω) Annahme, dass sich alle Signale aus unendlich vielen Sinus- und Kosinusschwingungen zusammensetzen lassen Ergebnis besteht aus einem Real- und einem Imaginär-Teil Für die praktische Anwendung sind weitere Rechenschritte erforderlich Nutzung der FFT als Softwarefunktion bzw. als Funktionsaufruf Ergebnis = FFT(Daten) [Bild 4-01] Ideale Zeitsignale x(t) in den Frequenzbereich X(jω) transformiert. 30 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

31 4.2 FFT in der praktischen Anwendung In der praktischen Anwendung wird man eine FFT nicht eigenständig programmieren. Vielmehr werden in der Praxis für die Frequenz- und Schwingungsanalyse Softwaretools eingesetzt, die u.a. die Funktionalität der FFT zur Verfügung stellen. Maximal wird ein Funktionsaufruf wie z.b. Ergebnis = FFT(Daten) erfolgen Parametrierung der FFT Am Beispiel von Testsignalen soll die Parametrierung einer Frequenzanalyse mittels FFT dargelegt werden. [Bild 4-02] Zeitsignalausschnitt 100 Hz 1 Pa Schalldrucksignal Hier dargestellt ist der Zeitausschnitt eines Zeitsignals mit Signallänge: 10 s Signalamplitude: 1 Pa Frequenz: 100 Hz Schwingungen: 1000 Abtastrate: 2048 Hz [Bild 4-03] Die Transformation des Zeitsignals ergibt das zu erwartende Ergebnis mit 94 db bei 100 Hz Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 31

32 [Bild 4-04] 2,5 Hz 1 Pa Schalldrucksignal [Bild 4-04] zeigt ein weiteres Zeitsignal, welches mit einer Abtastrate von 48 Hz digitalisiert wurde. Das Signal selbst ist ein 1 Pa Schalldruck bei 2,5 Hz. [Bild 4-05] FFT aus dem Signal in [Bild 4-04] [Bild 4-05] zeigt das Ergebnis der FFT aus dem Signal in [Bild 4-04]. Das Ergebnis entspricht nicht der Erwartungshaltung einer Linie mit 94 db bei 2,5 Hz. Auch die Anpassung der Erwartungshaltung an die Frequenzauflösung der FFT mit 1 Hz zeigt nicht das erwartete Ergebnis. Die Erwartung wäre je eine Linie bei 2 und 3 Hz mit jeweils einem Pegel von 91 db. Dies würde einen Summenpegel = 94 db ergeben. Das Ergebnis der FFT ist jedoch nicht falsch. Es zeigt genau das, was bei Betrachtung des Zeitsignals in [Bild 4-04] zu erwarten ist. Der Signalausschnitt des Zeitsignals setzt sich nicht kontinuierlich fort und führt so zu dem gezeigten Ergebnis der FFT. 32 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

33 Zur Reduzierung des Problems wird das Zeitsignal mit einer Fensterfunktion (WINDOW) gewichtet. [Bild 4-06] 2,5 Hz Zeitsignal gewichtet mit der Fensterfunktion Hanning sowie die Fnsterfunktion selbst. [Bild 4-07] Das Ergebnis der FFT des gewichteten Zeitsignals aus [Bild 4-06] Das Ergebnis der FFT aus dem gewichteten Zeitsignal ist nun näher an der Erwartungshaltung als bisher. Je eine Linie bei 2 und 3 Hz mit gleichen Pegel. Jedoch weiterhin mehr Frequenzanteil im Ergebnis als im Zeitsignal vorhanden. Auch ergibt die Summierung der Pegel bei f=2 Hz und f=3 Hz nicht die erwarteten 94 db. Die Gewichtung mittels der Fensterfunktion führt zu einem Leakage. Das Pegelergebnis der Frequenzanalyse wird beeinflusst durch das verwendete Fenster die Länge des analysierten Zeitausschnittes die Frequenzauflösung Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 33

34 4.2.2 (Frequenz) Spektrum und Spektrogramm [Bild 4-08] Frequenzspektrum eines Elektromotorsignals Das Frequenzspektrum eines Signals stellt die Frequenzanteile mit den zugehörigen Amplituden bzw. Pegel dar. Es visualisiert die Schwingungsanalyse. [Bild 4-09] Spektrogramm der Schwingungsanalyse des Elektromotors mit der Ansicht von oben. Die Amplitudenwerte werden über die Farbinformation differenziert. 34 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

35 Stellt man mehrere Frequenzspektren hintereinander in zeitlicher Abfolge dar, so wird der zeitliche Verlauf der Schwingungsanalyse sichtbar. Aus dem Frequenzspektrum wird ein Spektrogramm. Diese Diagrammform wird auch Campbell-Diagramm genannt. Ein Spektrogramm ist die Darstellung des zeitlichen Verlaufes des Spektrums eines Signals. Einfach gesagt stellt ein Spektrogramm die Zusammensetzung eines Signals (zum Beispiel die Schwingungsanalyse eines Elektromotors) aus einzelnen Frequenzen im zeitlichen Verlauf dar. Etwas präziser ist ein Spektrogramm eine zeitvariante Darstellung der Frequenzverteilung mit Hilfe der FFT. Diese ergibt eine komplexwertige Funktion, die vom Zeitpunkt t und der Frequenz ω abhängt. Das Spektrogramm ist eine Darstellung, die die Werte in einem Zeit-Frequenz-Diagramm (zum Beispiel farbcodiert) aufträgt. Die Interpretation ist dabei, dass den Frequenzanteil des Signals zum Zeitpunkt t angibt. [Bild 4-10] Gleiches Spektrogramm wie in [Bild 4-09] jedoch mit einer seitlichen Ansicht. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 35

36 4.2.3 Betrag und Phase [Bild 4-11] Sinusschwingung mit 1 Pa Schalldruck bei 100 Hz In [Bild 4-11] ist der Ausschnitt eines 100 Hz 1 Pa Schalldrucksignals dargestellt. Dieses Signal soll nun in Betrag und Phase analysiert werden. [Bild 4-12] Spektrogramm des 100 Hz 1 Pa Signals Zum besseren Verständnis wird im Folgenden die 100 Hz-Linie des Spektrogramms betrachtet. 36 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

37 [Bild 4-13] Pegelverlauf der 100 Hz-Linie [Bild 4-14] Phasenverlauf der 100 Hz-Linie Während der Pegelverlauf der 100 Hz-Linie mit nahezu 1 Pa Schalldruck lediglich eine geringe Leckage (leakage ) aufweist, entspricht der zugehörige Phasenverlauf gar nicht der Erwartungshaltung. Die Erklärung hierzu ist in [Bild 4-15] der genauen Betrachtung des Signalverlaufs der einzelnen Datenblöcke für die FFT zu finden. Block 1 beginnt mit Wert(1) = 0 und endet mit Wert(512) < 0. Während Block 2 mit Wert(1) < 0 beginnt. Beide Datenblöcke weisen einen etwas versetzten Signalverlauf auf, welches folgerichtig zu einem unterschiedlichen Phasenwinkel im Ergebnis der FFT führt. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 37

38 [Bild 4-15] Detailierte Betrachtung des ersten und zweiten Datenblocks für die FFT. Jeweils Blockanfang und Blockende. [Bild 4-16] Sinusschwingung mit Phasenlage -90 Das Phasenergebnis der FFT gibt die Winkellage des positiven Ausschlags des Sinussignals relativ zur Blockmitte an. 38 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

39 4.2.4 Mittelung und Overlap [Bild 4-17] Spektren mit unterschiedlicher Mittelung Wird ein kontinuierliches Signal über eine längere Zeitspanne erfasst, so besteht die Möglichkeit das Signal in mehrere einzelne Blöcke aufzuteilen. Werden dann im Anschluss an die FFT die Ergebnisse der einzelnen Blöcke gemittelt, so führt dies dazu, dass die, aufgrund Signalrauschens, eher zufälligen Ergebnisse entsprechend reduziert werden. Die Mittelung kann allerdings nicht mit dem komplexen Ergebnis sondern nur mit dem Betragsergebnis der FFT durchgeführt werden. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 39

40 [Bild 4-18] Gewichtung der Messdaten bei Overlap Führt man nun noch einen Overlap der Datenblöcke ein, dann erhält man zusätzlich eine Verbesserung der Pegelgenauigkeit. Der Bereich, in dem durch die Multiplikation des Fensters die Messdaten eine geringere Gewichtung erhalten, wird durch hohes Overlap verringert. Einzelne Signalspitzen verändern hierdurch ihre absolute Positionierung im Datenblock. Die FFT-Ergebnisse liegen nun in einer dichteren zeitlichen Abfolge vor. Overlap führt allerdings nur scheinbar zu einer besseren zeitlichen Auflösung der FFT Summenpegel eines Spektrums Trotz der spektralen Analyse ist es oft erforderlich auch den Summenpegel des Spektrums auszuweisen. Die erfolgt nach den Regeln für die Addition inkohärenter Amplituden. [F 4-07] L ges = L 2 i 40 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

41 [Bild 4-19] Frequenzspektrum mit einem Summenpegel L = EU PSD - Spektrale Leistungsdichte Die spektrale Leistungsdichte gibt die auf die Frequenz bezogene Leistung eines Signals in einem infinitesimalen, d.h. unendlich kleinem, Frequenzband an. Diese Dichte besitzt die Dimension Leistung Zeit, die Angabe erfolgt in EU (1) /Hertz z.b. W/Hz, db/hz. Wird die spektrale Leistungsdichte über dem Frequenzspektrum angegeben, entsteht ein Leistungsdichtespektrum (LDS) oder Autoleistungsspektrum (engl. Power-Spectral-Density (PSD), auch Wirkleistungsspektrum). Das Integral über alle Frequenzen ergibt die Gesamtleistung eines Signals. Während die Fourier-Transformation von stationären Prozessen (wie z. B. Rauschen oder monofrequente Signale) unbeschränkt ist, lassen sich derartige Signale mit Hilfe des PSD quantitativ analysieren. Das PSD ist die Anzeigeform von Spektralanalysatoren, wobei hier die Leistung über finitesimal, d. h. endlich kleinen Frequenzintervallen, angegeben wird. [Bild 4-20] PSD - Spektrale Leistungsdichte aus dem Frequenzspektrum in [Bild 4-19] EU (1) - Engineering Unit: Synonym für die Einheit eines Messwerts einer gemessenen physikalischen Größe Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 41

42 5 Literatur Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik an der TU München, Simulation mit Matlab/Simulink (Skript im Internet verfügbar) Christoph Rauscher, (Volker Janssen, Roland Minihold), Grundlagen der Spektrumanalyse Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG, Mühldorfstraße 15, München, Dieses Buch kann nur über die Rohde & Schwarz-Vertriebsstellen und das Münchner Stammhaus bezogen werden. PW Thomas Kuttner, Praxiswissen Schwingungsmesstechnik, Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2015, ISBN Wolf Dieter Pietruszka, MATLAB und Simulink in der Ingenieurpraxis, Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2005, 2006, 2012, 2014, ISBN Martin Werner, Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB, Vieweg+Teubner Verlag, Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012, ISBN Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

43 6 Schwingungsanalyse mit MATLAB MATLAB stellt einige Funktionen für die Schwingungsanalyse bereit. So erhält man mit den Funktionen ergebnis = fft(daten); ergebnis = dft(daten); die Fouriertransformation des Vektors daten. Für die Schwingungsanalyse vorhandener Daten ist es meist unerheblich ob dabei die schnelle (fft) oder diskrete (dft) Fouriertransformation verwendet wird. Beide Funktionen stellen gleiche Ergebnisse zur Verfügung. Die Funktion FFT ist immer dann erforderlich, wenn die Fouriertransformation in einem zeitkritischen Prozess erforderlich ist. Für die zeitunkritische Auswertung von Datenströmen zur Schwingungsanalyse bietet sich die Verwendung der mächtigen MATLAB-Funktion spectrogram an. Die Funktion ist variabel einsetzbar und liefert als Ergebnis alle für die Visualisierung benötigten Vektoren. Erfolgt der Aufruf der Funktion als [s,f,t,p] = spectrogram(daten, window, noverlap, blocksize, abtastrate); dann können über die Variation der Vektoren noverlap und blocksize die Ergebnis-Vektoren entsprechend beeinflusst werden. Die Bedeutung der Parameter: daten abtastrate blocksize noverlap window s f t p Zeitsignal (Vektor) zur Fouriertransformation Abtastrate mit der der Vektor daten digitalisiert wurde Länge des einzelnen Datenblocks (oft auch nfft genannt, ganzzahliger Wert!) für die Fouriertransformation. Ist daten/blocksize > 1 wird das Zeitsignal in mehrere Datenblöcke der Länge blocksize aufgeteilt und jeweils einzeln Fouriertranformiert. Im Ergebnisvektor t wird der, dem jeweiligen Datenblock zugehörige Zeitstempel abgelegt. Anzahl der Messwerte mit der sich die einzelnen Datenblöcke überlappen. (ganzzahliger Wert!) Vektor mit der WINDOW-Funktion für die Gewichtung des jeweiligen Datenblocks. Die Länge des Vektors muss mit der blocksize übereinstimmen. Ergebnismatrix der Fouriertransformation (komplex). Frequenzvektor Zeitvektor Ergebnismatrix der spektralen Leistungsdichte (Optional) Anhand des Demosignals 15cw soll im Folgenden die Anwendung der MATLAB-Funktion spectrogram erleutert werden. Der zugehörige MATLAB-Programmcode steht unter im Bereich Praktika - Schwingungsanalyse zum Download zur Verfügung. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 43

44 Zeitverlauf des Signals 15.cw 0.2 Spannung [V] Zeit [s] [Bild 6-01] Zeitsignal 15.cw Im [Bild 6-01] ist der Zeitverlauf des Signals 15.cw dargestellt. Hierbei handelt es sich um Körperschall-Messwerte (Beschleunigungsaufnehmer) eines Elektroantriebes für Fahrzeugsitzverstellmechanismen. Für die Umskalierung der Messwerte in physikalische Werte wäre der Kalibrierwert des Beschleunigungsaufnehmers erforderlich. Für die grundlegende Betrachtung der Funktionsweise der MATLAB-Funktion spectrogram ist dies jedoch unerheblich. Der Blick auf das Zeitsignal in [Bild 6-01] lässt vermuten, dass eine Priodizität mit ca. 2/3 Hz vorliegt. Mehr Information lässt sich auf Basis des Zeitsignals erst einmal nicht gewinnen. Für einen ersten analytischen Ansatz wird auf das Signal in seiner gesamten länge eine Fouriertransformation durchgeführt. Mit window = rectwin(length(data)); noverlap = 0; blocksize = length(data); [fft_gesamt,f_gesamt,t_gesamt,p_gesamt] = spectrogram(data, window, noverlap,... blocksize, fs); wird für den Datenvektor data eine gesamthafte Fouriertransformation durchgeführt. Der Vektor window enthält ein Rechteckfenster mit der Länge das Datenvektors, die Blocksize entspricht ebenso der Länge des Datenvektors. In [Bild 6-02] ist das Ergebnis im Frequenzbereich bis 5000 Hz dargestellt. Da bei der obigen Frequenztransformation die gesamte Länge des Datenvektors verwendet wurde, lassen sich aus dem Ergebnis lediglich die im Signal enthaltenen Frequenzen ermitteln. Die ablesbaren Betragswerte (Pegel, Amplituden) können als Mittelwerte über die (gesamte) Signallänge interpretiert werden. plot(f_gesamt, 2*(abs(fft_gesamt)/blocksize)); set(gca, FontSize,16, XGrid, on, YGrid, on ); title( Fouriertransformation des Signals 15.cw, FontSize, 20); ylabel( Spannung [V], FontSize, 18); xlabel( Frequenz [Hz], FontSize, 18); axis([ ]); 44 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

45 0.03 Fouriertransformation des Signals 15.cw Spannung [V] Frequenz [Hz] [Bild 6-02] Frequenztransformation des Signals 15.cw Mit 2*abs(fft_gesamt)/blocksize wird das Betragsergebnis der Fouriertransformation berechnet. Da die MATLAB-Funktion spectrogram lediglich auf die Funktionen FFT bzw. DFT zugreift, ist das Transformationsergebnis nicht auf die Anzahl der Stützstellen (Blocksize) normiert. Dies wird mit der Division durchgeführt. Gleiches gilt für die Multiplikation mit zwei. Diese wird erforderlich, da das Ergebnis der Fouriertransformation zweiseitig (negative und positive Frequenzen) ist. Da die Betrachtung jedoch nur Einseitig erfolgt, muss der fehlende Energieinhalt des Signals korrigiert werden. Um zeitliche Varianzen (Fluktuation) des Frequenzspektrums ermitteln zu können muss die Frequenzanalyse mit kleineren Datenblöcken durchgeführt werden. Die Blocksize ist also zu verringern. Hierbei gilt es den Zusammenhang zwischen frequenzieller und zeitlicher Auflösung zu beachten. Gemäß dem Grundgesetz der Nachrichtentechnik ergibt das Produkt aus Frequenzauflösung und Zeitauflösung immer eins (df * dt = 1). Demnach wird eine Verbesserung der Zeitauflösung eine Verschlechterung bewirken. Für das Beispiel wird eine Frequenzauflösung von 1 Hz gewählt. df = 1; Die zugehörige Blocksize muss ein ganzzahliger Wert sein und berechnet sich zu blocksize = ceil(fs/df); Die Anweisung ceil stellt sicher, dass der nächstgrößere ganzzahlige Wert verwendet wird. Verwendet man kurze Datenblöcke, dann wird die Problematik der vorausgesetzten Kontinuität des Signals sichtbar, welches als Leakage bezeichnet wird. Um das Leakage zu minimieren wird eine WINDOW-Funktion für die Bewertung der Datenblöcke verwendet, welche jedoch ein weiteres Problem mit sich bringt. In [Bild 6-03] ist der Vergleich eines Rechteck-WINDOW zum sehr oft eingesetzten Hanning-WINDOW. Erkennbar ist, dass das Flächengewicht (Integral) des Hanning-WINDOW lediglich 50% des Rechteck-WINDOW beträgt. Das Betragsergebnis einer Frequenztransformation wird um dieses Verhältnis geringer ausfallen. Mit window = hann(blocksize)*sum(blocksize)/sum(hann(blocksize)); wird eine Betrags- (Amplituden- oder Pegel-) korrigierte WINDOW-Funktion erstellt. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 45

46 1.2 1 Vergleich Rechteck-WINDOW zu Hanning-WINDOW Rechteck-WINDOW Flächengewicht: Hanning-WINDOW Flächengewicht: Bewertungsfaktor Stützstellen 10 4 [Bild 6-03] Vergleich Rechteck-WINDOW zu Hanning-WINDOW MATLAB stellt einige WINDOW-Funktionen zur Verfügung. Prinzipiell besteht auch die Möglichkeit für die Gestaltung einer eigenen WINDOW-Funktion. Gebräuchlich und daher gesichert vergleichbar sind jedoch lediglich die WINDOW-Funktionen rectwin, hann und flattopwin. [Bild 6-03] zeigt auch, dass bei der WINDOW-Funktion Hanning die Signalanteile in der Mitte des Fensters weniger, teilweise sogar nur sehr geringfügig, durch die Gewichtung abgeschwächt werden. Für die Reduzierung des Leakage-Effekts ist diese symetrische Anordnung der WINDOW-Funktion vorteilhaft. Für eine Frequenzanalyse zeitlich veränderlicher Signale jedoch nicht. Eine Hilfe stellt hierzu das Overlap dar. Der Parameter noverlap (muss ein ganzzahliger Wert sein) gibt an wie weit sich zwei benachbarte Datenblöcke überlappen. Für das Hanning-WINDOW wird ein Overlap von 2/3 empflohlen. Mit noverlap=ceil(blocksize*2/3); [Sdf1Hz,Fdf1Hz,Tdf1Hz,Pdf1Hz] = spectrogram(data, window, noverlap, blocksize, fs); wird nun das Spectrogramm berechnet, welches in [Bild 6-04] dargestellt ist. Bdf1Hz = 2*abs(Sdf1Hz)/blocksize; berechnet das Betragsspektrogramm. Für eine visuell verständliche Darstellung des Spektrogramms bietet sich surf(tdf1hz, Fdf1Hz, Bdf1Hz, EdgeColor, none ); an, welches zunächst ein dreidimensionales Diagramm in räumlicher Darstellung erzeugt. Die räumliche Darstellung lässt jedoch bei Frequenztransformationen oft nicht das erkennen was ermittelt werden sollte. Mit view(90,90); wird der Blick von oben erzeugt. Über die Farbinformation können die Betragswerte bestimmt werden. 46 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

47 [Bild 6-04] Spektrogramm des Signals 15.cw Um weitere Information aus der Frequenztransformation zu erhalten ist es nun möglich in das Spektrogramm Schnitte entlang der X-Achse (Frequenzschnitt) oder Y-Achse (Zeitschnitt) durchzuführen oder darauf statistische Methoden wie Mittelwert, Maximum oder Minimum anzuwenden. Mit plot(fdf1hz, mean(bdf1hz,2)); entsteht das Diagramm in [Bild 6-05], welches den Mittelwert des Spektrograms darstellt und mit dem in [Bild 6-02] dargestellten Ergebnis vergleich bar ist. Der Parameter 2 in der mean-anweisung gibt an, dass die Mittelwertbildung zeilenweise erfolgen soll. Je nach Orientierung der Betragsmatrix ist dieses auf spaltenweise Mittelwertbildung umzustellen. Der Vergleich mit [Bild 6-02] zeigt jedoch, dass über das Verfahren der kleinen Blocksizes unter Verwendung einer bewertenden WINDOW-Funktion höhere Betragswerte entstehen. Dies liegt nur augenscheinlich an der verwendeten WINDOW-Funktion. Zwar ist die verwendete Hanning-WINDOW-Funktion nicht besonders Pegelgenau, jedoch werden hier zweierlei Unterschiede sichtbar. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 47

48 0.05 Betragsspektrum (gemittelt) des Signals 15.cw Spannung [V] Frequenz [Hz] [Bild 6-05] Gemitteltes Betragsspektrum mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz und einem betragskorrigierten Hanning-WINDOW-Funktion des Signals 15.cw Vergleich von Frequenzspektren mit unterschiedlicher Blocksize Frequenzspektrum gemittelt aus 1 Sekunden Datenblöcken Frequenzspektrum aus gesamter Signallänge Spannung [V] Frequenz [Hz] [Bild 6-06] Vergleich der Betragsspektren des Signals 15.cw mit unterschiedlicher Blocksize. Blau dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz und einem betragskorrigierten Hanning-WINDOW-Funktion. Rot dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum aus der Frequenztransformation mit der gesamten Signallänge, welche eine Frequenzauflösung von 0,0492 Hz ergibt. Hier wurde keine gewichtende WINDOW-Funktion verwendet. Aus der Betrachtung des in [Bild 6-06] dargestellten Frequenzbereichs 70 bis 130 Hz wird der Unterschied beider Methoden sehr deutlich. Allerdings unterliegt die Betrachtung einer Fehleinschätzung. Für einen genaueren Vergleichen, werden für beide Methoden die Summenpegel für den Frequenzbereich 95 bis 105 Hz berechnet. Für die Frequenzauflösung 1 Hz ergibt sich hier ein Wert von 0,0557 V während für die Frequenzauflösung 0,0492 Hz sich ein Wert von 0,0463 V ergibt. Dies ist der wahre Betragsunterschied für die beiden Analysemethoden bei diesem Signal. Zum besseren Verständnis für den praktischen Umgang mit der Funktion spectrogram wird der Vergleich mit einem synthetischem Sinussignal wiederholt. Die Anweisungen 48 fs = 48000; zeitvektor = 0:1/fs:20; zeitvektor = zeitvektor ; f = 100; signal = sin(2*pi*f*zeitvektor); Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

49 erzeugen ein 100 Hz Sinussignal mit 20 Sekunden länge bei einer Abtastfrequenz von Hz. Hieraus wird nun in gleicher Vorgehensweise wie zuvor eine Frequenztransformation für das gesamte Signal, also Blocklänge 20 s, sowie ein zweite Frequenztransformation mit der Blocklänge 1 Sekunde (welches der Frequenzauflösung von 1 Hz entspricht) vorgenommen. Das generierte Signal hat eine Amplitude (Spitzenwert) von 1 V. Vergleich von Frequenzspektren mit unterschiedlicher Blocksize 1 Frequenzspektrum gemittelt aus 1 Sekunden Datenblöcken Frequenzspektrum aus gesamter Signallänge 0.8 Spannung [V] Frequenz [Hz] [Bild 6-07] Vergleich der Betragsspektren des generierten 1V, 100 Hz Signals mit unterschiedlicher Blocksize. Blau dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz und einem betragskorrigierten Hanning-WINDOW-Funktion. Rot dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum aus der Frequenztransformation mit der gesamten Signallänge, welche eine Frequenzauflösung von 0,05 Hz ergibt. Hier wurde keine gewichtende WINDOW-Funktion verwendet. In [Bild 6-07] wird sichtbar, dass bei 100 Hz beide Vorgehensweisen zum Amplitudenwert 1 V führen. Dies entspricht der Signalamplitude des generiertem Signals. Hieraus kann abgeleitet werden, dass beide Vorgehensweisen zu einer richtigen Aussage führen. Vergleich von Frequenzspektren mit unterschiedlicher Blocksize 1 Frequenzspektrum gemittelt aus 1 Sekunden Datenblöcken Frequenzspektrum aus gesamter Signallänge 0.8 Spannung [V] Frequenz [Hz] [Bild 6-08] Vergleich der Betragsspektren des generierten 1V, 99.5 Hz Signals mit unterschiedlicher Blocksize. Blau dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum mit einer Frequenzauflösung von 1 Hz und einem betragskorrigierten Hanning-WINDOW-Funktion. Rot dargestellt ist das gemittelte Betragsspektrum aus der Frequenztransformation mit der gesamten Signallänge, welche eine Frequenzauflösung von 0,05 Hz ergibt. Hier wurde keine gewichtende WINDOW-Funktion verwendet. In [Bild 6-08] ist das Ergebnis aus der Wiederholung des Versuchs dargestellt. Das generierte Signal ist nun ein 1 V Sinus mit 99,5 Hz. Beide Vorgehensweisen zeigen nun wiederum unterschiedliche Betragswerte bei 99,5 Hz. Dieses Ergebnis relativiert allerdings die zu [Bild 6-07] getroffene Interpretation zur Aussagefähigkeit der Funktion spectrogram. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 49

50 Wie können die Ergebnisse der Funktion spectrogram interpretiert werden? Die Ergebnisse der Funktion spectrogram sind gleichwertig zu den Ergebnissen vergleichbarer MATLAB-Funktionen wie fft oder dft. Das Ergebnis einer Fouriertransformation ist von mehreren Parametern abhängig. Um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten ist Konsens über die Parametrierung der Fouriertransformation sowie über den Messprozess zwingend erforderlich. Abweichungen im Messprozess und/oder in der Parametrierung der Fouriertransformation führen zwangsläufig zu unterschiedlichen Ergebnissen. Anzustreben ist, möglichst nahe an das wahre Ergebnis heran zu kommen. Das zu analysierende Signal selbst sowie die Abtastrate, die Blocklänge und die verwendete WINDOW-Funktion beeinflussen das numerische Ergebnis der Fouriertransformation. Die ermittelten Werte eines Betragsspektrums sind immer als Mittelwert über die Blocklänge zu interpretieren. Hieraus ergibt sich, dass für kontinuierliche Signale - wie zum Beispiel das generierte Sinussignal - große Blocklängen mit kleinen Delta-f für die genaue Ermittlung von Betragswerten von Vorteil sind. Im Umkehrschluss benötigt man für fluktuierende Signale oder Kurzzeitereignisse möglichst kurze Datenblöcke, welches zu großem Delta-f führt. Ermittelte Werte stellen das Ergebnis für den Frequenzbereich Delta-f dar, denn die Fouriertransformation erfolgt für Frequenzbereiche. Sie geht dabei von dem Vorhandensein sinusförmiger Signalverläufe aus. Je kürzer die Blocklänge, desto breiter der Frequenzbereich. Desto weniger gilt die Annahme, der abgelesene Betragswert sei die Amplitude einer Sinusschwingung. 50 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

51 7. Anwendungsbeispiel - Spieluhren Es stehen vier verschiedene Spieluhren für eine vergleichende Analyse zur Verfügung. Der mechanische Aufbau der Spieluhren ist jeweils gleich. Durch die Gestaltung der Melodie-Walze wird erreicht, dass jede Spieluhr ihre eigene Musik abspielt. Die Melodien weisen eine Spielzeit von ca. 15 Sekunden auf. Aufgabe 1 Signale mit einem Mikrofon erfassen Die Signale werden mit einem ¼ Klasse 1 Mikrofon M372 der Fa. MTG erfasst. Das verwendete Mikrofon lässt sich über den LINE-Eingang jeder Standard-Soundkarte betreiben. Hierdurch erhält man ein einfach gestaltetes und kostengünstiges Schallmessgerät. Mit dem MATLAB-Befehl audiodevinfo können die Informationen zum AUDIO-Device ausgelesen werden. Hierin sollten die DEVICE-ID, die Abtastraten und die Auflösung kontrolliert werden. audio = audiodevinfo; % mit audiodevinfo die Informationen über das % AUDIO-Device auslesen Die Abtastrate sollte einen sinnvollen Frequenzbereich abdecken. Legt man das übliche Abtasttheorem 2,56 zu Grunde, dann ergibt eine Abtastrate mit Messwerte je Sekunde, der Abtastrate der AUDIO-CD, einen Frequenzbereich bis Hz, also geringfügig besser als die HiFi-Definition. Mit Messwerte / Sekunde, einer der üblichen Abtastraten für Schallsignale in der Messtechnik, wird ein Analyse-Frequenzbereich bis Hz erreicht. Dies deckt immer noch nicht den Frequenzbereich 20 Hz bis 20 khz ab, dazu wäre eine Abtastrate von mindestens Messwerte je Sekunde erforderlich. fs = 48000; % Abtastrate in Messwerte/Sekunde Ebenso ist die Auflösung des Messwerts zu definieren. Bei 16 Bit Auflösung, dem AUDIO-CD-Standard, ist bei der Wiedergabe noch ein deutliches Rauschen zu vernehmen. Insbesondere, wenn die Signale über einen Kopfhörer kontrolliert werden. nbits = 24; % Auflösung des Messwerts = 24 Bit Auch die Anzahl der Messkanäle ist zu definieren. Bei der Messung über den LINE-Eingang werden zwei Kanäle definiert, da nicht eindeutig ist, auf welchem Kanal das Mikrofon erfasst wird. nchannels = 2; % Stereo Um ein wenig Vor- und Nachlauf zur Messung zu haben, wird die Messzeit auf 20 Sekunden festgelegt. messzeit = 20; % Messzeit in Sekunden Das Messgerät, hier die Soundkarte, liefert als Messergebnis Spannungswerte in Volt. Diese müssen in den physikalischen Messwert über den Kalibrierwert umgerechnet werden. Ein Mikrofon erfasst den Schalldruck, genaugenommen den Wechselanteil des anliegenden Umgebungsdruckes. Der Kalibrierwert ist im Kalibrierzertifikat hinterlegt. Alternativ kann mit einer Referenzschallquelle, dem Kalibrator, der Kalibrierwert ermittelt werden. kalibrierwert = 25.4; kalibrierwert = kalibrierwert / 1000; % der Kalibrierwert des Mikrofons muss aus dem % Datenblatt des übertragen werden % Die Angabe erfolgt in mv/pa % Umrechnung des Kalibrierwertes in V/Pa Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 51

52 Nachdem nun alle Informationen vorliegen, die für die Messung erforderlich sind, kann nun das Messgerät angelegt werden. messgeraet = audiorecorder(fs,nbits,nchannels); % legt das Messgerät an Um wenigstens ein wenig Messkomfort zu erreichen, wird mit messgeraet.startfcn und messgeraet.stopfcn je eine Funktionalität programmiert, die vor dem Start bzw. nach dem Ablauf der Messzeit eine Aktivität des Rechners auslöst. Beide Funktionen verzögern den Messablauf. Hier könnte also auch etwas einprogrammiert werden, dass z.b. den Messprozess startet und beendet. messgeraet.startfcn = disp( Messung startet ) ; messgeraet.stopfcn = disp( Messung beendet ) ; % gibt eine Bildschirmanzeige für Beginn und Ende % der Messung Die eigentliche Messung erfolgt mit dem Aufruf record(messgeraet, messzeit); Die Messdaten liegen nach Ablauf der Messzeit im Puffer. Dieser muss nun gesichert werden, damit die Messdaten erhalten bleiben. messdaten = getaudiodata(messgeraet); % Die Messdaten sind bis zur nächsten Messung im % audiorecorder verfügbar. Um diese nutzen zu % können, ist die Speicherung in einer Varialen % erforderlich. % Hierzu muss natürlich die Messung bereits beendet % sein. % Nach dem Umspeichern der Messdaten liegen % diese nicht mehr im Puffer des audiorecorders. Um den Messkanal herauszufinden, in dem sich die Mikrofonmessung befindet, wird die Messung mit plot(messdaten(:,1)); Kanalweise ausgegeben. 0.6 Spieluhr Signalerfassung mit Mikrofon Spannungswerte [V] Zeit [s] 10 5 [Bild 6-01] Aufgezeichnetes Mikrofonsignal über die Zeit. 52 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

53 Einer der beiden Messkanäle enthält das Messignal. Dieser wird nun in eine eigene Variable in den physikalischen Werten (SI Einheit) abgelegt. messung_muenchen = messdaten(:,1)/kalibrierwert; % Umrechnen der Spannungswerte in physikalische % Messwerte Aufgabe 2 Vergleich des A-bewerteten Gesamtpegels der Spieluhren Luftschall-Messwerte werden üblicherweise in db(a) dargestellt und kommuniziert. Dies ist zwar nicht in allen Fällen technisch sinnig, hat sich jedoch in dieser Art als Standard etabliert. Hierzu wird mit der Funktion afilter, dessen MATLAB-Code afilter.m sich in den Suchpfaden befinden muss, das Zeitsignal A-gefiltert (A-bewertet). messung_muenchen_abew = afilter(messung_muenchen,fs); % A-Bewertung des Zeitsignals % Schallpegelwerte werden typischer Weise in db(a) % RMS-Werte angegeben. Hierzu wird zunächst das % Zeitsignal mit einem Filter A-Bewertet und im % nächsten Schritt werden der RMS-Werte mit der % Zeitkonstante 125 ms berechnet Im Anschluss daran wird aus dem Zeitsignal ein RMS-Pegelverlauf mit einer Zeitkonstante von 125 ms gebildet. Hierzu wird die MATLAB-Funktion envelope verwendet. Der RMS-Wert mit der Zeitkonstannte 125 ms entspricht dem in einigen Normen herangezogenen Gesamtpegel fast. tkonstante = 0.125; % Festlegung der Zeitkonstante Die Funktion envelope benötigt die Fensterlänge als Anzahl von Messwerten. fenster = ceil(fs*tkonstante); % Berechnung der Fensterlänge % = Anzahl der Messwerte, muss ganzzahlig sein Die MATLAB-Funktion envelope liefert als Ergebnis einen Upper- und eine Lower-Verlauf. Benötigt wird nur der obere Teil (yupper) des Ergebnisses. [muenchen_rms_abew,ylower] = envelope(messung_muenchen_abew,fenster, rms ); % Die Funktion envelope liefert die Umhüllenden des % Zeitsignals. Benötigt wird lediglich die positive % Umhüllung. Aufgrund der Datenreduktion hat sich nun eine geänderte Zuordnung der Zeitachse zu den RMS-Werten ergeben. Für die Darstellung RMS-Pegelverlauf über die Messzeit wird daher eine neue Zeitachse benötigt. zeitachse = (0:(length(muenchen_rms_abew)-1)) / fs; zeitachse = zeitachse ; % Zeitachse ermitteln anschließend % Zeilen/Spaltentausch Bisher liegen die Messwerte als lineare Werte vor. Die Darstellung soll aber in der für Luftschall üblichen Form des db(a) erfolgen. Dazu sind aus den RMS-Werten das logarithmische Verhältnis zu berechnen. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 53

54 Referenzwert für den Luftschall ist 20 μpa. muenchen_rms_dba=20*log10(muenchen_rms_abew/ ); % Berechnung des Schalldruckpegels in db Mit dem MATLAB plot-befehl werden nun die Kurvenverläufe dargestellt. hold on % um mehrere Kurven in einem Diagramm darstellen % zu können plot(zeitachse(:,1),muenchen_rms_dba(:,1)); % Darstellung der A-Bewerteten RMS-Werte über die % Zeit hold off 110 Spieluhr München Pegelverlauf in db(a) Schallpegel [db(a)] Zeit [s] [Bild 6-02] Zeitlicher Verlauf der RMS-Werte (Zeitkonstante 125 ms, fast ) des A-bewerteten Schalldruckpegel eine Spieluhr. Aufgabe 3 Frequenzanalyse der gemessenen Signale Die Frequenzanalyse erfolgt auf Basis der FFT. Für die Berechnung der FFT als einzelne oder des Spektrogramms als gesamte Signalanalyse ist die Festlegung einiger Parameter erforderlich. Benötigt wird, als einer der wichtigsten Parameter die Frequenzauflösung in Hz. Der Kehrwert der Frequenzauflösung, die Blocksize in Sekunden, gibt die Zeitspanne an, in der sich das zu analysierende Messsignal nicht ändern darf. Änderungen innerhalb der Blocksize ergeben eine Verschmierung des Ergebnisses. df = 8; % Frequenzauflösung in Hz festlegen Die MATLAB-Funktionen fft bzw. spectrogram benötigen als Übergabeparameter die Blocksize in Anzahl der Messwerte. nfft = fs/df; % Anzahl der Messwerte für die FFT berechnen Wie aus den Grundlagen der FFT bekannt ist, muss das zu analysierende Signal sich periodisch fortsetzen. Dies ist bei vielen Messsignalen nicht der Fall. Über die Fensterung wird das Messsignal in die Periodizität gezwungen. Als Fensterfunktionen (WINDOW) stehen einige Standard-WINDOW-Funktionen zur Verfügung. Das Hanning-Window ist eines der gebräuchlichsten. Die Fensterfunktion muss gleiche Länge wie die FFT aufweisen. window = hann(nfft); % Fensterfunktion festlegen 54 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

55 Mit der Fensterfunktion wird das Messsignal verändert. Dies hat Auswirkungen bezüglich der Pegelgenauigkeit der FFT. Für die Verbesserung der Pegelgenauigkeit werden die einzelnen FFT-Blöcke üperlappend abgearbeitet. Die Verbesserung der Pegelgenauigkeit macht sich allerdings erst bei einer Mittlung bemerkbar. overlap = 2/3; noverlap = ceil(nfft * overlap); % Overlap festlegen % Die Anzahl der Messwete berechnen, die der % Overlap lang ist. noverlap muss ganzzahlig sein! % mit ceil() wird auf den nächsten ganzzahligen % Wert aufgerundet. Mit der MATLAB-Funktion spectrogram wird nun das gesamte Messsignal einer Transformation in die Frequenzebene unterzogen. Die Funktion gibt mehrere Variablen zurück. [fft_muenchen,fachse,tachse,psd_muenchen] = spectrogram(messung_muenchen,window,- noverlap,nfft,fs); fft_<***> enthält die zweiseitige FFT, fachse den Frequenzvektor, tachse den Zeitvektor und psd_<***> das zugehörige PSD (Power-Spectral-Density, spektrale Leistungsdichte). <***> ist durch entsprechende Bezeichnungen sinnvoll zu setzen. Das FFT- und das PSD-Ergebnis liegt in einem 3D-Array vor. [Bild 6-03] 3Dimensionale-Darstellung der Frequenzanalyse einer Spieluhr. Pegelwerte in db(a) Die Frequenzanalyse des Signals wurde in Blöcken mit der Blocksize nfft durchgeführt. Diese wurden mit der in window hinterlegten Fensterung gewichtet. noverlap gibt die Überlappung der einzelnen Blöcke zueinander an und messung_muenchen enthielt die zu analysierenden Messdaten. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 55

56 Unter anderem lassen sich mit der MATLAB-Funktion surf die 3D-Arrays visualisieren. Beispiel: surf(tachse,fachse,(20*log10((2*abs(fft_muenchen)/nfft)/ )), EdgeColor, none ) Mit 2xabs(fft_muenchen)/nfft wird das Ergebnis der FFT nromiert und skaliert. Da das Ergebnis der FFT zweiseitig ist d.h. um den Nullpunkt der Frequenzachse werden die anteiligen Frequenzen gespiegelt. Somit ist der jeweilige Betrag um 1/2 zu niedrig. Für die Normierung ist das Ergebniss der FFT mit der Anzahl der Linien zu dividieren. Das Ergebnis der FFT ist komplex. Es enthält einen Real- und einen Imaginär-Anteil. Hieraus lassen sich Betrag und Phase der FFT mit abs() und angle() ermitteln. Meist ist lediglich der Betrag von Interesse. Für die Bestimmung der enthaltenen Töne (Frequenzen) ist eine 2D-Darstellung besser geeignet. Zudem ist hierzu der Pegelwert nicht von Bedeutung. Beispiel: plot(fachse, mean((20*log10((2*abs(fft_muenchen)/nfft)/ )),2)); Die MATLAB-Funktion mean() bildet den Mittelwert über die Frequenzlinien. 70 gemitteltes Frequenzspektrum Schalldruck db(a) Frequenz (Hz) [Bild 6-04] Gemitteltes Frequenzspektrum einer Spieluhr. Pegelwerte in db(a). Aus den 2D-Spektrogrammen der einzelnen Spieluhren können nun die Töne (Frequenzen) ermittelt werden. Aufgabe 4 Töne (Frequenzen) der Spieluhren ermitteln Aufgabe 5 Zeitlicher Verlauf einzelner Töne Der Unterschied zwischen den Spieluhren besteht darin, welche Töne genutzt werden und welchen zeitlichen Verlauf diese aufweisen. Um die Unterschiede zwischen den Spieluhren darstellen zu können wird der zeitliche Verlauf gleicher Töne unterschiedlicher Spieluhren im Vergleich zueinander dargestellt. Um den zeitlichen Verlauf eines Tones darzustellen bieten sich zwei Lösungswege an. 56 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

57 Lösungsweg 1 Frequenzschnitt In Aufgabe 4 wurden die Frequenzen der einzelnen Töne ermittelt. Diese Ermittlung erfolgte mit der Frequenzauflösung der durchgeführten FFT. Daher kann die Linien-Nummer über die Division der Frequenz mit der Frequenzauflösung ermittelt werden. Der jeweilige Pegel dieser Frequenzlinie im Betragsspektrum betragspektrum_muenchen = 20*log10((2*abs(fft_muenchen)/nfft)/ ); zum Zeitpunkt t bzw. über die gesamte Messzeit kann nun dargestellt werden. liniennr = ceil(ton/df); % Brechnung der Linien Nr plot(tachse, betragspektrum(liniennr,:)); % Darstellung des Tons über die Zeit Lösungsweg 2 Signal filtern und anschließende RMS-Pegelberechnung Schnitte entlang der Linien einer FFT weisen den Nachteil auf, dass diese sehr exakte und enge Frequenzbereiche aufweisen. Ist dies nicht erforderlich oder gar störende, dann ist der Analyseweg via Signalfilterung besser geeignet. Obendrein weist das Ergebnis der Filterung eine bessere Pegelgenauigkeit auf. Für die Erstellung des Filters benötigt die Filterfunktion wiederum einige Parameter. fg = fs/2; Mit fs/2 ist die maximale Analysefrequenz definiert. Fo und fu geben die obere und untere Grenzfrequenz des Bandpassfilters an. In bandbreite wird die halbe relative Filterbandbreite angegeben. bandbreite = 0.1; fo = (ton+bandbreite*ton)/fg; fu = (ton-bandbreite*ton)/fg; Das Signal kann nun gefiltert werden. Die MATLAB-Funktion fir1 erzeugt ein FIR-Filter mit den Parametern Steilheit (hier 400), fu sowie fo. B = fir1(400,[fu fo]); Im nächsten Schritt wird das Filter auf die Messdaten angewendet. Eine Verschachtelung der beiden Funktionen ist zu empfehlen ton_muenchen = filtfilt(fir1(400,[fu fo]),1,messung_muenchen(:,1)); Für die Ermittlung des Pegelverlaufs wird nun wiederum die MATLAB-Funktion envelope verwendet. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 57

58 Vergleich Pegelverlauf Frequenzschnitt Signal gefiltert Schallpegel [db(a)] Zeit [s] [Bild 6-05] Vergleichende Darstellung für den Signalverlauf eines Tons der Spieluhr. Die Pegelwerte des gefilterten Signals liegen höher als die Werte aus dem Frequenzschnitt. Hierbei wird der Unterschied in Pegelgenauigkeit der FFT zur Signalfilterung sichtbar. Um vergleichbare Werte zu erhalten, müssten aus mehrere Frequenzschnitten ein Summenpegel errechnet werden. 58 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

59 8 Anwendungsbeispiel - Kennwerte Beschleunigungsaufnehmer Ein Beschleunigungsaufnehmer wird durch seinen Kalibrierwert und dem Frequenzgang charakterisiert. Unter dem Kalibrierwert wird der Übertragungsfaktor von gemessener elektrischer Spannung, meist in mv, und der physikalischen ISO-Einheit, hier m/s 2, verstanden. Im Frequenzgang wird die Abweichung des Kalibrierwertes in Abhängigkeit zur gemessenen Frequenz ermittelt. Hieraus lässt sich die Übertragungsfunktion H des Beschleunigsaufnehmers ermitteln. Aufgabe dieses Versuches ist es, das in [Bild 7-01] dargestellte Kalibrierprotokoll eines Beschleunigungsaufnehmers zu erstellen. Hochschule München Dachauer Straße 98b München Kalibrierprotokoll Datum 29. Februar 2016 Wahrscheinlichkeitsdiagramm Verteilung Dipl.-Ing. A. Rohnen LbA FK03 - Maschinenbau, Fahrzeugtechnik, Flugzeugtechnik Labor für Maschinendynamik Wahrscheinlichkeit Telefon: Telefon: rohnen@hm.edu Kalibrierwert [mv/m/s 2 ] Kalibrierwert [mv/m/s 2 ] Büro / Labor: B0273 Frequenzgang Abweichung [db] Frequenz [Hz] Sensor B&K 4504 SN: Inventar-Nr: EU: m/s 2 Kalibrierwert Achse Z : mv/eu Referenzmesskette: Sensor: B&K 4383 Hochschule München Dachauer Straße 98b München Straßenbahn-Linien 20,21 Haltestelle Lothstraße U-Bahn-Linie 1 Haltestelle Mallingerstraße München, den 29. Februar 2016 Dipl.-Ing. Armin Rohnen [Bild 7-01] Kalibrierprotkoll eines Beschleunigungsaufnehmers Für den Frequenzbereich 20 Hz bis 1000 Hz soll die Linearität und der Kalibrierwert eines Beschleunigungsaufnehmers ermittelt werden. Zudem soll die Aussagewahrscheinlichkeit der ermittelten Kennwerte dargelegt werden. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 59

60 Für die Durchführung des Versuchs steht der in [Bild 7-02] und [Bild 7-03] dargestellte Versuchsaufbau zur Verfügung. [Bild 7-02] Schwingerreger (Shaker) B&K Vibration Exciter Type 4809 mit den Referenzsensoren Kraft (unten) sowie Beschleunigung (oben). Der zu prüfende Beschleunigungsaufnehmer wird an oberster Stelle mit einem geeigneten Befestigungsmittel angebracht, ohne dabei die Referenzsensoren zu schädigen. [Bild 7-03] HP 8904A Synthesizer für die Erzeugung des Soll-Signals Über eine MATLAB-Funktion werden die für die jeweilige Prüffrequenz erforderlichen Sollwerte in Frequenz und Amplitude durch den HP 8904A Synthesizer generiert. Der B&K Power Amplifier verstärkt das elektrische Soll-Signal, so dass der Shaker, in den Grenzen seiner Leistungsfähigkeit, eine mechanische Schwingung erzeugen kann. Eine mechanische Überlastung des Shakers, zum Beispiel durch eine auf dem Hubkolben angebrachte zu hohe Gesamtmasse, führt zu einem unsauberen Signalverlauf und kann dauerhaft den Shaker beschädigen. Die auf dem Hubkolben angebrachten Referenzsensoren dienen dazu, dass die MATLAB-Funktion die jeweilige Prüffrequenz und Prüfamplitude einregeln kann, sowie als Vergleichs bzw. Referenzwerte für den zu kalibrierenden Sensor. Letztlich wird bei der Kalibrierung ein Vergleich zwischen Referenzsensoren und Prüfsensoren durchgeführt. 60 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

61 Der verwendete B&K Vibration Exciter Type 4809 lässt eine Variation der Frequenz im Bereich 10 Hz bis 20 khz zu. Die maximale Hubkraft beträgt ohne Kühlung 45 N (gekühlt 60 N, jeweils Spitzenwerte) sowie der maximale Hub 8 mm. Je nach mechanischer Last lassen sich Beschleunigungswerte bis zu 736 m/s 2 erzeugen. [Bild 7-04] Leistungsverstärker B&K Power Amplifier Type 2718 sowie Pegelmesser B&K 2811 Aufgabe 1 - Versuchsmatrix aufstellen Um einen Beschleunigungsaufnehmer praktikabel als Sensor einsetzen zu können, muss dieser in einem definierten Messbereich (Frequenz und Beschleunigung) einen gleichbleibenden Kalibrierwert aufweisen. Für die Überprüfung des Beschleunigungsaufnehmers wird der Arbeitsbereich des Sensors in sinnvolle Prüfstufen (Beispiel siehe [Bild 7-06]!) aufgeteilt. Dies erfolgt entlang des Messbereichs für Frequenz und Beschleunigung. Dabei ist darauf zu achten, dass die gewählten Prüfstufen mit der verwendeten Prüfeinrichtung realisiert werden können. Der Arbeitsbereich des verwendeten B&K Vibration Exciter ist in [Bild 7-05] dargestellt. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 61

62 [Bild 7-05] Das Beschleunigungsdiagramm des B&K Vibration Exciter Type 4809 stellt die erreichbaren Beschleunigungswerte in [g] über die Arbeitsfrequenz dar. a = 10 m/s 2 (rms) a = 20 m/s 2 (rms) a = 30 m/s 2 (rms) a = 50 m/s 2 (rms) f = 10 Hz 1 f = 20 Hz 2 f = 30 Hz 3 f = 50 Hz 4 f = 70 Hz 5 f = 100 Hz f = 200 Hz 7 f = 300 Hz 8 f = 500 Hz f = 700 Hz 11 f = 1000 Hz 12 [Bild 7-06] Beispiel einer Versuchsmatrix mit 18 Kalibrierstufen für die Kalibrierung eines Beschleunigungsaufnehmers Aufgabe 2 - Durchführung der Kalibriermessungen Für die Durchführung der Kalibriermessungen ist ein SETUP der Prüfeinrichtung erforderlich. Jede der einzelnen Prüfstufen wird über eine Regelschleife in Frequenz und Beschleunigungsamplitude eingestellt. In der Frequenz folgt der Shaker dem Soll-Signal ohne Einschränkungen. In der Beschleunigungsamplitude muss ein Regelkreis den gewünschten Sollwert einregeln. Da der Messwert des Prüflings mit dem Messwert des Referenzsensors verglichen wird, bestehen keine besonders großen Anforderungen an die Pegelgenauigkeit der Beschleunigungsamplitude. Eine Pegelgenauigkeit von 10% ist ausreichend. Diese Rahmenbedingung reduziert den Zeitaufwand für die Messungen erheblich. 62 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

63 function [messgeraet, hpib, fs, kalibrierwert] = setup() Die MATLAB-Funktion setup(), welche sich im Zugriff befinden muss, führt das Mess-Setup durch. Diese Funktion ist bei anderweitiger Verwendung entsprechend der Konfiguration des Messaufbaus anzupassen. Es ist ratsam, diese Funktion in das gerade aktuelle MATLAB-Arbeitsverzeichnis zu kopieren. Mit [messgeraet, hpib, fs, kalibrierwert] = setup; erfolgt der Aufruf der Funktion und das Setup der Kalibriermessung. Diese liefert insgesamt vier Parameter als Antwort zurück. messgeraet enthält die Session des konfigurierten Messgeräts für die Kalibriermessung. Für die Beschleunigungsaufnehmerkalibrierung im Labor für Maschinendynamik ist wie folgt definiert: ai0, Voltage % Shakersignal ai1, Voltage % Referenzaufnehmer Kraft ai2, Voltage % Referenzaufnehmer Beschleunigung ai3, Voltage % Signalgenerator ai4, Voltage % Prüfling 1 ai5, Voltage % Prüfling 2 ai6, Voltage % Prüfling 3 Typischerweise ist lediglich ai4 mit einem Prüflingssignal belegt. Für die spätere Auswertung werden aus dem Datenstrom die Messwerte des Referenzaufnehmers Beschleunigung, Signalgenerator und Prüfling 1 benötigt. hpib enthält die Session der konfigurierten Schnittstelle (GPIB-Bus) zum HP Synthesizer. Hierüber erfolgt die Ausgabe des Soll-Signals. In fs wird die Abtastrate zurück gegeben. Diese ist für die Frequenzanalyse des Datenstroms erforderlich. kalibrierwert enthält in gleicher Rangfolge wie die Messgeräte-Konfiguration die zugehörigen Kalibrierwerte in [mv/eu]. Bei den Messwerten im Datenstrom handelt es sich um Spannungsmesswerte in [V]. Damit sind die Vorbereitungen für die Kalibriermessung abgeschlossen. Das Einregeln der Prüfstufe erfolgt durch die MATLAB-Funktion pegelschleife. Mit der Codesequenz soll = amplitude; % Sollamplitude in m/s^2 (rms) tol = 0.1; % 10% Amplitudentoleranz verstaerkung = 0.4; % Initialwert für das Verstärkungsverhältnis % RMS-Wert Referenzsensor / PEAK-Wert Generator %fs % Abtastrate aus SETUP %kalibrierwert % Kalibrierwerte aus SETUP synth = hpib; % Session des HP Synthesizer %messgeraet % Session des Messgeräts chan_ref = 3; % Kanal-Nr des Referenzsensors Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 63

64 chan_synth = 4; chan_mess = 5; % Kanal-Nr des Generatorsignals % Kanal-Nr des Prüflings [y, Data] = pegelschleife(soll, tol, fsoll, verstaerkung, fs, kalibrierwert, synth, messgeraet, chan_ ref, chan_synth, chan_mess); kann nun für jede Kalibrierstufe ein Regelungs- und Messdurchlauf durchgeführt werden. Die Funktion liefert in y und Data das Messergebnis. y enthält die Werte aus den durchgeführten Regelungsschleifen (siehe [Bild 7-07]!). Der darin abgelegte Kalibrierwert basiert auf einer RMS-Wertebildung aus dem Zeitsignal. Damit dies auch für höhere Frequenzen gültig ist, muss eine entsprechend hohe Abtastrate im SETUP eingestellt werden. f soll Hz a soll(rms) [m/s 2 ] a ist(rms) [m/s 2 ] Verstärkung 100 * Kalibrierwert [mv/eu] [Bild 7-07] Beispiel einer Wertetabelle y, welche als Ergebnis der Regelungsschleife zurück gegeben wird. Data enthält den Datenstrom der letzten Schleife der Pegelregelung. Hierin befinden sich demnach die Daten, welche für diese Kalibrierstufe gültig sind. Mit ergebnis(kalibrierstufe).y = y; ergebnis(kalibrierstufe).daten = Daten; werden die Messwerte der einzelnen Kalibrierstufen in einem MATLAB-Struct abgelegt. Nach Beendigung der letzten Kalibrierstufe sollte mit der Shaker abgeschaltet werden. fprintf(hpib,[ APA num2str(0) MV ]); Aufgabe 3 - Auswertung der Messdaten Für die Auswertung der Messdaten werden FFT-Spektren aus dem Datenstrom des Referenzsignals und des Prüflings benötigt. 64 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

65 Mit beschleunigung = ergebnis(kalibrierstufe).daten(:,3)*1000/ksreferenz_kalibrierwert; und pruefling = ergebnis(kalibrierstufe).daten(:,5)*1000/verstaerkung; werden die erforderlichen Messdaten SI-einheitengerecht bereitgestellt. Der Faktor Verstaerkung enthält den Verstärkungsfaktor des Messverstärkers über den der Prüfling angschlossen ist. Dieser kann die Werte 1,10 und 100 annehmen. Ein hoher Verstärkungsfaktor des Messverstärkers erhöht bei niedrigen Kalibrierwerten die Ermittlungsgenauigkeit des Kaibrierwertes. 30 Referenzsensor 20 Beschleunigung [m/s 2 ] Messwerte [Bild 7-08] Signal des Referenzsensors in der Kalibrierstufe f = 100 Hz, Amplitude = 20 m/s 2 In [Bild 7-08] ist ein Signalausschnitt des Referenzsensors dargestellt. Das Signal ist als eine etwas verrauschte Sinusschwingung im Amplitudenbereich +/- 30 m/s 2. Der Sollwert betrug f = 100 Hz und Amplitude (rms) = 20 m/s 2. Der Rauschanteil des Signals ist auf die Taktung des HP Synthesizer zurück zu führen. Diese macht sich in den niedrigen Kalibrierfrequenzen bemerkbar. Da für die Berechnung des Kalibrierwertes das Ergebnis aus der FFT herangezogen wird, nimmt der Rauschanteil auf das Kalibrierergebnis keinen Einfluss. Für beschleunigung und pruefling wird jeweils ein Spektrogramm berechnet. Dabei ist bei der WINDOW-Fuktion darauf zu achten, dass diese um ihre Betragsverfälschung korrigiert werden muss. In [Bild 7-09] ist der Unterschied zwischen pegelkorrigierter und unkorrigierter WINDOW-Funktion zu erkennen. Die Pegelkorrektur steht in Abhängigkeit mit der Blocksize (nfft) und berechnet sich aus der Division nfft/summe(window-funktion). Die Pegelkorrektur kann wahlweise auf die WINDOW-Funktion oder auf das gefensterte Zeitsignal angewendet werden. Um die bestmögliche Pegelgenauigkeit der FFT zu erhalten wird die WINDOW-Funktion FlatTop verwendet. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 65

66 5 4 pegelkorrigierte FlatTop Windowfunktion unkorrigierte FlatTop Windowfunktion Über den Programmcode [Bild 7-09] WINDOW-Funktion FlatTop unkorrigiert (rot) und pegelkorrigiert (blau) df = 4; % Frequenzauflösung in Hz festlegen nfft = fs/df; % Anzahl der Messwerte für die FFT berechnen window = flattopwin(nfft)*nfft/sum(flattopwin(nfft)); % Fensterfunktion festlegen und Pegelkorrektur % durchführen overlap = 2/3; % Overlap festlegen noverlap = ceil(nfft * overlap); % Die Anzahl der Messwete berechnen, die der % Oerlap lang ist. noverlap muss ganzzahlig sein! % mit ceil() wird auf den nächsten ganzzahligen % Wert aufgerundet. [s,f,t,p] = spectrogram(beschleunigung,window,noverlap,nfft,fs); surf(t,f,(2*abs(s)/nfft), EdgeColor, none ) % 2xabs(s)/nfft % dieser Rechenschritt nromiert und skaliert das % Ergebnis der FFT % das Ergebnis der FFT ist zweiseitig d.h. um den % Nullpunkt der Frequenzachse werden die anteiligen % Frequenzen gespiegelt. Somit ist der jeweilige % Betrag um 1/2 zu niedrig % Für die Normierung ist das Ergebniss der FFT mit % der Anzahl der Linien zu dividieren % Das Ergebnis der FFT ist komplex. Es enthält % einen Real- und einen Imaginär-Anteil. Hieraus % lassen sich Betrag und Phase der FFT mit abs() % und angle() ermittel. Meist ist lediglich der % Betrag von Interesse 66 axis xy; axis tight; colormap(parula); view(120,30); xlabel( Zeit [s], FontSize, 14); ylabel( Frequenz (Hz), FontSize, 14); zlabel( Beschleunigung [m/s^2], FontSize, 14); Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

67 title( Frequenzspektrum - Campbell-Diagramm, FontSize, 16); colorbar; axis([ ]); lässt sich das Frequenzspektrum der Shaker-Anregung zur Kontrolle, wie in [Bild 7-10] darstellen. [Bild 7-10] Frequenzspektrum der Shaker-Anregung zur visuellen Kontrolle der Messung. Für die Berechnung des Sensor-Kalibrierwertes wird aus dem Frequenzspektrum der RMS-Wert der Shaker-Anregung benötigt. Da das FlatTop-WINDOW sehr pegelgenau ist, benötigt man für die Berechnung des RMS-Wertes der Anregung lediglich den Maximalwert aus einem Intervall um die Soll-Frequenz. Im ersten Schritt wird dazu mittels mean((2*abs(s)/nfft),2) der Mittelwert des Spektrums über die Messzeit ermittelt. anregung_rms = max(spektrum(linie-5:linie+5,1))/sqrt(2) ermittelt den RMS- Wert der Shaker-Anregung. Mit dem Messsignal des Prüflings wird in gleicher Weise verfahren. [s,f,t,p] = spectrogram(pruefling,window,noverlap,nfft,fs); % ermittelt das Spektrogramm aus dem Prüflingssignal spektrum = mean((2*abs(s)/nfft),2); % das Betragsspektrum ermitteln pruefling_rms = max(spektrum(linie-5:linie+5,1))/sqrt(2); Damit liegen je ein RMS-Wert für die Shaker-Anregung in [m/s 2 ] sowie Signalspannung des Prüflings in [mv]. Hieraus wird der Kalibrierwert für die betrachtete Kalibrierstufe gebildet. kalibrierwert = pruefling_rms/anregung_rms; % berechnet den Kalibrierwert in mv/eu Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 67

68 Die so ermittelten einzelnen Kalibrierwerte, Soll-Frequenzen sowie Soll-Amplituden werden mittels in einer Matrix abgelegt. kalibrierwerte(kalibrierstufe,1) = Kalibrierwert; kalibrierwerte(kalibrierstufe,2) = Sollfrequenz; kalibrierwerte(kalibrierstufe,3) = Sollamplitude; Der Mittelwert des Kalibrierwertes, berechnet über alle Kalibrierstufen, repräsentiert den Kalibrierwert des Sensors. Zu prüfen ist, ob es sich bei der Ermittlung des Kalibrierwertes um Messwerte mit Normalverteilung handelt, oder ob es zu einzelnen Messwertausreißern gekommen ist. Somit ergibt sich das statistisch abgesicherte Kalibrierergebnis aus dem MATLAB-Code kalibrierwert = mean(kalibrierwerte(:,1)); % Mittelwert und abweichung = std(kalibrierwerte(:,1)); % Standardabweichung ermitteln xachse=(kalibrierwert-abweichung*4):0.0001:(kalibrierwert+abweichung*4); % X-Achse für Gausverteilung in 1/1000 Schritten Mit der Anweisung normplot(kalibrierwerte(:,1)) wird ein Diagramm, wie in [Bild 7-11] dargestellt, zur Darstellung bzw. Begutachtung der Normalverteilung von (streuenden) Werten erzeugt. Wahrscheinlichkeitsdiagramm Wahrscheinlichkeit Kalibrierwert [mv/m/s 2 ] [Bild 7-11] Wahrscheinlichkeitsdiagramm einer durchgeführten Beschleunigungsaufnehmer- Kalibrierung. Die einzelnen ermittelten Kalibrierwerte sollten sich bestenfalls direkt auf der in Rot dargestellten Linie der für diese Werteschar erwarteten Werte der Normalverteilung befinden. Geringe Abweichungen dazu sind üblich. Bei größeren Abweichungen sollte der Prüfprozess kritisch überprüft werden. Nachdem die Normalverteilung festgestellt wurde, kann mit der MATLAB-Anweisung plot(xachse,normpdf(xachse, kalibrierwert, abweichung), LineWidth,2) die Glockenkurve der Normalverteilung dargestellt werden. [Bild 7-12] zeigt auch hierzu ein Beispiel. Darin ermittelt normpdf(xachse, kalibrierwert, abweichung) auf Basis der angegebenen X-Achse, dem Mittelwert (hier Kalibrierwert) und der Standardabeichung (abweichung) die für die Darstellung erforderlichen Werte. 68 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

69 Verteilung Kalibrierwert [mv/m/s 2 ] [Bild 7-12] Normalverteilungskurve (Glockenkurve) für die ermittelten Kalibrierwerte eines Beschleunigungssensors. Der in [Bild 7-13] dargestellte Frequenzgang, die frequenzabhängige Abweichung des Kalibrierwertes, berechnet sich über die MATLAB-Code-Schleife for step=drange(1:length(kalibrierwerte)) linearwert(step,1) = 20*log10(kalibrierwert) - 20*log10(kalibrierwerte(1,step)); linearwert(step,2) = Frequenz(step,1); end; Zu jeder Frequenz aus der Kalibrierstufenliste wird die Abweichung des jeweiligen Kalibrierwertes zum mittleren Kalibrierwert, dem ausgewiesenen Kalibrierwert des Sensors, berechnet. Die Darstellung erfolgt in [db]. 10 Frequenzgang Abweichung [db] Frequenz [Hz] [Bild 7-13] Frequenzgang - Darstellung der frequenzabhängigen Abweichung des Kalibrierwertes. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 69

70 70 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

71 9 Anwendungsbeispiel - Abgasanlage Die Abgasanlage (Bild 9-01 und Bild 9-02) wird durch einen Shaker in definierten Frequenzen angeregt. Durch die angeklebten Beschleunigungsaufnehmer (12 Stück) soll eine Schwingungsanalyse der Abgasanalage durchgeführt werden. [Bild 9-01] Versuchsaufbau der Abgasanlage [Bild 9-02] Skizze der Abgasanlage [Bild 9-03] Leistungsverstärker LDS PA25E Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 71

72 [Bild 9-04] Graphical-User-Interface für die Schwingungsanalyse an der Abgasanlage [Bild 9-05] Shaker 72 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

73 An der Abgasanalge sind die Beschleunigungspegel (RMS, 125 ms), die Resonanzfrequenzen und die Wirkfrequenzen der Tilger zu ermitteln. Zusätzlich soll eine Aussage getroffen werden welche der Aufgabenstellungen mit welchem Messprozess am besten gelöst werden kann. Aufgabe 1 - Durchführung der Messungen Für die Durchführung der Messungen sind einige Vorüberlegungen erforderlich. Dazu werden alle Positionen der Sensoren in der Skizze eingetragen. Wichtig ist die Beantwortung von - wo befinden sich die Tilger (B9/B12)? - wo befindet sich der triaxiale Beschleunigungsaufnehmer (B11)? - warum wurde an dieser Stelle ein triaxialer Beschleunigungsaufnehmer benutzt? - wo befinden sich die restlichen Beschleunigungsaufnehmer? Erst danach sollte MATLAB geöffnet und das Programm abgasanlage.m ausgeführt werden. Die vorbereiteten Diagramme werden bei der späteren Ausführung die eingeleitete Kraft, die Beschleunigungswerte an den beiden Tilger, alle anderen Messwerte der angeschlossenen Beschleunigungsaufnehmer sowie einen Sollwert anzeigen. Dies allerdings erst, wenn auch Messwerte erfasst werden. Bevor die Messungen gestartet werden sind noch einige Eingaben erforderlich. In der rechten Tabelle werden die Namen und Studiengänge der Arbeitsgruppe eingetragen. Bevor eine Messung durchgeführt werden kann, muss die Messung einen Dateinamen erhalten und das Messdatum eingegeben werden. Den Dateiname bitte in der Form ISO-Datum_Studiengang_lfd angeben (Beispiel: _FAB_001). Alle gemessenen Daten, die erforderlichen Messparameter, sowie die eingegebenen Bemerkungen werden in dieser Datei abgespeichert und stehen nach der Versuchsdurchführung für die Auswertungen zur Verfügung. Im Statusfeld wird das Programm von Zeit zu Zeit Meldungen ausgeben. Dieses Feld sollte während der gesamten Versuchsdurchführung beobachtet werden. Ja nach Versuchsdurchführung werden hier die nächsten erforderlichen Schritte angegeben. Für die Dokumentation der Versuchsdurchläufe können in dem Feld Bemerkung mehrzeilige Kommentare abgelegt werden. Am Ende jeder Mess-Stufe wird der Inhalt der der Bemerkungsfelder mit den Messdaten abgelegt. Mit den bunten Feldern werden die Messungen für den Versuch durchgeführt. START / SETUP Ist zu Beginn des Versuchs einmalig durchzuführen. Hiermit wird die Konfiguration der Messtechnik durchgeführt. Es wird eine Anregungsfrequenz eingestellt und die Abgasanlage wird über den Shaker zum Schwingen angeregt, sofern der Leistungsverstärker eingeschaltet ist. Die Anregungsfrequenz kann über eine Zahleneingabe im Feld FREQUENZ geändert werden. START /RESTART Ist zwingend erforderlich wenn eine lin-chirp oder log-chirp durchgeführt wurde. Auch dann, wenn dies die letzte Messung für den Versuch war! Sollten dies vergessen werden, dann sind sämtliche Messdaten verloren. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 73

74 STUFE MESSEN Führt die Messung einer Frequenzstufe durch. Hierzu ist im Eingabefeld FREQUENZ die erforderliche Frequenz und im Eingabefeld MESSZEIT die benötigte Messzeit in Sekunden ein. Das Statusfeld Messzeit [s] gibt während der Messung die abgelaufene Messzeit an. lin-chirp Führt die Messung mit einem linearen Frequenzhochlauf durch. Die Messung beginnt mit dem Wert aus dem Eingabefeld STARTFREQUENZ und endet bei dem Wert aus STOPPFREQUENZ und benötigt dazu die Messzeit in Sekunden aus dem entsprechenden Eingabefeld. Vor dem Start der Messung sollten die Eingaben nochmals kontrolliert werden. Es ist dafür sorge zu tragen, dass die aktuelle Anregungsfrequenz der STARTFREQUENZ entspricht. Anderenfalls wird es zu Problemen bei der Datenauswertung kommen. log-chirp Führt die Messung mit einem logarithmischen Frequenzhochlauf durch. Verhält sich ansonsten wie lin-chirp. Bei den Sensoren handelt es sich um einen Kraftaufnehmer und unterschiedliche Beschleunigungsaufnehmer. Genauere Informationen hierzu sind im Daten-Struct messung unter messung.messpunkt abgelegt. Darin zu finden sind auch die Koordinaten der Sensorpositionen in mm zur Krafteinleitung in die Abgasanalage. Zusätzlich findet man in dem Daten-Struct eine Angabe offset. Diese werte sind für die Beseitigung der Offset-Spannung der disynet-sensoren erforderlich. Für die Frequenzen 12, 24, 30, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 50 und 56 Hz soll eine Stufenmessung mit geeigneter zeitlicher Länge durchgeführt werden. Zusätzlich sollen je ein lin-chirp und ein log-chirp für den Frequenzbereich 10 (entspricht ca. der 1.Ordnung bei LL-Drehzahl eines 4-Zylinder-Ottomotors) bis 250 Hz (entspricht ca. der 2.Ordnung bei MAX-Drehzahl eines 4-Zylinder-Ottomotors) in mindestens 200 Sekunden durchgeführt werden. 74 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

75 CHECKLISTE Vorbereitung der Messungen 1. Die Durchführung der Messungen erfolgt über die Benutzeroberfläche. Hierzu Matlab öffnen und das Skript abgasanlage.m ausführen. 2. Vor- und Nachnamen sowie Studiengang der Gruppenmitglieder eingeben 3. Das Messdatum eingeben 4. Den Dateinamen der Messung eingeben 5. START / SETUP durchführen Durchführung der Messungen 1. Konstante Messzeit mit verschiedenen Frequenzen (STUFE MESSEN) - die erforderliche Messzeit eingeben, diese sollte zu allen Frequenzstufen gleich sein - die jeweilige Frequenz eingeben - eventuelle Erkenntnisse oder Auffälligkeiten in die Felder Bemerkungen eingeben - durch drücken des STUFE MESSEN - Button erfolgt die Messung der betreffenden Stufe - nach der durchgeführten Messung die Eingaben der Bemerkungsfelder wieder löschen 2. Linearer und logarithmischer Hochlauf (lin-chirp, log-chirp) - die länge der Messzeit auf mindestens 200 Sekunden setzten - die Startfrequenz und die Stoppfrequenz eigeben - die Startfrequenz ebenso in das Eingabefeld FREQUENZ eingeben - durch drücken des log-chirp bzw. lin-chirp - Buttons die Messung starten - nach der Messung zwingend den START / RESET - Button auslösen 3. Messung beenden - die Abgasanlage muss durch den Shaker angeregt werden - ist dies nicht der Fall, den START / RESET - Button drücken - durch auslösen des STOPP/SPEICHERN - Button wird die Messung beendet. In Matlab müssen nun die im Hintergrund genutzten Zeiger und Zähler zurück gesetzt werden. Dies erfolgt am leichtesten, wenn Matlab einmal beendet und wieder gestartet wird. Nun können weitere Messungen durchgeführt oder die Auswertung der Messdaten vorgenommen werden. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 75

76 Aufgabe 2 - Auswertungen der Messungen Einen Überblick über die durchgeführten Messungen, wie in [Bild 9-05] dargestellt, kann über den Programmcode stufe = 2; mpunkt = 7; plot(messung.stufe{1,stufe}.time, messung.stufe{1,stufe}.data(:,mpunkt), LineWidth, 2) set(gca, FontSize,14, XGrid, on, YGrid, on ); title({[ Zeitsignal aus Messung ] [stufe]}, FontSize, 16) legend({[ Messpunkt: messung.messpunkt(mpunkt).name]}, FontSize, 14) ylabel({[ [ messung.messpunkt(mpunkt).eu ] ]}, FontSize,14) xlabel( Messzeit [s], FontSize,14) erreicht werden. Mit der Zoom-Funktion des Diagrammfensters oder gezielten axis-anweisungen werden die Messwerte interpretierbar. Diese Betrachtung ist bereits während der Messdurchführung möglich, wenn durch global messung die Messwerte global am Matlab-Desktop zur Verfügung stehen Zeitsignal aus Messung 2 Messpunkt: B10 0 [m/s 2 ] Messzeit [s] [Bild 9-05] Darstellung des Zeitsignals einer Messung um einen Überblick zu gewinnen. Aufgabe Spektrogramme und Übertragungsfunktionen berechnen Die gemessenen Signale sollen für die Schwingungsanalyse der Abgasanlage verwendet werden. Daher folgt nach der Betrachtung der einzelnen gemessenen Signale die Berechnung der Spektrogramme. Aufgebe des Praktikumsversuchs ist die Bestimmung - der Resonanzfrequenzen der Abgasanalge. - der Wirkfrequenzen der beiden Tilger. Hierbei muss nicht zwingend auf eine mögliche Varianz des Schwinungsverhaltens der Abgasanlage auf die dynamische Anregung geachtet werden. Wichtig ist lediglich, dass der gesamte Frequenzbereich basierend auf dem Anregungsmuster der tatsächlichen Nutzung während des Messprozesses auch tatsächlich angeregt wird. Dies ermöglicht nun die Schwingungsanalyse über die jeweilige gesamte Messzeit. Gilt eine solche Bedingung nicht, dann muss die Schwingungsanalyse in kleineren Datenblöcken erfolgen. Zu jedem dieser Datenblöcken ergibt sich ein Zeitpunkt (Anfang, Mitte, oder Ende) zu 76 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

77 dem die Frequenztransformation positioniert wird. Zudem ergibt sich dann auch die Problematik des Leakage und die zwingende Nutzung einer signalbewertenden Fensterfunktion. Der Matlab-Code for stufe=1:length(messung.stufe) for inc=1:length(messung.messpunkt) daten = messung.stufe{1,stufe}.data(:,inc); window = rectwin(length(messung.stufe{1,stufe}.data(:,inc))); noverlap = 0; blocksize = length(messung.stufe{1,stufe}.data(:,inc)); fs = messung.stufe{1,stufe}.fs; [s,f,t,p] = spectrogram(daten, window, noverlap, blocksize, fs); ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).ftkomplex = s; ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).ftbetrag = 2*abs(s)/blocksize; ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).fachse = f; ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).tachse = t; ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).psd = p; end; end; stellt den wohl schnellsten Weg dar, für alle Mess-Stufen und alle Mess-Signale die Frequenztransformation der Zeitsignale durch zu führen. Die Transformationsergebnisse werden in dem Struct ergebnis abgelegt und können nun betrachtet werden Frequenzspektrum aus Messung 3 Messpunkt: B [m/s 2 ] Frequenz [Hz] [Bild 9-06] Darstellung des Frequenzspektrums einer Messung um einen Überblick zu gewinnen. Durch die Anweisungen stufe = 3; mpunkt = 7; plot(ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(mpunkt).fachse, ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(mpunkt).ftbetrag, LineWidth, 2); set(gca, FontSize,14, XGrid, on, YGrid, on ); title({[ Frequenzspektrum aus Messung ] [stufe]}, FontSize, 16) legend({[ Messpunkt: messung.messpunkt(mpunkt).name]}, FontSize, 14) ylabel({[ [ messung.messpunkt(mpunkt).eu ] ]}, FontSize,14) xlabel( Frequenz [Hz], FontSize,14) wird das Diagramm in [Bild 9-06] erzeugt. Darin ist zu erkennen, dass der analysierte Frequenzbereich bis 6400 Hz reicht. Dies liegt an der Fouriertransofrmation, da diese im Frequenzbereich bis Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 77

78 Abtastrate/2 zu Ergebniswerten führt. Der Frequenzbereich oberhalt Abtastrate/2.56 (im Beispiel 5000 Hz) ist jedoch nicht mehr Vertrauenswürdig. Bei genauerer Betrachtung wird man feststellen, dass lediglich im Frequenzbereich bis 2000 Hz relevante Beschleunigungswete zu finden sind. Durch entsprechende Skalierung der Darstellung können nun die Resonanzfrequenzen der Abgasanalge ermittelt werden. In der Frequenzgenauigkeit ist eine Auflösung von +/- 0.5 Hz vollkommen ausreichend. In der Darstellung [Bild 9-07] sind ca. 12 Resonanzfrequenzen zu ermittelbar Frequenzspektrum aus Messung 3 Messpunkt: B [m/s 2 ] Frequenz [Hz] [Bild 9-07] Darstellung des Frequenzspektrums einer Messung im Frequenzbereich bis 2000 Hz. Um die Wirkfrequenzen der Tilger zu ermitteln werden die relevanten Übertragungsfunktionen benötigt. Die Übertragungsfunktion H berechnet sich aus der Fouriertransformierten von Antwort im Verhältnis zur Anregung. Das Ergebnis wiederum ist Komplex. Hieraus kann der Betrag der Übertragungsfunktion und der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion berechnet werden. Die Funktionsweise eines Schwingungstilgers ist die des Einmassenschwingers, welches das Auffinden der vorhandenen Wirkfrequenz einfach gestalten sollte. Der Matlab-Code stufe = 3; antwort =...; anregung =..; frf = ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(antwort).ftkomplex./ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(anregung).ftkomplex; frfbetrag = abs(frf); frfphase = angle(frf)*180/pi; subplot(2,1,1) plot(ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(mpunkt).fachse, frfbetrag, LineWidth, 2); set(gca, FontSize,14, XGrid, on, YGrid, on ); set(gca, yscale, log ); title({[ Betrag der Übertragungsfunktion = messung.messpunkt(antwort).name / messung. messpunkt(anregung).name]}, FontSize, 16) ylabel({[ [ messung.messpunkt(antwort).eu / messung.messpunkt(anregung).eu ] ]}, Font- Size,14) xlabel( Frequenz [Hz], FontSize,14) axis([ ]) 78 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

79 subplot(2,1,2) plot(ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(mpunkt).fachse, frfphase, LineWidth, 2); set(gca, FontSize,14, XGrid, on, YGrid, on ); title({[ Phasenwinkel der Übertragungsfunktion = messung.messpunkt(antwort).name / messung.messpunkt(anregung).name]}, FontSize, 16) ylabel({[ [ ] ]}, FontSize,14) xlabel( Frequenz [Hz], FontSize,14) axis([ ]) erezugt die Darstellung [Bild 9-08]. Betrag der Übertragungsfunktion = B09 / B08 [m/s 2 / m/s 2 ] Frequenz [Hz] 200 Phasenwinkel der Übertragungsfunktion = B09 / B [ ] Frequenz [Hz] [Bild 9-08] Übertragungsfunktion in Betrag und Phase eines Schwingungstilgers. Nach der Theorie des Einmassenschwingers ist dessen Resonanzfrequenz jene Frequenz, an der sich im Betragsspektrum der Übertragungsfunktion eine Betragsspitze befindet und im Phasenspektrum der Wert der Phase bei -90 liegt. Nun weisen die Diagramme zur Auswertung der Übertragungsfunktion bei dieser Messung keine klaren Linien auf. Der Grund ist in der Messdurchführung bzw. im Messprozess zu suchen. Trotzdem lässt sich aber erkennen, dass die Wirkfrequenz dieses Schwingungstilgers bei ca. 50 Hz liegt. Zusatzaufgabe Definieren Sie einen Messprozess mit dem exakt die Wirkfrequenz der beiden Schwingungstilger rmittelt werden kann. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 79

80 Aufgabe Pegelverlauf (RMS, 125 ms) Zur Darstellung des Schwingpegels über die Zeit eignen sich lediglich die CHIRP-Messungen. Für die Darstellung des Pegelverlaufs werden die RMS-Werte aus jeweils 125 ms langen Zeitdatenblöcken berechnet. Es wird somit ein 125 ms langes Zeitfenster durch den gesamten Zeitdatenstrom gestept. Darin wird jeweils der RMS-Wert berechnet und ein zugehöriger Zeitstempel berechnet. Für den Zeitstempel kann der Zeitpunkt zum Beginn des Zeitfensters, zur Mitte oder zum Ende vereinbart werden. Zudem kann auch eine Überlappung der Zeitblöcke möglich. Für die Auswertung im Praktikum gilt: Zeitfenster 125 ms Zeitstempel zur Blockmitte keine Überlappung Der Code zeitkonstante = 0.125; % Länge für RMS in Sekunden for stufe=1:length(messung.stufe) for inc=1:length(messung.messpunkt) pos = 1; count = 1; blocksize = ceil(messung.stufe{1,stufe}.fs*zeitkonstante); daten = messung.stufe{1,stufe}.data(:,inc); time = messung.stufe{1,stufe}.time; while (pos+blocksize < length(daten)) % Zeitstempel auf Blockmitte ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).rmstimeachse(count,1) = (time(pos,1)+time(pos+blocksize-1,1))/2; ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(inc).rmsverlauf(count,1) = rms(daten(pos:pos+blocksize-1,1)); pos = pos + blocksize; count = count + 1; end; end; end; führt dies für alle in der Messung enthaltenen Mess-Stufen und Messpunkte durch und legt die berechneten Daten im Struct ergebnis ab. Pegelverlauf (RMS, 125 ms) [m/s 2 ] Mess-Stufe 3 Messpunkt: B Messzeit [s] [Bild 9-09] Pegelverlauf (RMS, 125 ms) über die Messzeit. 80 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

81 Der Code stufe = 3; messpunkt = 7; plot(ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(messpunkt).rmstimeachse,ergebnis.stufe(stufe).messpunkt(messpunkt).rmsverlauf, LineWidth, 2) set(gca, FontSize,14, XGrid, on, YGrid, on ); title({[ Mess-Stufe ] [stufe]}, FontSize, 16) legend({[ Messpunkt: messung.messpunkt(mpunkt).name]}, FontSize, 14) ylabel({[ Pegelverlauf (RMS, 125 ms) [ messung.messpunkt(mpunkt).eu ] ]}, FontSize,14) xlabel( Messzeit [s], FontSize,14) ergibt die Darstellung in [Bild 9-09]. CHECKLISTE (Vortsetzung) Auswertung der Messdaten 1. Überblick verschaffen 2. Resonanzfrequenzen der Abgasanlage ermitteln 3. Wirkfrequenzen der Tilger ermitteln 4. Pegelverläufe (RMS, 125 ms) ermitteln 5. Optimalen Messprozess beschreiben Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 81

82 82 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

83 10 Anwendungsbeispiel - Getriebe An dem in [Bild 10-01] nicht ganz vollständig skizziertem Getriebe soll eine Schwingungsanalyse durchgeführt werden. Für die Messdatenerfassung steht eine professionelle Soundkarte für zweikanalige Messungen zur Verfügung. Es wird ein Beschleunigungsaufnehmer, dessen Übertragungsfaktor (Kalibrierwert) ermittelt werden muss, und ein Inkrementalgeber mit 360 Impulsen/Umdrehung verwendet Isometrische Ansicht Maßstab: 3:1 [Bild 10-01] Nicht vollständige schematische Darstellung des Getriebes mit Angabe der jeweiligen Zähnezahlen Ermittlung der Gerätekonfiguration und Setup Für die Durchführung der Messungen muss die Gerätekonfiguration ermittelt werden. Mit der Anweisung daq.getdevices wird eine Ausgabe im Command-Window erzeugt, welche die Auswahl der zur Verfügung stehenden Geräte auflistet. Hier sollten für die Tascam US 2x2 Soundkarte Einträge mit der Gerätekennung enthalten sein. Die Anweisungsabfolge messgeraet = daq.createsession( directsound ); ch(1)=addaudioinputchannel(messgeraet, AudioXX, 1 ); % Analog In 1 ch(2)=addaudioinputchannel(messgeraet, AudioYY, 2 ); % Analog In 2 messgeraet.rate = 96000; fs = messgeraet.rate; messgeraet.durationinseconds = 20; % wenn möglich definiert das Messgerät, legt die Messkanäle und die verwendete Abtastrate fest. Mit [Data, Time] = messgeraet.startforeground; erfolgt danach die Durchführung einer Messung. Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 83

84 Im nächsten Schritt ist nun die Ermittlung des Übertragungsfaktors erforderlich. Hierzu wird der verwendete Beschleunigungsaufnehmer auf einen Schwingungskalibrator mit dem Nennwert 10 m/s 2 (RMS) bei 159,2 Hz aufgebracht und eine Messung durchgeführt. Mit der Anweisung plot(time, Data(:,ChanNr)) können die Zeitsignale betrachtet werden. Hierüber wird u.a. die Kanal-Nummer (ChanNr) für die Drehzahlmesswerte und die Beschleunigungsmesswerte ermittelt. Für den Messkanal mit den Beschleunigungsmesswerten ergibt die Anweisung rms(data(:,channr)) * 1000 / 10 die Ausgabe des Übertragungsfaktors in me/m/s 2. Die Interpretation des Wertes ist aufgrund des im Audiosektor verwendeten Full-Skale anstelle der gemessenen Spannung etwas gewöhnungsbedürftig. Im Datenblatt des Sensors ist ein Nennwert des Übertragungsfaktors in mv/m/s 2 zu finden. Dieser Wert korrespondiert gar nicht mit dem nun ermittelten Übertragungsfaktor Durchführung der Messungen Um Messwerte zu für die Schwingungsanalyse zu erhalten werden mehrere Messungen (3... 5) durchgeführt. Hierzu über den Drehzahlregler beliebige Drehzahlen des Getriebes einstellen und mittels der Anweisung [Data, Time] = messgeraet.startforeground; die Messdaten erfassen und anschließend die beiden Matrizen Time und Data in das Verzeichnis ablegen (im Workspace die Matrizen markieren, rechte Mousetaste -> save as). Nach den Messungen umgehend den Drehzahlregler von der Spannungsversorgung trennen Signalanalyse Aufagbenstellung: 1. Bestimmung der Nennfrequenzen der Zahräder 2. Analyse der Drehzahlschwankungen 3. Ermittlung jener Zahnräder welche die Schwingungen erzeugen Um die Nennfrequenzen der Zahnräder bestimmen zu können ist ein Kinematikmodell erforderlich. Direkt ermittelbar ist die Drehfrequenz des Inkrementalgebers mit 360 Inkrementen je Umdrehung. Für den VTP Versuchsaufbau gilt für die Drehfrequenz Die Frequenz des Inkrementalgebersiganls ([Bild 10-02]) lässt sich über die Fouriertransformation, oder andere Analysemethoden, bestimmen. 84 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse

85 Zeitsignale Inkrementalgeber Signalamplitude [---] Zeit [s] [Bild 10-02] Signalausschnitt des Inkrementalgebersignals Die Anweisungsabfolge sensor = Data(:,1)*1000/ ; drehzahl = Data(:,2); fs = 1/(Time(101,1)-Time(100,1)); df = 4; blocksize = ceil(fs/df); noverlap = ceil(blocksize*2/3); window = hann(blocksize)*blocksize/sum(hann(blocksize)); [s1,f,t,p1] = spectrogram(sensor, window, noverlap,blocksize,fs ); [s2,f,t,p2] = spectrogram(drehzahl, window, noverlap,blocksize,fs ); snorm = s1/blocksize; APS_Sensor = 2*sqrt(sNorm.*conj(sNorm)); snorm = s2/blocksize; APS_Drehzahl = 2*sqrt(sNorm.*conj(sNorm)); subplot(1,2,2) plot(f,mean(aps_drehzahl,2), LineWidth, 2); set(gca, XGRID, ON, YGRID, ON, FontSize, 20); xlabel( Frequenz [Hz] ); ylabel( Signalamplitude [---] ); title( Auto-Power-Spektrum ); axis([ ]); subplot(1,2,1) surf(t,f,aps_drehzahl, EdgeColor, none ); axis xy; axis tight; colormap(parula); colorbar; view(110,20); set(gca, XGRID, ON, YGRID, ON, FontSize, 20); xlabel( Zeit ); ylabel( Frequenz (Hz) ); Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse 85

86 zlabel( Signalamplitude [---] ); title( Frequenzspektrum ); axis([ ]); caxis([0 0.05]); führt zu den Diagrammen in [Bild 10-03] woraus sich die Signalfrequenz des Inkrementalgebers und in der weiteren Folge die Drehfrequenz sowie die Drehzahl bestimmen lassen. [Bild 10-03] Signalanalyse des Inkrementalgebersignals mit einen (Haupt)Frequenz bei 5660 Hz Für die Zuordnung der in der Signalanalyse des Beschelunigungsaufnehmersignals ermittelbaren Frequenzen wird eine Kinematiktabelle [Bild 10-04] benötigt. Diese wird über die Zähnezahlen der Zahnräder erstellt. Zähnezahl Drehfrequenz (Formel) Drehfrequenz (Wert) Zahneingriffsfrequenz (Formel) Zaheingriffsfrequenz (Wert) Inkrementalgeber Frequenz / 360 Rad 1 50 i * Inkrementalgeber Zähnezahl * Drehfrequenz Zähnezahl * Drehfrequenz [Bild 10-04] Kinematiktabelle Aus der in der Kinematiktabelle berechneten Frequenzen lässt sich nun die Schwingungsanalyse des Getriebes interpretieren. 86 Hochschule München FK03 - Dipl.-Ing. Armin Rohnen LbA - Praktikum Schwingungsanalyse