r [0, ), φ [0, 2π), ϑ [0, π]

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1 ET2 Koodinatenssteme 1 Koodinatenssteme Zlindekoodinaten Kugelkoodinaten P(,,) P(,,) P(,,) P(,,ϑ) cos ϑ sin ϑ sin ϑ sin cos sin ϑ cos sin ϑ = cos = sin = [, ), [, 2π), (-, ) = sin ϑ cos = sin ϑ sin = cos ϑ [, ), [, 2π), ϑ [, π] Bei den von uns vewendeten Koodinatensstemen (katesisce, Pola-, Zlinde- und Kugel-Koodinaten) andelt es sic um Otonomalssteme. Das eißt dass alle Eineitsvektoen e i die Länge 1 besiten, und nomal ueinande steen. Im speiellen gilt also e i e i = 1, und fü i j gilt e i e j = 2 Linienintegale Wi müssen ein Linienintegal b a f() ds in vesciedenen Koodinatensstemen lösen. Nomaleweise nuten wi im Kus ET2 imme Smmetieeigenscaften aus und integieen entlang de entspecenden Koodinatenacse, um uns das Leben nict unnötig scwe u macen. De Integationsweg wid idealeweise so gewält, dass das Vektofeld f paallel um Weg ist, also f ds, womit sic das Skalapodukt u eine Multiplikation veeinfact, f() ds f() ds, und wi es nu me mit skalaen Gößen u tun aben. Ist diese Wal des Integationsweges nict möglic, so muss das Skalapodukt vektoiell ausmultipliiet weden. Insbesondee gilt fü f ds f() ds =. Geneell gilt, dass sic duc Wal des geeigneten Koodinatensstems de Recenaufwand meist stak minimieen lässt. Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 1

2 ET2 Koodinatenssteme 2.1 Bsp. fü Linienintegale in katesiscen Koodinaten. B. f nu in -Rictung: f() = f() e 2 1 f() e e }{{} =1 wäle ds = e d d = 2.2 Bsp. fü Linienintegale in Polakoodinaten. B. f nu in ϕ-rictung: f() = f(, ϕ) = f() e ϕ von Pkt. a nac Pkt. b u gelangen. 2 1 f() d wäle ds = e ϕ dϕ, um b d a b a b a f() e ϕ e ϕ dϕ = b a f() dϕ. B. f nu in -Rictung: f() = f(, ϕ) = f() e Pkt. a nac Pkt. b u gelangen. wäle ds = e d, um von b a d R a R b Recnung ist äquivalent u jene in katesiscen Koodinaten R b R a f() e e d = R b R a f() d Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 2

3 ET2 Koodinatenssteme 2.3 Bsp. fü Linienintegale in Zlindekoodinaten f() = f() e ϕ wie in Polakoodinaten ecnen f() = f() e f() = f() e wie in Polakoodinaten ecnen wie in katesiscen Koodinaten 2.4 Bsp. fü Linienintegale in Kugelkoodinaten f() = f() e wie in katesiscen Koodinaten ecnen f() = f() e ϑ wie in Polakoodinaten ecnen f() = f() e ϕ wie in Polakoodinaten ecnen (ctung auf Radius! Diese ist fü die ϕ-integation nu sin ϑ) 3 Obefläcenintegale Wi müssen ein Obefläcenintegal f() d in vesciedenen Koodinatensstemen lösen. Obefläcenintegale lassen sic meist deutlic veeinfacen, wenn das Vektofeld f senkect auf die gewälte Obefläce stet, also paallel um Obefläcenvekto ist, f d. Daduc veeinfact sic das Skalapodukt u eine Multiplikation, f() d f() d, und wi aben es nu me mit skalaen Gößen u tun. Falls diese Veeinfacung nict gilt, so muss das Skalapodukt ausmultipliiet weden. Im Speiellen gilt fü f d f() d =. Im folgenden sind einige Paametisieungen von d in vesciedenen Koodinatensstemen aufgelistet. 3.1 Bsp. fü Obefläcenintegale in katesisce Koodinaten. B. f nu in -Rictung: f() = f() e und Fläce in de --Ebene, also d = e d d f() d = f() e e d d Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 3

4 ET2 Koodinatenssteme 3.2 Bsp. fü Obefläcenintegale in Zlindekoodinaten. B. f nu in -Rictung: f() = f() e und Fläce in de -ϕ-ebene, also d = e d Fü diesen Fall muss man etwas übelegen, um den usduck fü d u ealten. Siee Gafik. d d d d= d d 2 1 R a R b Eine infinitesimale Otsändeung in -Rictung ist d, multipliiet mit eine Ändeung in ϕ-rictung, welce wi voe beeits als dϕ bestimmt aben, egibt d = dϕ d. Somit ealten wi f() d = R b 2 R a 1 f() e e dϕ d. B. f nu in -Rictung: f() = f() e und Fläce in de -ϕ-ebene, also d = e d Fü diesen Fall kann man anand de Gafik bestimmen, dass d = dϕ d ist. Man beacte, dass wa mit multipliiet, abe nict nac d integiet wid! 2 d= d d d d 1 d d Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 4

5 ET2 Koodinatenssteme Z 2 2 f() d = f() e e dϕ d Z 1 1. B. f nu in ϕ-rictung: f() = f() e ϕ und Fläce in de --Ebene, also d = e ϕ d Diese Fall ist analog u eine Integation in einem katesiscen Koodinatensstem, mit d = d d. f() d = Z 2 R 2 Z 1 R 1 f() e ϕ e ϕ d d 2 d d 1 d d 3.3 Bsp. fü Obefläcenintegale in Kugelkoodinaten Wi betacten ein Vektofeld in adiale Rictung, also f() = f() e, integiet übe eine Kugelobefläce, also d = e d. De Obefläcenvekto d lässt sic wie folgt beecnen: Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 5

6 ET2 Koodinatenssteme sinϑ d sinϑ d = sinϑ d dϑ ϑ dϑ dϑ das Integationselement in ϑ-rictung lässt sic analog u den Polakoodinaten bestimmen, als dϑ das Integationselement in ϕ-rictung ist ebenfalls änlic wie in Polakoodinaten, alledings get man ie nict entlang eine Keissceibe mit Radius, sonden mit (pojiietem) Radius sin ϑ (siee Gafik oben). Man eält also sin ϑ dϕ Multiplikation diese beiden Teme liefet das Obefläcenelement d = 2 sin ϑ dϕ dϑ Somit eält man fü das Obefläcenintegal f() d = ϑ 2 ϕ 2 ϑ 1 ϕ 1 f() e e 2 sin ϑ dϕ dϑ Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 6

7 ET2 Koodinatenssteme 4 nmekungen Bei Linienintegalen integiet man entlang eine Raumictung,. B. d ode d ode d ode dϕ ode... Bei Fläcenintegalen integiet man entlang weie Raumictungen,. B. d d ode d dϕ ode d d ode dϕ dϑ 5 Übungsbeispiele 5.1 Katesisce Koodinaten 5.1 a) Beecnen Sie das Obefläcenintegal übe die gegebene Rectecksfläce, mit dem Vektofeld f() = ( 2 3 ) e. 5.1 b) Beecnen Sie die Fläce des dagestellten allgemeinen Deiecks duc Integation. Vewenden Sie dafü f() = 1 e. -L L 5.2 Keis 5.2 a) Beecnen Sie die Fläce des dagestellten Ringsegmentes duc Integation. Vewenden Sie dafü f() = 1 e b) Übepüfen Sie ie Lösung aus a) indem Sie 1, 2 R und 2π geen lassen. Was ealten Sie? Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 7

8 ET2 Koodinatenssteme 5.3 Zlindekoodinaten 5.3 a) Beecnen Sie das Obefläcenintegal des Vektofeldes f() = 2 e übe die angegebene Fläce. 5.3 b) Beecnen Sie das Obefläcenintegal des Vektofeldes f() = 2 e ϕ übe die angegebene Fläce. 2 π/3 d Rotationsköpe 5.4 a) Beecnen Sie die Fläcen 1 3 duc Integation (mit f() = 1). 1 a b a 3 2 b a b 5.4 b) Beecnen Sie das Volumen des gegebenen Köpes duc Integation. 5.5 Kugelkoodinaten 5.5 a) Beecnen Sie die Gesamtobefläce eine Kugel duc Integation. Vegleicen Sie i Egebnis mit dem aus Fomelsammlungen bekannten usduck fü die Kugelobefläce. Hinweis: Vewenden Sie f() = 1 e, sowie = R. Wälen Sie die koekten Integationsgenen und lösen Sie somit das Obefläcenintegal = ϑ 2 ϕ 2 ϑ 1 ϕ 1 f() e 2 sin ϑ dϕ dϑ Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 8

9 ET2 Koodinatenssteme 5.5 b) Beecnen Sie das Gesamtvolumen eine Kugel duc Integation. Vegleicen Sie i Egebnis mit dem aus Fomelsammlungen bekannten usduck fü das Kugelvolumen. Hinweis: Wälen Sie die koekten Integationsgenen und lösen Sie somit das Volumsintegal V = ϑ 2 ϕ 2 2 ϑ 1 ϕ sin ϑ d dϕ dϑ 6 Lösungen 5.1) a) L L ( 2 3 )d d = 2 L 3 /3 4 L/2 b) tan 1 d d = 2 /2 tan 5.2) a) dϕ d = ( 2 2/2 2 1/2) b) 2πR 2 /2 = R 2 π = Keisfläce 5.3) a) 2 π/3 2 e e dϕ d = 1 3 π = 2π b) e ϕ e... dϕ d = 5.4) a) 1 = b 3 = a dϕ d = ( b 2 2 a 2 2 dϕ d = =a ) 2 = b 1 d d = ( b a ) a = a V = =a a b dϕ d d = 2 b 2 a 2 5.5) a) = π 2π 2 sin ϑ dϕ dϑ = 4R 2 π b) V = π =R 2π R 2 sin ϑ d dϕ dϑ = 4R3 π 3 Institut fü Mikoelektonik und Mikosensoik 9