Vektoren. Vorlesung bzw. 31. Oktober Vektorrechnung im Anschauungsraum 1. Seite 38. Seite 38. Seite 38. x 3

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1 Vektoren Seite 38 Vorlesung 3 zw 3 Oktoer 3 v im Anschuungsrum v v Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Seite 38 Seite 38 z x x x 3 v p x y R 3 := x x : x, x, x 3 R x 3 {( x ) } R := : x x, x R = Vektoren der Eene R 3 := x x : x, x, x 3 R = Vektoren im Rum x 3 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

2 Seite 39 Seite 39 Addition von Vektoren: = 3, = 3, + = Multipliktion mit Sklren (reellen Zhlen) λ λ = 3 λ = λ 3 λ Geometrisch: Aneinnderfügen der Vektorpfeile x 3 v + x v Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Seite 39 Zerlegen in vorgegeene Richtungen Zerlegung eines Vektors in vorgegeene Richtungen: µ u v u λ v = λ v + µ u In R jeder Vektor in Richtungen u, v, die nicht prllel sind In R 3 in u, v, w die nicht in einer Eene liegen Eines der häufigsten Proleme in der Mthemtik! Them des gnzen Semesters! Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67

3 Beispiel (zeichnerische Lösung) Seite 4 Beispiel (rechnerische Lösung) Seite 4 K : = µ v K : = µ v K g gegeen v v Ruheedingung: K + K + K g = v µ + v µ = K g K K g Komponentenweise: v µ + v µ = K g v µ + v µ = K g K Lineres ( Gleichungssystem: ) ( ) ( v v g µ K v v = µ K g ) Zhleneispiel > Tfel! Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 y L E = ( E µ v µ 3 v 3 µ v E ) Vektoren x x n ( ) ( L + L E µ v + µ 3 v 3 = L 3 ( mit n 3 treten uf ) µ v µ 3 v 3 = ) + µ v + µ v = L ( ) + L ( L L 3 x ) + µ v + µ v = L + L + v v v v µ + v v v v µ + v 3 v 3 v 3 v 3 µ 3 + L 3 = E E Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67

4 Seite 4 Stz 3: Eigenschften der Vektoropertionen,, c R 3 λ, µ R : (i) + = + (ii) ( + ) + c = + ( + c) (iii)! x : = R 3 mit + x = (iv) (λ µ) = λ (µ ) (v) λ( + ) = λ + λ (vi) (λ + µ) = λ + µ (vii) = Bild:Pixelio, Frnk Weyen Zählen Sie ml die Knoten! Aufgen: = Θ : Θ R 3 mit + Θ = Aus Eigenschften folgerr Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 v v Seite 4 Länge eines Vektors? z 3 p = + Seite 4 Frge: Wie gross sind K, K? K K K g x p y = p + 3 = p + 3 = Betrg = Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67

5 Seite 4 Seite 4 Stz 5: Eigenschften der Längenfunktion, R 3, λ R, = = λ = λ + + (Dreiecksungleichung) + Folgerung us der Dreiecksungleichung Wie ei dem reellen Betrg zeigt mn uch u v u v ( ±( u v ) u v ) Hinweis: Stetigkeit des Betrgs Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67 Sklr-Produkt = Inneres-Produkt = Punkt-Produkt Seite 44, = cos α cos α α α cos α Sklr-Produkt, : = cos α cos α = Länge der Projektion von uf die Richtung von cos α = Länge der Projektion von uf die Richtung von Mckens Ds(Technische Sklrprodukt Universität Hmurg-Hrurg) ist eine Zhl Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67

6 , = cos α Berechnungsformel für cos α: cos α =, Wenn, irgendwie nders erechnet werden knn, findet mn einen Algorithmus für cos(α) Achtung! In vielen Schulen sttt, Ds ist gefährlich! Ws ist c? Antwort: QUATSCH! Wir werden sehen: Mn knn, = 3 i i i= Dfür ist etws Areit nötig! Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Seite 44 Seite 45 Stz 6: Eigenschften des Sklrproduktes (i), =,, (ii) +, c =, c +, c,, c (iii) λ, = λ,, R 3, λ R (iv), = > R 3 \ {} Beweis:, =, cos(π α) = cos(α) α (i) π α Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

7 Seite 45 Seite 45 Beweis: +, c =, c +, c Beweis: λ, = λ, α cos(π α) = cos(α),c c,c c c π α (ii) +,c c (iii) (iv) klr Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Beweis von:, = n i= i i Mit e =, e = = 3 = 3, e 3 = = e + e + 3 e 3 = e + e + 3 e 3 Seite 45, = cos α Also ( 3 i= 3 i i i= i ) ( 3 ) i= i Cuchy - Schwrzsche - Ungleichung CSU, Seite 46 3, = i= i e i, 3 i= j e j = 3 i= Wegen e i, e j = 3 j= i j ei, e j { i = j sonst 3, = i i i= }{{} Ist ds nun nicht einfch? Dmit zeigt mn die Dreiecksungleichung: + = +, + =, +, +, + + = ( + ) + + Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67

8 Anwendungen: Seite 47, = cos α Stz des Pythgors Spezilfll von Cos-Stz Stz von Thles d 3 Cosinus - Stz c, c = + d, + d =, +, d d, + d, d = + d = α =, = c, c = c + c c cos α Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 α cos α =, Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Folie zum Üers-Bett-Hängen Kreuzprodukt Seite 47 ω A α Projektion von uf -Richtung A α K K ω =,, =, Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 () A = ω K sin α () A senkrecht zu K und ω (3) K ω A Rechtssystem Kreuzprodukt von K und ω A = K ω Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67

9 Interprettion von K ω = K ω sin α Seite 48 Allgemein lso Seite 48 K ω Seien, R 3 \{} mit (, ) = α Dnn ist R 3 definiert durch F (i) = sin α α ω ω sin α F K K K ω (ii), (iii) (,, ) Rechtssystem Bei oder = Sei = K ω sin α = F = Fläche des durch K und ω ufgespnnten Prllelogrmmes Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 33 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 34 / 67 Beispiel 9 (Sinus-Stz) Seite 48 Achtung: Seite 49 Sklrprodukt ohne Schwierigkeiten uf R n verllgemeinerr α sin β = sin α Beweis c β F = c = c sin α Aer: Kreuzprodukt let nur in R 3 Stz : Eigenschften des Kreuzproduktes,, c R 3 λ R (i) = (ii) λ( ) = (λ) = (λ) (iii) ( + c) = + c (iv) =, = c = c sin β Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 35 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 36 / 67

10 Ende der Vorlesung Vorlesung 3 6 zw 7 Novemer 3 im Anschuungsrum Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 37 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 38 / 67 Kurze Wiederholung W: Kreuzprodukt Seite 47 ω A A α K ω K Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 39 / 67 () A = ω K sin α () A senkrecht zu K und ω (3) K ω A Rechtssystem Kreuzprodukt von K und ω A = K ω Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

11 W: Interprettion von K ω = K ω sin α Seite 48 EIGENSCHAFTEN Seite 49 K ω F α ω ω sin α F K K K ω Stz : Eigenschften des Kreuzproduktes,, c R 3 λ R (i) = (ii) λ( ) = (λ) = (λ) (iii) ( + c) = + c (iv) =, K ω sin α = F = Fläche des durch K und ω ufgespnnten Prllelogrmmes Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 Beweis Seite 49 Seite 49 (i) = (ii) seler mchen (iv) Beweis: ( + c) = + c (iii) Fll ( + c), c = λ c c + c + c = sin α = ( cos α) = cos α }{{}, Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 43 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 44 / 67

12 Seite 5 Seite 5 Beweis: ( + c) = + c (iii) Fll und, c c c uf Zeicheneene (nch oen!) Beweis: ( + c) = + c (iii) 3 Fll,, c R 3 elieig (Wird uf Fälle und zurückgeführt) Wir zeigen die Behuptung nur für = Denn, wenn für ã = ã ( + c) = ã + ã c richtig, dnn uch (nch (ii)) ( + c) = ã ( + c) = ã + ã c = + c Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 45 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 46 / 67 immer noch Beweis: ( + c) = + c Also obda: = Setze dnn =, c = c, c Seite 5 Dnn ( + c) = ( +, + c +, c ) = (( + c) + (, +, c ) ) }{{} λ mit Fll = ( + c) + (λ) }{{} = nch (ii), (i) mit Fll = + c = (, ) + (c, c ) mit Fll = + c e = e = e 3 = e e = e 3 e e 3 = e e 3 e = e Einsetzen von = i e i in liefert: Berechnung von ohne Winkel α e e 3 = j e j e Seite 5 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 47 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 48 / 67

13 Seite 5 Seite 5 = i e i j e j = i j i j e i e j 3 3 = 3 3 Wer soll ds ehlten? Keiner! Definition Mtrix, Determinnte n n A = R(m n), ij m m mn R heißt (m, n) - Mtrix m ist die Zeilenzhl, n die Spltenzhl der Mtrix A Sind Zeilenzhl und Spltenzhl gleich, so heißt eine Mtrix qudrtisch Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 49 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Seite 5 Seite 5 Jeder qudrtischen Mtrix A R m,n wird eine reelle Zhl det A R zugeordnet, die Determinnte von A A = Bei n n nn Wir definieren det A für A R nn zunächst nur für n = und n = 3 n= ( ) det := schreit mn uch n := det A n nn Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67

14 n = 3 det := [ ] + det 3 [ 3 33 ] det 3 [ 3 33 ] + 3 det Seite 5 Determinnten nch n = Regel usrechnen Für, R 3 und e, e, e 3 die Einheitsvektoren des R 3 setze forml Seite 5 e e e 3 A(, ) := 3 3 Dnn ist det A(, ) = e ( 3 3 ) e ( 3 3 ) +e 3 ( ) = = Anmerkung: n = 4 greift nlog uf n = 3 Definition zurück usw Also: = e e e Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 53 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 54 / 67 Kreuzprodukt, Zusmmenfssung Seite 5 Seite 5 Bzw: = = e e e c cos α = Höhe h α Sptprodukt, c = }{{} Grundfläche F c cos(α) }{{} Höhe h c = Volumen des durch,, c ufgespnnten Sptes Spt = Prllelepiped = Prllelotop F Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 55 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 56 / 67

15 Berechnung des Sptprodukts Seite 53 [ = det 3 3 ] e det = : u e u e + u 3 e 3 [ ] [ ] 3 e + det e 3 3 V : =, c = u e u e + u 3 e 3, c = u e, c u e, c +u 3 e 3, c }{{}}{{}}{{} c c c 3 D V =,, c in einer Eene, ergit sich neen der Berechnungsmethode für V ein einfcher Test für,, c in Eene [ ] [ ] [ ] = det 3 c det 3 c 3 + det c 3 3 = det c c c = det c = det c Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 57 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 58 / 67 Etws Elementrgeometrie Seite 53 Gerden: x 3 x A B x x A B x x = + λu ( u u ) x = + λu Œ u x = + λu x = + λu x 3 = 3 + λu 3 Œ u x u u x = u u u x + u x = u + u u 3 x + u x 3 = u 3 + u 3 u x + u x = u + u = + λ u, λ R }{{} Punkt () - Richtungs (u) - Drstellung der Gerde oder Prmeterdrstellung (Prmeter λ) zb: u = Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 59 / 67 Gleichungsdrstellungen Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67

16 Lemm 3 Mit i, u i R 3, i =, seien M i := {x x := i + λ u i, λ R} i =, Behuptung Beweis: Skript Interprettion: Tfel! M = M = µ u für ein µ R und u = κ u für ein κ R, κ Seite 54 A c E u v B C X Eenen Prmeterdrstellung von X E x := Ortsvektor von X x = + λu + µ v u, v Vektoren in E nicht prllel, etw u =, v = c Seite 55 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Seite 57 Elimintion von λ und µ us x i = i + λ u i + µ v i i =,, 3 führt uf Gleichungsdrstellung n, x = δ n, = δ n, x = δ = n, n, x = dh (n x x E) (n senkrecht uf Eene) n Seite 58 n x + n x + n 3 x 3 = δ, x i, n i, n, n, n 3, δ R E u v Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 63 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 64 / 67

17 n = u v Seite 58 Beispiel: x = + λ + µ x = + λ + µ x = + µ ( ) x 3 = + λ µ ( ) x x x 3 = n =, n =, n 3 =, δ = c A v u C B Wenn mn eine Normle n von E ht und einen Punkt, so findet mn eine Gleichung gnz schnell n, x = Woher n nehmen? u = v = c } n = u v }{{} Fertig! Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 65 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 66 / 67 Seite 59 n Seite 59 Noch esser: Verwende sttt Normlenvektor n den Einheitsnormlenvektor n := n n Hessesche Normlform Die Form n, x = der Eenengleichnung heißt Hessesche Normlform E d d p d d = n, p n d = Projektion von p uf n d = n, p Astnd von Punkt P zu Eene E p P Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 67 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 68 / 67

18 Seite 59 Hessesche Normlform einer Eene x = + λ u + µ v, λ, µ R u v, x = u v Anlog ( im ) R Prmeterform: x = + λ u, λ R u u = u Normle ( uf ) Gerde,n, muss senkrecht stehen uf u u n := n, u = u u u + u u = n = u u +u u u +u Ende der Vorlesung 3 Gerdengleichung: n, x = Hesse - Normlform Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 69 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Allgemeine Vektorräume Seite 65 Vorlesung 4 3 zw 4 Novemer 3 Allgemeine Vektorräume - Einführung Definition 8: V mit Addition u, v u + v V und sklrem Vielfchen u V, λ R λ u V heißt VEKTORRAUM, wenn u, v, w V und λ, µ R (C möglich Dnn komplexer) (i) u + v = v + u (ii) (u + v) + w = u + (v + w) (iii)!x V : u + x = v (iv) (λ µ)u = λ(µ u) (v) λ(u + v) = λ u + λ v (vi) (λ + µ)u = λ u + µ u (vii) u = u Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67

19 Beispiele Seite 66 Seite 67 R & R 3 x R n x := x n x x + x n : x i R, i =,, n mit y x + y y = x + y, λ y n x n + y n 3 ) E eine Eene des R 3 durch +, λ wie im R 3 ) G eine Gerde des R n durch +, λ wie in R n x x n = λx λx n 4 ) Π n = Menge ller Polynome p(x) = n j= p jx j, p j R, mit (p + q)(x) = n j= (p j + q j )x j und λ p(x) = n j= λ p j x j ) T n := Menge ller trigonometrischen Polynome s(x) = + n k= ( k cos(kx) + k sin(kx)) Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 73 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 74 / 67 5 M Menge V = {f : M R} Addition und Multipliktion mit λ R punktweise erklärt (f + g)(x) = f (x) + g(x), x M (λ f )(x) = λ f (x), x M Seite 67 x = Zur Vektor-Interprettion von Funktionen ist eine Funktion: {,, 3, 4, 5} R x() =, x() =, x(3) =, x(4) =, x(5) = Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 75 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 76 / 67

20 Vektor-Addition ist Funktionen Addition Funktion ist kontinuierlicher Vektor 5 x = 3 4 5, x = 4 3 f (x) = x f = x f x Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 77 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 78 / 67 Seite 68 6 Menge ller (m, n) Mtrizen n λ λ n λ = m mn λ m λ mn n n + n + n + = m mn m mn m + m mn + mn Seite 68 Definition 3 Sei V ein Vektorrum W V heißt Untervektorrum oder Teilvektorrum von V, wenn W mit den Verknüpfungen von V selst wieder Vektorrum ist Vorteil der Begriffsildung V Vektorrum ewiesen W V Dnn für u, v, w W λ, µ R klr: (i) u + v = v + u (ii) (u + v) + w = u + (v + w) (iv) (λ µ) u = λ(µ u) (v) λ(u + v) = λ u + λ v (vi) (λ + µ)u = λ u + µ u (vii) u = u Für W Vektorrum fehlt nur noch (iii) (!x W : u + x = w) u, w W Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 79 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67

21 Stz 3 SEHR Sei V Vektorrum und W V, W W ist Vektorrum ) u + v W u, v W ) λ u W u W, λ R Dnn Seite 68 PRAKTISCH Beweis: : klr! : zu zeigen : {), )} (iii) Seien u, v W Dnn löst x := v + ( )u die Gleichung u + x = v in V eindeutig Dies ist uch in W der Fll, wenn nur x W Aer v + ( )u }{{} W nch ) } {{ } W nch ) W Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67 Beispiele für Untervektorräume Seite 69 A Π n = { n i= ix i, i R} ist Teilrum des Vektorrumes der reellen Funktionen R R B Dito T n := { + n k= k sin k x + k cos k x,,, n,,, n R} ( ) x C G := { y R n x + n y = } n + n ( n ist ein Teilrum von R (Eine Gerde durch Null, Normle ( ) { xi n x denn G, i =, + n y = y i n x + n y ( = ) x + x n (x + x ) + n (y + y ) = lso G ( ) y + y x und G, λ R (n y x + n y) = ( ) x n (λ x) + n (λ y) = lso λ G y Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67 n ) ) Beispiele für Untervektorräume Seite 69 A Π n = { n i= ix i, i R} ist Teilrum des Vektorrumes der reellen Funktionen R R B Dito T n := { + n k= k sin k x + k cos k x,,, n,,, n R} ( ) x C G := { y R n x + n y = } n + n ist kein Teilrum von R (Eine Gerde nicht durch Null, Normle ( ) { xi n x denn G, i =, + n y = y i n x + n y = ( ) x + x n (x + x ) + n (y + y ) = lso / G y + y ( ) x und G, λ R (n y x + n y) = ( ) x n (λ x) + n (λ y) = λ lso λ / G für λ y ( n n ) ) D = Beispiel 3 (Skript) Sei L die Menge der Lösungen Gleichungssystems Dnn sind mit x + y x n + y n und x x n x x n R n des homogenen x + x + + n x n = m x + m x + + mn x n = und λx λx n y y n λ R uch Lösungen des Gleichungssystems L ist Teilrum des R n Seite 69 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 83 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 84 / 67

22 ( x E W := { y ) R : x + y = } kein Teilrum des R / W E u v Seite 69 Prmeterdrstellung einer Eene E durch den Nullpunkt mit zwei nicht-prllelen Vektoren u und v der Eene E = {λ u + µ v : λ, µ R} W Ziel: Verllgemeinerung einer solchen Drstellung uf llgemeine Vektorräume Frge: Ws sind dort u, v,? Zunächst ml umgekehrt! u, v, w, gegeen Bstle drus einen Vektorrum Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 85 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 86 / 67 Seite 69 Beispiele Seite 7 Definition 5 Linerkomintion A Sind v,, v r V Vektoren, so heißt jeder Vektor v = eine Linerkomintion von r λ j v j, λ j R j= v,, v r = e, Beweis : x x x 3 = e, = x e + x e + x 3 e 3 = e 3 spnnen R 3 uf: B Ist jeder Vektor us V Linerkomintion von v,, v r, so spnnen v,, v r den Rum V uf Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 87 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 88 / 67

23 e 3 Seite 7 v 3 v e v v = v = e v 3 = spnnen uch den R 3 uf, denn x x = (x +x x 3 ) + (x +x 3 x ) x 3 x + x x 3 + x x + x 3 = x + x x 3 + x + x 3 x x + x 3 x + x x + x 3 Wie mn druf kommt? Später!! + (x x +x 3 ) Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 89 / 67 3 u = u = u 3 = 3 4 spnnen nicht R 3 uf, d e 3 / spn{u, u, u 3 } Sie spnnen er den Unterrum { x } V = x x 3 = uf x 3 Frge: Wrum ist V Unterrum? Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Seite 7 Seite 7 4, x, x,, x n spnnen Π n uf 5 cos(x) cos(x) cos(nx) sin(x) sin(x) sin(nx) spnnen T n := { + n k= k cos(kx) + k sin(kx),, n,,, n R} uf Stz 7 Sei V Vektorrum und v,, v r V (i) W := { r j= λ j v j : λ j R } ist Teilrum von V (ii) Für jeden Teilrum U V mit v,, v r U gilt U W ; dh W ist kleinster Teilrum mit v,, v r V Bezeichnung 8 W := { r j= λ j v j λ j R } = : spn{v,, v r } v,, v r erzeugendes System von W Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67

24 Beweis von Stz 7 (i) r i= λ i v i, r i= µ i v i W r i= (λ i + µ i ) v i W Seite 7 A spn{, Beispiele } ist eine Eene durch den Nullpunkt r i= λ i v i W, ν R r i= ν λ i v i W e 3 (ii) λ R λ i v i U λ v + λ v U λ v + λ v + λ 3 v 3 U r i= λ i v i U e e Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 93 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 94 / 67 Seite 7 B spn{, = (,, ) T und (,, ) T, + } ist diesele Eene; denn ist Linerkomintion der Vektoren C spn{v, v } mit v = µ v ist gleich spn{v }, denn Ziel Finde zu vorgegeenem Unterrum einen minimle Zhl von Vektoren v,, v r W mit spn{v,, v r } = W i= λ i v i = λ v + λ v = λ v + λ µ v = (λ + λ µ)v Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 95 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 96 / 67

25 Definition 3 Unheimlich Wichtig!! Seite 7 Beispiele Seite 7 (i) v,, v r λ,, λ r V heißen liner hängig, wenn R : r i= λ i mit r i= λ i v i = (ii) v,, v r V sind liner unhängig, wenn r i= λ i v i = r i= λ i = A e, e, e 3, R 3 liner unhängig, d 3 λ i e i = λ λ =! i= λ 3 B ( ) (, ) λ i = i R liner unhängig, d ( ) ( ) λ + λ = Achtung! Schreiweise! r i= λ i i {,, r} : λ i λ + λ = λ λ = λ = λ } λ = r i= λ i = λ i =, i {,, r} λ = λ λ = }{{} λ = λ = Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 97 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 98 / 67 C liner unhängig liner hängig, + = D u, u R liner hängig u u u, u, u 3 R 3 liner hängig det u u u 3 = E Sind v,, v r V liner hängig, so uch v, v r, v r+ Beweis: r i= λ i v i = und r i= λ i so ist r+ i= µ i v i = und r+ i= µ i für µ i = λ i i =,, r, µ r+ = Seite 7 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 99 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67

26 Seite 7 Seite 73 F Mit, sind uch Anu mcht nicht hängig! R 3+k liner unhängig G Die Funktionen f (x) = und g(x) = x von R nch R sind liner unhängig, denn die Vektoren ( f () f () ) = ( ) und ( g() g() ) = ( ) sind liner unhängig Die Funktionen f und g sind diese Vektoren mit lngen Anuten Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Seite 73 Seite 73 H, x, x,, x n Π n sind liner unhängig, denn p(x) = n j= j x j ist nur für = = = n = möglich nch dem Fundmentlstz der Alger: p Π n, n p ht in C genu n Nullstellen Folgerung: Ist ein n in n j= j x j = p(x) von Null verschieden, so ht p(x) in R höchstens n Nullstellen Anmerkung: Beweis von H uch ohne Fundmentlstz möglich Siehe später Interpoltion (Verllgemeinerung von Beispiel G) V : Vektorrrum W V Untervektorrum W = spn{v, v,, v m } Ziel Wähle Teilmenge {w,, w r } us {v,, v m }, so dss w,, w r liner unhängig ist und immer noch W = spn{w,, w r } w,, w r heißt dnn Bsis von W Geht ds? Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

27 Ende der Vorlesung 4 Vorlesung 5 zw Novemer 3 Bsis, Dimension,Orthonormlsysteme Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 WIEDERHOLUNG Seite 7 WIEDERHOLUNG Seite 73 Definition 3 Unheimlich Wichtig!! (i) v,, v r λ,, λ r V heißen liner hängig, wenn R : r i= λ i mit r i= λ i v i = (ii) v,, v r V sind liner unhängig, wenn r i= λ i v i = r i= λ i = Achtung! Schreiweise! r i= λ i i {,, r} : λ i r i= λ i = λ i =, i {,, r} Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 V : Vektorrrum W V Untervektorrum W = spn{v, v,, v m } Ziel Wähle Teilmenge {w,, w r } us {v,, v m }, so dss w,, w r liner unhängig ist und immer noch W = spn{w,, w r } w,, w r heißt dnn Bsis von W Geht ds? Wir formulieren den Inhlt von Stz 3 (und seines Beweises) lgorithmisch Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67

28 Seite 74 Seite 73 START { m W = i= WENN v,, v m liner unhängig } µ i v i µ i R r = m w,, w r = v,, v m STOP SONST λ,, λ m R, m i= λ i und m i= λ i v i = Sei λ j Dnn = m i= λ i v i = λ j v j + m i=,i j λ i v i, lso v j = m i=,i j λ i λ j v i, somit m i= µ i v i = µ j v j + m i=,i j µ i v i = m i=,i j µ j λ i λ j = m i=,i j (µ i µ j λ i λ j )v i Entferne v j und GO TO START v i + m i=,i j µ i v i Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Seite 73 Seite 74 Stz 3 Sei W := spn{v,, v m } V (i) Sind v,, v m liner hängig und m i= λ i v i =, so ist W = spn{v,, v j, v j+, v m } für jedes j {,, m} mit λ j (ii) Ist W {}, so git es liner unhängige Vektoren v k v k r {v,, v m } mit W = spn{v k,, v k r } Definitionen 33 Sei V Vektorrum, S := {v,, v r } V }{{} endlich S ist Bsis von V wenn (i) v,, v r liner unhängig (ii) V = spn{v,, v r } Existiert eine (endliche) Bsis von V, so heißt V endlichdimensionl (sonst unendlichdimensionl) Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67

29 Beispiele von Bsen Seite 75 Seite 75 A e =, e, e n = ilden die Stndrdsis des R n B {, x, x,, x n } = Stndrdsis des Π n C ( ) (, ) ist Bsis des R ; lso Bsis nicht eindeutig Stz 36 (Steinitz) Sei W := spn{v,, v m } und w,, w r (i) r m W liner unhängig, dnn (ii) r Vektoren in {v,, v m } ( Œdie ersten r) mit W = spn{w,, w r, v r+,, v m } Folgerung: (Korollr 38) Die Anzhl der Bsisvektoren in einer Bsis eines endlichdimensionlen VR V ist Bsis - unhängig Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 Seite 76 Seite 76 Definition 39 Dimension eines VR Diese Anzhl heißt die Dimension von V Bezeichnung: dim V Beweis der Folgerung Seien { v,, v m} und { w,, w r } Bsen Bsis von V liner unhängig in V ) v,, v m w w r Steinitz r m ) w,, w r v v m m r Korollr 37 Seien V endlichdimensionl und w,, w r V liner unhängig Dnn git es v r+,, v n, so dss w,, w r, v r+,, v n Bsis von V sind Beweis Sei v,, v n Bsis von V O B d A nch Steinitz v,, v r gegen w,, w r ustuschr us ) & ) folgt: r = m Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67

30 Beweis von Stz 36 (ii): Induktion nch T : (Dei fällt (i) neenei ) r = Austusch von w gegen ein v {v,, v m } w spn{v,, v m } w = m i= λ i v i w } i {,, m} : λ i Œi = Nch Reduktionslgorithmus (Seite ) ist dnn v = λ {w m i= λ i v i } in {w, v, v,, v m } streichr mit spn{w, v,, v m } = V Seite 76 Beweis von Stz 36 fort r r + (r + m) Œw,, w r schon usgetuscht Sitution dnn w r+ W gegeen w,, w r+ liner unhängig W = spn{w,, w r } ) oder W = spn{w,, w r, v r+,, v n } ) ) w r+ = r i= µ i w i w,, w r+ liner hängig Sitution ) unmöglich ) w r+ W w r+ = r i= λ i w i + m i=r+ µ i v i }{{} mindestens ein µ k k {r+,,m} sonst w r+ = r i= λ i w i zu liner unhängig von w,, w r+ Streiche v k in {w,, w r+, v r+,, v m } Seite 76 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67 Seite 77 Seite 77 Sei V ein Vektorrum, dim V = n <, {v,, v n } eine Bsis von V Folgerungen us Folgerung dim R n = n dim Π n = {, x, x,, x n } = n + Ist V VR der Dimension n und v,, v n V liner unhängig v,, v n ist Bsis v V λ,, λ n : v = n i= λ i v i x = n x i v i, x i R i= x,, x n sind die Koordintion von x ezüglich der Bsis {v,, v n } Korollr 4 Zuordnung x x x n ist eindeutig Beweis: Sei x = n i= x i v i, x = n i= y i v i Dnn: = x x = n i= (x i y i )v i v i liner unhängig x i = y i, i =,, n Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67

31 Korollr 4 (Dimensionsformel) U, W Teilräume von V, endlichdimensionl Dnn Beweis v v r Bsis von U W dim(u + W ) = dimu + dimw dim(u W ) Bsis von U {}}{ u,, u s v,, v r w,, w t Bsis von W wenn liner unhängig, Beweis fertig Annhme: s µ j u j + j= r λ i v i + i= } {{ } :=u U u U W u = r i= v i t ν k w k = k= } {{ } u W µ j = j ν k = k } Seite 78 = r i= λ i v i λ i = i Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Bijektive Aildung V R n T : x = n i= x i v i x x n mit ( x n + y T (x+y) = T (x i +y i )v i) = i= x n + y n und T (λ x) = λ T (x) Koordintenvektor = x x n + Rechnung in V ersetzr durch äquivlente Rechnung im R n y y n Seite 79 = T (x)+t (y), x, y V Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 / 67 Definition 44 Zwei Vektorräume (V, +, ) und (W,, ) heißen isomorph, wenn Bijektion T : V W mit T (x + y) = T (x) T (y), x, y V Seite 79 V : = { x x x x : x, x R } Beispiel R 3 Seite 8 T (λ x) = λ T (x), Stz 45 (V A, +, ), (V B,, ) Dimension n Dnn x V, λ R Bsis: v =, v = T : x x x x = x v + x v ( x x ) R V A isomorph R n isomorph V B Sttt mit rechne mit Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

32 Seite 8 Seite 8 Definition 47 (Allgemeines Sklrprodukt) Sei V (reeller) Vektorrum Nächstes Ziel Definiere Sklrprodukt uf llgemeinem Vektorrum und dmit dnn Orthogonlität, : { VxV x, y R x, y heißt Sklrprodukt oder inneres Produkt in (oder uf) V, wenn gelten: (i) x + y, z = x, z + y, z (ii) λ x, y = λ x, y (iii) x, y = y, x x, y, z V x, y V, λ R x, y V (iv) x, x > x V \{} (V,, ) = unitärer Rum Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Beispiele Seite 8 Seite 8 Euklidisches Produkt uf R n : x = x x n, y = x, y : = n i= x i y i y y n Gewichtetes euklidisches Produkt uf R 3 : x, y G : = 5 x y + 3 x y + x 3 y 3 3 Inneres Produkt uf Π n : p, q : = p(x) q(x) d x Für ds normle euklidische Sklrprodukt im R 3 glt: (CSU) x, y x y x, y R 3 x, y x, x y, y Erinnerung: CSU -Ungleichung Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 7 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 8 / 67

33 Seite 8 t x + y, t x + y Seite 83 Stz 5 CSU V unitärer Rum mit Sklrprodukt, Dnn x, y x, x y, y x, y V Beweis Für x = : trivil! Sei deshl x Dnn t R : t x + y, t x + y, insesondere uch für t = x,y x,x t x, x + t x, y + y, y = x, y x, x x, y x, x x, y = + y, y x, x + y, y t x, y = x, x t x, x + t x, y + y, y insesondere (t ) x, x + t x, y + y, y x, y = + y, y x, x Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 9 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Seite 83 Seite 83 Zustz: = t x + y, t x + y = t x + y = lso CSU mit = x, y liner hängig Mit x, y = n i= x iy i gilt : x = x, x / Allgemeiner (V,, ) unitär; dnn ist x : = x, x / die, zugeordnete Norm Dmit: CSU x, y x y Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 3 / 67

34 Stz 66 Eigenschften der, / -Norm (V,,, ) unitärer VR mit Norm x := x, x / Dnn Seite 9 Aus CSU x, y x y folgt uch Seite 84 (i) x = x = (ii) λ x = λ x (iii) x + y x + y x V, λ R x, y V x, y x y [, ] Beweis (i) und (ii) trivil (iii) wie schon früher mit CSU Bei x, y = 3 x i y i uf R 3 wr i= x α x + y = x + y, x + y = x, x + x, y + y, y x, x + x, x y, y + y, y = x + x y + y = ( x + y ) x, y x y = cos(α) y Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 33 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 34 / 67 Seite 84 Beispiel Seite 84 Für llgemeine innere Produkte definiert mn den Winkel α zwischen x und y üer x, y x y = cos α Definition 53 Orthogonlität Mn sgt dnn uch, x und y seien orthogonl, wenn cos α =, lso x, y = ist Bezüglich x, y = n i= x i y i sind e = orthogonl Es gilt sogr, e =,, e n = e i, e i = δ ij = { i = j i i Kronecker - Symol Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 35 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 36 / 67

35 Ortho*sis Seite 84 Seite 84 Sei (V,, ) unitärer Rum und v,, v n Bsis (dim V = n) Ist dnn v i, v j = i j so heißt {v,, v n } Orthogonlsis Hen lle v i ezüglich zusätzlich Einheitslänge, dh mit x = x, x / v i = v i, v i / =, i, so heißt {v,, v n } eine Orthonormlsis Definition 53 Ortho*sis V euklidischer Vektorrum mit, u, v orthogonl wenn u, v = S := {v,, v r } V heißt Orthogonlsystem wenn v j j v j, v k =, j k 3 Ein Orthogonlsystem heißt Orthonormlsystem, wenn Längen der Vektoren = 4 Orthonormlsystem, welches Bsis von V ist, heißt Orthonormlsis Beispiel: {e,, e n } ist ONB von R n mit euklidischem Sklrprodukt Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 37 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 38 / 67 Seite 86 Orthonormlsen sind schön! {v,, v n } ONB von (V,, ) v,, v n Bsis Wie erechnet mn x i? v x x n R n v j, v = v j, = = i= : v = n i= x i v i n x i v i i= n x i v j, v i }{{} =δ ij n x i δ ij = x j i= Seite 86 v = α v + α v + + α n v n v, v = v, α v + α v + + α n v n v, v = α v, v + α v, v + + α n v, v n lso v, v = α = = = x j = v j, v Stz 58 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 39 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67

36 Seite 86 Seite 87 Stz 58 v,, v n Orthonormlsystem v = n α i v i, α j = v j, v i= v,, v n Orthonormlsystem v = v v, v + v v, v + + v n v n, v lso v = n v i v i, v i= }{{} Fourierentwicklung Projektion uf v Projektion uf v Projektion uf v n Projektion uf spn{v, v } Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 4 / 67 Seite 85 Seite 88 Stz 57 V eukl VR und, S = {v,, v r } sei Orthogonlsystem v,, v r liner unhängig Beweis Annhme: r i= λ i v i = λ j v j, v j = r λ i v j, v i = v j, i= r λ i v i = i= Nun entworten wir die Frge: Wie stle ich mir eine Orthonormlsis? Wie mn eine ONB stelt: 6,63 + Tfel Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 43 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 44 / 67

37 Ende der Vorlesung 5 Vorlesung 6 7 zw 8 Novemer 3 Normen, Metriken, Mnnigfltigkeiten, Gleichungssysteme Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 45 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 46 / 67 Wiederholung Seite 9 Seite 9 Stz 66 Eigenschften der, / -Norm (V,,, ) unitärer VR mit Norm x := x, x / Dnn (i) x = x = (ii) λ x = λ x (iii) x + y x + y Beweis (i) und (ii) trivil (iii) wie schon früher mit CSU x V, λ R x, y V x misst - wie x in R, R 3 - die Länge eines Vektors Leider ist nicht jede (vernünftige) Längenmessung x üer mit einem inneren Produkt verunden x, x / = : x Es git noch ndere wichtige Längenmessungen Für solche fordern wir er stets die oen gefundenen Eigenschften(Stz 66) x + y = x + y, x + y = x, x + x, y + y, y x, x + x, x y, y + y, y = x + x y + y = ( x + y ) Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 47 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 48 / 67

38 Seite 9 Beispiele Seite 9 Definition 67 Norm Sei V Vektorrum Eine Aildung heißt Norm uf V, wenn (i) x = x = (ii) λ x = λ x : x V, λ R (iii) x + y x + y x, y V { V R x x (i) x : = n i= x i euklidische Norm (ii) x : = mx i=,,n x i Mximumnorm (iii) x : = n i= x i Summennorm (iv) Zusmmenfssend: x p : = ( n i= x i p) /p, p (V, ) heißt normierter Rum Bemerkungen: x = lim p x p Der Nchweis der Normeigenschft von p ist (für p ) etws ufwendiger Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 49 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Achtung! Jeder unitäre Vektorrum (V,, ) ist vermittels x : = x, x / uch normierter Rum (V, ) Die Umkehrung gilt jedoch nicht! Es git nicht zu jeder Norm ein inneres Produkt,, so dß x = x, x / Seite 9 Aus der Möglichkeit, Längen von Vektoren zu messen, resultiert eine Seite 9 Messmethode für Astände von Punkten A und B eines normierten Rumes (V, ) d(a, B) = Distnz Ortsvektoren von A zw B Mn möchte er oft uch Astände zwischen Punkten wissen, die nicht einem Vektorrum ngehören! Beispiel: Anmerkung: Notwendig und hinreichend dfür ist die Gültigkeit der sog Prllelogrmmgleichung v u + v u + v + u v = u + v u v u Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 5 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 53 / 67

39 NORMIERTER RAUM? A B Seite 9 Seite 9 Dnn Distnz (A, B) : = möglich Allgemeiner d(, ) Definition 7 (Metrik) Sei M eine Menge Eine Aildung { M M R+ d : (x, y) d(x, y) heißt Metrik, wenn (d ) d(x, y) = x = y (d ) d(x, y) = d(y, x) x, y M (d 3 ) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z M Achtung! Jeder normierte Rum (V, ) wird mit ( ) d(x, y) : = x y, x, y V uch metrischer Rum Jedoch muss es zu einer Metrik d(x, y) keine Norm geen mit ( ) Beispiel: Diskrete Metrik: d(x, y) : = { ei x = y ei x y Mckens Eine(Technische Menge Universität M Hmurg-Hrurg) mit Metrik d heit metrischer Linere Alger IRum WiSe 3/4 54 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 55 / 67 Kurz Luft holen Mnnigfltigkeiten Seite 93 Gerden und Eenen durch sind Vektorräume Gerden und Eenen die nicht durch gehen, sind keine Vektorräume Sie kommen er doch uch wohl vor! Sie werden Vektorräume, wenn mn den Ursprung in sie hinein verschiet Themenwechsel: > Mnnigfltigkeiten w kein Vektorrum Vektorrum L W Vektorrum zu L Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 56 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 57 / 67

40 Seite 93 Beispiele Seite 93 Gerde L : = {x : = w + λ u λ R} = w + spn{u} Definition 7 linere Mnnigfltikeit Sei V Vektorrum, W Untervektorrum von V, w Dnn heißt L : = w + W : = {w + w w W } Linere Mnnigfltigkeit in V (oder ffiner Rum) V fest Eene {x R 3 n x + n x + n 3 x 3 = δ} n + n + n 3, δ R fest Ist linere Mnnigfltigkeit Sei w irgendeine Lösung von n, x = δ Dnn n, w = δ Für jede Lösung y ist Sutrktion zeigt n, y = δ n, y w = (homogen) Seien u, u lu und n Dnn y w spn{u, u } = W Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 58 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 59 / 67 Seite 93 Seite 94 3 Allgemeiner: Lösungsmenge von Stz 76 Sei V Vektorrum Zwei linere Mnnigfltigkeiten x + + n x n = n m x + + mn x n = m ist leer oder linere Mnnigfltigkeit Ist y nämlich elieige Lösung und w spezielle Lösung, so löst y w ds homogene System x + + n x n = m x + + mn x n = Sei W Lösungsrum dvon, so ist y w + W L : = w + W K : = u + U sind genu dnn gleich, wenn W = U und w u Beweis L = K Zu w W u = u(w) U Zu u U w = w(u) W W gelten Bei w = w = u + u() lso w u = w() U Bei u = w + w() = u lso w u = w() W Für u U ist dmit u = w u + w W Für w W ist umgekehrt w = (w u ) + u U } w + w = u + u } U W Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67

41 Seite 94 Seite 94 Fortsetzung Beweis Sei nun W = U und Zu zeigen Aer w u W w + W = u + U w + W = u + (w u ) + W }{{} =W =U Stz 77 Seien linere Mnnigfltigkeiten in VR L = w + W, K : = w + U Dnn K L = oder K L = linere Mnnigfltigkeit Beweis Ist K L v L = v + W, K = v + U K L = K L = {v + v v U W } V Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 6 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 63 / 67 Seite 95 Komplexe Vektorräume Definition wie reelle Vektorräume, nur kommen jetzt die Sklre us C Beispiele: C n : = z z n Π n : = { z + z n w : z i w n = C } z + w z n + w n, λ z z n { p : C C p(z) = n i= i z i, i C = } λ z λ z n 3 Sei V = Vektorrum Definition { } ˆV : = (x, y) x, y V mit (x, y ) + (x, y ) := (x + x, y + y ) ( + i) (x, y) := (x y, y + x) heißt Komplexifizierung von V Anmerkung: Denke (x, y) ls x + iy Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 64 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 65 / 67

42 Normen uf komplexen Vektorräumen : V R wie ei reellen Vektorräumen Metriken d(, ) : V V R dito Aweichungen er eim Sklrprodukt! Sei V komplexer Vektorrum, : V V C ist inneres oder sklres Produkt, wenn (i) u, v = v, u u, v V hier Aweichung! (ii) λ u, v = λ u, v (iii) u + v, w = u, w + v, w (iv) u, u > u V \{} u, v V, λ C u, v, w V Seite 96 Folgerungen: u, λ v = λ v, u = λ v, u = λ v, u = λ u, v u, v + w = v + w, u = v, u + w, u Stndrd - Sklrprodukt uf C n u, v : = n i= u i v i ; u, v C n = u, v + u, w Zugehörige euklidische Norm n u = i= u n i ū i = i= u i R Seite 96 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 66 / 67 Mckens (Technische Universität Hmurg-Hrurg) Linere Alger I WiSe 3/4 67 / 67