Wie reagiert Nachfrage nach dem Gut auf Preisänderungen?

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1 1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen? 7.Oktober 008 Wie reagiert Nachfrage nach dem Gut auf Preisänderungen? - Um wie viele Einheiten ändert sich die nachfragte Menge, wenn der Preis um 1 Euro steigt? Antwort: eine Zahl, eine Anzahl von Einheiten. _ Nachteile, Unzulänglichkeiten bei dieser Antwort. * Preisänderung um 1 Euro bei einem Pfund Kaffee beträchtlich, bei einem Auto unerheblich!! Grund: Wahl der Einheiten Ausweg: betrachte relative Änderungen - Um welche Prozentsatz ändert sich die nachfrage, wenn der Preis sich 1% ändert? - Antwort unabhängig von den gewählten Einheiten (von Preis und Menge) PREISELASTIZITÄT der Nachfrage. z.b. Preiselastizität für Kartoffeln: -0. Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung der Nachfrage um 0.%. Preiselastizität der Nachfrage Nachfrage nach einem Gut ist der Funktion des Preises: =D(p) Preisänderung von p auf (p+ p) = D( p + p) D( p) Relative Änderungen in: i. Nachfrage ii. Preis p. p Quotient = das Verhältnis zwischen zwei relativen Äderungen. p p 1% Preiserhöhung p 1 p = p =, wirkt im Quotient = = =.100 p p p Prozentuale Änderung der nachgefragten Menge ist durchschnittliche Elastizität von im Intervall [p, p+ p]. ( + ) D( p p) D( p) D( p) p D( p + p) D( p) Quotient = = =. p p p p D( p) p

2 Wünschenswert: Elastizität von D an der Stelle p unabhängig von p. Wenn D differenzierbare Funktion von p, dann Grenzwert von Quotient, wenn p 0 p D( p + p) D( p) p D( p + p) D( p) p lim. =. lim = D '( p ). D( p) p D( p) p D( p) p 0 p 0 Definition: Elastizität einer beliebigen differenzierbaren Funktion f mit f ( ) 0 bezüglich El f ( ) = f '( ) f ( ) Beispiel 7.1: Sydsaeter/Hammond, 7.7, Aufgabe 1.06 Eine Untersuchung der Verkehrswirtschaft verwendet die Beziehung T = 0.4K, wobei K die Ausgaben für den Straßenbau und T ein maß für das Verkehrsaufkommen sind. Bestimmen Sie die Elastizität von T bezüglich K Antwort: T = 0.4K K El kt( K) = T '( K) T( K) d T 0.06 ( K ) = T '( K ) = (0.4).(1.06) K dk K 0.06 El KT( K) = (0.4)(1.06). K = 1.06 Elastizität ist Konstant K Interpretation: Ein Anstieg der Ausgaben für Straßenbau um 1% eine verursacht Zunahme das Verkehrsaufkommen um ungefähr b Definition: Elastizität von f ( ) = AK (Potenz Funktion), A und b Konstante mit A 0. El ( ) '( ) f ( ) A b 1 f = f = Ab = b b Die Elastizität der Potenzfunktion ist der Eponent (Konstant). Beispiel 7.: Gegeben der Nachfrage nach einem Gut ist der Funktion des Preises D( p) = p El D ( p p ) = 1.5 Interpretation: Erhöhung des Preises um 1% bewirkt einen Rückgang der Nachfrage um 1.5%. Eakte Berechnung des Rückgangs der Nachfrage bei Preiserhöhung um 1% und p=5 p 1 5 = NeuePreis=p+ p = 5 + = 5.05 p

3 Änderung der Nachfrage ist D(5.05)-D(5) Prozentuale Änderung: % 5 Anmerkung: Ökonomen verwenden oft die folgende Terminologie: i. Wenn El f ( ) > 1, dann ist f elastisch an der Stelle. ii. Wenn El f ( ) = 1, dann ist f 1-elastisch an der Stelle. iii. Wenn El f ( ) < 1, dann ist f unelastisch an der Stelle. iv. Wenn El f ( ) = 0, dann ist f vollkommen unelastisch an der Stelle.

4 4 Kapitel 11 Funktionen mehrerer Variablen 11.1 Funktionen von zwei Variablen Definition: Eine Funktion f von zwei Variablen und z mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die jedem Punkt (,y) in D eine Zahl f(,y) zuordnet. z = f (, y) und y die Unabhängigen Variable (Eogene Variablen) z die Abhängige Variable (Endogene Variablen) Beispiel 11.1: Eine Untersuchung der Nachfrage nach Milch (R. Frisch und T. Haavelmo) ergab den Zusammenhang m F A Am p p = =, A R wobei F der Milchkonsum, p der relative Preis von Milch und m das Einkommen pro Familie ist. { } F { } D : = ( m, p) : m R, p (0, ) = R (0, ) W : = : R = R F Definition: Cobb-Douglas-Funktion a b F(, y) = A y, A,a,b sind Konstanten. R, y R + + Beschreibung von Produktionsprozessen und y die Inputfaktoren F(,y) die Anzahl der produzierten Einheiten Nachfrage nach Milch Beispiel definierte eine Cobb-Douglas-Funktion mit a=.08, b=-1.5. Die Änderung der Anzahl der produzierten Einheiten wenn der erste Inputfaktor um h Einheiten geändert wird, während der andere Inputfaktor unverändert bleibt: Beispiel 11.: Der Nachfrage nach Milch mit Inputfaktoren m (Einkommen pro Familie) und p (Preis). Sei m = h, Änderung in Einkommen pro Familie m+h; Preis bleibt unverändert. Die Änderung der Milchkonsum ist [ f ( m + m, p) f ( m, p) ] = [ f ( m + h, p) f ( m, p) ] [ f ( m + h, p) f ( m, p) ] = ( A( m + h) p ) ( Am p ) = Ap (( m + h) m ) h=1 Einheiten Veränderung in Einkommen pro Familie (( m.08 1).08 m ) Milchkonsum. Sei p = h, Änderung in Preis p+h; Einkommen bleibt unverändert. Die Änderung der Milchkonsum ist + mal Steigung in

5 5 [ f ( m, p + p) f ( m, p) ] = [ f ( m, p + h) f ( m, p) ] [ f ( m, p + h) f ( m, p) ] = ( Am ( p + h) ) ( Am p ) (( ) ) 1 1 ( p + h) p = Am p + h p = Am h=1 Einheiten Veränderung in Preis mal Verringerung in Milchkonsum. ( p + 1) p < Partielle Ableitungen mit zwei Variablen Frage: Wie schnell sich z=f(,y) ändert, wenn die unabhängigen Variablen sich ändern? z.b. gegeben z=f(,y) der Gewinn einer Firma bei den Inputvariablen und y ist, wie stark sich der Gewinn ändert, wenn man die Inputvariablen ändert? Definition: Partielle Ableitungen Die Änderungsrate bezüglich ist (wenn y fest ist) Die Änderungsrate bezüglich y ist (wenn fest ist) z f (, y) ' ' = = f (, y) = f1 (, y) z f (, y) ' ' = = f y (, y) = f(, y) Beispiel 11.: Eine Untersuchung der Nachfrage nach Milch (R. Frisch und T. Haavelmo) ergab den Zusammenhang.08 m F = A = Am p F = f ( m, p), A R p wobei F der Milchkonsum, p der relative Preis von Milch und m das Einkommen pro Familie ist. Partielle Ableitungen von F bezüglich p und m sind: Die Änderungsrate bezüglich m ist (wenn p fest ist): F F( m, p) ' (, ) ' (, ) Fm m p f1 m p ( Am p ).08 = = = = = Am p m m m F > 0, die Milchkonsum ist Monoton Steigend mit Einkommen pro Familie Änderungen!! m Die Änderungsrate bezüglich p ist (wenn m fest ist): =,

6 6 F < 0, die Milchkonsum ist Monoton Fallend mit Preis Änderungen!! p Partielle Ableitungen Höherer Ordnung Falls z=f(,y) ist einer differenzierbarer Funktion in zweite Ordnung. Es gibt vier Funktionen heißen die partiellen Ableitung zweiter Ordnung von f(,y): z f (, y) '' '' = = f (, ) y = f11(, y) z f (, y) '' (, ) '' = = f (, ) yy y = f y z f (, y) = = f y = f y '' (, ) '' (, ) y 1 z f (, y) = = f y = f y z z = '' (, ) '' (, ) y 1 Die Hesse Matri: z H= z z z Beispiel 11.4: Bestimmen Sie partielle Ableitungen erste und zweite Ordnung von z = f (, y) = y + e z = ( y + e ) = y + e z z ( ) ( ) = y + e = y + e = 6y + 4e z = ( + ) = y e y z ( ) ( ) = y + e = y = z ( ) ( ) = y + e = y + e = 6 y

7 7 z ( ) ( ) = y + e = y = 6 y Die Hesse Matri: z z H= y + e y = z z 6 y

8 8 Sei D der Definitionsbereich der Funktion f(). Kapitel 8 Univariate Optimierung 9.Oktober 008 i) f hat Maimum in c D f ( ) f ( c) für alle D f ( c) heißt Maimalwert, c ein Maimum-Punkt ii) f hat Minimum in d D f ( ) f ( d) für alle D f ( d) heißt Minimalwert, d ein Minimum-Punkt. iii) Wenn wir uns nicht um die Unterscheidung zwischen Maimum- und Minimumpunkten kümmern müssen Etrempunkte Strenge Maima und Minima i. f hat Maimum in c D f ( ) < f ( c) für alle D f ( c) heißt Maimalwert, c ein striktes (strenges) Maimum-Punkt. ii. f hat Minimum in d D f ( ) > f ( d) für alle D f ( d) heißt Minimalwert, d ein striktes (strenges) Minimum-Punkt. Wenn f ein Maimum in c hat, so hat (-f) ein Minimum in c Jedes Maimierungsproblem kann ein Minimierungsproblem ungewandelt werden und umgekehrt. Beispiel 8.1: Bestimmen Sie mögliche Maimum- und Minimumpunkte für g 1 = +. ( ) ( 1) D = R W = [, ) g g (1 ) 0 1 g( ) + = = =. g = = ( ) wenn (1+) 0 an der Stelle =-1 Minimum wenn =-1 Kein Maimum, da g(), wenn ±. Stationäre Punkte Definition: f differenzierbar in Intervall I und c I. Notwendige Bedingung für ein Maimum oder Minimum in c ist, dass c ein stationär Punkt von f ist. Für =c f '( c ) = 0.

9 9 Beispiel 8.: Bestimmen Sie ob = -1 ein stationäre Punkte ist für g 1 = +. ( ) ( 1) d d g ( ) = g '( ) = ( + 1) g ( ) = g '( 1) = ( 1+ 1) = 0. JA!! d d = Einfache Tests auf Etrempunkte Untersuchung der ersten Ableitung i. Wenn f '( ) 0 für c und f '( ) 0 für c, dann ist =c ein Maimalpunkt von f. ii. Wenn f '( ) 0 für c und f '() 0 für c, dann ist =c ein Minimalpunkt von f. 1 Beispiel 8.: Bestimmen Sie ob = -1 ein Minimum Punkte ist für g( ) = ( + 1). d g * ( ) = g '( ) = ( + 1) g '( ) = 0 ( + 1) = 0 = 1. d Wenn = -1 g '( 1) = ( 1+ 1) = 0 Wenn = -1.1<-1 g '( 1.1) = ( ) < 0 Wenn = -0.9>-1 g '( 0.9) = ( ) > 0 Ja! =-1 ist ein Minimumpunkte. Etrempunkte für konkave und konvee Funktionen f zweimal differenzierbar in I, dann gilt: * f ist konkav f "( ) 0 für alle I. Wenn f '( c ) = 0 für inneren Punkt c I, dann f '( ) 0 links von c und f '( ) 0 rechts von c f hat Maimum in c. * f ist konve f "( ) 0 für alle I. Wenn f '( c ) = 0 für inneren Punkt c I, dann f '( ) 0 links von c und f '( ) 0rechts von c f hat Minimum in c.

10 10 Beispiel 8.4: Zeigen Sie dass f konve ist und bestimmen Sie das Minimum für 1 g( ) = ( + 1). d g ( ) = g '( ) = ( + 1) d d ( ) 0 g = d g() ist konve g * '( ) = 0 ( + 1) = 0 = 1 g() hat Minimum für =-1. Beispiel 8.5: Durch die Produktion und den Verkauf von Q Einheiten eines Produkts hat ein Unternehmen die Erlöse R( Q) 0.001Q 40Q = + und die Kosten C( Q) = Q + 4Q Berechnen Sie die Maimalen Gewinn. Gewinnfunktion: π ( Q) = R( Q) C( Q) = 0.00Q + 6Q 000 d π = + = + = > dq * '( Q) ( 0.00Q 6Q 000) Q 6 Q Die zweite Ableitung: π = d d dq + = dq + = < ''( Q) ( 0.00Q 6Q 000) ( 0.004Q 6) * Es liegt ein Maimum vor an der Stelle Q = Der Maimale Gewinn ist π (9000) = 0.00(9000) + 6(9000) 000 =

11 Der Etremwertsatz Sei f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränktem Intervall [a,b]. Dann eistiert ein Punkt d Є[a,b], in dem f ein Minimum, und ein Punkt c Є[a,b], in dem f ein Maimum hat, so dass ü, Problem: Finde Maimum und Minimum einer differenzierbaren Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [a,b]. i. Bestimme alle stationären Punkte von f in (a,b), d.h. alle punkte, 0 ii. Berechne Funktionswerte von f in den Endpunkten a,b und in allen stationären Punkten. iii. Der größte der in (ii) bestimmten Funktionswerte ist das Maimum, der Kleineste ist das Minimum. Beispiel 8.6: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von 1 ü,5 f ist überall differenzierbar und 1 0 ä 1 0, f() Minimum 5 65 Maimum Beispiel 8.7: Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei 1 Q( A) = 9 A A, A [0,100] wobei A die Anzahl der Arbeitskräfte bezeichne. 16 a. a. Welche Anzahl von Arbeitskräften maimiert den Output Q(A)? b. Welche Anzahl maimiert den Output pro Arbeitskraft Q(A)/A? d Q ( A ) = 18 A A = 0 A (18 A ) = 0 A = 0, A = 96 da A=0 ist einer Randpunkt. A=96 ist ein innerer Punkt.

12 1 Kandidaten für ein Maimum sind A=0 Q(0) = 0 A=96 Q(96) = 7648 Maimum A=100 Q(100) = 7500 b. Q( A) 1 9A A A = 16 Q( A) = 9 A = 0 A = 7 A 16 Q( A) = < 0 A 16 Die Funktion ist konkav und im punkt A=7 gibt Maimum. Beispiel 8.8: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von 1 / ü 0,9 1 f() 0 1 Minimum 9 6 Maimum / Beispiel 8.9: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von ü Keine Maimum- und Minimumwert in Intervall R!! 1 ist innere Punkt, in den nicht eistiert.

13 1 Beispiel 8.10: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von ü,1 0 0 f() Minimum 0 1 Maimum Lokale Etremwerte Bisher: Suche nach Optimum über alle Punkte aus dem Definitionsbereich. Jetzt: Vergleich nur mit Punkten in der Nähe Die Funktion f hat ein lokales Maimum an der Stelle c,, so dass f() f(c) für alle,, für die f definiert ist. Die Funktion f hat ein lokales Minimum an der Stelle c,, so dass f() f(c) für alle,, für die f definiert ist. ERSTE ABLEITUNG TEST: Sei c ein stationärer Punkt für y=f(). a. Wenn 0 in einem Intervall (a,c) und 0 in einem Intervall (c,b), dann ist =c ein lokaler Maimumpunkt für f. b. Wenn 0 in einem Intervall (a,c) und 0 in einem Intervall (c,b), dann ist =c ein lokaler Minimumpunkt für f. c. Wenn 0 in einem Intervall (a,c) und in einem Intervall (c,b), dann ist =c kein lokaler Etrempunkt für f. ZWEITE ABLEITUNG TEST: Die Funktion f sei in einem Intervall I zweimal differenzierbar und c sei innerer Punkt von I. Dann gilt: a. 0 0 ist =c ein lokaler Maimumpunkt für f. b. 0 0 ist =c ein lokaler Minimumpunkt für f. c. 0 0?? Minimum, Maimum, Wendepunkt??

14 14 Beispiel 8.11: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von ü 1 0 ä >0 ist lokaler Minimum Punkt. Keine Maimum!! f() (, <0 >0 1/ -/ 0 >0 Minimum (, >0 >0 Beispiel 8.1: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von 1 ü F ist überall differenzierbar und 1 0 ä 1 0, 6 0 0, 0, 0, 0? f() (, >0 <0-16 Maimum 0-1<0 (, <0 (?) -16 Minimum 0 1>0 (, >0 > Wendepunkte Kap. 6.9.: f zweimal differenzierbar heißt KONKAV in Intervall I, wenn 0 ü Є. f zweimal differenzierbar heißt KONVEX in Intervall I, wenn 0 ü Є. Der Punkt c heißt ein Wendepunkt der Funktion f, wenn es ein Intervall (a,b) um c herum gibt, so dass a. 0, 0,, oder b. 0, 0,.

15 15 Beispiel 8.1: Finden Sie die Wendepunkt von ü 1 0 ä >0 immer!!! Funktion ist KONVEX in R. Keine Wendepunkt!! f() (, <0 >0 1/ -/ 0 >0 Minimum (, >0 >0 Beispiel 8.14: Finden Sie Wendepunkten von 1 ü f ist überall differenzierbar und 1 0 ä 1 0, f() (, <0 Konkav Wendepunkt (0, >0 Konve Beispiel 8.15: Finden Sie Maimum- und Minimumwert von 1 ü =-1 und = stationäre Punkten 0 f() (, >0 <0 Konkav -1 (75/54)= <0 (-1,1/ ) < <0 Konkav 1/ 86/ Wendepunkt (1/, ) < >0 Konve (-6/54)= >0 (, > >0 Konve