Kapitel 1. Grundlagen

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1 Kapitel 1. Grundlagen 1.1. Mengen Georg Cantor 1895 Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig feststeht, ob es zur Menge gehört oder nicht. Die Objekte der Menge heissen Elemente der Menge. a A a A a ist Element der Menge A a ist nicht Element der Menge A 1

2 Die leere Menge enthält kein Element. Schreibweise:, {} Definition. Eine Menge A heisst Teilmenge der Menge B, falls jedes Element von A auch Element von B ist. Schreibweise: A B. Definition. Zwei Mengen heissen gleich, falls A B und B A gilt. Schreibweise: A = B. Falls A und B nicht gleich sind, so schreiben A B. 2

3 Verknüpfungen von Mengen Definition. Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge A B ist definiert durch A B := {x : x A und x B}. Die Vereinigungsmenge A B ist definiert durch A B := {x : x A oder x B}. Die Differenzmenge A \ B ist definiert durch A \ B := {x : x A und x B}. A und B heissen disjunkt, falls A B = (d.h. A und B enthalten kein gemeinsames Element). 3

4 Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen Satz. Es seien A, B, C Mengen. Dann gilt (1) A = und A = A (2) A A = A und A A = A (3) A B = B A und A B = B A (Kommutativität) (4) (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) (Assoziativität) (5) A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität) 4

5 Übung. Sei Ω eine Menge. Für eine Teilmenge A Ω definieren wir das Komplement A c : = Ω \ A. Beweisen Sie die Gesetze von de Morgan: für A Ω und B Ω gilt (A B) c = A c B c und (A B) c = A c B c. 5

6 Definition. Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Man beachte den Unterschied zwischen und und die Schreibweise mit den Mengenklammern { und }: 1 {1, 2}, {1} {1, 2}, {1} {1, 2}, {1} P({1, 2}). Statt P(A) schreibt man oft auch 2 A. 6

7 Gefährliche Definitionen (1) Russelsche Antinomie: Sei R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Wäre R eine Menge, so müsste entweder R R oder R R gelten. Nach Definition ist aber R R genau dann wenn R R. 7

8 (2) Der Barbier von Sevilla rasiert genau diejenigen in Sevilla lebenden Männer, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert der Barbier sich selber? M : = {x: x männlicher Einwohner in Sevilla, den der Barbier rasiert} ist keine Menge! 8

9 2. Abbildungen Definition. Seien A und B Mengen. Ist a A und b B, so heisst (a, b) ein geordnetes Paar. Zwei geordnete Paare (a, b) und (a, b ) heißen gleich, falls a = a und b = b gilt. Das kartesische Produkt A B ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a A und b B gilt. 9

10 Beziehungen zwischen Objekten werden formal als Relationen definiert. Definition. Eine Relation zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge R A B. Falls A = B so sprechen wir von einer Relation in A. 10

11 Definition. Eine Abbildung (oder Funktion) von der Menge A in die Menge B ist eine Relation f A B derart, dass es für alle a A genau ein b B gibt mit (a, b) f. 11

12 Übliche Schreibweise für eine Abbildung f : A B A: Definitionsbereich von f B: Bildbereich (oder Wertebereich) von f Das zu a A eindeutig gehörende b B mit (a, b) f wird meist mit f(a) bezeichnet. 12

13 Definition. Zwei Abbildungen f : A B und f : A B heißen gleich, wenn A = A und B = B und f(a) = f (a) für alle a A gilt. 13

14 Eigenschaften von Abbildungen Definition. Eine Abbildung f : A B heißt injektiv, falls aus a 1, a 2 A mit a 1 a 2 stets f(a 1 ) f(a 2 ) folgt. surjektiv, falls für alle b B ein a A existiert mit b = f(a) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. 14

15 Definition. Die identische Abbildung auf der Menge A ist definiert als id A : A A, a a Definition. Sind f : A B und g : B C Abbildungen, so definiert man deren Komposition oder Hintereinanderausführung als die Abbildung g f : A C, a g(f(a)) 15

16 Satz. Eine Abbildung f : A B ist bijektiv genau dann, wenn es eine Abbildung g : B A gibt mit g f = id A und f g = id B. 16

17 Ergänzung zum Satz: Die Abbildung g im Satz ist eindeutig bestimmt und heißt die inverse Abbildung von f. Man schreibt dafür g = f 1. Vorsicht: f 1 ist nicht zu verwechseln mit 1/f(x) = f(x) 1 für eine reellwertige Funktion f. 17

18 Definition. Sei f : A B eine Abbildung. Für X A heißt die Menge f(x) := {f(a): a X} das Bild von X unter f. Für Y B heißt die Menge f 1 (Y ) := {a A: f(a) Y } das Urbild von Y unter f. 18

19 3. Ordnungs- und Äquivalenzrelationen Eine Relation R in A ist eine Teilmenge R A A. Statt (x, y) R schreiben oft xry. Definition. Eine Relation in A heißt eine partielle Ordnung, falls folgende Eigenschaften erfüllt sind: Reflexivität: a a für alle a A Antisymmetrie: Aus a b und b a folgt a = b, für alle a, b A. Transitivität: Aus a b und b c folgt a c, für alle a, b, c A. 19

20 Definition. Eine partielle Ordnung in A heißt totale Ordnung, falls für alle a, b A gilt: a b oder b a. 20

21 Definition. Sei A eine Menge, n N, n 1. Ein n-tupel in A ist eine Abbildung Ist a k = a(k), so schreibt man meist a k heißt die k-te Komponente von a. a: {1, 2,..., n} A. a = (a 1, a 2,..., a n ) statt a. Bemerkung. (a 1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) genau dann wenn a k = b k für alle k {1, 2,..., n}. 21

22 Definition. Unter der n-ten kartesischen Potenz der Menge A versteht man A n : = A... A: = {a: n-tupel in A}. }{{} n mal Angenommen, sei eine totale Ordnung in A. Die lexikographische Ordnung lex in A n ist folgendermassen definiert. Seien a = (a 1,..., a n ) und b = (b 1,..., b n ) A n. a lex b bedeutet, dass entweder a = b oder a k b k für den kleinsten Index k mit a k b k. Behauptung. Die lexikographische Ordnung lex ist eine totale Ordnung in A n. Beweis als Übung. 22

23 Definition. Eine Relation in A heißt Äquivalenzrelation, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: Reflexivität: a a für alle a A. Symmetrie: Aus a b folgt b a, für alle a, b A. Transitivität: Aus a b und b c folgt a c, für alle a, b, c A. 23

24 Wichtige Äquivalenzrelationen in Z. Fixiere n N, n 1. Seien a, b Z. Definition. a heißt kongruent zu b modulo n, geschrieben a n b, falls n ein Teiler von b a ist. Z.B. n = 3, 2 3 5, Man verifiziert leicht, dass n eine Äquivalenzrelation ist. 24

25 Definition. Sei eine Äquivalenzrelation in A. Die Äquivalenzklasse [a] von a ist die Menge der zu a äquivalenten Elemente in A: [a]: = [a] : = {b A: b a}. Definition. Sei A eine Menge. Eine Partition (oder Zerlegung) von A ist eine Menge P von nichtleeren Teilmengen von A sodass jedes Element von A in genau einem P P liegt. 25

26 Wir haben gesehen, dass die Menge der Äquivalenzklassen eine Partition von A ist. Die Umkehrung stimmt auch. Satz. Sei P eine Partition der Menge A. Definiere die Relation R: = {(a, b) A A: es existiert ein P P mit a P und b P }. Dann ist R eine Äquivalenzrelation in A. 26

27 Aristoteles ( vor Christus) 4. Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das entweder wahr oder falsch ist. Verknüpfung von Aussagen. Seien A und B Aussagen. Wir definieren A B (hier A und B) ist genau dann wahr, wenn A und B beide wahr sind A B (hier A oder B) ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A, B wahr ist A (lies nicht A) ist genau dann wahr, wenn A falsch ist. 27

28 Beschreibung mit Wahrheitstafeln A B A B A B f f f f f w f w w f f w w w w w 28

29 Die Implikation A B (lies wenn A, dann B) ist definiert durch A B A B f f w f w w w f f w w w Vorsicht: A B ist nach Definition immer wahr, wenn A falsch ist! 29

30 Die Äquivalenz A B (lies A äquivalent B) ist definiert durch A B A B f f w f w f w f f w w w Dies bedeutet, dass A und B logisch gleichwertig sind: A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist. 30

31 Beispiel. (Kontrapositionsgesetz) A = B ist logisch gleichwertig zu ( B) = ( A) ist logisch gleichwertig zu ( A) B. 31

32 Methode des indirekten Beweises Um sich von der Wahrheit einer Aussage A zu überzeugen, nimmt man an, dass A falsch ist und deduziert daraus mittels logischen Schlüssen, dass eine Aussage B sowohl wahr als auch falsch ist. Da letzteres absurd ist, muss A wahr sein. 32

33 Zur Illustration: Definition. Eine Primzahl ist eine Zahl p N, p 2, deren einzige positive Teiler 1 und p sind. Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11,.... Folgendes ist leicht zu zeigen: Jede Zahl n N mit n 2 wird von einer Primzahl geteilt. ( ) Wir geben nun einen indirekten Beweis für folgenden Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen. 33

34 Regeln beim Verknüpfen von Aussagen (vgl. Regeln beim Verknüpfen von Mengen) doppelte Negation ( A) A de Morgan (A B) ( A) ( B) (A B) ( A) ( B) Distributivität A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Prinzip vom A ( A) w ausgeschlossenen Dritten A ( A) f 34

35 Prädikate = 2 ist eine wahre Aussage x + y = y + x ist keine Aussage; sie ist weder wahr noch falsch Sei M eine Menge. Eine Aussageform (oder ein Prädikat) ist ein Satz in freien Variablen x 1,..., x n, der zu einer Aussage wird, wenn jedes x i durch ein Element in M ersetzt wird. 35

36 Um Prädikate in Aussagen umzuwandeln, benutzt man den Allquantor (für alle x M) und den Existenzquantor (es gibt ein x M) Sei P (x) ein Prädikat über der Menge M in der Variablen x. xp (x) ist genau dann wahr, wenn es ein a M gibt, sodass P (a) wahr ist xp (x) ist genau dann wahr, wenn P (a) für jedes a M wahr ist. 36

37 Negationsregel ( xp (x)) ist logisch gleichwertig zu x P (x) ( xp (x)) ist logisch gleichwertig zu x P (x) 37

38 5. Vollständige Induktion Es handelt sich hier um ein sehr mächtiges Beweisprinzip, um Aussagen der Form n N P (n) zu beweisen. 38

39 Induktionsprinzip Sei P (n) ein Prädikat über N. Induktionsverankerung: P (0) ist wahr. Induktionsschritt: Für beliebiges n N ist P (n) P (n + 1) wahr. Dann ist P (n) wahr für alle n N. 39

40 Der Beweis beruht auf dem folgenden plausiblen Axiom: Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element. 40

41 Satz. Für n N gilt die folgende Aussage P (n): (n + 1) = (n + 1)(n + 2). 2 41

42 Satz. (Summe der geometrischen Reihe) Sei q R, q 1 und n N. Dann gilt q 0 + q 1 + q q n = qn+1 1 q 1. (Zur Erinnerung q 0 : = 1, insbesondere für q = 0.) 42

43 Modifiziertes Induktionsprinzip Sei P(n) ein Prädikat über N, n 0 N. Verankerung: P (n 0 ) ist wahr Schritt: Für beliebiges n n 0 gilt: P (n) P (n + 1) Dann ist P (n) wahr für alle n n 0. 43

44 Satz. Alle natürlichen Zahlen sind gleich. Beweis. Definiere für a, b N max{a, b} := a falls a b, b falls a < b. Betrachte das folgende Prädikat P (n) a, b N ( max{a, b} = n = a = b ). P (0) is wahr. Induktionsschritt: Angenommen P (n) gilt. Seien a, b N mit max{a, b} = n + 1. Dann gilt max{a 1, b 1} = n. Nach Induktionsvoraussetzung folgt a 1 = b 1. Also gilt a = b. 44

45 6. Kardinalität endlicher Mengen Wir wollen Mengen bzgl. ihrer Größe vergleichen. N : = N \ {0} = {1, 2, 3,...} Definition. Zwei Mengen A, B heißen gleichmächtig, falls es eine Bijektion von A nach B gibt. Notation: A B. Bemerkung. erfüllt die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation. 45

46 Definition. Eine Menge A heißt endlich, falls A = oder A {1, 2,..., n} für ein n N. Andernfalls heißt A unendlich. Lemma. Für m, n N gilt {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} m = n. Der Beweis geht mit Induktion. Da die Aussage anschaulich evident ist, verzichten darauf, den formalen Beweis zu führen. 46

47 Aufgrund des Lemmas ist die folgende Definition sinnvoll: Definition. Die Kardinalität A einer nichtleeren endlichen Menge A ist die eindeutig bestimmte Zahl n N mit A {1, 2,..., n}. Man setzt := 0. Bemerkung. Sei A endlich. Dann A = A = 0. Folgerung 1: Seien A, B endliche Mengen. Dann A B A = B. 47

48 Seien A 1, A 2,... A r Mengen. Deren Vereinigung ist definiert als A 1 A 2... A r = {x: i {1, 2,..., r} x A i }. Man schreibt dafür auch r i=1 A i. Analog definiert man den Durchschnitt A 1 A 2... A r : = {x: i {1, 2,..., r} x A i } und schreibt dafür auch r i=1 A i. 48

49 Satz 1. Seien A 1,..., A r endliche Mengen, die paarweise disjunkt sind, (d.h. A i A j = für i j). Dann ist A 1... A r endlich und A 1... A r = A A r. 49

50 Das kartesische Produkt von Mengen A 1,..., A r ist definiert als A 1... A r : = {(a 1,..., a r ): a i A i für alle i {1, 2,..., r}} Satz 2. Sind A 1,..., A r endlich, so auch A 1 A r und es gilt A 1 A 2 A r = A 1 A 2 A r Insbesondere gilt A r = A r für A endlich. 50

51 Definition. Für Mengen A, B bezeichne B A die Menge der Abbildungen A B. Folgerung 2: Sind A, B endlich, so ist B A endlich und B A = B A 51

52 Folgerung 3: Sei A endlich. Dann ist 2 A endlich und 2 A = 2 A. 52

53 Satz. Seien A, B endlich und f : A B. (1) Ist f injektiv, so gilt A B. Ist überdies A = B, so ist f bijektiv. (2) Ist f surjektiv, so gilt A B. Ist überdies A = B, so ist f bijektiv. 53

54 1.7 Permutationen und Binomialkoeffizienten Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel: A 1... A n = A A n, falls A 1,..., A n paarweise disjunkt sind Produktregel: A 1... A n = A 1 A n Potenzregel: A B = A B Potenzmenge: 2 A = 2 A 54

55 Definition. Sei M eine endliche Menge. Permutationen Eine bijektive Abbildung ϕ: M M heißt eine Permutation von M. Wir bezeichnen die Menge der Permutationen von M mit Perm(M). Definition. (Fakultät) Die Fakultätsfunktion ist rekursiv definiert durch 0! = 1 und n! = n (n 1)! für n N, n > 0. Satz. Sei M eine endliche Menge mit M = n. Dann Perm(M) = n!. 55

56 Binomialkoeffizienten Definition. Seien k, n N. Sei M eine Menge mit M = n. Die Kardinalität von ( ) M : = {X 2 M : X = k} k heißt Binomialkoeffizient und wird mit ( n k) bezeichnet. Bemerkung. ( n k) ist also die Anzahl k-elementiger Teilmengen von M. Offensichtlich ist ( n k) unabhängig von der Wahl von M. ( n k) = 0 für k > n ( n 0) = 1, ( n n) = 1 56

57 Proposition. Für n N gilt 2 n = n k=0 ( n k). Proposition. (Symmetrie) Für k, n N mit 0 k n gilt: ( ) ( ) n n =. k n k 57

58 Satz. (Rekursionsformel) Für k, n N, k, n 1, gilt ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = +. k k 1 k Aus der Rekursionsformel folgt die rekursive Berechnung von Binomialkoeffizienten mit dem Pascalschen Dreieck. 58

59 Satz. Für k, n N, 0 k n, gilt ( ) n k = n! k!(n k)! Folgerung. ( ) n k = n (n 1) (n 2) (n k + 1) k Beispiel. ( ) 6 4 = =

60 Satz. (Binomischer Lehrsatz) Seien n N und x, y R. Dann gilt n ( ) n (x + y) n = x k y n k. k k=0 60

61 Folgerung. R = Z (1) 2 n = (1 + 1) n = n k=0 ( n k). Wissen wir schon! (2) Für n 1 gilt 0 = (1 1) n = n ( ) n ( 1) k. k k=0 61

62 8. Unendliche Mengen Die Menge N ist unendlich, denn es gibt kein n N mit {1, 2,..., n} N (Beweis!) Definition. Eine Menge A heißt abzählbar unendlich, falls A N. 62

63 Beispiel. Z ist abzählbar unendlich vermöge der Bijektion n 2 falls n ungerade (nachprüfen!) f : N Z, f(n) = falls n gerade n 2 Beispiel. N N ist abzählbar unendlich. 63

64 Nicht alle unendlichen Mengen sind abzählbar! Satz. (Georg Cantor) Sei A eine Menge. Dann gibt es keine surjektive Abbildung f : A 2 A. Folgerung. 2 N ist zwar unendlich, aber nicht abzählbar unendlich. Man nennt solche Mengen überabzählbar. Bemerkung. Der Beweis verwendet die sogenannte Diagonalisierungsmethode. Diese spielt in der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle (Stichwort Unentscheidbarkeit ). 64

65 Eine Anwendung in der Informatik: Jedes Programm, egal in welcher Programmiersprache, ist eine endliche Folge von Symbolen aus einer endlichen Menge (=Alphabet {Sonderzeichen}). Deshalb ist die Menge R := {f : N {0, 1} : f von einem Programm berechenbar} abzählbar unendlich. Nun ist {0, 1} N 2 N (vgl. Beweis von Folgerung 3) Der Satz von Cantor impliziert, dass 2 N überabzählbar ist. Deshalb ist R {0, 1} N. Folglich gibt es Abbildungen f : N {0, 1}, die nicht von einem Programm berechnet werden können. 65

66 Bemerkung. Ähnlich wie beim Satz von Cantor zeigt man, dass die Menge R der reellen Zahlen überabzählbar ist. 66