Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen
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- Cornelius Neumann
- vor 6 Jahren
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1 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Algeische Gudlge Bimische Fmel Aslutetg (+ ) + + (- ) - + (+ ) (- ) - Ï fü Ì Ó fü < (+ ) (- ) + - ( ) ( + + ) Wuzel ud Pteze... - Fkte ( ) y y y +y ( ) m m Fkte y - y ʈ Á Ë Lgithme z lg z u lg( uv) lgu+ lgv lg lgu lgv v - lg z lgu zlg u lgc lg c Gedegleichug y m + t (llgemeie Fm) y m( - ) + y (Pukt-Steigugs-Fm) Pelgleichug y + + c (llgemeie Fm) s y ( ) + y (Scheitelfm) s y ( )( ) (Liefktfm) Lösugsfmel fü die qudtische Gleichug + + c ud -4c fi ; - ± -4c Seite v 8
2 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Alysis f( -) f() fi fü lle ŒDf f( -)-f() fi fü lle ŒDf G f ist chsesymmetisch zu y-achse (f heißt d gede Fukti) G f ist puktsymmetisch zum Uspug (f heißt d ugede Fukti) Gezwete fü > gilt: Æ- fi e Æ l Æ+ fi Æ Æ fi l Æ Æ+ fi Æ e f() -f( ) - (Sektesteigug zgl. ud ) Symmetie ezüglich des Kditesystems Diffeezequtiet Aleitug f ( ) (Diffeetilqutiet) Besitzt de Gph G f de Stelle eie eideutige Tgete, s wid die Steigug diese Tgete mit f ( ) ezeichet. D gilt: Scheiweise: f() -f( ) Æ fi Æ f( ) - df() d f() f() d d s& (t) ds(t) dt Aleitug de Gudfuktie d () d - d Ê d Á ˆ Ë + d (e) d e d (l) d d (si) cs d d (cs) - si d Aleitugsegel f() u() + v() f() cu() f() u() v() u() f() v() f() fi f () u() + v() fi f () c u() fi f () u() v() + u() v() u() v() -u() v() fi f() [v()] uv() ( ) ( ) fi f() u v() v() Seite v 8
3 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Mtiekiteium At v eltive Etem Gphekümmug Wedepukt Tessepukt f() < im Itevll I fi G f fällt steg mt i I. f() > im Itevll I fi G f steigt steg mt i I. f ( ) ud f ( ) > fi f ht de Stelle ei eltives Miimum. f ( ) ud f ( ) < fi f ht de Stelle ei eltives Mimum. f () < im Itevll I fi G f ist i I echtsgekümmt. f () > im Itevll I fi G f ist i I liksgekümmt. Ist f ( ) ud wechselt f () de Stelle ds Vzeiche, s ht G f de Stelle eie Wedepukt. Ist f ( ) ud f ( ) ud wechselt f () de Stelle ds Vzeiche, s ht G f de Stelle eie Tessepukt. Bestimmtes Itegl Ú [ ] F() f() fi f()d F() F() -F() Ptielle Itegti Úu() v() d [ u() v() ] Ú - v() u() d Itegti duch Sustituti g - () Ú Ú f()d f(g(t)) g(t) dt mit g(t) g - () Uestimmte Itegle Ú + d + C ( -) + Ú d l + C e d e Ú + C Ú l d Ú f() d l f() + C f() Ú - + l+ C f() f() f() e d e + C Ú f(+ )d F(+ ) + C wei F eie Stmmfukti v f ist Seite v 8
4 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Whscheilichkeitsechug W sei de Egeisum eies Zufllsepeimets ud A,BÕW seie zwei elieige Eeigisse. Gesetze de Megelge A W \A A«A {} A A A \ B A«B Gesetze v De Mg A«B A» B A» B A«B Uveeikeit A«B {} A ud B heiße uveei. Eeigiswhscheilichkeite P( {}) P( W ) P(A) P(A) Stz v Sylveste P(A» B) P(A) + P(B) - P(A«B) Bedigte Whscheilichkeit Uhägigkeit v zwei Eeigisse P A ( B) P A ( «B) P( A) PA( B) PB ( ) de P( A«B) P( A) PB ( ) A ud B sid stchstisch uhägig. Fkultät! ( ) ( )... De Wet! git, wie viele Möglichkeite es git, utescheide Elemete i eie Reihe zude. Bimilkeffiziet Lplce-Epeimet ( ) ( ) ʈ! k+ Á k Ë k! ( -k )! k! De Bimilkeffiziet git, wie viele Möglichkeite es git, us eie Mege mit Elemete Teilmege mit k Elemete zu ilde. Ei Lplce-Epeimet ist ei Zufllsepeimet, ei dem lle Elemeteeigisse des zugehöige Egeisumes gleich whscheilich sid. A Es gilt d: P( A) W Seite 4 v 8
5 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Mßzhle v Zufllsgöße Die Zufllsgöße X ehme die Wete,,..., jeweils mit de Whscheilichkeite p,p,...,p D gilt:. Ewtugswet EX ( ) m p  i Viz ( ) ( ) i i p + p p  i i i ( ) p ( ) p... ( ) p V X -m p V X -m + -m + + -m ( ) E( X) Stddweichug s V( X) -m (Veschieugsegel) Bimilveteilug Eie Zufllsgöße X escheie die Azhl de Teffe i eie Beullikette de Läge mit Teffewhscheilichkeit p. D gilt: Die Whscheilichkeitsveteilug v X heißt Bimilveteilug. X heißt imilveteilt, geue B(; p)-veteilt. Ist eie Zufllsgöße X imilveteilt ch B(; p), s gilt: ʈ k P(X k) B;p;k ( ) p ( p) - Á - k k fü k,,..., Ë Ewtugswet: E(X) p Viz: V(X) p ( - p) Hypthesetest Beim Teste de Nullhypthese H i eiem Sigifikztest mit Sigifikziveu köe zwei Fehle uftete: Fehle. At: H wid geleht, whl sie wh ist. Fehle. At: H wid gemme, whl sie flsch ist. Ds Sigifikziveu α des Tests ist die gößtmögliche ch kzeptiete Whscheilichkeit des Fehles. At. Seite 5 v 8
6 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge 4 Gemetie Flächegemetie A: Flächeihlt U: Umfg Allgemeies Deieck A gh Keis U p A p Gleichseitiges Deieck A 4 h Tpez + c A h Rumgemetie V: Vlume G: Gudfläche M: Mtelfläche O: Oefläche Pism Pymide V Gh V Gh Gede Keiszylide V p h M p h Gede Keiskegel V p h M p m Kugel 4 V p O 4 p Gedegleichug g: +l u (Pmetefm) Eeegleichug E: +l u+m v (Pmetefm) E: + + c + d (Kditefm) E: ( ) (Nmlefm) E: + + (Achseschittsfm) s t u mit de Achseschittpukte S(s ), T( t ),U( u) Seite 6 v 8
7 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge Ê Sklpdukt im IR ˆ ʈ Á Á + + Á Á Ë Ë Eigeschfte zueide sekechte Vekte: ^ ud Aweduge des Sklpdukts Betg eies Vekts: Eiheitsvekt: Wikel zwische zwei Vekte: csj mit j 8 Vektpdukt Eigeschfte ud Aweduge des Vektpdukts Liee Uhägigkeit Besdee Pukte ʈ ʈ Ê - ˆ Á Á Á - Á Á Á - Ë Ë Ë steht sekecht uf ud. sij mit j 8 Mßzhl F des Flächeihlts des Deiecks ABC: Mßzhl V des Vlumes de uu uu F AB AC uu uu uu V AB deiseitige Pymide ABCD: ( AC AD 6 ),, c Œ IR sid lie uhägig. Die Gleichug l + + c ist u mit λ μ ν lös. c ( ) uuu uuu uu Mittelpukt M eie Stecke AB: OM ( OA+ OB ) uu uuu uu uu Schwepukt S eies Deiecks ABC: OS ( OA+ OB+ OC) Seite 7 v 8
8 Mekhilfe Mthemtik (FOSBOS) Nichttechische Ausildugsichtuge 5 Tigmetische Gudlge Rechtwikliges Deieck Stz des Pythgs: Höhestz: h pq + c Kthetestz: cp; cq si c cs c si t cs Beziehuge m Eiheitskeis P( P y P)liegt uf demeiheitskeis fi cs ud si y p 8 P p Tigmetische Beziehuge Additistheeme (si j ) + (cs j ) si cs (-j) -sij si( 9 ) -j csj (-j) csj cs( 9 ) si( j ) si j csj cs( j ) (cs j) (si j ) -j sij j j (si ) ( cs ) j + j (cs ) ( cs ) si( + ) si cs+ cs si cs( + ) cs cs si si + - si+ si si cs - + si-si si cs si cs si( -+ ) si( + ) Die Mekhilfe stellt keie Fmelsmmlug im klssische Si d. Bezeichuge wede icht eklät ud Vussetzuge fü die Gültigkeit de Fmel i de Regel icht dgestellt. Std de Mekhilfe: Seite 8 v 8
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