ANALYSIS I. Christian Kanzow. Julius Maximilians Universität Würzburg Institut für Mathematik Am Hubland Würzburg

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1 ANALYSIS I Christin Knzow Julius Mximilins Universität Würzburg Institut für Mthemtik Am Hublnd Würzburg e-mil: knzow@mthemtik.uni-wuerzburg.de URL: knzow Vorlesungsskript Stnd: 8. Februr 2011

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3 Inhltsverzeichnis 1 Körper und Zhlen Mengen Ds Prinzip der vollständigen Induktion Körper Geordnete Körper Reelle Zhlen Komplexe Zhlen Funktionen Funktionen Monotone Funktionen Polynome Rtionle Funktionen Abzählbrkeit von Mengen Folgen und Reihen Folgen Cuchy Folgen Unendliche Reihen Absolut konvergente Reihen Multipliktion von Reihen Potenzreihen Metrische Räume und Stetigkeit Metrische und normierte Räume Folgen in metrischen Räumen Offene und bgeschlossene Mengen Stetige Funktionen Grenzwerte von Funktionen Kompkte Mengen Der Approximtionsstz von Weierstrß iii

4 5 Spezielle Funktionen Exponentilfunktion Ntürlicher Logrithmus und llgemeine Potenz Sinus und Cosinus Trigonometrische Umkehrfunktionen Polrkoordinten Der Fundmentlstz der Algebr Differentilrechnung Die Ableitung einer Funktion Rechenregeln Mittelwertsätze Die Regeln von L Hospitl Konvexe Funktionen Wichtige Ungleichungen und l p Normen Ds Riemnn Integrl Unter und Obersummen Riemnn Integrl Riemnnsche Summen Rechenregeln Differentition und Integrtion Die L p Normen

5 Kpitel 1 Körper und Zhlen 1.1 Mengen 1.2 Ds Prinzip der vollständigen Induktion 1.3 Körper 1.4 Geordneter Körper 1.5 Reelle Zhlen 1.6 Komplexe Zhlen 1.1 Mengen Dieser Abschnitt gibt eine kurze Einführung in die Grundbegriffe der Mengenlehre. Dbei verzichten wir uf eine exkte (nicht gnz unkritische) Definition des Mengenbegriffs und gehen dvon us, dss intuitiv klr ist, ws unter einer Menge zu verstehen ist. Beispiele sind etw die Menge ller Einwohner Würzburgs oder die Menge ller Mthemtik Studierenden n der Universität Würzburg oder die Menge ller unter deutscher Flgge fhrenden Hndelsschiffe. Von besonderer Bedeutung sind die folgenden Mengen von Zhlen, die deshlb ein eigenes Symbol erhlten: Die Menge der ntürlichen Zhlen N := {1, 2, 3,...}, ntürlichen Zhlen mit Null N 0 := {0, 1, 2,...}, gnzen Zhlen Z := {0, ±1, ±2, ±3,...}, rtionlen Zhlen Q := { } p q p, q Z, q 0, reellen Zhlen R. Im Gegenstz zu den ntürlichen, gnzen und rtionlen Zhlen hben wir die Menge der reellen Zhlen R in der obigen Aufzählung nicht forml definiert. Wir werden dies später nchholen (siehe Abschnitt 1.5) und zunächst dvon usgehen, dss die reellen Zhlen, mit denen wir im täglichen Leben stets rechnen, beknnt sind. 1

6 2 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Sei nun M eine beliebige Menge. Wir schreiben x M, wenn x ein Element der Menge M ist. Hingegen bedeutet x / M, dss x kein Element der Menge M ist. Beispielsweise ist 1 Z und 1 / N. Die ufzählende Chrkterisierung M = { x, y, z,... } einer Menge M bedeutet, dss M us den Elementen x, y, z,... besteht. Diese Beschreibung einer Menge hben wir weiter oben bereits für N, N 0 und Z verwendet. Oft wird uch die beschreibende Chrkterisierung M = { x x ht die Eigenschft E } einer Menge M benutzt, wonch M gerde die Menge ller Elemente x ist, welche die Eigenschft E besitzen. Auf diese Weise hben wir beispielsweise die Menge Q eingeführt. Definition 1.1 Seien M 1 und M 2 zwei beliebige Mengen. () M 1 ist Teilmenge von M 2 (Schreibweise: M 1 M 2 ), wenn jedes Element von M 1 uch ein Element von M 2 ist. (b) M 1 und M 2 heißen gleich (Schreibweise: M 1 = M 2 ), wenn sowohl M 1 M 2 ls uch M 2 M 1 gelten, M 1 und M 2 lso dieselben Elemente enthlten; nderenflls sind M 1 und M 2 ungleich oder verschieden (Schreibweise: M 1 M 2 ). (c) M 1 heißt echte Teilmenge von M 2 (Schreibweise: M 1 M 2 ), wenn M 1 M 2 und M 1 M 2 gelten. (d) Ist M 1 keine Teilmenge von M 2, so schreiben wir M 1 M 2. Aus der Definition 1.1 ergeben sich unmittelbr die folgenden Eigenschften: Für jede Menge M ist M M (Reflexivität). Für drei Mengen M 1, M 2, M 3 mit M 1 M 2 und M 2 M 3 gilt M 1 M 3 (Trnsitivität). Wir führen ls Nächstes die wichtigsten Mengenopertionen ein. Definition 1.2 Seien M 1 und M 2 zwei beliebige Mengen. () Die Vereinigung von M 1 und M 2 ist (b) Der Durchschnitt von M 1 und M 2 ist M 1 M 2 := { x x M 1 oder x M 2 }. M 1 M 2 := { x x M 1 und x M 2 }.

7 1.1. MENGEN 3 (c) Die Differenz von M 1 und M 2 ist M 1 \M 2 := { x x M1, x / M 2 }. Gilt hierbei M 2 M 1, so wird M 1 \M 2 uch ls ds Komplement von M 2 in M 1 bezeichnet (Schreibweise: C M1 (M 2 )). Eine Illustrtion der gerde eingeführten Begriffe findet mn in der Abbildung 1.1. M 1 und M 2 : M 1 M 2 Vereinigung M 1 M 2 : M 1 M 2 Durchschnitt M 1 M 2 : M 1 M 2 Differenz M 1 \ M 2 : M 1 M 2 Abbildung 1.1: Vereinigung, Durchschnitt und Komplement von zwei Mengen M 1 und M 2 Mnchml tritt der Fll uf, dss eine Menge kein Element besitzt. Diese Menge bezeichnen wir ls leere Menge und schreiben hierfür. Beispielsweise ist M\M = für jede beliebige Menge M. Ebenso gilt M 1 M 2 = für M 1 := {1, 2, 3} und M 2 := {5, 6, 7}. Für die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen gelten die folgenden Rechenregeln. Stz 1.3 ( Rechenregeln für Vereinigung und Durchschnitt von Mengen ) Seien M 1, M 2, M 3 beliebige Mengen. Dnn gelten

8 4 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN () die Kommuttivgesetze M 1 M 2 = M 2 M 1 und M 1 M 2 = M 2 M 1. (b) die Assozitivgesetze M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) M 3 und M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) M 3. (c) die Distributivgesetze M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ) M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ). und Beweis: Wir beweisen hier nur eines der Distributivgesetze. Der Nchweis der übrigen Behuptungen knn uf nloge Weise geschehen. Es gilt x M 1 (M 2 M 3 ) x M 1 und x M 2 M 3 x M 1 und (x M 2 oder x M 3 ) (x M 1 und x M 2 ) oder (x M 1 und x M 3 ) x M 1 M 2 oder x M 1 M 3 x (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ). Also hben wir M 1 (M 2 M 3 ) = (M 1 M 2 ) (M 1 M 3 ). Aufgrund der Assozitivgesetze können wir einfch M 1 M 2 M 3 und M 1 M 2 M 3 (1.1) für die Vereinigung und den Durchschnitt von drei Mengen schreiben. Ebenso können uch die Vereinigung und der Durchschnitt von beliebig vielen Mengen genommen werden. Sind M i für jedes i us einer so gennnten Indexmenge I beliebige Mengen, so setzen wir M i := { x x Mi für mindestens ein i I } i I für die Vereinigung und M i := { x } x M für lle i I i I für den Durchschnitt dieser Mengen. Speziell für I = {1, 2, 3} erhlten wir uf diese Weise wieder die beiden Mengen (1.1). Eine wichtige Regel für die Komplementbildung von Vereinigungen und Durchschnitten ist in dem nchstehenden Stz enthlten.

9 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 5 Stz 1.4 ( Regeln von De Morgn ) Seien M eine Menge und M i M für lle i us einer Indexmenge I. Dnn gelten: () Es ist C M ( i I M ) i = i I C M(M i ). (b) Es ist C M ( i I M ) i = i I C M(M i ). Beweis: Wir beweisen hier lediglich die Aussge (). Teil (b) knn entsprechend verifiziert werden. Zunächst bemerken wir, dss us M i M für lle i I uch i I M i M folgt, weshlb wir insbesondere ds Komplement dieser Vereinigungsmenge in M betrchten dürfen. Aufgrund der Äquivlenzen ( ) x C M M i i I x M\ i I M i x M und x / M i i I x M und x / M i für lle i I x C M (M i ) für lle i I x C M (M i ) i I gilt die Behuptung (). Die Abbildung 1.2 vernschulicht die Aussge () des Stzes 1.4 für den Spezilfll von zwei Mengen M 1 und M Ds Prinzip der vollständigen Induktion Die vollständige Induktion ist ein sehr wichtiges Hilfsmittel, ds häufig bei folgendem Problem ngewndt wird: Es sei n 0 Z eine gnze (oft eine ntürliche) Zhl und A(n) für jede gnze Zhl n n 0 eine Aussge. Es soll bewiesen werden, dss die Aussge A(n) für lle n n 0 whr ist. Dzu benutzt mn ds folgende Prinzip der vollständigen Induktion: Induktionsnfng: Mn zeigt, dss die Aussge A(n 0 ) richtig ist. Induktionsschritt: Mn verifiziert für ein beliebiges n n 0, dss mit A(n) uch die Aussge A(n + 1) whr ist. Im Induktionsschritt wird die Gültigkeit von A(n) oft ls Induktionsvorussetzung bezeichnet.

10 6 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN M 1 C M (M 1 M 2 ): M M 2 CM (M 1 ): M M 1 M 2 C M (M 2 ): M 1 M M 2 Abbildung 1.2: Vernschulichung der ersten Regel von De Morgn Ht mn sowohl den Induktionsnfng ls uch den Induktionsschritt bewiesen, so gilt die Aussge A(n) offenbr für lle n n 0, denn zunächst ist A(n 0 ) ufgrund des Induktionsnfngs richtig. Anwendung des Induktionsschrittes mit n = n 0 liefert nschließend die Gültigkeit der Aussge A(n 0 + 1). Erneute Anwendung des Induktionsschrittes mit n = n ergibt dnn, dss die Aussge A(n 0 + 2) gilt. Wiederholte Verwendung des Induktionsschrittes zeigt, dss uch die Aussgen A(n 0 + 3), A(n 0 + 4),... whr sind. Wir illustrieren ds Prinzip der vollständigen Induktion in diesem Abschnitt n mehreren Beispielen. Dbei benutzen wir insbesondere die Nottion n k := m + m n k=m für die Summe von gewissen Zhlen m, m+1,..., n, wobei wir im Fll n < m von der Konvention n k := 0 für n < m (leere Summe) k=m Gebruch mchen. Ebenso schreiben wir n k := m m+1... n k=m

11 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 7 für ds Produkt der Zhlen m, m+1,..., n, wobei uch hier die Konvention n k := 1 k=m für n < m (leeres Produkt) gelte. Unser erstes Resultt gibt einen geschlossenen Ausdruck für die Summe der ersten n ntürlichen Zhlen n. Stz 1.5 Für lle n N gilt n k = k=1 n(n + 1). (1.2) 2 Beweis: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion nch n. Betrchten wir den Induktionsnfng n = 1, so gilt einerseits 1 k = 1 k=1 und ndererseits uch 1(1 + 1) = 1, 2 so dss die Aussge für n = 1 bewiesen ist. Die Behuptung (1.2) möge nun für ein n 1 gelten (Induktionsvorussetzung). Zu zeigen ist dnn die Gültigkeit für n + 1 (Induktionsschluss), lso die Gleichheit n+1 (n + 1)(n + 2) k =. 2 k=1 k=1 k=1 Unter Verwendung der Induktionsvorussetzung sieht mn dies wie folgt ein: ( n+1 n ) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) k = k + (n + 1) = + (n + 1) =. 2 2 Dmit ist lles bewiesen. Bevor wir zu unserem nächsten Resultt kommen, betrchten wir ls Motivtion eine Menge, die us drei Elementen bestehen möge, etw X = {x 1, x 2, x 3 }. Nun knn mn die Elemente ntürlich uch in einer nderen Reihenfolge nordnen, nämlich X = {x 1, x 3, x 2 } X = {x 2, x 1, x 3 } oder oder

12 8 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN X = {x 2, x 3, x 1 } X = {x 3, x 1, x 2 } X = {x 3, x 2, x 1 }. oder oder Dmit hben wir sechs verschiedene Anordnungen der Menge X gefunden, und dbei hndelt es sich offenbr uch um lle denkbren Anordnungen. Schreiben wir n n! := k k=1 (sprich: n Fkultät) für die so gennnte Fkultät einer Zhl n N (gemäß Konvention zum leeren Produkt ist insbesondere 0! = 1), so ht die 3 elementige Menge X lso 3! = = 6 verschiedene Anordnungen. Diese Beobchtung lässt sich uf llgemeine n übertrgen. Stz 1.6 Die Anzhl der verschiedenen Anordnungen einer n elementigen Menge X = {x 1, x 2,...,x n } ist gleich n!. Beweis: Der Beweis erfolgt wieder durch vollständige Induktion nch n. Für n = 1 ist n! = 1 per Definition der Fkultät. Ferner besitzt eine einelementige Menge offenbr uch nur eine mögliche Anordnung ihrer Elemente. Dmit ist der Induktionsnfng bewiesen. Der Stz möge nun für n elementige Mengen gelten (dies ist wieder die Induktionsvorussetzung). Wir betrchten dnn eine beliebige (n+1) elementige Menge {x 1,...,x n, x n+1 }. Anlog zu dem obigen Beispiel mit drei Elementen zerfllen die möglichen Anordnungen unserer (n + 1) elementigen Menge in die folgenden Klssen K k, k = 1, 2,..., n + 1: Die Anordnungen der Klsse K k hben ds Element x k n erster Stelle, wobei die übrigen n Elemente in beliebiger Reihenfolge uftreten können. Nch Induktionsvorussetzung besteht jede Klsse K k somit us n! verschiedenen Anordnungen. Die Gesmtzhl ller Anordnungen von {x 1,...,x n+1 } ist lso gleich (n + 1)n! = (n + 1)!. Für zwei ntürliche Zhlen n, k N 0 mit k n heißt ( ) n n! n (n 1)... (n k + 1) := = k k!(n k)! k (sprich: n über k) der Binomilkoeffizient von n über k (für k > n wird ( n k) := 0 gesetzt). Einige elementre Eigenschften des Binomilkoeffizienten sind in der nchstehenden Bemerkung zusmmengefsst. Bemerkung 1.7 () Wegen 0! = 1 ist ( ) n = n! 0 0!n! = 1 und ( ) n = n! n n!0! = 1 für lle n N 0.

13 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 9 (b) Aus der Definition des Binomilkoeffizienten folgt sofort die Symmetrie Eigenschft ( ) ( ) n n = k n k für lle n N 0 und lle k {0, 1,..., n}. (c) Es gilt die Rekursionsformel ( ) n + 1 = k ( ) n + k 1 ( ) n k 1 k n, die sich unmittelbr mittels vollständiger Induktion verifizieren lässt. Die in Bemerkung 1.7 (c) gennnte Rekursionsformel für die Binomilkoeffizienten erlubt die sukzessive Berechnung dieser Zhlen: Sind die Werte von ( n k) für ein n N0 und lle 1 k n beknnt, so lssen sich unter Berücksichtigung der Rndwerte ( ( n 0) = n n) = 1 us Bemerkung 1.7 () lle Binomilkoeffizienten ( ) n+1 k für 1 k n+1 berechnen durch Summtion der beiden vorhergehenden Werte ( ( n k 1) und n k). Mn knn sich diese Rekursionsformel leicht merken, indem mn die Binomilkoeffizienten in Form des so gennnten Psclschen Dreiecks nordnet: ( 0 ) ( ) ( 1 ) 1 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 4 ) 0 ( 5 1 ) ( 4 ) 1 ( 5 2 ) ( 4 ) 2 ( 5 3 ) ( 4 ) 3 ( 5 4 ) ( 4 ) 4 ( 5 5 )... ( Numerisch erhält mn im Psclschen Dreieck folgende Werte:

14 10 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN ց ւ ց ց ւ ւ Die hiermit eingeführten Binomilkoeffizienten treten in verschiedenen Zusmmenhängen uf, so beispielsweise bei der Frgestellung, wie viele k elementige Teilmengen mn us einer n elementigen Menge uswählen knn. Dbei sollen verschiedene Anordnungen einer k elementigen Teilmenge nicht gesondert gezählt werden. Betrchten wir beispielsweise wieder eine dreielementige Teilmenge X = {x 1, x 2, x 3 }, so besitzt diese offenbr die folgenden drei zweielementigen Teilmengen: {x 1, x 2 }, {x 2, x 3 } und {x 1, x 3 }. Mit n = 3 und k = 2 sind dies genu ( 3 2) Stück. Dieses Beispiel gilt ebenflls llgemeiner. Stz 1.8 Die Anzhl der k elementigen Teilmengen einer n elementigen Menge ist (ohne Berücksichtigung der Anordnung der Elemente) gegeben durch ( n k). Beweis: Wir betrchten zunächst lle möglichen Kombintionen von k Elementen mit Berücksichtigung der Anordnung. Dnn hben wir zur Auswhl des ersten Elements n Möglichkeiten, dnch bleiben zur Auswhl des zweiten Elements noch n 1 Möglichkeiten usw., bis mn zur Auswhl des k-ten Elements noch n k + 1 Möglichkeiten ht. Die Gesmtzhl der möglichen Kombintionen von k Elementen mit Berücksichtigung der Anordnung beträgt somit n (n 1)... (n k + 1). Legen wir uf die Anordnung keinen Wert, so fllen lle Kombintionen zusmmen, bei denen es sich nur um Umordnungen der Elemente hndelt. Wegen Stz 1.6 sind dies genu k!. Die Zhl der k elementigen Teilmengen einer n elementigen Menge beträgt somit n (n 1)... (n k + 1) k! = n! k!(n k)! = ( n k ), ws zu beweisen wr.

15 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 11 Die Anzhl der 6 elementigen Teilmengen von 49 Elementen beträgt somit ( ) = = Die Chnce, beim Lotto 6 us 49 die richtige Kombintion zu errten, ist lso etw 1:14 Millionen. Die bereits im Stz 1.8 ufgetretenen Binominlkoeffizienten verdnken ihrem Nmen der Ttsche, dss sie im binomischen Lehrstz ls Koeffizienten uftreten, den wir in dem folgenden Resultt formulieren. Stz 1.9 ( Binomischer Lehrstz ) Für beliebige x, y Q und jedes n N 0 gilt (x + y) n = n k=0 Beweis: Wir beweisen zunächst den Spezilfll (1 + x) n = n k=0 ( ) n x k = k ( ) n + 0 ( ) n x n k y k. k ( ) n x + 1 ( ) n x ( ) n x n. (1.3) n Für n = 0 ist (1.3) offenbr richtig (Induktionsnfng). Die Gleichheit (1.3) gelte nun für ein beliebiges n (Induktionsvorussetzung). Multiplizieren wir (1.3) mit x, so folgt ( ) ( ) ( ) n n n x(1 + x) n = x + x x n n Addiert mn diese Gleichung zu (1.3), so folgt (1 + x) n+1 = (1 + x)(1 + x) n = (1 + x) n + x(1 + x) n [( ) ( )] [( ) ( )] n n n n = x + + x [( ) ( )] n n x n + x n+1. n 1 n Zusmmen mit den Beziehungen us der Bemerkung 1.7 ergibt sich hierus unmittelbr die Gültigkeit von (1.3) für n + 1. Zum Nchweis der eigentlichen Behuptung ersetzen wir x durch x/y (flls y 0 gilt, sonst ist die Aussge trivil wegen 0 0 = 1) und multiplizieren die entstehende Gleichung (1.3) nschließend mit y n.

16 12 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Im Stz 1.9 wren x und y beliebige rtionle Zhlen. Der Beweis ist identisch, wenn mn x, y us der Menge der reellen Zhlen R oder sogr us der Menge der komplexen Zhlen C wählt. Der einzige Grund, wrum ds Resultt nur für x, y Q formuliert wurde, liegt drin, dss uns die rtionlen Zhlen bereits beknnt sind, die reellen und komplexen Zhlen jedoch erst noch eingeführt werden und von dher im Moment nicht zur Verfügung stehen. Aufgrund des binomischen Lehrstzes luten die ersten Potenzen von (x + y) n für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 somit (mn verwende hierbei die numerischen Werte us dem Psclschen Dreieck): (x + y) 0 = 1 (x + y) 1 = x + y (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 (x + y) 5 = x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5. Als einfche Konsequenz us dem binomischen Lehrstz erhlten wir ds nchstehende Resultt, bei dem wir mit 2 M := {N N M} die so gennnte Potenzmenge von M bezeichnen. Die Potenzmenge ist lso gerde die Menge ller Teilmengen von M (inklusive der leeren Menge sowie der Menge M selbst). Stz 1.10 ( Mächtigkeit der Potenzmenge ) Sei X eine beliebige Menge mit n Elementen. Dnn besitzt X genu 2 n Teilmengen, es gilt lso 2 X = 2 n. Beweis: Offenbr gilt Menge ller Teilmengen von X = Menge ller Teilmengen von X mit 0 Elementen +Menge ller Teilmengen von X mit 1 Element +Menge ller Teilmengen von X mit 2 Elementen. +Menge ller Teilmengen von X mit n Elementen. Wegen Stz 1.8 ist die Anzhl der k elementigen Teilmengen von X gegeben durch ( n k). Dmit folgt n ( ) n 2 X = = 2 n, k k=0 wobei sich die zweite Gleichheit us dem binomischen Lehrstz 1.9 mit x = y = 1 ergibt...

17 1.2. DAS PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION 13 Ds vorige Resultt motiviert nchträgliche die Verwendung der Schreibweise 2 M für die Potenzmenge einer gegebenen Menge M. Zum Abschluss dieses Abschnitts beweisen wir noch ds folgende Resultt. Stz 1.11 ( Geometrische Summenformel ) Für jedes x 1 und jede ntürliche Zhl n N 0 gilt n k=0 x k = 1 xn+1 1 x. Beweis: Der Beweis erfolgt wieder durch vollständige Induktion. Für n = 0 ist 0 k=0 x k = 1 = 1 x0+1 1 x. Die Aussge gelte jetzt für ein beliebiges n N 0. Dnn folgt ( n+1 n ) x k = x k + x n+1 = 1 xn+1 1 x + xn+1 = 1 x(n+1)+1, 1 x k=0 k=0 womit der Induktionsschritt bewiesen ist. Die Gültigkeit von Stz 1.11 lässt sich uch nders einsehen: Um die Behuptung 1 + x + x x n = 1 xn+1 1 x zu verifizieren, multipliziert mn diese Gleichung mit 1 x und bechtet, dss sich uf der linken Seite dnn fst lle Terme wegheben. Der Stz 1.11 besitzt eine wichtige Rolle in der Zinsrechnung, wofür wir n dieser Stelle kurz ein Beipiel ngeben wollen. Beispiel 1.12 Auf ein Konto wird m Anfng eines jeden Jhres ein Betrg von 5.000e eingezhlt. Die Verzinsung beträgt 4.5% pro Jhr, ls Lufzeit werden 5 Jhre gewählt. Am Ende des ersten Jhres beträgt ds Guthben dnn 5.000e + 0, e = 1, e = 5.225, 00e. Im zweiten Jhre werden diese 5.225,00e wiederum mit 4.5% verzinst, ußerdem die neu eingezhlten e. Zum Ende des zweiten Jhres verfügt mn somit über ein Guthben von 1, , 00e + 1, e = 1, e + 1, e = , 12e.

18 14 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Im dritten Jhr wird wiederum dieser Betrg verzinst sowie zusätzlich die neu eingezhlten 5.000e. Am Ende des dritten Jhres beträgt ds Guthben somit 1, , 12e + 1, e = 1, e + 1, e + 1, e = , 96e. So fortfhrend, erhält mn m Ende der Lufzeit offenbr einen Betrg von 1, e + 1, e + 1, e e e = , 46e (die Endbeträge sind jeweils gerundet). Im Hinblick uf den Stz 1.11 können wir die obige Formel uch viel schneller berechnen: 1, e + 1, e + 1, e e e = 1, 045 ( 1, , , , ) 5.000e 1 1, 0455 = 1, , e = , 46e. 1.3 Körper Die Menge der rtionlen Zhlen Q sowie die später noch einzuführenden Mengen der reellen Zhlen R und komplexen Zhlen C hben llesmt die gemeinsme Struktureigenschft, dss es sich um einen Körper hndelt. Aus diesem Grund führen wir in diesem Abschnitt den Begriff des Körpers forml ein und untersuchen nschließend eine Reihe von Eigenschften, die llen Körpern gemein ist. Definition 1.13 Ein Körper ist eine nichtleere Menge K, uf der zwei Opertionen + (ls Addition bezeichnet) und (ls Multipliktion bezeichnet) definiert sind, so dss die folgenden Eigenschften gelten: (A) Axiome der Addition: (A1) Für lle x, y K ist uch x + y K (Abgeschlossenheit der Addition). (A2) Für lle x, y K ist x + y = y + x (Kommuttivgesetz der Addition). (A3) Für lle x, y, z K ist (x+y)+z = x+(y +z) (Assozitivgesetz der Addition). (A4) Es gibt ein Element 0 K mit 0 + x = x für lle x K (Existenz eines Nullelements).

19 1.3. KÖRPER 15 (A5) Zu jedem x K existiert ein Element x K mit x + ( x) = 0 (Existenz eines negtiven Elements). (M) Axiome der Multipliktion: (M1) Für lle x, y K ist uch x y K (Abgeschlossenheit der Multipliktion). (M2) Für lle x, y K ist x y = y x (Kommuttivgesetz der Multipliktion). (M3) Für lle x, y, z K ist (x y) z = x (y z) (Assozitivgesetz der Multipliktion). (M4) Es gibt ein Element 1 K mit 1 0 und 1 x = x für lle x K (Existenz eines Einselements). (M5) Zu jedem x K mit x 0 gibt es ein Element x 1 K mit x x 1 = 1 für lle x K (Existenz eines inversen Elements). (D) Distributivgesetz: Für lle x, y, z K gilt x (y + z) = x y + x z. Die Eigenschften (A1) (A5) besgen, dss die Menge K bezüglich der Addition eine kommuttive (oder belsche) Gruppe bildet (ohne ds Kommuttivgesetz (A2) würde mn nur von einer Gruppe sprechen). Entsprechend bedeuten die Axiome (M1) (M5), dss K := K \ {0} uch bezüglich der Multipliktion eine kommuttive Gruppe drstellt. Sttt x y für zwei Elemente x, y eines Körpers K schreiben wir im Folgenden oft nur xy. Ebenso werden wir für ds nch (M5) existierende Element sttt x 1 häufig 1 x schreiben, wie mn dies beispielsweise von den rtionlen Zhlen her gewöhnt ist. Beispiel 1.14 () Die Mengen N und Z der ntürlichen und gnzen Zhlen, jeweils versehen mit der üblichen Addition und Multipliktion, bilden keinen Körper, d beispielsweise die Eigenschft (M5) verletzt ist. (b) Die Menge der rtionlen Zhlen versehen mit der Addition und der Multipliktion Q = { x x = p q, p, q Z, q 0}, p 1 q 1 + p 2 q 2 := p 1q 2 + p 2 q 1 q 1 q 2 p 1 p2 := p 1p 2, q 1 q 2 q 1 q 2 bildet offenbr einen Körper, den Körper der rtionlen Zhlen. Mn bechte, dss die Drstellung der Elemente us Q nicht eindeutig ist. Beispielsweise gilt 2 = Allgemein sind zwei rtionle Zhlen gleich, lso p 1 = p 2, q 1 q 2 wenn p 1 q 2 = p 2 q 1 gilt.

20 16 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN (c) Die zweielementige Menge K := {0, 1} mit den Rechenvorschriften und bildet einen Körper, wie mn unmittelbr durch Verifiktion ller Körperxiome einsieht (ds negtive Element von 1 ist beispielsweise die 1). Wir formulieren zunächst einige Konsequenzen us den Axiomen der Addition. Stz 1.15 ( Eigenschften der Addition ) Aus den Axiomen der Addition folgen: () Die Zhl 0 ist eindeutig bestimmt. (b) Ds negtive Element einer Zhl x K ist eindeutig bestimmt. (c) Es gilt 0 = 0. (d) Die Gleichung +x = b (mit, b K) ht eine eindeutig bestimmte Lösung x = b in K, wobei wir b := b + ( ) gesetzt hben. (e) Für jedes Element x K ist ( x) = x. (f) Für lle x, y K ist (x + y) = x y ( := ( x) + ( y) ). Beweis: Zum Beweis der Aussgen () (f) benutzen wir usschließlich die Eigenschften (A1) (A5). Insbesondere gelten die Aussgen () (f) dher in jeder Menge, uf welcher eine Addition mit den Eigenschften (A1) (A5) definiert ist (ds heißt, die Aussgen gelten letztlich in jeder kommuttiven Gruppe). () Sei 0 K ein weiteres Element mit 0 + x = x für lle x K. Dnn gilt insbesondere = 0. Andererseits ist = 0 nch (A4). Aus dem Kommuttivgesetz (A2) folgt dher 0 = = = 0 und somit die behuptete Eindeutigkeit des Nullelements. (b) Sei x K beliebig gegeben. Wegen (A5) existiert ein Element x K mit x+( x) = 0. Sei x K ein weiteres Element mit x + x = 0. Addition von x uf beiden Seiten liefert ( x) + (x + x ) = ( x) + 0. Ds Assozitivgesetz (A3) und die Eigenschft (A4) ergeben dher ( ( x) + x ) + x = x.

21 1.3. KÖRPER 17 Mit (A2) und (A5) erhlten wir somit ws zu zeigen wr. x = 0 + x = ( ( x) + x ) + x = x, (c) Nch (A4) ist = 0. Hingegen gilt 0 + ( 0) = 0 nch (A5). Wegen (b) ist ds negtive Element von 0 ber eindeutig bestimmt, so dss wir unmittelbr 0 = 0 erhlten. (d) Wir zeigen zunächst, dss x = b := b + ( ) die Gleichung + x = b löst. Unter Verwendung der Axiome der Addition folgt nämlich + x = + (b ) = + ( b + ( ) ) (A2) = + ( ( ) + b ) (A3) = ( + ( ) ) + b (A5) = 0 + b (A4) = b. Dmit ist noch die Eindeutigkeit der Lösung zu zeigen. Sei y K ein beliebiges Element mit + y = b. Addition von uf beiden Seiten ergibt ( ) + ( + y) = ( ) + b, lso ( ( ) + ) + y = b + ( ) nch (A2) und (A3). Nun ist ber y (A4) = 0 + y (A5) = ( ( ) + ) + y = b + ( ) = b = x und dmit uch die Eindeutigkeit bewiesen. (e) Sei x K beliebig gegeben. Wegen (A5) existiert dnn ein Element x mit x+( x) = 0. Die Definition des negtiven Elements liefert ußerdem ( x) + ( ( x) ) = 0. Zusmmen mit (A2) folgt ( x) + x = 0 = ( x) + ( ( x) ). Aus Teil (b) ergibt sich dher x = ( x) wegen der Eindeutigkeit des negtiven Elements. (f) Die Definition des negtiven Elements von x + y liefert (x + y) + ( (x + y) ) = 0. Addition von x uf beiden Seiten ergibt y + ( (x + y) ) = x wegen (A3) und (A5). Andererseits ht die Gleichung y + z = x nch Teil (d) die eindeutig bestimmte Lösung z = x y. Dher folgt (x + y) = x y. Entsprechende Folgerungen lssen sich us den Axiomen der Multipliktion herleiten.

22 18 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Stz 1.16 ( Eigenschften der Multipliktion ) Aus den Axiomen der Multipliktion folgen: () Die Zhl 1 ist eindeutig bestimmt. (b) Ds inverse Element einer Zhl x K mit x 0 ist eindeutig bestimmt. (c) Die Gleichung x = b (mit, b K, 0) ht eine eindeutig bestimmte Lösung x = b in K, wobei wir b := 1 b gesetzt hben. Beweis: Die Teile () und (b) lssen sich in Anlogie zu den entsprechenden Aussgen des Stzes 1.15 beweisen, so dss wir hier nur die Behuptung (c) verifizieren. Seien dzu, b K mit 0 beliebig gegeben. Wir zeigen zunächst, dss x = 1 b die Gleichung x = b löst. Dies folgt us ( 1 b) (M3) = ( 1 )b (M5) = 1 b (M4) = b. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei y K ein beliebiges Element mit y = b. Multipliktion mit 1 von links liefert 1 (y) = 1 b. Nun ist ber 1 (y) = ( 1 )y = 1 y = y und dher y = 1 b = x. Die Aussge (b) des Stzes 1.16 mcht klr, wrum es zum Nullelement kein inverses Element geben knn. Ansonsten bechte mn, dss der Beweis des Stzes 1.16 usschließlich die Axiome (M1) (M5) der Multipliktion verwendet. Dher gelten lle Aussgen des Stzes 1.16 in einer beliebigen Menge, uf welcher eine Multipliktion mit den Eigenschften (M1) (M5) definiert ist. Wir notieren ls Nächstes eine Reihe von Folgerungen, die sich insbesondere durch Anwendung des Distributivgesetzes ergeben. Stz 1.17 ( Rechenregeln in Körpern ) Sei K ein Körper. Dnn gelten die folgenden Aussgen: () Für lle x, y, z K ist (x + y)z = xz + yz. (b) Für lle x K ist x 0 = 0. (c) Für x, y K ist xy = 0 genu dnn, wenn x = 0 oder y = 0. (d) Für lle x, y K ist ( x)y = (xy). (e) Für lle x K ist ( 1)x = x. (f) Für lle x, y K ist ( x)( y) = xy. (g) Für lle x K mit x 0 ist (x 1 ) 1 = x. (h) Für lle x, y K mit x 0 und y 0 ist (xy) 1 = x 1 y 1.

23 1.3. KÖRPER 19 Beweis: () Unter Verwendung des Distributivgesetzes und des Kommuttivgesetzes der Multipliktion folgt (x + y)z = z(x + y) = zx + zy = xz + yz für lle x, y, z K. (b) Wegen 0 = nch (A4) folgt us dem Distributivgesetz x 0 + x 0 = x (0 + 0) = x 0. Andererseits ist x = x 0 wiederum nch (A4). Wegen Teil (d) des Stzes 1.15 erhlten wir hierus x 0 = 0. (c) Zum Beweis der behupteten Äquivlenz müssen wir zwei Richtungen zeigen, nämlich einml, dss us xy = 0 ttsächlich x = 0 oder y = 0 folgt, und einml, dss umgekehrt us x = 0 oder y = 0 bereits xy = 0 folgt. Sei zunächst xy = 0. Gilt dnn x = 0, so sind wir fertig. Sei dher x 0 vorusgesetzt. Wegen Teil (c) des Stzes 1.16 ist die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung xy = 0 dnn gegeben durch y = x 1 0. Mit Teil (b) folgt somit y = 0. Also ist wenigstens eine der beiden Zhlen x oder y gleich 0. Gilt umgekehrt x = 0 oder y = 0, so folgt die Behuptung xy = 0 unmittelbr us der Aussge (b) (evtl. unter Berücksichtigung des Kommuttivgesetzes der Multipliktion). (d) Seien x, y K beliebig gegeben. Dnn ist einerseits lso 0 y (A5) = ( x + ( x) ) y () = xy + ( x)y, 0 (b) = y 0 (M2) = 0 y = xy + ( x)y. Andererseits ist xy + ( (xy) ) = 0. Aus der Eindeutigkeit des negtiven Elements gemäß Stz 1.15 (b) folgt dher ( x)y = (xy). (e) Setzt mn y = 1 in Teil (d) und berücksichtigt die Eigenschft (M4), so folgt ( 1)x = (1 x) = x. (f) Seien x, y K beliebig. Nch Teil (d) gilt Andererseits folgt us Teil (d) uch Zusmmen ergibt dies ( x)( y) = ( x( y) ). x( y) = (xy). ( x)( y) = ( (xy) ). Die Behuptung folgt dher us dem Teil (e) des Stzes 1.15.

24 20 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN (g), (h) Der Nchweis der Aussgen (g) und (h) knn nlog zu den Teilen (e) und (f) des Stzes 1.15 erfolgen. Die Addition von mehr ls zwei Elementen eines Körpers K wird durch Klmmerung uf die Addition von jeweils zwei Summnden zurückgeführt: x 1 + x x n := (... ( (x 1 + x 2 ) + x 3 ) +... ) + xn für beliebige x 1, x 2,...,x n K. Mn beweist jedoch durch wiederholte Anwendung des Assozitivgesetzes der Addition, dss jede ndere Klmmerung zum selben Resultt führt (llgemeines Assozitivgesetz der Addition). Entsprechendes gilt für ds Produkt x 1 x 2... x n für beliebige Elemente x 1, x 2,...,x n K (llgemeines Assozitivgesetz der Multipliktion). Sei nun (i 1,...,i n ) eine Permuttion (d.h. Umordnung) der Zhlen (1,..., n). Durch wiederholte Anwendung der Kommuttivgesetze für die Addition und die Multipliktion folgert mn sofort die Gültigkeit der beiden Identitäten und x 1 + x x n = x i1 + x i x in x 1 x 2... x n = x i1 x i2... x in, die ls llgemeines Kommuttivgesetz der Addition und llgemeines Kommuttivgesetz der Multipliktion bezeichnet werden. Aus dem llgemeinen Kommuttivgesetz der Addition folgt beispielsweise wiederum n m ij = i=1 j=1 m n j=1 i=1 ij für beliebige Elemente ij K, denn uf beiden Seiten stehen offenbr dieselben (insgesmt nm) Summnden, die lediglich in nderer Reihenfolge uftreten. Ebenso zeigt mn uch die Gültigkeit des llgemeinen Distributivgesetzes ( n ) ( m ) x i y j = i=1 j=1 n m x i y j i=1 j=1 für beliebige x i, y j K. In einem beliebigen Körper K definieren wir noch die Vielfchen n x := 0 für x K, n = 0, n x := x } + x + {{... + x } für x K, n N, n-ml n x := x } x {{... x } für x K, n N n-ml

25 1.3. KÖRPER 21 sowie die Potenzen x 0 := 1 für x K, insbesondere lso 0 0 := 1, := } x x {{... x} für x K, n N, n-ml x n := (x 1 ) n für x K, x 0, n N. x n Einige Rechenregeln für Potenzen sind in dem nchstehenden Resultt zusmmengefsst. Entsprechende Ergebnisse gelten uch für die Vielfchen von Elementen eines Körpers. Stz 1.18 ( Potenz Rechenregeln in Körpern ) Sei K ein Körper. Dnn gelten: () x n x m = x n+m für lle x K und lle n, m Z (evtl. x 0). (b) (x n ) m = x nm für lle x K und lle n, m Z (evtl. x 0). (c) x n y n = (xy) n für lle x, y K und lle n Z (evtl. x 0, y 0). Die Zusätze x 0 oder y 0 sind hierbei nur dnn relevnt, wenn x oder y mit einer negtiven Potenz uftritt. Beweis: Wir beweisen hier nur die Aussge (c). Die Teile () und (b) können ber uf nloge Weise verifiziert werden. Sei zunächst n 0. Wir zeigen Teil (c) durch vollständige Induktion nch n. Für n = 0 ist die Behuptung offenbr richtig. Für ein beliebiges n 0 gelte dher x n y n = (xy) n. Dnn folgt x n+1 y n+1 = x n xy n y = x n y n xy = (xy) n (xy) = (xy) n+1, so dss die Aussge (c) für lle n N 0 bewiesen ist. Sei nun n < 0 und m := n > 0 (sowie x 0, y 0). Dnn ist x n y n = x m y m = (x 1 ) m (y 1 ) m. Wegen m > 0 ergibt sich us dem gerde betrchteten Fll ber (x 1 ) m (y 1 ) m = (x 1 y 1 ) m und dher unter Verwendung von Teil (h) des Stzes 1.17 sofort x n y n = (x 1 y 1 ) m = ( (xy) 1)m = (xy) m, womit Teil (c) uch schon bewiesen ist.

26 22 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN 1.4 Geordnete Körper Wir beginnen diesen Abschnitt gleich mit der zentrlen Definition. Definition 1.19 Ein Körper K heißt geordnet (oder ngeordnet), wenn eine Beziehung > 0 (sprich: größer Null) definiert ist mit den folgenden Eigenschften: (O1) für jedes x K gilt genu eine der Beziehungen x = 0 oder x > 0 oder x > 0. (O2) Für lle x, y K mit x > 0 und y > 0 gilt x + y > 0. (O3) Für lle x, y K mit x > 0 und y > 0 gilt xy > 0. In einem geordneten Körper K bezeichnen wir die Elemente x K mit x > 0 ls positiv und die Elemente x K mit x > 0 ls negtiv. Zur bequemeren Schreibweise führen wir noch die folgenden Nottionen ein. Definition 1.20 Seien K ein geordneter Körper und x, y K. Dnn schreiben wir () x > y (sprich: x größer y), wenn x y > 0 gilt. (b) x y (sprich: x größer oder gleich y), wenn x > y oder x = y gilt. (c) x < y (sprich: x kleiner y), wenn y > x gilt. (d) x y (sprich: x kleiner oder gleich y), wenn y x gilt. Als unmittelbre Konsequenz der Ordnungsxiome (O1) (O3) und der gerde eingeführten Schreibweisen erhlten wir ds nchstehende Resultt. Stz 1.21 ( Rechenregeln in geordneten Körpern ) Seien K ein geordneter Körper und x, y, z K gegeben. Dnn gelten: () Es ist genu eine der Beziehungen x = y oder x < y oder x > y erfüllt. (b) Aus x < y und y < z folgt uch x < z. (c) Aus x < y folgt uch x + z < y + z. (d) Aus x < y und z > 0 folgt uch xz < yz. (e) Aus x < y und z < 0 folgt xz > yz. (f) Für jedes x K mit x 0 ist x 2 > 0. (g) Ist x > 0 (bzw. x < 0), so ist uch x 1 > 0 (bzw. x 1 < 0). (h) Aus 0 < x < y folgt x 1 > y 1. (i) Es gilt 1 > 0.

27 1.4. GEORDNETE KÖRPER 23 Beweis: () Für ds Element y x K gilt nch (O1) genu eine der Beziehungen y x = 0 oder y x > 0 oder y x < 0. Die Behuptung folgt dher us der Definition (b) Aus x < y und y < z folgt y x > 0 und z y > 0 gemäß Definition Mit (O2) ergibt sich hierus z x = (z y) + (y x) > 0, lso gerde x < z. (c) Aus x < y folgt (y + z) (x + z) = y x > 0. Dies impliziert x + z < y + z und dmit die Aussge (c). (d) Aus x < y folgt y x > 0. Wegen z > 0 ergibt sich us (O3) und dem Distributivgesetz dher yz xz = (y x)z > 0. Folglich ist xz < yz. (e) Nch Vorussetzung ist y x > 0 und z > 0. Aus (O3) folgt dher zx zy = zy ( z)x = ( z)(y x) > 0. Hierus ergibt sich gerde die Behuptung xz > yz. (f) Sei x K mit x 0 gegeben. Wegen (O1) gilt dnn x > 0 oder x > 0. Ist x > 0, so folgt x 2 = x x > 0 direkt us (O2). Im Fll x > 0 hingegen folgt us Stz 1.17 (f) und (O2) ebenflls x 2 = x x = ( x) ( x) > 0. (g) Gemäß Definition der Potenzen ist x 1 = x(x 1 ) 2. Dbei ist für x 0 stets (x 1 ) 2 > 0 wegen Teil (f). Deshlb folgt die Behuptung durch Multipliktion der Ungleichung x > 0 (bzw. x < 0) mit (x 1 ) 2 > 0 us der schon bewiesenen Aussge (d). (h) D x und y beide positiv sind, folgt xy > 0 us (O3) und dher wegen (g) und den Rechenregeln für Potenzen unmittelbr x 1 y 1 = (xy) 1 > 0. Multipliziert mn die Ungleichung x < y dher mit x 1 y 1, so folgt wegen Teil (d). y 1 = x(x 1 y 1 ) < y(x 1 y 1 ) = x 1 (i) Dies folgt wegen 1 = 1 2 sofort us dem Teil (f), denn gemäß Definition eines Körpers ist ds Einselement 1 von dem Nullelement 0 verschieden. Wir kennen bislng zwr noch nicht viele Körper, wollen im folgenden Beispiel (ds teilweise etws vorusgreift) ber kurz druf eingehen, welche Körper geordnet sind.

28 24 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Beispiel 1.22 () Der us dem Beispiel 1.14 (c) beknnte Körper mit den beiden Elementen 0 (ls Nullelement) und 1 (ls Einselement) ist nicht geordnet. Wäre er nämlich geordnet, so würde wegen Stz 1.21 (i) zwngsläufig 1 > 0 gelten. Wegen Stz 1.21 (c) und der Definition der Addition in dem gegebenen Körper wäre dnn uch 0 = > = 1 im Widerspruch zu 1 > 0 und Stz 1.21 (). (b) Der Körper Q der rtionlen Zhlen ist geordnet, wenn mn die > 0 Beziehung durch x > 0 : pq > 0 (1.4) definiert, wobei x = p eine gegebene rtionle Zhl bezeichnet. Mn verifiziert sehr q leicht, dss die drei Ordnungsxiome (O1) (O3) erfüllt sind. Wir wollen dies exemplrisch für (O2) einml nchrechnen. Seien lso x > 0 und y > 0 gegeben, etw x = p 1 q 1, y = p 2 q 2 mit p 1 q 1 > 0 und p 2 q 2 > 0. Per Definition der Addition in Q ist dnn Dbei gilt x + y = p 1q 2 + p 2 q 1 q 1 q 2. (p 1 q 2 + p 2 q 1 )(q 1 q 2 ) = (p 1 q 1 )q (p 2q 2 )q 2 1 > 0 wegen p 1 q 1 > 0, p 2 q 2 > 0 nch Vorussetzung und q1 2 > 0, q2 2 > 0 nch Stz 1.21 (f). Im Hinblick uf (1.4) ist dher x + y > 0 und dmit (O2) gültig. (c) Der eigentlich beknnte und später noch forml einzuführende Körper R der reellen Zhlen ist ngeordnet. Anschulich ist dies klr, wenn mn R mit der üblichen Zhlengerden identifiziert. Später wird R per Definition ls ein ngeordneter Körper eingeführt. (d) Der vielleicht noch nicht beknnte Körper C der komplexen Zhlen (siehe Abschnitt 1.6) ist nicht geordnet, denn es gilt dort i 2 = 1 für die imginäre Einheit i, ws jedoch der Eigenschft (f) us dem Stz 1.21 widerspricht. In einem geordneten Körper knn mn den Begriff des (bsoluten) Betrgs einführen. Definition 1.23 Sei K ein geordneter Körper. Dnn heißt { x, flls x 0, x := x, flls x < 0 der bsolute Betrg des Elements x K. Für den Betrg eines Elements gelten eine Reihe von Eigenschften, die wir in dem nächsten Resultt zusmmenfssen.

29 1.4. GEORDNETE KÖRPER 25 Stz 1.24 ( Rechenregeln des bsoluten Betrgs ) Sei K ein geordneter Körper. Dnn gelten: () Es ist x 0 für lle x K. (b) Es ist x = 0 genu dnn, wenn x = 0 gilt. (c) Es ist x = x für lle x K. (d) Es ist x x und x x für lle x K. (e) Es ist x y = x y für lle x, y K. (f) Es ist x + y x + y für lle x, y K (Dreiecksungleichung). (g) Es ist x + y x y für lle x, y K (inverse Dreiecksungleichung). Beweis: Die Aussgen () und (b) folgen sofort us der Definition des Betrges. Zum Nchweis von (c) unterscheiden wir die beiden Fälle x 0 und x < 0. Für x 0 ist x = x und x = ( x), lso x = x = x. Anlog gilt für x < 0 gemäß Definition des Betrgs einerseits x = x und ndererseits x = x, lso ebenflls x = x. Die Behuptung (d) knn ebenso bewiesen werden, indem mn die Fälle x 0 und x < 0 betrchtet. Durch Abrbeitung der vier Fälle x 0, y 0 oder x 0, y < 0 oder x < 0, y 0 oder x < 0, y < 0 verifiziert mn uch die Gleichheit in der Aussge (e). Zum Nchweis der Dreiecksungleichung: Gilt x + y 0, so folgt us der Definition des Betrgs sowie dem schon bewiesenen Teil (d) sofort x + y = x + y x + y. Für x + y < 0 erhlten wir durch eine nloge Argumenttion x + y = x y x + y, womit die Aussge (f) bewiesen ist. Hierus wiederum folgert mn Teil (g), indem mn die Dreiecksungleichung uf die Elemente u := x + y und v := y nwendet, wonch u + v u + v gilt, ws sich per Definition von u und v schreiben lässt ls x = x + y y = u + v u + v = x + y + y = x + y + y, worus mn x y x + y erhält. Durch Vertuschung von x und y folgt hierus ( x y ) x + y. Insgesmt ergibt sich dher die Behuptung (g).

30 26 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Induktiv folgt us dem Stz 1.24 (f) uch die Gültigkeit der verllgemeinerten Dreiecksungleichung x x n x x n für je endlich viele Elemente x 1,...,x n eines geordneten Körpers K. Wir werden diese verllgemeinerte Dreiecksungleichung später noch häufig verwenden. Sind x, y Elemente eines beliebigen geordneten Körpers K mit 0 < x < y, so stellt sich oft die Frge, ob es eine Zhl n N gibt mit nx y. Entgegen der Anschuung folgt dies nicht us den Axiomen eines geordneten Körpers. Wir führen dher die folgende Definition ein. Definition 1.25 Ein geordneter Körper K heißt rchimedisch, wenn zu je zwei Elementen x, y K mit x > 0 stets ein (im Allgemeinen von x und y bhängiges) n N existiert mit nx y. Aus der Definition eines rchimedisch geordneten Körpers erhlten wir sofort die nchstehenden Eigenschften. Lemm 1.26 ( Eigenschften eines rchimedisch geordneten Körpers ) Sei K ein rchimedisch geordneter Körper. Dnn gelten: () Zu jedem y K existiert ein n N mit n y. (b) Zu jedem ε K mit ε > 0 existiert ein n N mit 1 n ε. Beweis: () Wähle x = 1 in der Definition eines rchimedisch geordneten Körpers. (b) Setze y := 1 ε > 0. Anwendung von Teil () liefert dnn die Existenz eines n N mit n y n 1 ε ε 1 n, ws zu zeigen wr. Wir zeigen in unserem nächsten Resultt, dss der Körper der rtionlen Zhlen rchimedisch geordnet ist. Stz 1.27 Der Körper Q der rtionlen Zhlen ist rchimedisch geordnet. Beweis: Seien x, y Q mit x > 0 beliebig gegeben. Ohne Einschränkung können wir 0 < x < y vorussetzen, denn sonst würde n := 1 bereits ds Gewünschte leisten. Dnn existieren ntürliche Zhlen p 1, q 1, p 2, q 2 N mit x = p 1 q 1 und y = p 2 q 2.

31 1.5. REELLE ZAHLEN 27 Mit p := p 1 q 2, q := q 1 p 2 und r := q 1 q 2 gilt ferner x = p r und y = q r. Nun gilt p 1 und r 1, d es sich bei p und r jeweils um ein Produkt von zwei ntürlichen Zhlen hndelt. Aus p 1 folgt zunächst pq q. Ebenso erhlten wir us r 1 uch qr q bzw. q q. Wählen wir nun n := r q N, so folgt r ws zu zeigen wr. n x = r q p r = p q q q r = y, 1.5 Reelle Zhlen Wir geben in diesem Abschnitt eine xiomtische Einführung der reellen Zhlen. Dzu beginnen wir ls Motivtion mit einem Resultt, wonch der Körper Q der rtionlen Zhlen unvollständig ist in dem Sinne, dss die Zhl 2 sich nicht ls Qudrt einer rtionlen Zhl drstellen lässt. Anders usgedrückt: Die Qudrtwurzel us 2 (die us der Schule sicherlich beknnt ist) ist keine rtionle Zhl. Lemm 1.28 Es gibt keine Zhl x Q mit x 2 = 2. Beweis: Der Beweis ist ein typisches Beispiel für einen Widerspruchsbeweis, bei dem es sich um eine sehr beliebte Beweistechnik hndelt: Mn nimmt n, die Aussge gilt nicht, und führt diese Annhme dnn zu einem Widerspruch, so dss die Aussge doch gelten muss. Wir nehmen lso n, dss es eine rtionle Zhl x Q gibt mit x 2 = 2. Dnn können wir x = p mit gewissen Zhlen p, q Z, q 0, schreiben. Nun ist die Drstellung einer q rtionlen Zhl zwr nicht eindeutig, durch geeignetes Kürzen können wir llerdings stets erreichen, dss p und q teilerfremd sind, lso keinen gemeinsmen (von Eins verschiedenen) Teiler hben. Aus x 2 = 2 folgt nun p 2 = 2q 2. (1.5) Also ist p 2 durch 2 teilbr und somit eine gerde Zhl. Dnn ist ber p selbst eine gerde Zhl (denn wäre p ungerde, so wäre p 2 offenbr uch ungerde). Also ist p 2 durch 4 teilbr. Dnn ist uch die rechte Seite in (1.5) durch 4 teilbr, lso q 2 gerde. Somit ist uch q gerde. Also sind sowohl p ls uch q durch 2 teilbr im Widerspruch dzu, dss beide Zhlen ls teilerfremd vorusgesetzt wren. Dher existiert keine rtionle Zhl x Q mit x 2 = 2. Der Körper Q ht noch weitere Defizite, wie wir noch sehen werden. Dzu führen wir zunächst den folgenden Begriff ein.

32 28 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Definition 1.29 Sei K ein geordneter Körper und M K eine gegebene Teilmenge. Ein Element s K heißt Supremum von M, wenn s die kleinste obere Schrnke für M ist, d.h., wenn die beiden folgenden Eigenschften gelten: () Es ist x s für lle x M. (b) Es gibt kein s K mit s < s und x s für lle x M. Ds Element s wird ls sup M bezeichnet. Entsprechend definiert mn ds Infimum von M ls größte untere Schrnke von M und bezeichnet diese mit inf M. Sofern existent, ist ds Supremum einer Menge wegen der Eigenschft (b) offenbr eindeutig bestimmt. Gleiches gilt für ds Infimum. Wir bringen zunächst einige Beispiele. Beispiel 1.30 () Wir betrchten den ngeordneten Körper K = Q der rtionlen Zhlen sowie die Teilmenge M := {x Q x 2 < 2}. Dnn besitzt M offenbr kein Supremum, denn dzu müsste offenbr ein x Q mit x 2 = 2 existieren, ws nch Lemm 1.28 nicht sein knn. Jedes x Q mit x 2 > 2 hingegen kommt nicht ls Supremum in Frge, d zwr die Eigenschft () us Definition 1.29 erfüllt ist, nicht jedoch die Eigenschft (b), denn zu x mit x 2 > 2 existiert stets ein y < x mit y 2 > 2 (vergleiche Stz 1.34). (b) Existiert ds Supremum s = sup M einer Teilmenge M eines geordneten Körpers K, so knn s zu M gehören oder uch nicht. Als Beispiel betrchten wir wieder den Körper K = Q sowie die beiden Teilmengen Dnn gilt M 1 := {x Q x < 0} und M 2 := {x Q x 0}. sup M 1 = 0 und sup M 2 = 0, und im ersten Fll gehört ds Supremum nicht zu M 1, während es im zweiten Fll ein Element von M 2 ist. (c) Seien K = Q und M := { 1 } n N = {1, 12 n, 13, 14 },.... Dnn ist sup M = 1 und inf M = 0, wobei sup M zu M gehört und inf M kein Element von M ist. Sei K ein geordneter Körper und M K eine nch oben beschränkte Teilmenge, d.h., es existiert ein β K mit x β für lle x M. Für solche Mengen soll stets ein Supremum in K existieren. Wir führen dfür den nchstehenden Begriff ein. Definition 1.31 Ein geordneter Körper K heißt vollständig, wenn jede nichtleere und nch oben beschränkte Teilmenge M K ein Supremum in K besitzt.

33 1.5. REELLE ZAHLEN 29 Ds Beispiel 1.30 () zeigt, dss der Körper Q nicht vollständig ist. Durch Erweiterung von Q erhält mn jedoch einen vollständigen Körper, denn es gilt der folgende Stz, uf dessen länglichen Beweis wir n dieser Stelle verzichten. Der interessierte Leser sei hierzu beispielsweise uf [11, Theorem 1.19] verwiesen. Stz 1.32 ( Existenz und Eindeutigkeit der reellen Zhlen ) Es gibt (im Wesentlichen genu) einen geordneten Körper, der vollständig ist. Wir bezeichnen diesen mit R und nennen ihn den Körper der reellen Zhlen. Dieser umfsst insbesondere den Körper Q. Wir können n dieser Stelle uch vielen Lehrbüchern der Anlysis folgen und den xiomtischen Stndpunkt vertreten, bei dem mn den Stz 1.32 ls Definition der reellen Zhlen uffsst: R ist ein vollständiger geordneter Körper. Die bislng bewiesenen Eigenschften eines vollständig geordneten Körpers (lso von R) besgen letztlich, dss mn in der Menge der reellen Zhlen so rechnen drf, wie mn es vorher schon (etw us der Schule) gewohnt wr. Wir zeigen ls Nächstes, dss der Körper R der reellen Zhlen utomtisch rchimedisch geordnet ist. Stz 1.33 Der Körper R ist rchimedisch geordnet. Beweis: Seien x, y R mit 0 < x < y beliebig gegeben. Definiere die Menge M := { n x n N } R. Wenn es kein n N mit n x y gibt, so ist y eine obere Schrnke von M, die Menge M lso nch oben beschränkt. D R per Definition vollständig ist, existiert ds Supremum s := sup M in R. Wegen x > 0 ist s x < s und dher s x keine obere Schrnke für die Menge M. Also existiert ein m N mit s x < mx. Dies impliziert jedoch s < (m + 1)x M im Widerspruch dzu, dss s eine obere Schrnke von M ist. Wir zeigen in dem nchfolgenden Resultt, dss zwischen zwei Elementen us R stets eine rtionle Zhl liegt. Stz 1.34 Die Menge der rtionlen Zhlen Q liegt dicht in R in dem Sinne, dss zu je zwei Zhlen x, y R mit x < y stets ein r Q mit x < r < y existiert. Beweis: Wegen x < y ist y x > 0. Wegen Stz 1.33 ist R rchimedisch geordnet. Aufgrund des Lemms 1.26 existiert dher ein n N mit n(y x) > 1. Sei ferner m die kleinste Zhl us Z mit m > nx, so dss insbesondere nx m 1 gilt. Dnn folgt x < 1 n m = m < x + (y x) = y. n n

34 30 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Also ht r := m n Q die gewünschte Eigenschft. Als Ergänzung zum Stz 1.34 sei erwähnt, dss zwischen zwei reellen Zhlen x, y R mit x < y uch stets eine irrtionle Zhl liegt, lso ein s R \ Q existiert mit x < s < y. Dies wird etw im Beispiel 2.25 (b) gezeigt. Wir zeigen in dem folgenden Resultt, dss ds im Lemm 1.28 ufgetretene Problem im Körper der reellen Zhlen nicht mehr existiert. Stz 1.35 ( Definition von Wurzeln ) Für jedes x R mit x > 0 und jedes n N gibt es genu eine positive reelle Zhl y R mit y n = x. Wir schreiben hierfür y = n x oder y = x 1/n und nennen y die n-te Wurzel von x. Speziell für n = 2 und n = 3 sprechen wir uch von der Qudrtwurzel und Kubikwurzel von x, wobei wir für die Qudrtwurzel meistens x sttt 2 x schreiben. Beweis: Die Eindeutigkeit ist klr, d us 0 < y 1 < y 2 uch 0 < y n 1 < y n 2 folgt. Zum Nchweis der Existenz definieren wir die Menge Die Menge M ist nichtleer, denn speziell für M := { t R t > 0 und t n < x }. t := x 1 + x ist 0 < t < 1 und dher t n < t < x. Ferner ist M nch oben beschränkt und besitzt zum Beispiel die Zhl 1 + x ls obere Schrnke. Ist nämlich t M und wäre t 1 + x, so wäre t 1 und t x und dher t n t x im Widerspruch zu t M. D R vollständig ist, existiert somit ds Supremum y := sup M in R. Wir wollen jetzt zeigen, dss y n = x gilt. Zu diesem Zweck führen wir jede der beiden Ungleichungen y n < x und y n > x zu einem Widerspruch, so dss die Behuptung y n = x us den Anordnungsxiomen bzw. dem Stz 1.21 () folgt. Dzu benötigen wir die für lle 0 < < b gültige Ungleichung b n n < (b )nb n 1, (1.6) die sich unmittelbr us der Identität b n n = (b )(b n 1 + b n n 1 ) ergibt. Wir nehmen zunächst n, dss y n < x gilt. Wähle dnn ein h mit 0 < h < 1 und h < x yn n(y + 1) n 1. Speziell für := y und b := y + h folgt dnn us (1.6) (y + h) n y n < hn(y + h) n 1 < hn(y + 1) n 1 < x y n.

35 1.5. REELLE ZAHLEN 31 Dher ist (y + h) n < x und somit y + h M. Wegen h > 0 widerspricht dies jedoch der Definition von y = sup M. Wir nehmen jetzt n, dss y n > x gilt. Setze dnn z := yn x ny n 1. Hierus folgt 0 < z < y. Ist t y z, so ergibt sich mit (1.6) y n t n y n (y z) n < zny n 1 = y n x und dher t n > x, lso t M. Folglich ist y z eine obere Schrnke von M (Kontrposition). Wegen y z < y steht dies jedoch erneut im Widerspruch zur Definition von y ls kleinste obere Schrnke von M. Die übliche Schreibweise für reelle Zhlen besteht in der Form einer (im Allgemeinen) nicht bbrechenden Dezimlzhl. Beispielsweise gilt 2 = Wir werden diese Dezimldrstellung zwr kum verwenden, ber doch uf den Zusmmenhng mit den reellen Zhlen R kurz eingehen. Sei dzu x R beliebig gegeben und ohne Einschränkung x > 0. Wähle dnn die größte Zhl n 0 N 0 mit n 0 x (diese existiert, d R rchimedisch geordnet ist). Induktiv fhren wir fort, indem wir zu bereits beknnten Werten n 0, n 1,...,n k 1 ein n k N 0 ls größte Zhl bestimmen, so dss noch n 0 + n n n k 2 10 x k gilt. Mit M bezeichnen wir dnn die Menge ller solcher Zhlen für k = 0, 1, 2,.... Setzen wir x := sup M, so lutet die Dezimldrstellung von x offenbr x = n 0.n 1 n 2 n (1.7) Umgekehrt knn mn zu einer solchen (unendlichen) Dezimldrstellung die zugehörige Menge M definieren, die offenbr nch oben beschränkt ist, so dss x := sup M existiert und diese Zhl gerde die Dezimldrstellung (1.7) besitzt. Auf ähnliche Weise wie eine solche Dezimldrstellung (mit der Bsis 10) lässt sich beispielsweise uch die Binärdrstellung (mit der Bsis 2) einer gegebenen Zhl bestimmen. Mnchml ist es sinnvoll, den Körper R um die beiden Symbole + und zu erweitern. Um die Ordnung in R zu erhlten, definieren wir < x < + für lle x R. Die so erweiterte Menge bildet keinen Körper mehr, für viele Rechnungen sind jedoch die nchstehenden Konventionen nützlich: x + := + und x := x R, x := 0 und x := 0 x R, + x (+ ) := + und x ( ) := x R, x > 0, x (+ ) := und x ( ) := + x R, x < 0.

36 32 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Mn bechte hierbei, dss ein Ausdruck der Gestlt 0 (+ ) oder 0 ( ) nicht definiert ist! Gleiches gilt für Ausdrücke der Form (+ ) + ( ) und ( ) + (+ ). Die reellen Zhlen werden meist durch die reelle Achse vernschulicht. Gewissen Teilmengen dieser reellen Achse, lso der reellen Zhlen, kommt eine besondere Bedeutung zu, nämlich den (eigentlichen) Intervllen: [, b] := {x R x b}, (, b) := {x R < x < b}, (, b] := {x R < x b}, [, b) := {x R x < b}. Hierbei wird stets dvon usgegngen, dss, b R mit < b gegeben sind. Lässt mn uch n mindestens einem Ende dieser Intervlle eine unendliche Grenze zu, so erhält mn die uneigentlichen Intervlle (, b) := {x R x < b}, (, b] := {x R x b}, [, + ) := {x R x }, (, + ) := {x R x > }. In keinem dieser Fälle gehört oder + zu einem der uneigentlichen Intervlle. Prinzipiell könnte mn uch noch ds uneigentliche Intervll (, + ) definieren, ds ist ber nichts nderes ls R selbst. 1.6 Komplexe Zhlen Wir geben in diesem Abschnitt eine Einführung in die Menge der komplexen Zhlen, us der durch Einführung einer geeigneten Addition und einer geeigneten Multipliktion ein Körper wird. Definition 1.36 Eine komplexe Zhl ist ein geordnetes Pr der Gestlt z = (x, y) mit x, y R. Dbei sprechen wir von einem geordneten Pr, weil (x, y) und (y, x) für x y ls verschieden betrchtet werden. Die Menge ller komplexen Zhlen wird mit C bezeichnet. Sind z, w C zwei komplexe Zhlen, etw z = (x, y) und w = (u, v) mit x, y, u, v R, so definieren wir eine Addition durch und eine Multipliktion durch z + w = (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) (1.8) z w = (x, y) (u, v) := (xu yv, xv + yu). (1.9)

37 1.6. KOMPLEXE ZAHLEN 33 w z + w z 0 Abbildung 1.3: Vernschulichung der Addition zweier komplexer Zhlen Die Addition zweier komplexer Zhlen wird in der Abbildung 1.3 vernschulicht. Eine entsprechende geometrische Deutung der Multipliktion von zwei komplexen Zhlen folgt erst später, wenn wir im Abschnitt 5.5 die Drstellung einer komplexen Zhl in Form ihrer Polrkoordinten einführen. Mit Hilfe dieser Vorschriften wird C zu einem Körper. Stz 1.37 ( C ist ein Körper ) Die Menge C der komplexen Zhlen wird mit der Addition (1.8) und der Multipliktion (1.9) zu einem Körper mit dem Nullelement (0, 0) sowie dem Einselement (1, 0). Beweis: Die Behuptung folgt unmittelbr durch Verifiktion der Körperxiome (A1) (A5), (M1) (M5) und (D) us der Definition Wir überlssen dies weitgehend dem Leser und begnügen uns stttdessen mit einigen Erläuterungen. In (A5) wähle mn bei gegebenem z = (x, y) C ds Element z := ( x, y) ls zugehöriges negtives Element. In (M5) sei z = (x, y) C mit z 0 gegeben, ws gleichbedeutend ist mit (x, y) (0, 0), so dss mindestens eine der beiden reellen Zhlen x oder y von Null verschieden ist. Also gilt x 2 + y 2 > 0 wegen Stz 1.21 (f). Dher existiert die komplexe Zhl 1 z := ( x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 Eine elementre Rechnung zeigt nun, dss es sich hierbei um ds inverse Element von z hndelt. ). Sind z 1, z 2 C zwei komplexe Zhlen der Form z 1 = (x 1, 0), z 2 = (x 2, 0) mit x 1, x 2 R, so folgt us den Rechenvorschriften (1.8) und (1.9) unmittelbr (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0) und (x 1, 0) (x 2, 0) = (x 1 x 2, 0). Die komplexen Zhlen der Form z = (x, 0) hben dher dieselben rithmetischen Eigenschften wie die zugehörigen reellen Zhlen x. Aus diesem Grund können wir die komplexe

38 34 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN Zhl z = (x, 0) mit der reellen Zhl x identifizieren und R somit ls eine Teilmenge von C uffssen. Definieren wir noch die so gennnte imginäre Einheit i := (0, 1), so erhlten wir für die komplexe Zhl z = (x, y) mit x, y R die gebräuchliche Schreibweise z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Mn bezeichnet x uch ls Relteil von z und y ls Imginärteil von z und schreibt hierfür Re(z) und Im(z). Zwei komplexe Zhlen z, w C sind genu dnn gleich, wenn Re(z) = Re(w) und Im(z) = Im(w) gelten. Die imginäre Einheit i besitzt die interessnte Eigenschft i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, so dss i und i (komplexe) Lösungen der qudrtischen Gleichung z 2 = 1 sind. Im Hinblick uf den Stz 1.21 (f) hndelt es sich bei C dher um keinen geordneten Körper. Definition 1.38 Sei z = (x, y) = x + iy eine komplexe Zhl mit x, y R. Dnn heißt die konjugiert komplexe Zhl von z. z := x iy Die Abbildung 1.4 vernschulicht den Begriff der konjugiert komplexen Zhl in der Gußschen Zhlenebene. z y z = x + iy x z z Abbildung 1.4: Vernschulichung der konjugiert komplexen Zhl in der Gußschen Zhlenebene Für konjugiert komplexe Zhlen gelten die nchfolgenden Rechenregeln.

39 1.6. KOMPLEXE ZAHLEN 35 Stz 1.39 ( Rechenregeln für konjugiert komplexe Zhlen ) Es gelten die folgenden Aussgen: () z + w = z + w für lle z, w C. (b) zw = z w für lle z, w C. (c) z = z für lle z C. (d) z + z = 2Re(z) und z z = 2iIm(z) für lle z C. (e) zz ist reell und positiv für lle z C mit z 0. Beweis: Die Aussgen sind llesmt elementr beweisbr. Wir betrchten deshlb nur den Teil (e). Sei z C mit z 0 beliebig gegeben. Schreiben wir z = (x, y) = x + iy, so folgt zz = x 2 + y 2 und dher unmittelbr die Behuptung us dem Stz 1.21 (f). D es sich bei zz stets um eine reelle und nichtnegtive Zhl hndelt, ist der nchfolgend eingeführte Begriff wohldefiniert, vergleiche den Stz Definition 1.40 Für jedes z C heißt der (bsolute) Betrg von z. z := zz Speziell für eine komplexe Zhl der Gestlt z = (x, 0) mit x R folgt us dieser Definition z := x 2 = x, wobei x den Betrg von x R im Sinne einer reellen Zhl bezeichnet. Dher ist die Definition des Betrges einer komplexen Zhl konsistent mit der schon vorher eingeführten Betrgsdefinition für den geordneten Körper R. Einige Eigenschften des komplexen Betrges sind in dem folgenden Resultt zusmmengefsst. Stz 1.41 ( Eigenschften des komplexen Betrges ) Es gelten die folgenden Aussgen: () Es ist z 0 für lle z C. (b) Genu dnn ist z = 0, wenn z = 0 gilt. (c) Es ist z = z für lle z C. (d) Es ist zw = z w für lle z, w C.

40 36 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN (e) Es ist Re(z) z und Im(z) z für lle z C. (f) Es ist z + w z + w für lle z, w C (Dreiecksungleichung). (g) Es ist z w z + w für lle z, w C (inverse Dreiecksungleichung). Beweis: Die Aussgen (), (b) und (c) lssen sich sofort verifizieren. Schreiben wir z = (x, y) = x + iy mit x, y R, so folgt Re(z) = x = x 2 x 2 + y 2 = zz = z und, nlog, Im(z) z. Seien nun z, w C beliebig gegeben. Dnn gilt zw 2 = (zw)(zw) = zwz w = (zz)(ww) = z 2 w 2. Die Eindeutigkeit der Qudrtwurzel liefert die Behuptung (d). Die Dreiecksungleichung folgt us z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = z 2 + 2Re(zw) + w 2 (e) z z w + w 2 = ( z + w )2. Durch ziehen der Qudrtwurzel folgt dnn Teil (f). Die Aussge (g) wiederum knn mn wie im Beweis des Stzes 1.24 us dem Teil (f) herleiten. Zur Vernschulichung komplexer Zhlen dient die so gennnte Gußsche Zhlenebene. Die Addition zweier komplexer Zhlen wird dnn die gewöhnliche Vektorddition. Eine nschuliche Deutung der Multipliktion von komplexen Zhlen werden wir erst später geben können, wenn wir die Polrkoordinten Drstellung einer komplexen Zhl eingeführt hben, siehe den Abschnitt 5.5.

41 1.6. KOMPLEXE ZAHLEN 37 z = x 2 + y 2 iy z = x + iy w w z + w z + w z z x Abbildung 1.5: Interprettion des Betrgs z ls Länge des Vektors z (linkes Bild) und geometrische Deutung der Dreiecksungleichung (rechtes Bild) us dem Stz 1.41 (f)

42 38 KAPITEL 1. KÖRPER UND ZAHLEN

43 Kpitel 2 Funktionen 2.1 Funktionen 2.2 Monotone Funktionen 2.3 Polynome 2.4 Rtionle Funktionen 2.5 Abzählbrkeit von Mengen 2.1 Funktionen Der Begriff der Funktion oder Abbildung ist von zentrler Bedeutung für die gesmte Mthemtik. Wir führen ihn in der nchstehenden Definition ein. Definition 2.1 Seien X, Y zwei gegebene Mengen. () Eine Vorschrift f, die jedem Element x X genu ein Element y = f(x) Y zuordnet, heißt Funktion oder Abbildung von X nch Y. Wir schreiben hierfür f : X Y. (b) Für eine Funktion f : X Y heißen X der Definitionsbereich, Y der Wertebereich und f(x) := {f(x) x X} der Bildbereich von f. (c) Zwei Funktionen f 1 : X Y und f 2 : X Y mit demselben Definitionsbereich heißen gleich, wenn f 1 (x) = f 2 (x) für lle x X gilt. (d) Die Menge Grph(f) := { (x, f(x)) x X } heißt der Grph von einer Funktion f : X Y. Als Wrnung sei n dieser Stelle erwähnt, dss in der Litertur zwischen dem Bildbereich und dem Wertebereich einer Funktion mnchml nicht unterschieden wird. Bei der Angbe einer Funktion ht mn stets den Definitionsbereich und den Wertebereich mit ufzuführen (sofern diese nicht us dem jeweiligen Zusmmenhng klr sind), während mn den Bildbereich gegebenenflls erst bestimmen muss. Wir geben ls Nächstes einige Beispiele von Funktionen n. 39

44 40 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Beispiel 2.2 () Für ein c R bezeichnet mn die Abbildung f : R R mit f(x) := c ls eine konstnte Funktion. Definitions und Wertebereich sind jeweils R, der Bildbereich besteht nur us dem einen Element {c}. (b) Die Abbildung f : R R mit f(x) := x wird ls Identität bezeichnet. Definitions, Werte und Bildbereich ist gnz R, (c) Die Betrgsfunktion ist definiert durch f : R R, f(x) := x. Der Definitionsbereich ist R, der Wertebereich R, der Bildbereich hingegen nur R + := {x R x 0}. (d) Die Qudrtwurzel ist definiert durch f : R + R, f(x) := x. Der Definitionsbereich ist R +, der Wertebereich ist R. Wegen Stz 1.35 ist der Bildbereich gegeben durch R +. (e) Unter einem Polynom vom Grd n in R versteht mn eine Abbildung der Gestlt f : R R, f(x) := n x n + n 1 x n x + 0 mit gewissen Koeffizienten 0, 1,..., n 1, n R, wobei für den so gennnten Leitkoeffizienten n 0 gelte. Der Definitionsbereich ist R, ebenso der Wertebereich. Der Bildbereich hängt vom konkreten Aussehen des Polynoms p b. Für f(x) := x 3 ist der Bildbereich der gesmte R, für f(x) := x 4 hingegen ist der Bildbereich lediglich R +. (f) Seien p(x) := n x n x + 0 und q(x) := b m x m b 1 x + b 0 zwei Polynome vom Grd n und m sowie X := {x R q(x) 0}. Dnn bezeichnet mn die durch r : X R, r(x) := p(x) q(x) definierte Abbildung ls eine rtionle Funktion. Der Definitionsbereich von r besteht lso gerde us llen reellen Zhlen mit Ausnhme der Nullstellen von q, der Wertebereich hingegen ist R. (g) Seien < b zwei reelle Zhlen. Eine Abbildung f : [, b] R heißt Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = b des Intervlls [, b] := {x R x b} und Konstnten c 1, c 2,...,c n R gibt mit f(x) = c k für lle x (t k 1, t k ) := {x R t k 1 < x < t k } (1 k n). Die Funktionswerte f(t k ) in den Teilpunkten t k sind hierbei beliebig (ber endliche Werte us R).

45 2.1. FUNKTIONEN 41 = t 0 t 1 t 2 t 3 b = t 4 Abbildung 2.1: Beispiel einer Treppenfunktion (h) Die Abbildung f : R R mit f(x) := { 0, flls x Q, 1, flls x / Q ist etws unngenehm und lässt sich grphisch nicht leicht vernschulichen, d Q nch Stz 1.34 dicht in R liegt. Der Definitionsbereich dieser Funktion ist wieder gnz R, der Bildbereich hingegen besteht nur us den beiden Punkten 0 und 1. Funktionen werden oft mit dem Symbol f bezeichnet. Liegen mehrere Abbildungen vor, nummeriert mn sie häufig in der Gestlt f 1, f 2,.... Treten nur zwei Funktionen uf, nennt mn diese häufig f und g, bei drei Funktionen wählt mn gerne die Buchstben f, g und h. Polynome hingegen trgen im Allgemeinen die Nmen p oder q, rtionle Funktionen dgegen die Bezeichnung r. Auch die entsprechenden Großbuchstben werden gerne benutzt. In der folgenden Definition führen wir die Verknüpfung zweier Abbildungen ein. Definition 2.3 Gegeben seien drei Mengen X 1, X 2 und X 3 sowie zwei Abbildungen f 1 : X 1 X 2 und f 2 : X 2 X 3. Unter dem Kompositum (oder Verknüpfung oder Hintereinnderschltung) von f 1 und f 2 verstehen wir die Funktion f : X 1 X 3, welche durch definiert ist. f := f 2 f 1 mit (f 2 f 1 )(x) := f 2 (f 1 (x)) für lle x X 1 Mn bechte, dss mn zwei Funktionen f 1 und f 2 ntürlich nur dnn miteinnder verknüpfen knn, wenn der Bildbereich von f 1 im Definitionsbereich von f 2 liegt, d nderenflls die Funktion f 2 im Punkte f 1 (x) eventuell nicht erklärt ist. Unser nächstes Resultt besgt, dss ds Kompositum von Abbildungen stets ssozitiv ist.

46 42 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Stz 2.4 Seien X 1, X 2, X 3, X 4 gewisse Mengen und f 1 : X 1 X 2, f 2 : X 2 X 3 und f 3 : X 3 X 4 gegebene Funktionen. Dnn gilt ( f3 (f 2 f 1 ) ) (x) = ( (f 3 f 2 ) f 1 ) (x) für lle x X1, d.h., die beiden Abbildungen f 3 (f 2 f 1 ) und (f 3 f 2 ) f 1 sind gleich. Beweis: Gemäß Definition 2.3 gilt einerseits ( f3 (f 2 f 1 ) ) (x) = f 3 ( (f2 f 1 ) ) (x) = f 3 ( f2 (f 1 (x)) ) und ndererseits ( (f3 f 2 ) f 1 ) (x) = (f3 f 2 )(f 1 (x)) = f 3 ( f2 (f 1 (x)) ) für lle x X 1, womit die Behuptung uch schon bewiesen ist. Eine Abbildung f : X Y zwischen zwei Mengen X und Y wr ddurch definiert, ds jedem Element x X uf eindeutige Weise ein Wert y = f(x) Y zugeordnet wurde. Umgekehrt knn es ber vorkommen, dss es zu einem y Y entweder überhupt kein x X mit f(x) = y gibt oder sogr zwei (bzw. mehr) verschiedene Elemente x 1, x 2 X existieren mit f(x 1 ) = y und f(x 2 ) = y. Will mn diese Fälle usschließen, so gelngt mn zu den Begriffen einer surjektiven und einer injektiven Abbildung. Definition 2.5 Seien X, Y zwei beliebige Mengen und f : X Y eine gegebene Funktion. () f heißt surjektiv, wenn f(x) = Y ist, es lso zu jedem y Y mindestens ein Element x X mit f(x) = y gibt. (b) f heißt injektiv, wenn für lle x 1, x 2 X mit f(x 1 ) = f(x 2 ) stets x 1 = x 2 folgt. (c) f heißt bijektiv, wenn f sowohl surjektiv ls uch injektiv ist. Als Beispiel betrchten wir die einfche Abbildung f : R R, x f(x) := x 2. Diese Abbildung ist weder surjektiv noch injektiv, denn wegen f(x) 0 für lle x R ist der Bildbereich f(r) = R + von R verschieden, ußerdem gilt f(x) = x 2 = ( x) 2 = f( x). Hingegen ist die Abbildung f : R R +, x f(x) := x 2 offenbr surjektiv, llerdings nch wie vor nicht injektiv. Dgegen ist f : R + R +, x f(x) := x 2 (2.1)

47 2.1. FUNKTIONEN 43 gnz offensichtlich sowohl surjektiv ls uch injektiv, lso bijektiv. Diese Ausführungen verdeutlichen noch einml, wrum mn bei der Angbe einer Funktion f : X Y stets den Definitionsbereich X und die Menge Y mit erwähnen sollte. Später werden wir hieruf llerdings mnchml verzichten, wenn die Mengen X und Y us dem Zusmmenhng klr sind. Sei nun f : X Y eine injektive Abbildung. Betrchten wir f : X f(x) dnn nur ls Funktion von X uf ihrem Bildbereich f(x) Y, so ist f per Definition uch surjektiv und dmit bijektiv. Also existiert zu jedem Element y f(x) genu ein Element x X mit f(x) = y. Auf diese Weise erhlten wir lso eine Vorschrift, die jedem Element y f(x) uf eindeutige Weise ein x X zuordnet. Diese Vorschrift wird ls Umkehrbbildung von f bezeichnet und ls f 1 geschrieben. Wir führen diese jetzt llgemein für bijektive Abbildungen ein. Definition 2.6 Seien X, Y zwei Mengen und f : X Y eine bijektive Abbildung. Dnn heißt die Abbildung die Umkehrfunktion von f. f 1 : Y X, y f 1 (y) := x, flls f(x) = y, Zum Beispiel besitzt die ls bijektiv erknnte Abbildung f us (2.1) die Umkehrfunktion f 1 : R + R +, x f 1 (x) := x. Speziell für eine bijektive Abbildung f : D R mit Definitionsbereich D R besitzt die Umkehrfunktion eine einfche geometrische Interprettion: Zunächst ist Grph(f) = { (x, f(x)) x D } Schreiben wir y := f(x) für x D, so erhlten wir ls Grphen der Umkehrfunktion den Ausdruck Grph(f 1 ) = { (y, f 1 (y)) y f(d) } = { (f(x), x) x D }. Anschulich ergibt sich der Grph der Umkehrfunktion somit us dem Grphen der Ausgngsfunktion f durch Spiegelung n der Winkelhlbierenden. Die Abbildung 2.2 vernschulicht diesen Schverhlt. Die gerde Linie ist die Winkelhlbierende. Durch Spielgelung der Abbildung f(x) = x 2 n dieser Winkelhlbierenden erhält mn die Wurzelfunktion f 1 (x) = x ls Umkehrfunktion (und umgekehrt). Für die Umkehrfunktion gelten die nchstehend zusmmengefssten Eigenschften. Stz 2.7 ( Eigenschften der Umkehrfunktion ) Seien X, Y zwei Mengen und f : X Y eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion f 1 : Y X. Dnn gelten:

48 44 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Abbildung 2.2: Vernschulichung der Umkehrfunktion. () Es ist f 1( f(x) ) = x für lle x X. (b) Es ist f ( f 1 (y) ) = y für lle y Y. (c) f 1 ist bijektiv mit (f 1 ) 1 (x) = f(x) für lle x X, d.h., die Umkehrfunktion von f 1 ist wieder die Abbildung f. Beweis: () Sei x X beliebig. Setze y := f(x). Dnn ist f 1( f(x) ) = f 1 (y) = x. (b) Sei y Y beliebig und setze x := f 1 (y), lso f(x) = y. Dnn ist f ( f 1 (y) ) = f(x) = y. (c) Sei x X beliebig. Setze y := f(x). Mit g := f 1 ist dnn (f 1 ) 1 (x) = g 1 (x) = y = f(x) ufgrund der Definition der Umkehrfunktion. Ds Symbol f 1 wird oft uch in einem nderen Zusmmenhng verwendet. Bezeichnet f : X Y nämlich eine nicht notwendig bijektive Abbildung, so versteht mn für ein gegebenes y Y unter der Menge f 1 (y) := {x X f(x) = y} ds Urbild von y unter der Abbildung f. Im Flle einer bijektiven Abbildung ist dieses Urbild einelementig und ergibt gerde ds Element im vorher definierten Sinne. Etws llgemeiner definiert mn für eine Menge M Y ds Urbild von M unter der Abbildung f ls f 1 (M) := {x X f(x) M}. Abschließend sei noch erwähnt, dss mn für zwei Abbildungen f 1, f 2 : X Y die Summe, ds Produkt und den Quotienten definiert durch (f 1 + f 2 )(x) := f 1 (x) + f 2 (x), (f 1 f 2 )(x) := f 1 (x) f 2 (x), ( f1 ) (x) := f 1(x) f 2 f 2 (x) für lle x X, wobei ntürlich f 2 (x) 0 im Flle des Quotienten gelten muss.

49 2.2 Monotone Funktionen 2.2. MONOTONE FUNKTIONEN 45 Die Klsse der (streng) monotonen Funktionen ist von einiger Bedeutung und wird in der nchstehenden Definition eingeführt. Definition 2.8 Sei D R gegeben. Eine Funktion f : D R heißt () monoton wchsend, wenn f(x 1 ) f(x 2 ) für lle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt. (b) monoton fllend, wenn f(x 1 ) f(x 2 ) für lle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt. (c) streng monoton wchsend, wenn f(x 1 ) < f(x 2 ) für lle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt. (d) streng monoton fllend, wenn f(x 1 ) > f(x 2 ) für lle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 gilt. Häufig werden wir nur von einer monotonen Funktion sprechen, wenn diese entweder monoton wchsend oder monoton fllend ist, es ber vom Zusmmenhng her nicht weiter wichtig ist, ob diese Funktion nun wächst oder fällt. Ebenso verwenden wir den Begriff einer streng monotonen Funktion, wenn die Funktion streng monoton wächst oder streng monoton fällt. Die Abbildung 2.3 enthält den Grphen dreier Funktionen, von denen eine in dem ngegebenen Intervll [ 1, 3] strikt monoton wchsend ist, eine ndere monoton (ber nicht strikt monoton) wächst und eine dritte Funktion strikt monoton fällt Abbildung 2.3: Der Grph einiger (strikt) monotoner Funktionen im Intervll [ 1, +3]. Wir zeigen ls Nächstes, dss eine streng monotone Funktion stets injektiv ist. Stz 2.9 Seien D R und f : D R streng monoton (wchsend oder fllend). Dnn ist f injektiv.

50 46 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gehen wir dvon us, dss f streng monoton wächst. Seien dnn x 1, x 2 D zwei gegebene Punkte mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Wäre x 1 < x 2, so folgte f(x 1 ) < f(x 2 ) wegen der strengen Monotonie von f. Wäre hingegen x 1 > x 2, so wäre f(x 1 ) > f(x 2 ), und zwr ebenflls wegen der strengen Monotonie von f. Also muss x 1 = x 2 sein, so dss f ttsächlich injektiv ist. Eine streng monotone Funktion f : D R muss ntürlich nicht bijektiv sein. Beispielsweise ist die Abbildung f : [0, ) R, f(x) := x 2, streng monoton steigend, nimmt ber keine negtiven Werte n. Allerdings ist eine injektive Funktion uf ihrem Bildbereich ntürlich bijektiv. Eine streng monotone Funktion f : D R, ufgefsst ls Abbildung f : D f(d) mit f(d) := {y R x D : y = f(x)} besitzt dher stets eine Umkehrfunktion f 1 : f(d) D. Für diese gilt ds nchstehende Resultt. Stz 2.10 ( Monotonie der Umkehrfunktion ) Seien D R und f : D R streng monoton wchsend (fllend) mit Bildbereich f(d) := {y R x D : y = f(x)}. Dnn ist die Umkehrfunktion f 1 : f(d) D ebenflls streng monoton wchsend (fllend). Beweis: Die Existenz der Umkehrfunktion wurde schon im Vorwege begründet. Seien nun y 1, y 2 f(d) mit y 1 < y 2 beliebig gegeben. Dnn existieren eindeutig bestimmte Elemente x 1, x 2 D mit f(x 1 ) = y 1 und f(x 2 ) = y 2. Setzen wir f ohne Einschränkung ls streng monoton wchsend vorus, so müssen wir x 1 < x 2 zeigen. Wäre x 1 x 2, so würde y 1 = f(x 1 ) f(x 2 ) = y 2 gelten im Widerspruch zu y 1 < y 2. Dmit ist bereits lles gezeigt. Wir betrchten noch ein einfches Beispiel. Beispiel 2.11 Sei k N beliebig gegeben (wobei letztlich nur der Fll k 2 von Interesse ist). Die Funktion f : R + R, x x k, ist offenbr streng monoton wchsend und bildet R + uf R + b. Die zugehörige Umkehrfunktion f 1 : R + R +, x k x, ist dher ebenflls streng monoton wchsend und wird ls k-te Wurzel bezeichnet. Ist k N ungerde, so ist die Funktion f : R R, x x k, sogr bijektiv ls Abbildung von R in R. In diesem Fll knn die k-te Wurzel dher ls Funktion f 1 : R R, x k x, uf gnz R definiert werden. 2.3 Polynome Bei den Polynomen hndelt es sich um spezielle Abbildungen, denen in der Anlysis eine besondere Bedeutung zukommt. Wir widmen ihnen dher einen eigenen Abschnitt. Dzu bezeichnen wir mit K im Folgenden stets den reellen oder komplexen Körper. Wir hben lso K = R oder K = C.

51 2.3. POLYNOME 47 In der Anlysis bezeichnet mn eine Funktion der Gestlt p(x) := n x n + n 1 x n x + 0 (2.2) ls ein Polynom, wobei 0, 1,..., n K gewisse Koeffizienten sind, vergleiche Beispiel 2.2 (e). Speziell für K = R spricht mn von einem reellen Polynom. Die Menge ller solchen Polynome wird mit K[x] bezeichnet. Ist der so gennnte Leitkoeffizient n von Null verschieden, so hndelt es sich bei der Abbildung (2.2) um ein Polynom vom Grd n. Dem Nullpolynom p 0 wird hierbei kein Grd zugeordnet. In der Definition (2.2) hben wir den Definitionsbereich des Polynoms nicht mit ngegeben. In der Anlysis wird dies im Allgemeinen R oder C sein, so dss die Unbeknnte x eine reelle oder komplexe Zhl repräsentiert. In der Algebr werden für x ber häufig uch ndere Objekte eingesetzt wie beispielsweise Mtrizen. Bevor wir zu dem ersten Resultt dieses Abschnittes gelngen, wollen wir ls Motivtion zunächst n die us der Schule (hoffentlich) beknnte Polynomdivision erinnern, die uch unter dem Nmen Euklidischer Algorithmus in llgemeineren Zusmmenhängen uftritt. Die Aufgbe besteht drin, ein gegebenes Polynom p durch ein nderes Polynon q (von meist kleinerem Grd) zu dividieren. Ds Ergebnis sollte ein weiteres Polynom s sein, ggf. bleibt ls Rest r übrig, bei dem es sich ebenflls um ein Polynom hndelt, welches sich nicht mehr durch q teilen lässt. Wir suchen lso Polynome s und r mit p(x) q(x) = s(x) + r(x) q(x) Zunächst lso ds ngekündigte einfche Beispiel. Beispiel 2.12 ( Polynomdivision ) Gegeben seien die beiden Polynome Polynomdivision liefert p(x) = s(x)q(x) + r(x). (2.3) p(x) := 4x 5 x 4 + 2x 3 + x 2 1 und q(x) := x (+4x 5 4x 5 x 4 x 4 +x 4 +2x 3 4x 3 2x 3 2x 3 +2x 3 +x 2 +x 2 +2x 2 +2x 2 2x 2 1) : +2x +2x +2x (x ) = 4x 3 x 2 2x + 2 Wir erhlten dmit die gewünschte Zerlegung (2.3) mit s(x) := 4x 3 x 2 2x+2 und dem Restpolynom r(x) := 2x 3.

52 48 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Ein erstes wichtiges Resultt für Polynome ist in dem nchfolgenden Resultt enthlten. Stz 2.13 ( Division mit Rest ) Seien g ein von Null verschiedenes Polynom. Dnn gibt es zu jedem Polynom f eindeutig bestimmte Polynome q und r mit f = qg + r, (2.4) wobei r 0 oder Grd r < Grd g gilt. Beweis: Seien und f(x) = n x n + n 1 x n x + 0 mit n 0 g(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 mit b m 0 die beiden gegebenen Polynome. Wir beweisen zunächst die Existenz einer Zerlegung der Gestlt (2.4). Gilt bereits Grd f < Grd g, so sind wir wegen f = 0 g + f fertig, indem wir q 0 und r f setzen. Sei dher n m vorusgesetzt. Subtrhieren wir von f ds Polynom n b m x n m g(x), so erhält mn mit f 1 (x) := f(x) n x n m g(x) b m ein Polynom f 1 mit f 1 0 oder n 1 := Grd f 1 < n. Ist nun n 1 < m, so sind wir fertig, indem wir q := n b m x n m und r := f 1 setzen. Gilt dgegen n 1 m, so fhren wir uf diese Weise fort und subtrhieren von f 1 nochmls ein geeignetes Vielfches von g, um ein Polynom f 2 mit f 2 0 oder n 2 := Grd f 2 < n 1 zu erhlten. Nch endlich vielen Schritten bricht dieser Prozess b und wir gelngen zu einer Drstellung der Gestlt (2.4). Zum Nchweis der Eindeutigkeit der Zerlegung (2.4) nehmen wir n, dss wir eine weitere Drstellung f = q g + r mit q q (für q = q wäre zwngsläufig uch r = r) hben, wobei r 0 oder Grd r < Grd g gilt. Dnn folgt (q q)g = r r und somit der Widerspruch Grd(g) Grd ( (q q)g ) = Grd(r r ) < Grd(g), }{{} 1 wegen q q womit lles bewiesen ist. Sei nun p(x) = x n x n mit n 0 ein Polynom vom Grd n. Sei ferner x 1 eine Nullstelle von p, lso p(x 1 ) = 0. Dnn lässt sich der Fktor x x 1 von p bdividieren. Genuer gilt wegen x k x k 1 = (x x 1) (x k 1 + x k 2 x xx1 k 2 + x1 k 1 ) = (x x }{{} 1 )q k (x) =:q k (x)

53 2.3. POLYNOME 49 für lle k 2 nämlich p(x) = p(x) p(x 1 ) = 1 (x x 1 ) + 2 (x 2 x 2 1) n (x n x n 1) = (x x 1 ) [ q 2 (x) n q n (x) ] }{{} =:b 0 +b 1 x+...+b n 2 x n 2 +b n 1 x n 1 = (x x 1 )p 1 (x), =:p 1 (x) wobei ds Polynom p 1 wegen b n 1 = n 0 den Grd n 1 besitzt. Ist jetzt noch Grd p 1 1 und x 1 eine Nullstelle von p 1, so lässt sich x x 1 uch von p 1 bdividieren, und mn erhält die Gleichung p(x) = (x x 1 ) 2 p 2 (x) mit einem Polynom p 2 vom Grd n 2. Indem mn so fortfährt, gelngt mn schließlich zu einer Drstellung p(x) = (x x 1 ) n 1 p n1 (x) mit einem Polynom p n1 vom Grde n n 1, für welches p n1 (x 1 ) 0 ist. Besitzt ds ursprüngliche Polynom p eine weitere Nullstelle x 2 x 1, so ist x 2 ntürlich uch eine Nullstelle von p n1. Also knn mn eine möglichst hohe Potenz des Linerfktors x x 2 bsplten. So fortfhrend, gelngt mn zu dem nchstehenden Resultt. Stz 2.14 Ein Polynom p vom Grd n 1 besitzt höchstens m n verschiedene Nullstellen x 1, x 2,...,x m, mit deren Hilfe es sich schreiben lässt ls p(x) = (x x 1 ) n1... (x x m ) nm q(x) mit einem Polynom q vom Grd n (n n m ), ds seinerseits keine Nullstellen mehr besitzt. Als unmittelbre Konsequenz us dem Stz 2.14 notieren wir ein wichtiges Resultt über die Gleichheit zweier Polynome. Stz 2.15 ( Identitätsstz für Polynome ) Stimmen zwei Polynome p(x) = n x n x + 0 und q(x) = b n x n b 2 x + b 0 n n + 1 verschiedenen Stellen überein, so gilt k = b k für lle k = 0, 1,..., n und dher p(x) = q(x) für lle x K. Beweis: Aus k = b k für lle k = 0, 1,...,n folgt ntürlich p(x) = q(x) für lle x K, so dss nur noch die Gleichheit ller Koeffizienten bewiesen werden muss. Der Beweis geschieht durch Widerspruch. Angenommen, es gibt einen (größten) Index m {0, 1,..., n} mit m b m und k = b k für lle k = m + 1,...,n. Ds Differenzpolynom r(x) := p(x) q(x) = m ( k b k )x k k=0

54 50 KAPITEL 2. FUNKTIONEN ht dnn den Grd m und besitzt n + 1 > m Nullstellen. Im Fll m 1 liefert dies einen Widerspruch zum Stz 2.14, und im Fll m = 0 (konstntes Polynom 0) ist dies sowieso nicht möglich. Den Stz 2.14 knn mn verschärfen, indem mn komplexe Nullstellen zulässt. Dnn besitzt jedes (reelle oder komplexe) Polynom vom Grd n genu n Nullstellen, die llerdings uch bei reellen Polynomen komplex sein können. Dies ist die Aussge des folgenden Stzes, den wir llerdings erst zu einem späteren Zeitpunkt beweisen werden, siehe Stz Stz 2.16 ( Fundmentlstz der Algebr ) Jedes Polynom p K[x] vom Grd n 1 ht eine Drstellung p(x) = (x x 1 ) n1... (x x s ) ns mit einem Fktor K und (eventuell komplexen) prweise verschiedenen Nullstellen x i C, wobei x i eine n i -fche Nullstelle von p ist und n n s = n gilt. Für reelle Polynome können wir us dem Stz 2.16 eine interessnte Beobchtung herleiten. Sei dzu p(x) = n x n x + 0 mit i R für lle i = 0, 1,..., n ein beliebiges reelles Polynom. Ist z C dnn ein Nullstelle dieses reellen Polynoms p, so folgt us n n n p(z) = k z k = k z k = k z k = p(z) = 0 = 0, k=0 k=0 dss die konjugiert komplexe Zhl ebenflls eine Nullstelle von p ist. Die nicht reellen Nullstellen treten lso in Pren konjugiert komplexer Nullstellen uf. Durch Multipliktion der zugehörigen Linerfktoren x z und x z erhlten wir ein reelles Polynom zweiten Grdes: (x z)(x z) = x 2 2Re(z)x + zz. Dher knn jedes reelle Polynom ls Produkt von reellen Polynomen vom Grd 1 (für die reellen Nullstellen) und vom Grd 2 (für die konjugiert komplexen Nullstellen) drgestellt werden. k=0 2.4 Rtionle Funktionen Unter einer rtionlen Funktion verstehen wir den Quotienten us zwei Polynomen, lso R(x) = p(x) q(x) (2.5)

55 2.4. RATIONALE FUNKTIONEN 51 für gewisse Polynome p, q K[x], wobei K {R, C} wieder den Körper der reellen oder komplexen Zhlen bezeichnet. Nun ist die Drstellung einer rtionlen Funktion nicht eindeutig, beispielsweise ist R(x) = x 1 x 2 1 eine rtionle Funktion, deren Definitionsbereich zunächst nur die Menge K\{±1} ist, d wir für x = 1 und x = 1 durch Null dividieren würden. Andererseits besitzt ds Nennerpolynom wegen x 2 1 = (x + 1)(x 1) einen gemeinsmen Fktor mit dem Zählerpolynom, so dss wir nch Kürzung dieses Fktors R(x) = 1 x + 1 erhlten, wobei der Definitionsbereich jetzt K\{ 1} lutet. Wir können im Folgenden deshlb dvon usgehen, dss in der Drstellung (2.5) lle gemeinsmen Teilerpolynome von p und q bereits gekürzt sind. Der vollständige Definitionsbereich der rtionlen Funktion (2.5) besteht dnn us der Menge ller x K, für die ds (gekürzte) Nennerpolynom keine Nullstelle ht. Ein z K heißt n-fcher Pol der rtionlen Funktion (2.5), wenn p(z) 0 ist und z eine Nullstelle von q der Vielfchheit n ist. Wegen Stz 2.14 existiert dnn ein Polynom h mit h(z) 0 und Die rtionle Funktion R(x) = p(x) q(x) = 1 (x z) n p(x) (x z) n h(x). (2.6) heißt dnn Prtilbruch. Für einen solchen Prtilbruch gibt es uch eine dditive Zerlegung, die wir in dem folgenden Resultt beschreiben. Lemm 2.17 ( Zerlegung einer rtionlen Funktion ) Sei z ein n-fcher Pol der rtionlen Funktion R. Dnn gibt es genu eine Zerlegung mit den folgenden Eigenschften: R(x) = H(x) + R 0 (x) () R 0 ist eine rtionle Funktion, die in z keinen Pol mehr ht. (b) der so gennnte Huptteil H ist von der Gestlt mit n 0. H(x) = n (x z) n + n 1 (x z) n x z

56 52 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Beweis: Wir beginnen zunächst mit einer Vorbetrchtung: D z nch Vorussetzung ein n-fcher Pol von R ist, hben wir für die rtionle Funktion R eine Drstellung der Form (2.6). Hierus folgt p(x) h(x) p(z) h(z) = p(x)h(z) p(z)h(x) h(x)h(z) = (x z)p(x) h(x) mit einem Polynom P, dessen Existenz drus folgt, dss ds Zählerpolynom Q(x) := p(x)h(z) p(z)h(x) in x = z offenbr eine Nullstelle ht. Dmit erhlten wir us (2.6) R(x) = = = 1 (x z) p(x) n h(x) 1 (x z) n n (x z) + P(x) n (x z) n 1 h(x) ( p(z) (x z)p(x) + h(z) h(x) ) mit n := p(z) h(z). (2.7) Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis und zeigen zunächst die Existenz der gewünschten Zerlegung. Dies erfolgt durch Induktion nch n. Im Fll n = 1 ist (2.7) bereits die gesuchte Zerlegung, d R 0 := P/h wegen h(z) 0 keinen Pol in z ht. In der Induktionsnnhme können wir deshlb dvon usgehen, dss die Aussge für lle rtionlen Funktionen richtig ist, die in x = z höchstens einen (n 1)-fchen Pol hben. Für den Induktionsschluss von (n 1) uf n betrchten wir nun die Zerlegung (2.7) und setzen hierzu P(x) R n 1 (x) := (x z) n 1 h(x). Auf die Funktion R n 1 können wir dnn die Induktionsnnhme nwenden, d diese in z keinen Pol oder höchstens einen (n 1)-fchen Pol ht. Im erstgennnten Fll wählen wir einfch R 0 := R n 1, ihm zweitgennnten Fll zerlege mn R n 1 dgegen gemäß Induktionsnnhme. Zusmmenfssend ergibt sich eine Drstellung von R der gewünschten Gestlt. Zum Nchweis der Eindeutigkeitsussge nehmen wir n, dss wir zwei Zerlegungen der Gestlt n k=1 k (x z) k + R 0(x) = n k=1 b k (x z) k + S 0(x) (2.8) hben. Multipliktion beider Seiten mit (x z) n und nschließendes Einsetzen von x = z liefert dnn n = b n. Nch Entfernen von n = bn uf beiden Seiten der Identität (x z) n (x z) n (2.8) zeigt mn uf nloge Weise n 1 = b n 1. So fortfhrend erhält mn uch die Eindeutigkeitsussge. Ds Lemm 2.17 können wir ntürlich uf jede Polstelle nwenden. Betrchte dzu die rtionle Funktion R us (2.5). Wegen des Fundmentlstzes der Algebr lässt sich ds Nennerpolynom schreiben ls q(x) = (x z 1 ) n1 (x z 2 ) n2... (x z s ) ns

57 2.4. RATIONALE FUNKTIONEN 53 für gewisse Nullstellen z 1,...,z s von q mit den Vielfchheiten n 1,...,n s (der in q eventuell uftretende konstnte Fktor knn ls Teil des Zählerpolynoms p genommen werden). D gemeinsme Teilpolynome von p und q bereits rusgekürzt sind, hndelt es sich bei z 1,...,z s dnn um keine Nullstellen des Zählerpolynoms p. Folglich sind die z i Polstellen der rtionlen Funktion R mit der Vielfchheit n i (i = 1,...,s). Anwendung des Lemms 2.17 uf diese Polstellen liefert gewisse Huptteile H 1,...,H s von R und somit insgesmt eine Drstellung der Form R(x) = H 1 (x) H s (x) + Q(x). Dbei hndelt es sich bei Q um eine rtionle Funktion ohne irgendwelche Pole. Nch dem Fundmentlstz der Algebr ist Q somit der Quotient us einem Polynom und einer Konstnten, folglich ein Polynom. Mn bezeichnet Q ls den Polynom Anteil von R. Insgesmt hben wir dmit ds folgende Resultt bewiesen. Stz 2.18 ( Prtilbruchzerlegung ) Jede rtionle Funktion ist die Summe ihrer Huptteile und ihres Polynom Anteils. Die Prtilbruchzerlegung wird später eine wichtige Rolle bei der Integrtion von rtionlen Funktionen spielen. Dbei ist es wichtig, dss mn die Prtilbruchzerlegung einer rtionlen Funktion uch konkret durchführen knn. Den Polynom Anteil erhält mn hierbei us der Division mit Rest, die Prtilbrüche us der Linerfktorzerlegung der verbleibenden rtionlen Funktion, die Koeffizienten der Huptteile schließlich durch einen Koeffizientenvergleich. Wir illustrieren ds llgemeine Vorgehen kurz n einem Beispiel. Beispiel 2.19 Wir betrchten die rtionle Funktion R(x) := x + 1 x(x 1) 2. (2.9) Hier ist der Grd des Zählerpolynoms bereits kleiner ls der des Nennerpolynoms, so dss wir keinen Polynom Anteil erhlten. Ds Nennerpolynom ist ußerdem schon in seine Linerfktoren zerlegt mit den beiden Nullstellen z 1 := 0 und z 2 := 1 mit den zugehörigen Vielfchheiten n 1 := 1 und n 2 := 2. Der Anstz für die Prtilbruchzerlegung lutet somit R(x) := x 0 + b 2 (x 1) 2 + b 1 x 1 (2.10) für gewisse, b 2, b 1 R. Zur Bestimmung von, b 1 und b 2 multiplizieren wir die beiden Drstellungen (2.9) und (2.10) jeweils mit dem Nennerpolynom x(x 1) 2 und erhlten somit die Identität x + 1 = x(x 1) 2 R(x) = (x 1) 2 + b 2 x + b 1 x(x 1). Sortieren nch den Potenzen von x ergibt die Gleichheit x + 1 = x 2 2x + + b 2 x + b 1 x 2 b 1 x = ( + b 1 )x 2 + (b 2 b 1 2)x +.

58 54 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Wegen Stz 2.15 können wir jetzt einen Koeffizientenvergleich durchführen und erhlten uf diese Weise ds linere Gleichungssystem + b 1 = 0, b 2 b 1 2 = 1, = 1. Dieses ht offenbr die eindeutig bestimmte Lösung = 1, b 1 = 1, b 2 = 2, so dss wir für R die Prtilbruchzerlegung erhlten. R(x) = 1 x + 2 (x 1) 2 1 x Abzählbrkeit von Mengen Wir untersuchen in diesem Abschnitt die so gennnte Mächtigkeit von Mengen. Dzu ist die nchstehende Definition von zentrler Bedeutung. Definition 2.20 Eine nichtleere Menge A heißt (höchstens) bzählbr, wenn eine surjektive Abbildung f : N 0 A existiert. Eine nichtleere Menge heißt überbzählbr, wenn sie nicht bzählbr ist. Wir geben ls Nächstes einige Beispiele von (höchstens) bzählbren Mengen n. Beispiel 2.21 () Jede endliche Menge A = { 0, 1,..., m } ist (höchstens) bzählbr. Dzu definiere mn beispielsweise f : N 0 A durch { n, flls 0 n m, f(n) := m, flls n > m. Offenbr ist f dnn surjektiv (llerdings nicht bijektiv). (b) Die Menge A := N 0 der ntürlichen Zhlen (mit Null) ist bzählbr, denn die identische Abbildung f : N 0 N 0, f(n) := n, ist ntürlich surjektiv (und selbstverständlich uch injektiv). (c) Die Menge A := Z der gnzen Zhlen ist ebenflls bzählbr. Um dies einzusehen, werde f : N 0 Z definiert durch f(0) := 0, f(1) := +1, f(2) := 1, f(3) := +2, f(4) := 2,... Allgemein gilt lso f(0) := 0, f(2n 1) := n und f(2n) = n für lle n N. Die so definierte Abbildung f ist offenbr surjektiv (sogr bijektiv). Teilmengen von bzählbren Mengen sind offenbr wieder (höchstens) bzählbr. Wegen Beispiel 2.21 (b) ist dmit die Menge N der ntürlichen Zhlen (ohne Null) bzählbr. Ein mnchml sehr nützliches Resultt über die Abzählbrkeit von Mengen ist in dem nächsten Stz enthlten.

59 2.5. ABZÄHLBARKEIT VON MENGEN 55 Stz 2.22 Die Vereinigung (höchstens) bzählbr vieler bzählbrer Mengen ist wieder bzählbr. Beweis: Seien M n (n N 0 ) die bzählbren Mengen. Wir bezeichnen die Elemente von M n mit x nm, m N 0, lso M n = { x nm m N0 } = {x n0, x n1, x n2,... } (n N 0 ). Die Elemente der Vereinigungsmenge M := n N 0 M n schreiben wir in Form eines qudrtisch unendlichen Schems: M 0 : x 00 x 01 x 02 x 03 ւ ր ւ ր M 1 : x 10 x 11 x 12 x 13 ր ւ ր M 2 : x 20 x 21 x 22 x 23 ւ ր M 3 : x 30 x 31 x 32 x 33 ր. x 40 Die durch die Pfeile ngedeutete Abbildung f(0) := x 00, f(1) := x 01, f(2) := x 10, f(3) := x 20, f(4) := x 11,... liefert offenbr eine Bijektion von N 0 in die Vereinigungsmenge M. Also ist M bzählbr. Eine unmittelbre Folgerung des Stzes 2.22 ist die Abzählbrkeit der rtionlen Zhlen. Korollr 2.23 Die Menge Q ller rtionlen Zhlen ist bzählbr. Beweis: Für jedes n N sind die beiden Mengen A n := { k } k N0 und n Bn := { k n offenbr bzählbr. Nch Stz 2.22 ist dnn uch C n := { k } k Z = An B n n k N0 } bzählbr für jedes n N. Erneut wegen Stz 2.22 ist somit Q = n N C n eine bzählbre Menge. Wir beweisen ls Nächstes, dss die Menge der reellen Zhlen hingegen nicht bzählbr ist.

60 56 KAPITEL 2. FUNKTIONEN Stz 2.24 Die Menge R ller reellen Zhlen ist überbzählbr. Beweis: Zum Beweis verwenden wir ds so gennnte Cntorsche Digonlverfhren. Dzu beweisen wir, dss ds offene Intervll (0, 1) überbzählbr ist, ws die eigentliche Behuptung offenbr impliziert. Angenommen, (0, 1) ist bzählbr. Dnn existieren reelle Zhlen {x n } n N0 mit (0, 1) = {x n n N 0 } (hierbei ist x n = f(n) für eine geeignete surjektive Abbildung f : N 0 (0, 1) gesetzt worden). Die Dezimlbruchentwicklungen der Zhlen x n seien x 1 = x 2 = x 3 = Wir definieren nun eine Zhl c (0, 1) durch die Dezimlbruchentwicklung wobei c k := c = 0.c 1 c 2 c 3...,. { 5, flls kk 5, 4, flls kk = 5. Insbesondere gilt c k kk für lle k N. Nch Annhme existiert ein n N mit c = x n. Drus folgt ber c n = nn im Widerspruch zur Konstruktion von c. Also ist (0, 1) überbzählbr. Zwei Mengen M 1 und M 2 hben die gleiche Mächtigkeit, wenn es eine bijektive Abbildung f : M 1 M 2 gibt. Offenbr ht eine endliche Menge dnn niemls die gleiche Mächtigkeit wie die Menge N 0. Hingegen ht N 0 wegen Beispiel 2.21 (c) die gleiche Mächtigkeit wie die Menge der gnzen Zhlen Z, obwohl N 0 eine echte Teilmenge von Z ist. Dgegen folgt us dem Stz 2.24, dss weder N noch Z die gleiche Mächtigkeit wie die reellen Zhlen R hben können. Es seien noch einige weitere Beispiele erwähnt. Beispiel 2.25 () Die Abbildung f : (0, 1) R, f(x) := x ist offenbr bijektiv. 1 x Also ht ds Intervll (0, 1) die gleiche Mächtigkeit wie R und ist dher ebenflls überbzählbr. (b) In Verllgemeinerung von Beispiel () ht uch jedes Intervll (, b) die gleiche Mächtigkeit wie R und ist dher überbzählbr, denn die Abbildung h(x) := g(f(x)) mit f wie in () und g : (, b) (0, 1), g(t) := t b ist ls Kompositum von bijektiven Abbildungen wieder bijektiv. Hierus folgt beispielsweise die Aussge, dss zwischen zwei reellen Zhlen x, y R mit x < y stets

61 2.5. ABZÄHLBARKEIT VON MENGEN 57 eine irrtionle Zhl liegt, denn sonst bestünde ds gesmte Intervll (x, y) us rtionlen Zhlen, so dss Q insbesondere überbzählbr wäre im Widerspruch zum Korollr (c) Die Menge R \ Q der irrtionlen Zhlen ist überbzählbr. Denn nderenflls wäre R = Q (R \ Q) ebenflls bzählbr wegen Stz 2.22, so dss wir einen Widerspruch zum Stz 2.24 erhlten. (d) Eine Zhl x R heißt lgebrisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms p(x) := n x n x + 0 mit Koeffizienten 0, 1,..., n Q (wir könnten sogr 0, 1,..., n Z fordern) ist. Wegen Stz 2.14 ht jedes solche Polynom höchstens n Nullstellen. Sei A n := { x x ist Nullstelle eines Polynoms p Q[x] vom Grd n }. Aufgrund des Stzes 2.22 ist jedes A n und dmit uch die Menge ller lgebrischen Zhlen A := A 1 A 2 A 3... bzählbr. (e) Sei A wieder die Menge ller lgebrischen Zhlen. Die Elemente von T := R \ A bezeichnet mn dnn ls trnszendente Zhlen. Wegen (d) und Stz 2.24 ist T überbzählbr.

62 58 KAPITEL 2. FUNKTIONEN

63 Kpitel 3 Folgen und Reihen 3.1 Folgen 3.2 Cuchy Folgen 3.3 Unendliche Reihen 3.4 Absolut konvergente Reihen 3.5 Multipliktion von Reihen 3.6 Potenzreihen 3.1 Folgen In diesem gesmten Abschnitt bezeichnen wir mit K wieder die Menge der reellen oder der komplexen Zhlen. Unter einer Folge in K versteht mn eine Abbildung f : N K. Zu jedem n N existiert lso ein n K mit f(n) = n. Für eine solche Folge benutzt mn deshlb meistens die Schreibweise { n } n N oder { 1, 2, 3,...}. Die n heißen dnn die Folgenglieder der Folge { n }. Oft beginnt die Indizierung der Folgenglieder nicht mit 1, sondern mit einer beliebigen Zhl n 0 Z. Mn schreibt dnn { n } n n0 oder { n0, n0 +1, n0 +2,...}. Für K = R spricht mn von einer reellen Folge, für K = C von einer komplexen Folge. Beispiel 3.1 () Sei n = für lle n N mit einem K. Mn erhält die konstnte Folge {,,,,...}. (b) Sei n = 1 n für lle n N. Mn erhält die so gennnte hrmonische Folge {1, 1 2, 1 3, 1 4,...}. (c) Sei n = ( 1) n für lle n N. Dmit ergibt sich die Folge { 1, 1, 1, 1, 1,...}, deren Folgenglieder ein lternierendes Vorzeichen besitzen. (d) Für n = n n+1 (n N) erhlten wir die Folge {1 2, 2 3, 3 4, 4 5,...}. 59

64 60 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN (e) Für 1 := 1, 2 := 1 und n+1 := n + n 1 für lle n 2 erhlten wir rekursiv die Folge {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...} der so gennnten Fiboncci Zhlen. (f) Sei q K beliebig und n := q n (n N). Dies ergibt die Folge der Potenzen {q, q 2, q 3, q 4,...}. (g) Für n := n n erhlten wir die Folge {1, 2, 3 3,...}. Wir definieren ls Nächstes den Begriff der Konvergenz einer Folge. Definition 3.2 Eine Folge { n } heißt konvergent gegen ein K, wenn es zu jedem ε > 0 eine (im Allgemeinen von ε bhängige) Zhl N N gibt mit n < ε für lle n N. (3.1) Die Zhl heißt dnn Grenzwert oder Limes der Folge { n }, und mn schreibt lim n = oder n für n. n Eine Folge { n } mit lim n n = 0 heißt Nullfolge. In (3.1) hätte mn ds < Zeichen uch durch ds Zeichen ersetzen können. Mn überlege sich in Ruhe, dss dies n der Definition letztlich nichts ändert. An dieser Stelle ist es sehr sinnvoll, eine in der Mthemtik übliche Schreibweise einzuführen. Wir benutzen insbesondere die Abkürzungen für für lle (so gennnter All Quntor ), für es gibt oder es existiert (so gennnter Existenz Quntor ). Dmit lässt sich die Konvergenz einer Folge { n } gegen ein K kurz wie folgt formulieren: ε > 0 N N : n < ε n N. Der hierin vorkommende Doppelpunkt wird oft ls so dss gilt gelesen. Alterntiv könnte mn den letzten All Quntor uch vor die Ungleichung stellen: ε > 0 N N n N : n < ε. (3.2) Die Verwendung von Quntoren ist m Anfng sicherlich etws gewöhnungsbedürftig und wird in den meisten Büchern nicht im Übermß benutzt. In Vorlesungen und persönlichen Gesprächen mit Kollegen sind sie jedoch bsoluter Stndrd und erluben eine im Allgemeinen sehr viel kürzere Formulierung des jeweiligen Gegenstndes. Die Verwendung von Quntoren bietet ußerdem den Vorteil, dss mn eine Aussge sehr leicht negieren knn, indem mn All Quntoren durch Existenz Quntoren und umgekehrt ersetzt. Dss eine Folge { n } nicht gegen ein konvergiert, lässt sich lso schreiben ls ε > 0 N N n N : n ε,

65 3.1. FOLGEN 61 vergleiche (3.2). Will mn diesen Schverhlt in Worte fssen, so wird dies schon deutlich länger: Die Folge { n } konvergiert nicht gegen K, wenn ein ε > 0 existiert, so dss es für lle N N ein n N gibt mit n ε. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist, sofern er denn existiert, notwendig eindeutig bestimmt. Stz 3.3 ( Eindeutigkeit des Grenzwertes ) Die Folge { n } n N konvergiere sowohl gegen K ls uch gegen K. Dnn gilt =. Beweis: Angenommen, es ist. Dnn ist ε := 1 2 eine positive Zhl. Wegen lim n n = existiert ein N 1 N mit n < ε für lle n N 1. Andererseits gibt es wegen lim n n = uch ein N 2 N mit n < ε für lle n N 2. Für lle n N := mx{n 1, N 2 } gilt dnn sowohl n < ε ls uch n < ε. Hierus folgt = ( n ) + ( n ) n + n < 2ε =, lso <. Dieser Widerspruch zeigt, dss doch = sein muss. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Wir untersuchen ls Nächstes die Konvergenz bzw. Divergenz der Folgen us dem Beispiel 3.1. Beispiel 3.4 () Die durch n = für lle n N definierte konstnte Folge {,,,...} ist konvergent mit lim n n =. Um dies einzusehen, hben wir per Definition ein N N zu finden mit n < ε für lle n N. In diesem Fll können wir hierzu jedes N N wählen (insbesondere ist N hier von dem vorgegebenen ε unbhängig) und erhlten n = = 0 < ε für lle n N, ws zu zeigen wr. (b) Die hrmonische Folge { 1 } 1 n n N ist konvergent mit lim n = 0. Sei nämlich ε > 0 n beliebig. Wähle dnn ein (dieses Ml ttsächlich von ε bhängiges) N N mit N > 1 ε (ein solches N existiert, d R rchimedisch geordnet ist). Dnn folgt lso lim n 1 n = 0. 1 n 0 = 1 n 1 N < ε für lle n N, (c) Die Folge { 1, 2, 3,...} mit n = ( 1) n divergiert. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Angenommen, die Folge { n } konvergiert gegen ein. Per Definition gibt es zu ε = 1 dnn ein N N mit n < ε = 1 für lle n N. Für lle n N gilt dnn nch der Dreiecksungleichung 2 = n+1 n = (n+1 ) + ( n )

66 62 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN n+1 + n < = 2. Dieser Widerspruch zeigt, dss die Folge gegen kein konvergieren knn und somit divergiert. (d) Die Folge { n } mit n = n konvergiert gegen den Grenzwert = 1. Sei dzu ε > 0 n+1 beliebig. Wähle ein N N mit N > 1. Dnn folgt ε n n = 1 n n 1 N < ε für lle n N, lso n 1 für n. (e) Die Folge der Fiboncci Zhlen { n } ist divergent, denn mittels vollständiger Induktion bestätigt mn leicht, dss n n für lle n N mit n 5 gilt, so dss die Folge { n } nicht beschränkt ist und somit nicht konvergent sein knn, wie wir im Anschluss n dieses Beispiel noch sehen werden. (f) Ds Konvergenzverhlten der Folge {q n } n N hängt vom Wert von q K b. Für q < 1 konvergiert diese Folge mit lim n q n = 0, für q > 1 hingegen divergiert die Folge. Wir verifizieren hier nur die Aussge für q < 1. D für q = 0 nichts zu zeigen ist, können wir q 0 vorussetzen. Dnn ist 1 q = 1 + x für ein x > 0. Nun wenden wir die für lle x 1 und lle n N gültige Bernoullische Ungleichung (1 + x) n 1 + nx n (Beweis durch vollständige Induktion nch n) und erhlten 0 q n = 1 (1 + x) n nx 1 n 1 x. Wegen 1 n 0 nch (b) folgt hierus unmittelbr qn 0 für n. (g) Wir behupten, dss lim n n n = 1 gilt. Setzen wir x n := n n 1, so hben wir zu zeigen, dss {x n } eine Nullfolge ist. Aus dem binomischen Lehrstz 1.9 folgt wegen x n 0 zunächst n = (1 + x n ) n 1 + ( ) n x 2 n 2 n(n 1) = 1 + x 2 n 2,

67 lso n 1 n(n 1) x 2 2 n und dmit x n ein N N mit N > 2, so folgt ε FOLGEN 63 2 n n n = xn n N < ε. Wählen wir zu beliebigem ε > 0 dher für lle n N. Wir führen ls Nächstes den Begriff einer beschränkten Folge ein. Definition 3.5 Eine Folge { n } n N mit n K für lle n N heißt beschränkt, wenn ein K R existiert mit n K für lle n N. Eine nicht beschränkte Folge heißt unbeschränkt. Als Beispiel einer unbeschränkten Folge hben wir bereits die Folge der Fiboncci Zhlen kennen gelernt. Wir zeigen jetzt, dss eine konvergente Folge stets beschränkt ist. Stz 3.6 ( Beschränktheit konvergenter Folgen ) Jede konvergente Folge { n } ist beschränkt. Beweis: Sei lim n n = für ein K. Zu ε = 1 existiert dnn ein N N mit Hierus folgt mit der Dreiecksungleichung n < ε = 1 für lle n N. n = + ( n ) + n + 1 für lle n N. Dmit folgt n K für lle n N mit der Konstnten K := mx{ 1, 2,..., N 1, + 1}. Wegen Stz 3.6 knn eine unbeschränkte Folge nicht konvergent sein. Mn sgt uch, dss die Beschränktheit einer Folge ein notwendiges Kriterium für ihre Konvergenz drstellt. Es hndelt sich hierbei jedoch nicht um ein hinreichendes Kriterium, denn eine beschränkte Folge muss nicht konvergent sein, wie ds Beispiel 3.4 (c) zeigt. Wir werden in Kürze llerdings uf diese Problemtik zurückkommen und zeigen, dss in gewissen Fällen beschränkte Folgen ttsächlich konvergent sind. Wir zeigen ls Nächstes, dss uch die Summe, die Differenz, ds Produkt und (sofern wohldefiniert) der Quotient von konvergenten Folgen wieder konvergente Folgen bilden. Stz 3.7 ( Rechenregeln für konvergente Folgen I ) Seien { n } n N, {b n } n N zwei konvergente Folgen in K mit n und b n b für gewisse Grenzwerte, b K. Dnn gelten:

68 64 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN () n + b n + b für n. (b) n b n b für n. (c) n b n b für n. (d) Ist b 0, so sind fst lle b n 0, und es gilt n b n b für n. Beweis: () Sei ε > 0 beliebig gegeben. Wegen der Konvergenz der Folgen { n } und {b n } existieren dnn N 1, N 2 N mit n < ε 2 für lle n N 1 und b n b < ε 2 für lle n N 2. Dnn gilt für lle n N := mx{n 1, N 2 } (n + b n ) ( + b) n + b n b < ε 2 + ε 2 = ε, worus per Definition lim n ( n + b n ) = + b folgt. (b) Die Folge { b n } = {( 1) b n } konvergiert wegen Beispiel 3.4 () und dem gleich noch zu beweisenden Teil (c) gegen den Grenzwert b. Dher folgt die Behuptung unmittelbr us der Aussge (). (c) Wegen Stz 3.6 ist die Folge { n } beschränkt. Also existiert ein K > 0 mit n K für lle n N. Durch eventuelle Vergrößerung von K knn ußerdem ngenommen werden, dss uch b K ist. Wegen n und b n b existieren Zhlen N 1, N 2 N mit n < ε 2K für lle n N 1 und b n b < ε 2K für lle n N 2, wobei ε > 0 beliebig vorgegeben ist. Für lle n N := mx{n 1, N 2 } folgt dher und somit n b n b für n. n b n b = n (b n b) + ( n )b n b n b + n b < K ε 2K + ε 2K K = ε (d) Wegen b n b für n existiert zu η := 1 2 b > 0 eine Zhl N N mit b n b < η für lle n N. Mit b n b b n b folgt dnn b n > 1 b > 0 für lle n N 2

69 3.1. FOLGEN 65 und somit insbesondere b n 0 für lle n N. Sei nun ε > 0 beliebig gegeben. Aus b n b folgt die Existenz eines N N mit b b n < 1 2 ε b 2 für lle n N, wobei wir ohne Einschränkung n N wählen können. Dnn folgt 1 1 b n b = b n b < ε b 2 b n b 2 b n b = 1 2 b ε b n < b ε n = ε für lle n N. b n Also konvergiert die Folge { 1 b n } gegen den Grenzwert 1. Die Aussge (d) ergibt sich somit b us dem Teil (c). Die Aussgen des Stzes 3.7 lssen sich recht einprägsm uch schreiben ls lim n ± lim b n n n = lim ( n ± b n ), n lim n lim b n n n = lim ( n b n ), n lim n n lim n b n = n lim. n b n Wir formulieren noch ein weiteres einfches Resultt über Folgen, us dem sich insbesondere ergibt, dss der Grenzwert einer reellen Folge stets reell ist. Stz 3.8 ( Rechenregeln für konvergente Folgen II ) Sei { n } eine beliebige Folge in K mit lim n n =. Dnn gelten Insbesondere folgt hierus n, n, Re( n ) Re(), Im( n ) Im(). lim n = lim Re( n ) + i lim Im( n ). n n n Beweis: Wegen n für n existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit n < ε für lle n N. Mit der inversen Dreiecksungleichung folgt dher n n < ε für lle n N Also gilt n für n. Die restlichen Aussgen können nlog bewiesen werden. In dem verbleibenden Teil dieses Abschnitts wollen wir Folgen und ihre Grenzwerte der Größe nch vergleichen. D es sich bei C um keinen geordneten Körper hndelt, werden wir deshlb nur reelle Folgen betrchten.

70 66 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Stz 3.9 Seien { n } und {b n } zwei reelle Folgen mit n, b n b und n b n für fst lle n N (d.h., für lle n N mit der Ausnhme von höchstens endlich vielen n N). Dnn ist uch b. Beweis: Nch Vorussetzung existieren zu jedem ε > 0 Zhlen N 1, N 2 N mit Hierus ergibt sich n < ε für lle n N 1 und b n b < ε für lle n N 2. b = n + n b }{{ n +b } n b n + b b n < ε + ε = 2ε. 0 D ε > 0 beliebig gewählt werden konnte, ist dies nur für b möglich (denn wäre > b, so erhielten wir für ε := 1 ( b) > 0 den Widerspruch 0 < b < 2ε = 1 ( b)). 4 2 Eine Vrinte des Stzes 3.9 ist in dem folgenden Resultt enthlten, ds in den letzten Jhren eine recht moderne Bezeichnung bekommen ht. Stz 3.10 ( Sndwich Theorem ) Seien { n }, {b n } und {c n } drei reelle Folgen mit n c n b n für fst lle n N derrt, dss { n } und {b n } konvergent sind mit lim n n = lim n b n. Dnn ist die Folge {c n } ebenflls konvergent mit Grenzwert lim n c n = lim n n. Beweis: Der Beweis folgt durch Anwendung des Stzes 3.9 und sei in seinen Einzelheiten dem Leser überlssen. Wir wissen bereits us dem Stz 3.6, dss eine konvergente Folge stets beschränkt ist. Die Umkehrung dieser Aussge gilt im Allgemeinen nicht, wie ds Beispiel der Folge { 1, +1, 1, +1,...} zeigt. In gewissen Fällen lässt sich jedoch uch die Umkehrung beweisen. Dzu benötigen wir den Begriff einer monotonen Folge. Definition 3.11 Eine Folge { n } reeller Zhlen heißt () monoton wchsend, wenn n n+1 für lle n N gilt. (b) monoton fllend, wenn n n+1 für lle n N gilt. (c) monoton, wenn sie monoton wchsend oder monoton fllend ist. Für monotone Folgen gilt nun die schon ngekündigte Umkehrung. Stz 3.12 ( Huptstz über monotone Folgen ) () Jede monoton wchsende und (nch oben) beschränkte Folge { n } konvergiert, und zwr gegen := sup A, wobei A := { n n N}.

71 3.2. CAUCHY FOLGEN 67 (b) Jede monoton fllende und (nch unten) beschränkte Folge { n } konvergiert, und zwr gegen := inf A, wobei A := { n n N}. Beweis: Wir beweisen hier nur die Aussge (). Teil (b) knn uf die Behuptung () zurückgeführt werden, indem mn uf die monoton wchsende Folge { n } übergeht. D := sup A die kleinste obere Schrnke für A ist, existiert zu jedem ε > 0 ein N mit ε < N. Die Monotonie von { n } impliziert dher ε < N n für lle n N. Insbesondere hben wir n < ε für lle n N und somit n für n. Wir wollen zum Abschluss den Begriff einer divergenten Folge in R noch etws präzisieren. Definition 3.13 Eine Folge { n } in R heißt () bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen +, wenn es zu jedem K R ein N N gibt mit n > K für lle n N mit n N. (b) bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen, wenn es zu jedem K R ein N N gibt mit n < K für lle n N mit n N. Im Flle einer uneigentlich konvergenten Folge schreiben wir uch lim n n = + bzw. lim n n = und nennen + bzw. den uneigentlichen Grenzwert der Folge { n }. Beispielsweise ist die Folge { n } mit n := n für lle n N bestimmt divergent gegen den uneigentlichen Grenzwert +. Hingegen ist die Folge { n } mit n := ( 1) n für lle n N zwr divergent, ber nicht uneigentlich konvergent gegen + oder. 3.2 Cuchy Folgen Wir beginnen mit der Definition einer Cuchy Folge, die in der Anlysis von zentrler Bedeutung ist. Definition 3.14 Eine Folge { n } in K heißt Cuchy Folge, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt mit n m < ε für lle n, m N mit n, m N. Mit Hilfe des All und Existenzquntors lässt sich die Definition 3.14 uch wie folgt schreiben: { n } ist eine Cuchy Folge : ε > 0 N N n, m N : n m < ε. Dbei bedeutet der Doppelpunkt vor dem Äquivlenzzeichen, dss der uf dieser Seite stehende Begriff durch den uf der nderen Seite stehenden Ausdruck definiert wird. Wir zeigen zunächst, dss jede konvergente Folge stets eine Cuchy Folge ist.

72 68 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Stz 3.15 ( Konvergente Folgen sind Cuchy Folgen ) Sei { n } eine konvergente Folge in K. Dnn ist { n } uch eine Cuchy Folge. Beweis: Nch Vorussetzung existiert der Grenzwert = lim n n. Also existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit n < ε für lle n N. Dies impliziert 2 n m n + m < ε 2 + ε 2 = ε für lle n, m N. Also ist { n } eine Cuchy Folge. Ds Ziel dieses Abschnitts besteht letztlich drin zu zeigen, dss in K {R, C} umgekehrt jede Cuchy Folge uch konvergiert. Dies ist llerdings keineswegs selbstverständlich und hängt schließlich eng zusmmen mit der Vollständigkeit von R (bzw. C). Um die Problemtik zu verdeutlichen, betrchten wir ds folgende Resultt. Stz 3.16 Sei > 0 eine beliebige reelle Zhl. Mit einem Strtwert x 0 > 0 definieren wir eine Folge {x n } rekursiv durch die Vorschrift x n+1 := 1 ) (x n + xn für lle n = 0, 1, 2,.... (3.3) 2 Dnn konvergiert die Folge {x n } gegen die Qudrtwurzel von. Beweis: Durch Induktion zeigt mn sehr leicht, dss x n > 0 gilt für lle n N 0. Insbesondere ist die Folge {x n } durch (3.3) somit wohldefiniert. Wegen ist ußerdem x 2 n = 1 4 Hierus folgt ußerdem ( x n 1 + x n 1 ) 2 = 1 ( x n 1 4 x n für lle n = 1, 2, x n x n+1 = 1 (x 2 n ) 0, 2x n x n 1 ) 2 0 so dss die Folge {x n } b n = 1 monoton fällt. Wegen Stz 3.12 besitzt sie deshlb einen Grenzwert x. Diesen erhlten wir, wenn wir in der Vorschrift (3.3) den Grenzübergng n durchführen: x = 1 ( ) x +. 2 x Auflösen dieser Gleichung nch x liefert x 2 = und somit die Behuptung. Die im Stz 3.16 ngegebene Rekursion (3.3) zur Berechnung der Qudrtwurzel von > 0 ht übrigens einen erheblichen prktischen Nutzen. Tippt mn uf einem Tschenrechner

73 3.2. CAUCHY FOLGEN 69 uf die Wurzeltste, so liefert dieser (fst) sofort eine Näherung für die gesuchte Qudrtwurzel. Aber der Tschenrechner (oder uch Computer) ist beliebig blöd und muss diese Qudrtwurzel erst berechnen. Eine Möglichkeit hierzu besteht in der Ausführung der Vorschrift (3.3) mit zum Beispiel dem Strtwert x 0 :=. Ds Verfhren konvergiert dnn ußerordentlich schnell und benötigt nur sehr wenige Itertionen, um eine hervorrgende Approximtion der gesuchten Qudrtwurzel zu berechnen. Später (in Anlysis II) werden wir sehen, dss die Vorschrift (3.3) gerde ds Newton Verfhren zur Lösung der qudrtischen Gleichung x 2 = 0 drstellt. Dort werden wir uch begründen, wrum ds Verfhren (3.3) so schnell konvergiert. Der Stz 3.16 erlubt ferner eine interessnte theoretische Interprettion: Wählen wir den Strtwert x 0 us der Menge der rtionlen Zhlen Q, so folgt us der Rekursionsvorschrift (3.3) unmittelbr, dss die gesmte Folge {x n } in Q liegt. Hingegen gilt dies nicht notwendig für den Grenzwert. Für = 2 beispielsweise konvergiert die Folge {x n } gegen 2, und dbei hndelt es sich wegen Lemm 1.28 um keine rtionle Zhl. Zusmmenfssend hben wir lso eine Folge {x n } in Q, bei der es sich um eine Cuchy Folge hndelt (denn sie konvergiert in R und ist somit insbesondere eine Cuchy Folge), die ber keinen Grenzwert in Q besitzt! In der Menge der rtionlen Zhlen Q gilt die Umkehrung des Stzes 3.15 somit nicht: Eine Cuchy Folge in Q ist im Allgemeinen nicht konvergent. Dieser unerwünschte Effekt knn in K = R und K = C nicht uftreten. Dzu betrchten wir zunächst den Fll K = R. Unter einem bgeschlossenen Intervll verstehen wir im Folgenden eine Menge der Gestlt I := [, b] := { x R x b }. Eine Intervllschchtelung ist eine Folge von bgeschlossenen Intervllen I 1, I 2, I 3,... mit den beiden folgenden Eigenschften: I n+1 I n für lle n = 1, 2, 3,.... Es gilt I n 0 für n. Dbei bezeichnet I die durch I := b definierte Länge eines Intervlls I = [, b]. Für eine Intervllschchtelung lässt sich nun ds folgende Resultt ls Konsequenz des Vollständigkeitsxioms von R herleiten. Stz 3.17 ( Prinzip der Intervllschchtelung ) Zu jeder Intervllschchtelung in R gibt es genu eine reelle Zhl, die ll ihren Intervllen ngehört (lso im Durchschnitt ller dieser Intervlle liegt). Beweis: Wir müssen in diesem Beweis zwei Dinge zeigen: Zum einen die Existenz eines Elementes, ds im Durchschnitt ller Intervlle liegt, und zum nderen die Eindeutigkeit dieses Elementes. Wir beginnen mit dem Nchweis der Existenz. Sei I n = [ n, b n ] dzu eine beliebige Intervllschchtelung. Dnn ist die Menge A := { 1, 2,...} nch oben beschränkt. Obere Schrnken sind beispielsweise lle b n. Nch Definition 1.31 und Stz 1.32 (R ist vollständig)

74 70 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN existiert die kleinste obere Schrnke s := sup A, für die dnn notwendig n s b n für lle n N gilt. Also ist s I n für lle n N. Wir beweisen ls Nächstes die Eindeutigkeit des Elementes s. Sei dzu s ein zweites Element mit s I n für lle n N. Dnn sind s, s I n für lle n N und dher s s I n 0 für n. Somit gilt zwngsläufig s = s. Sei nun { n } eine Folge in K und {n k } eine streng monoton steigende Folge ntürlicher Zhlen. Dnn heißt die durch k nk, k N, definierte Folge { nk } k N eine Teilfolge von { n }. Ferner bezeichnen wir einen Punkt K ls einen Häufungspunkt der Folge { n }, wenn zu jedem ε > 0 unendlich viele Folgenglieder n mit n < ε existieren. Eine konvergente Folge ht beispielsweise genu einen Häufungspunkt, nämlich ihren Grenzwert. Hingegen ht die beschränkte Folge { 1, +1, 1, +1,...} genu die beiden Häufungspunkte +1 und 1. Ds folgende Resultt klärt den Zusmmenhng zwischen Teilfolgen und Häufungspunkten. Lemm 3.18 ( Chrkterisierung von Häufungspunkten ) Genu dnn ist ein Häufungspunkt einer Folge { n } in K, wenn Grenzwert einer konvergenten Teilfolge { nk } von { n } ist. Beweis: Sei zunächst Grenzwert einer konvergenten Teilfolge { nk } von { n }. Zu jedem ε > 0 existiert dnn ein k 0 N mit nk < ε für lle k k 0, so dss ein Häufungspunkt von { n } ist. Sei umgekehrt Häufungspunkt der Folge { n }. Dnn existiert zu ε = 1 ein n 1 N mit n1 < 1. Anschließend gibt es zu ε = 1 ein n 2 2 > n 1 mit n2 < 1. So 2 fortfhrend erhlten wir zu jedem ε = 1 ein n k k N mit n k > n k 1 und nk < 1. k Dmit konvergiert die so konstruierte Teilfolge { nk } gegen. Wir zeigen jetzt, dss jede beschränkte Folge in K mindestens einen Häufungspunkt in K besitzt. Stz 3.19 ( Stz von Bolzno Weierstrß Version 1 ) Jede beschränkte Folge { n } in K besitzt mindestens einen Häufungspunkt. Beweis: Wir betrchten zunächst den Fll K = R. Zu der dnn reellen Folge { n } definieren wir rekursiv eine Intervllschchtelung {[A k, B k ]} derrt, dss für jedes k N gilt: n [A k, B k ] für unendlich viele n N. Wir beginnen mit einem Intervll [A 1, B 1 ], welches lle n enthält. Ein solches Intervll existiert ufgrund der vorusgesetzten Beschränktheit von { n }. Nehmen wir n, dss wir bereits ein Intervll [A k, B k ] mit der gewünschten Eigenschft hben. Sei dnn M k :=

75 3.2. CAUCHY FOLGEN 71 1 (A 2 k + B k ) der Mittelpunkt des Intervlls [A k, B k ]. Dnn enthält mindestens eines der beiden Teilintervlle [A k, M k ] und [M k, B k ] unendlich viele Folgenglieder von { n }. Wir setzen dher { [Ak, M [A k+1, B k+1 ] := k ], flls n [A k, M k ] für unendlich viele n N, [M k, B k ], nderenflls. Ddurch ist offenbr eine Intervllschchtelung definiert. Der Stz 3.17 grntiert jetzt, dss es genu ein R gibt, ds in llen Intervllen [A k, B k ] liegt. Sei nun ε > 0 beliebig gegeben. Wegen [A k, B k ] = B k A k 0 existiert dnn ein k N mit [A k, B k ] < ε. Per Konstruktion liegen unendlich viele Folgenglieder n in dem Intervll [A k, B k ]. Für lle diese Folgenglieder gilt offenbr n B k A k < ε, so dss in der Tt ein Häufungspunkt von { n } ist. Sei nun K = C die Menge der komplexen Zhlen und { n } somit eine Folge komplexer Zhlen. Wir schreiben dnn n = b n +ic n mit b n, c n R. Mit { n } sind dnn uch die beiden reellen Folgen {b n } und {c n } beschränkt, vergleiche Stz 1.41 (e). Durch Anwendung des ersten Beweisteils uf die Folge {b n } erhlten wir wegen Lemm 3.18 die Existenz einer konvergenten Teilfolge {b nk } von {b n }. Mit {c n } ist ntürlich uch die zugehörige Teilfolge {c nk } beschränkt und besitzt ebenflls ufgrund des ersten Beweisteils und dem Lemm 3.18 eine weitere konvergente Teilfolge, etw {c nkl }. Die Teilfolge { nkl } von { n } ist dher konvergent in C, so dss die Behuptung us dem Lemm 3.18 folgt. Im Hinblick uf ds Lemm 3.18 lässt sich der Stz von Bolzno Weierstrß uch wie folgt formulieren. Stz 3.20 ( Stz von Bolzno Weierstrß Version 2 ) Jede beschränkte Folge { n } in K besitzt eine konvergente Teilfolge { nk }. Nch dem Stz 3.19 von Bolzno Weierstrß besitzt jede beschränkte Folge {x n } in K mindestens einen Häufungspunkt. Sei H die Menge ller Häufungspunkte von {x n }. Speziell für K = R existieren wegen der Vollständigkeit der reellen Zhlen die beiden Werte ξ := inf H und η := sup H. Wir nennen ξ den Limes inferior und η den Limes superior von {x n }. Hierbei werden die Schreibweisen ξ = lim inf n n oder ξ = lim n x n und η = lim sup x n oder η = lim n x n n verwendet. Mn verifiziert reltiv leicht die folgenden Aussgen über den Limes inferior und den Limes superior:

76 72 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Es ist stets lim inf n x n lim sup n x n. Die beschränkte Folge {x n } konvergiert genu dnn, wenn lim inf n x n = lim sup n x n gilt. Ist {x n } konvergent, so gilt lim n x n = lim inf n x n = lim sup n x n. Es ist lim inf n x n der kleinste und lim sup n x n der größte Häufungspunkt von H (d.h., ξ und η liegen in H). Äquivlente Definitionen des Limes inferior und Limes superior sind lim inf x ( n := lim inf{xk k n} ) und n n ( lim sup x n := lim sup{xk k n} ). n n Diese Definitionen hben den Vorteil, dss sie uch für unbeschränkte Folgen sinnvoll sind, d jetzt uch die uneigentlichen Limites + und vorkommen können. Auf den letzten der obigen Punkte soll hier noch forml eingegngen werden. Lemm 3.21 Seien {x n } R eine gegebene Folge und der Limes inferior bzw. der Limes superior definiert durch lim inf x ( n := lim inf{xk k n} ) und n n lim sup n Dnn gelten die folgenden Aussgen: x n := lim n ( sup{xk k n} ). () lim inf n x n und lim sup n x n existieren stets in R {± }. (b) Ist die Folge {x n } beschränkt, so ist der Limes inferior (superior) der kleinste (größte) Häufungspunkt von {x n }. Beweis: () Wir beweisen die Aussge nur für den Limes superior. Setze dzu y n := sup{x k k n} für n N. Dnn ist die Folge {y n } monoton fllend (und z.b. durch x 1 nch unten beschränkt) oder +. Dher existiert der Grenzwert lim n y n stets im eigentlichen oder uneigentlichen Sinn. Gemäß Definition ist lim n y n = lim n ( sup{xk k n} ) ber gerde der Limes superior von {x n }. (b) Wir verifizieren uch hier nur die Aussge für den Limes superior. Sei lso {x n } eine beschränkte Folge, so dss ufgrund des Stzes 3.19 von Bolzno Weierstrß die Menge der Häufungspunkte nichtleer ist. Nch Teil () existiert x := lim sup n x n. Im Beweis von Teil () wurde ußerdem gezeigt, dss die dort definierte Folge {y n } gegen x konvergiert (und zwr im eigentlichen Sinn, d {x n } hier ls beschränkt vorusgesetzt wurde). Gemäß Definition von y n existiert stets ein zugehöriges n k N mit y n x nk, so dss die < 1 n

77 3.2. CAUCHY FOLGEN 73 Teilfolge {x nk } ebenflls gegen x konvergiert. Aufgrund des Lemms 3.18 ist x somit ein Häufungspunkt von {x n }. Wir hben dher nur noch zu zeigen, dss x uch der größte Häufungspunkt von {x n } ist. Sei dzu x ein weiterer Häufungspunkt. Erneut wegen Lemm 3.18 gibt es dnn eine Teilfolge {x nk } von {x n } mit lim k x nk = x. Dnn ist y nk = sup{x l l n k } x nk. D die Teilfolge {y nk } ebenflls gegen den Grenzwert x der Gesmtfolge {y n } konvergiert, erhlten wir hierus unter Verwendung von Stz 3.9 sofort x = lim k y nk lim k x nk = x. Folglich ist x in der Tt der größte Häufungspunkt der Folge {x n }. Wir kommen nun zu der ngekündigten Umkehrung des Stzes Stz 3.22 ( Konvergenzkriterium von Cuchy ) Jede Cuchy Folge { n } in K ist konvergent. Beweis: Wir zeigen zuerst, dss die Cuchy Folge { n } beschränkt ist. Zunächst gibt es zu ε = 1 ein N N mit n m < 1 für lle n, m N. Speziell für m = N folgt hierus unter Verwendung der inversen Dreiecksungleichung n N + 1 für lle n N. Also ist n K := mx { 1, 2,..., N 1, N + 1 } für lle n N, und die Folge { n } somit beschränkt. Nch dem Stz 3.19 von Bolzno Weierstrß besitzt { n } dher eine konvergente Teilfolge { nk }. Sei der Grenzwert dieser Teilfolge. Wir zeigen jetzt, dss bereits die gesmte Folge { n } gegen konvergiert. Sei dzu ε > 0 beliebig gegeben. D { n } eine Cuchy Folge ist, existiert ein N N mit n m < ε 2 für lle n, m N. Ferner gibt es ein n k N mit nk < ε 2. Für n N folgt dher n n nk + nk < ε. Dies beweist die Konvergenz der gesmten Folge { n } gegen. Wir beschließen diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen zum beweistechnischen Vorgehen. Die Idee dieses Abschnitts bestnd im Prinzip in der Verifiktion der folgenden Impliktionen in dem rchimedisch geordneten Körper R: Supremumseigenschft (Vollständigkeit von R) Prinzip der Intervllschchtelung Stz von Bolzno Weierstrß Konvergenzkriterium von Cuchy.

78 74 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Nun knn mn us dem Konvergenzkriterium von Cuchy und dem Prinzip von Archimedes (siehe Definition 1.25) wiederum die Supremumseigenschft von R herleiten, vergleiche [3]. Dmit sind lle diese Prinzipien in einem (rchimedisch) geordneten Körper letztlich äquivlent zu der Vollständigkeit von R. Alterntiv lssen sich die reellen Zhlen uch durch Folgen rtionler Zhlen herleiten, siehe [4] für die Einzelheiten. Der Stz von Bolzno Weierstrß und ds Konvergenzkriterium von Cuchy gelten sogr in C, während sich die Supremumseigenschft und ds Prinzip der Intervllschchtelung in C gr nicht formulieren lssen, d C kein geordneter Körper ist. 3.3 Unendliche Reihen Sei { n } n N eine Folge von Zhlen us K. Dnn heißt s n := n k, n N 0 k=0 die n-te Prtilsumme und die Folge {s n } wird ls (unendliche) Reihe bezeichnet. Hierfür schreiben wir uch k. (3.4) k=0 Die Reihe (3.4) heißt konvergent, wenn die zugehörige Folge {s n } der Prtilsummen konvergiert. In diesem Fll bezeichnet mn den Grenzwert der Reihe ebenflls mit dem Symbol (3.4). Dieses ht somit zwei Bedeutungen: die Folge { n k=0 k} n N der Prtilsummen im Fll der Konvergenz den Grenzwert lim n n k=0 k. Sttt (3.4) benutzt mn uch die Schreibweise für die unendliche Reihe (3.4). Etws llgemeiner wird uch jeder Ausdruck der Gestlt k=k 0 k mit einem beliebigen k 0 N oder sogr k 0 Z ls eine (unendliche) Reihe bezeichnet. Die Summtion muss lso nicht bei k = 0 beginnen. Mn bechte in diesem Zusmmenhng llerdings, dss die Hinzunhme oder Wegnhme von endlich vielen Summnden nichts n der Konvergenz der Reihe (lso der Folge ihrer Prtilsummen) ändert, sehr wohl jedoch den Grenzwert. Konvergiert die Reihe k=1 k

79 3.3. UNENDLICHE REIHEN 75 beispielsweise gegen einen Grenzwert und ist 0 = 1, so konvergiert die Reihe k=0 offenbr gegen den Grenzwert + 1. Wir betrchten zunächst einige Beispiele. 1. Hier ist die n-te Prtilsum- k(k+1) Beispiel 3.23 me gegeben durch k () Wir untersuchen die Reihe k=1 s n = n k=1 1 k(k + 1) = n n + 1, wie mn leicht durch vollständige Induktion nch n beweist. Wegen lim n s n = 1 (vergleiche Beispiel 3.4 (d)) konvergiert diese Reihe, und es gilt k=1 1 k(k + 1) = 1. Mn bechte übrigens, dss die Summtion in dieser Reihe bei k = 1 beginnt. Für k = 0 wäre der Ausdruck uch gr nicht definiert. 1 k(k+1) (b) Die hrmonische Reihe 1 k=1 divergiert, denn für beliebiges k N und n k 2k gilt s n = n ( ) + 4 ( ) ( k k = 1 + k k k ) Also gilt s n für n. Eine besonders wichtige Reihe wird in dem folgenden Resultt besprochen. Stz 3.24 ( Geometrische Reihe ) Sei x K mit x < 1 beliebig gegeben. Dnn konvergiert die geometrische Reihe k=0 xk und besitzt den Grenzwert x k = 1 1 x. k=0

80 76 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Beweis: Für die zugehörigen Prtilsummen gilt wegen Stz 1.11 (der offenbr uch für komplexe Zhlen gilt und deshlb hier benutzt werden drf) s n = n k=0 x k = 1 xn+1 1 x. Nch Beispiel 3.4 (f) ist ber x n+1 0 für n wegen x < 1. Also folgt lim n s n = 1. 1 x Mn bechte, dss der Stz 3.24 nicht nur die Konvergenz der geometrischen Reihe grntiert, sondern gleichzeitig uch eine einfche Formel für den Grenzwert liefert. Dies wird sich häufig noch ls sehr nützlich erweisen. So folgt für x = 1 zum Beispiel 2 ( ) k 1 = = = 2, (3.5) 2 k=0 während mn für x = 1 den Wert 2 ( 1 ) k = ±... = 1 1 ( 1) = k=0 erhält. Hätten Sie ds vorher gewusst? Philosophen bringen gerne die Geschichte vom Wettrennen zwischen Hse und Igel. Der Igel bekommt einen gewissen Vorsprung, beispielsweise von einem Meter. Sobld der schneller lufende Hse diesen ersten Meter zurückgelegt ht, ist der Igel bereits etws weiter. Ht der Hse uch diese Stelle erreicht, ist der Igel erneut ein Stück weiter usw. Es scheint lso so zu sein, dss der Igel immer vor dem Hsen ist und somit ds Wettrennen gewinnt. Dies widerspricht ntürlich jeder Anschuung! Die Lösung liegt in der geometrischen Reihe. Nehmen wir n, der Hse lufe doppelt so schnell wie der Igel. Sobld der Hse den einen Meter Vorsprung ufgeholt ht, befindet sich der Igel noch 50 Zentimeter vor ihm. Läuft der Hse diese 50 Zentimeter, beträgt der Vorsprung des Igels nur noch 25 Zentimeter usw. Wegen (3.5) wird der Hse den Igel bereits nch zwei Metern eingeholt hben. Ds entspricht genu unserer Vorstellung. Der Irrtum der Philosophen liegt letztlich drin begründet, dss mn durch Summtion von unendlich vielen positiven Zhlen sehr wohl einen endlichen Wert erhlten knn. Wir zeigen ls Nächstes, dss Summen und Vielfche von konvergenten Reihen ebenflls konvergieren. Stz 3.25 ( Rechenregeln für konvergente Reihen ) Seien k=0 k und k=0 b k zwei konvergente Reihen in K und λ K beliebig gegeben. Dnn sind uch die Reihen ( k + b k ), ( k b k ) und (λ k ) k=0 k=0 k=0

81 3.3. UNENDLICHE REIHEN 77 konvergent, und für ihre Grenzwerte gelten ( k ± b k ) = k ± b k und (λ k ) = λ k. k=0 k=0 k=0 k=0 k=0 Beweis: Seien c n := n k=0 k und d n := n k=0 b k die n-ten Prtilsummen der beiden gegebenen Reihen. Dnn ist n ( k + b k ) = k=0 n n k + b k = c n + d n k=0 k=0 für lle n N. Aus dem Stz 3.7 folgt dher k=0 ( k + b k ) = lim n (c n + d n ) = lim n c n + lim n d n = k + k=0 b k, d es sich sowohl bei {c n } ls uch bei {d n } um konvergente Folgen hndelt. Die verbleibenden Aussgen können nlog bewiesen werden. k=0 Mn bechte, dss sich für ds Produkt zweier konvergenter Reihen kein so einfches Resultt beweisen lässt. Wir kommen hieruf später im Abschnitt 3.5 zurück. Als kleine Anwendung des Stzes 3.25 untersuchen wir die Konvergenz der Reihe 2 k +3 k=0 k=0. D sowohl 4 k folgt dnn k=0 2 k k = k=0 1 ls uch 2 k k=0 ( ) = k 4 k k=0 1 4 k konvergente geometrische Reihen sind, k 4 = 1 1 k = Wir übertrgen jetzt ds Cuchy Kriterium uf die Konvergenz von Reihen. Stz 3.26 ( Konvergenzkriterium von Cuchy ) Die Reihe k=0 k mit k K für lle k N 0 ist genu dnn konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein N N gibt, so dss für lle n > m N die Ungleichung gilt. k=0 m n < ε Beweis: Sei s n := n k=0 k die n-te Prtilsumme der gegebenen Reihe. Wegen Stz 3.22, wonch in K die konvergenten Folgen genu die Cuchy Folgen sind, gilt dnn: Die Reihe k konvergiert. k=0 Die Folge der Prtilsummen {s n } konvergiert.

82 78 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Die Folge der Prtilsummen {s n } ist eine Cuchy Folge. Für lle ε > 0 existiert ein N N mit s n s m < ε für lle n, m N mit (ohne Einschränkung) n > m. Wegen n m s n s m = k k = m n k=0 k=0 folgt us den obigen Äquivlenzen gerde die Behuptung. Aus dem Stz 3.26 ergibt sich beispielsweise sofort, dss die Änderung von endlich vielen Summnden einer Reihe nichts n der Konvergenz oder Divergenz der Reihe ändert (wohl ber ihren Grenzwert, sofern die Reihe konvergiert). Als weitere Folgerung us dem Cuchy Kriterium notieren wir ds nchstehende Resultt, welches sich offenbr us dem Stz 3.26 ergibt, indem mn dort speziell n = m + 1 wählt. Korollr 3.27 Ist k=0 k eine konvergente Reihe in K, so gilt lim k k = 0. Mn bechte, dss ds notwendige Konvergenzkriterium us dem Korollr 3.27 nicht hinreichend ist, denn die hrmonische Reihe 1 k=1 genügt zwr der Bedingung lim k k k = 1 lim k = 0, ist ber dennoch divergent. Letzteres wollen wir noch einml ls Anwendung k des Cuchy Kriteriums verifizieren. Dzu wählen wir speziell die Indizes n und 2n. Dnn folgt 2n 1 s 2n s n = k = 1 n n n 1 2n = 1 2, k=n+1 so dss die Folge der Prtilsummen {s n } keine Cuchy Folge sein knn und die hrmonische Reihe somit divergiert. Als eine weitere Konsequenz des Konvergenzkriteriums von Cuchy erhlten wir unser nächstes Korollr, wonch die Reihenreste von konvergenten Reihen beliebig klein werden. Korollr 3.28 Ist k=0 k eine konvergente Reihe in K, so gilt lim n r n = 0 für die Reste r n := k=n+1 k. Beweis: Wegen Stz 3.26 existiert ein N N mit m n < ε für lle n, m N mit n > m. Speziell für n folgt hierus k=m+1 k ε

83 3.3. UNENDLICHE REIHEN 79 und dher lim m r m = 0. Für eine (reelle) Reihe mit nichtnegtiven Gliedern gilt ds nchstehende Konvergenzkriterium. Stz 3.29 Eine Reihe k=0 k mit k 0 für lle k N 0 konvergiert genu dnn, wenn die Reihe (lso die Folge der Prtilsummen) beschränkt ist. Beweis: Wegen k 0 für lle k N 0 ist die Folge der Prtilsummen {s n } mit s n = n monoton wchsend. Die Behuptung folgt dher sofort us dem Huptstz 3.12 über monotone Folgen. D die Abänderung von endlich vielen Gliedern k einer Reihe k=0 k deren Konvergenz nicht ändert, bleibt die Aussge des Stzes 3.29 erhlten, wenn nur k 0 für lle k N mit einem hinreichend großen N N gilt. Für Reihen mit einem bwechselnden Vorzeichen der Reihenglieder k gilt folgendes Resultt. Stz 3.30 ( Leibniz Kriterium für lternierende Reihen ) Sei { k } eine monoton fllende Nullfolge in R (insbesondere gelte lso k 0 für lle k N). Dnn konvergiert die Reihe k=0 ( 1)k k, und für ihren Grenzwert s := k=0 ( 1)k k gilt die Abschätzung für lle n N. s n ( 1) k k n+1 k=0 Beweis: Wir betrchten die beiden Prtilsummen s 2k = 2k n=0 und klmmern diese in der Gestlt 2k+1 ( 1) n n und s 2k+1 = ( 1) n n n=0 s 2k = 0 ( 1 2 ) ( 3 4 )... ( 2k 1 2k ), s 2k+1 = ( 0 1 ) + ( 2 3 ) ( 2k 2k+1 ). Aus n n+1 für lle n N folgt dnn s 2k s 2k+2, s 2k 1 s 2k+1, 0 s 2k+1 s 2k 0.

84 80 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Die Folge {s 2k } ist somit monoton fllend und nch unten beschränkt, während die Folge {s 2k+1 } monoton steigt und nch oben beschränkt ist. Nch dem Huptstz 3.12 über monotone Folgen konvergieren dher sowohl {s 2k } ls uch {s 2k+1 }. Wegen s 2k+1 s 2k = 2k+1 0 besitzen sie ußerdem denselben Grenzwert s. Hierus folgert mn sehr leicht, dss die gesmte Folge {s n } der Prtilsummen (und per Definition dher die unendliche Reihe k=0 ( 1)k k ) gegen s konvergiert. Zum Beweis der Abschätzung erinnern wir nochmls drn, dss {s 2n } monoton fllend und {s 2n+1 } monoton wchsend gegen den gemeinsmen Grenzwert s konvergieren. Also gilt s 2n+1 s s 2n für lle n N. Hierus folgt einerseits s s 2n+1 = s s 2n+1 s 2n+2 s 2n+1 = 2n+2 und ndererseits womit lles bewiesen ist. s s 2n = s 2n s s 2n s 2n+1 = 2n+1, Aus dem Stz 3.30 folgt beispielsweise sofort die Konvergenz der lternierenden hrmonischen Reihe ( 1) k+11 k = k=1 Ebenso erhält mn die Konvergenz der Leibniz Reihe k=0 ( 1) k 1 2k + 1 = Hingegen lässt sich us dem Leibniz Kriterium nicht direkt der Grenzwert bestimmen. Mn erhält lediglich Abschätzungen für den Grenzwert s, indem mn (evtl. mühsm) die Prtilsummen berechnet und dnn mittels des nächsten Reihengliedes n+1 vergleichen knn, wie dicht die Prtilsummen bereits n s liegen. 3.4 Absolut konvergente Reihen Wir definieren jetzt einen etws stärkeren Konvergenzbegriff für unendliche Reihen. Definition 3.31 Eine Reihe k=0 k in K heißt bsolut konvergent, wenn die Reihe k=0 k konvergiert. Jede bsolut konvergente Reihe ist insbesondere konvergent, ws wir in dem folgenden Resultt notieren.

85 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 81 Stz 3.32 ( Absolut konvergente Reihen sind konvergent ) Ist die Reihe k=0 k in K bsolut konvergent, so konvergiert sie uch, und es gilt k k. k=0 Beweis: Sei k=0 k bsolut konvergent. Wähle n > m. Aus der verllgemeinerten Dreiecksungleichung folgt dnn n n k k. k=m+1 k=0 k=m+1 Dher ergibt sich die Behuptung us dem Konvergenzkriterium 3.26 von Cuchy. Die Umkehrung des Stzes 3.32 gilt im Allgemeinen nicht, denn wir wissen bereits, dss beispielsweise die lternierende hrmonische Reihe k=1 ( 1)k+1 1 konvergiert, dss diese k ber nicht bsolut konvergieren knn, d wir sonst die Konvergenz der hrmonischen Reihe 1 k=1 erhlten würden. k Ein wichtiges Hilfsmittel für den Nchweis der bsoluten Konvergenz einer Reihe ist ds nchstehende Mjorntenkriterium. Stz 3.33 ( Mjorntenkriterium ) Seien k=0 c k eine konvergente Reihe mit luter nichtnegtiven Reihengliedern c k und { k } eine Folge in K mit k c k für lle k N hinreichend groß. Dnn ist die Reihe k=0 k bsolut konvergent. Beweis: Sei ε > 0 beliebig gegeben. Nch Vorussetzung und dem Konvergenzkriterium 3.26 von Cuchy existiert dnn ein N N mit n c k < ε für lle n m N. Dher ist n k k=m k=m n c k = k=m n c k < ε für lle n m N. k=m Also konvergiert die Reihe k=0 k wegen Stz 3.26, d.h., die Reihe k=0 k ist bsolut konvergent. Als Anwendung des Stzes 3.33 beweisen wir die (bsolute) Konvergenz der Reihe 1 k=1 k n für lle n 2. Dzu verwenden wir die uns us dem Beispiel 3.23 beknnte Ttsche, dss die Reihe k=1 Wegen 1 konvergiert. Wegen Stz 3.25 ist dnn uch k(k+1) k=1 1 k 1 n k 2 2 k(k + 1) für lle n 2 und lle k 1 2 konvergent. k(k+1)

86 82 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN ergibt sich us dem Mjorntenkriterium unmittelbr die (bsolute) Konvergenz der Reihe 1 k=1 für jedes n 2. k n Aus dem Mjorntenkriterium ergibt sich sehr leicht ein hinreichendes Kriterium für die Divergenz einer unendlichen Reihe. Korollr 3.34 ( Minorntenkriterium ) Seien k=0 d k eine divergente Reihe mit nichtnegtiven Reihengliedern d k und { k } eine Folge in K mit k d k für lle k N hinreichend groß. Dnn ist die Reihe k=0 k ebenflls divergent. Beweis: Angenommen, die Reihe k=0 k ist konvergent. Wegen Stz 3.33 ist dnn uch die Reihe k=0 d k (bsolut) konvergent im Widerspruch zu unserer Vorussetzung. Durch geschickte Anwendung des Mjorntenkriteriums in Kombintion mit einer geometrischen Reihe erhlten wir ds folgende hinreichende Kriterium für die bsolute Konvergenz einer Reihe. Stz 3.35 ( Wurzelkriterium ) Seien k=0 k eine gegebene Reihe in K und α := lim sup k k k der größte Häufungspunkt der Folge { k k } k N. Dnn gelten: () Ist α < 1, so konvergiert k=0 k bsolut. (b) Ist α > 1, so divergiert die Reihe k=0 k. Beweis: () Wegen α < 1 existiert eine Zhl q R mit α < q < 1. D α der größte Häufungspunkt von { k k } k N ist, sind fst lle Folgenglieder kleiner ls q. Also existiert ein N N mit k k q für lle k N. Dnn ist k q k für lle k N. Die geometrische Reihe k=0 qk konvergiert ber nch Stz Somit folgt die Behuptung us dem Mjorntenkriterium. (b) Wegen α > 1 gibt es unendlich viele k N mit k k > 1. Für lle diese k ist dher k > 1. Also ist { k } k N keine Nullfolge. Wegen Korollr 3.27 knn die Reihe k=0 k somit nicht konvergieren. Der Limes superior α im Stz 3.35 mg in einigen Fällen schwer berechenbr sein. Oft existiert ber sogr der Limes der Folge { k k }, ws ds Leben mnchml sehr vereinfcht. Häufig knn mn die Berechnung von α gnz vermeiden. Findet mn nämlich eine Zhl q (0, 1) mit k k q für fst lle k N, so liefert der Stz 3.35 sofort die bsolute Konvergenz der Reihe k=0 k, denn in diesem Fll gilt ntürlich α = lim sup n k k

87 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 83 q. Ist dgegen k k 1 für unendlich viele k N, so knn { k } keine Nullfolge sein, weshlb die Reihe k=0 k divergiert. Wir betrchten ls Nächstes einige Beispiele. Beispiel 3.36 () Im Fll α = 1 ist im Stz 3.35 keine Aussge möglich, d sowohl Konvergenz ls uch Divergenz vorliegen knn. Für die divergente hrmonische Reihe gilt beispielsweise k=1 1 k α = lim sup k k 1 k = lim k 1 k k = 1 nch Beispiel 3.4 (g). Für die lternierende hrmonische Reihe k=1 ( 1)k+1 1 k erhlten wir ebenflls α = 1, und in diesem Fll liegt Konvergenz vor. (b) Die Reihe k 2 k=0 ist (bsolut) konvergent wegen Stz 3.35, denn es gilt 2 k lim k k k = lim k k k 2 2 = 1 2 < 1, wobei wir den Grenzwert k k 2 1 benutzt hben, der sich sofort us dem Beispiel 3.4 (g) ergibt. (c) Die Reihe 1 k=0 ist ebenflls konvergent nch dem Wurzelkriterium, denn es gilt k k lim k k 1 k = lim k k = 0. (d) Die Reihe k := k=0 ist konvergent ufgrund des Wurzelkriteriums. Um dies zu verifizieren, müssen wir im Stz 3.35 ttsächlich den Limes superior berechnen. Es gilt α = lim sup k k k = lim 2k 2k 1 2k = lim k k 2 = 1, k 2 wovon mn sich nch kurzer Überlegung leicht überzeugt. Als weitere Folgerung us dem Mjorntenkriterium sowie der Konvergenz einer gewissen geometrischen Reihe erhlten wir unser nächstes Kriterium für die bsolute Konvergenz einer Reihe.

88 84 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Stz 3.37 ( Quotientenkriterium ) Seien k=0 k eine Reihe in K sowie α := lim sup k k+1 k und α := lim inf k k+1 k der größte bzw. kleinste Häufungspunkt der Folge { k+1 k }, wobei k 0 für lle k N vorusgesetzt sei. Dnn gelten: () Ist α < 1, so konvergiert die Reihe k=0 k bsolut. (b) Ist α > 1, so divergiert die Reihe k=0 k. Beweis: () Wegen α < 1 existieren ein q R mit α < q < 1 und ein N N mit Für beliebiges k > N folgt nun k+1 k q für lle k N. k = k k 1 k 1 k 2... N+1 N q k N N = N N q N qk =: c q k. Dbei ist c := N > 0 eine von k unbhängige Konstnte. Nun ist q N k=0 qk eine konvergente geometrische Reihe. Wegen Stz 3.25 konvergiert dher uch die Reihe k=0 cqk. Also ist k=0 k bsolut konvergent nch dem Mjorntenkriterium. (b) Wegen α > 1 existiert ein N N mit k+1 k für lle k N. Hierus folgt für lle k > N 1 k+1 k... N > 0. Also ist { k } keine Nullfolge. Wegen Korollr 3.27 knn die Reihe k=0 k dher nicht konvergieren. In mnchen Fällen existiert sogr der Grenzwert k+1 lim k k und ist dnn ntürlich gleich dem Limes superior α und dem Limes inferior α im Quotientenkriterium. Ansonsten lässt sich ds Quotientenkriterium sicherlich dnn nwenden, wenn eine Zhl q (0, 1) existiert mit k+1 k q

89 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 85 für fst lle k N, denn dies impliziert offenbr α = lim sup k k+1 k < 1. Wir behndeln kurz einige Beispiele zum Quotientenkriterium. Beispiel 3.38 () Die so gennnte Exponentilreihe k=0 x k k! = 1 + x + x2 2! + x3 3! +... konvergiert für lle x K, denn us dem Quotientenkriterium folgt k+1 k = xk+1 (k + 1)! k! x k = Setzen wir speziell x = 1, so heißt x 0 für k. k + 1 e := k=0 1 k! = ! , ! die Eulersche Zhl. (b) Die gerde eingeführte Eulersche Zhl ist uch Grenzwert der Folge { n } mit n := (1 + 1 n )n, wie wir später noch sehen werden (vergleiche Lemm 6.11). Benutzen wir diese Ttsche bereits n dieser Stelle, so folgt us dem Quotientenkriterium die Konvergenz der Reihe k=1 k+1 k = k!, denn es gilt k k ( ) (k + 1)! kk (k + 1) k+1 k! = (k + 1) k k k k (k + 1) (k + 1) = = k k + 1 für k, lso α = lim sup k k+1 k < 1. 1 (1 + 1 k )k 1 e (c) Gilt im Quotientenkriterium α 1 oder α 1, so ist keine Aussge über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe möglich. Beispielsweise gilt für die beiden schon beknnten Reihen k=1 1 k 2 und offenbr α = α = lim k k+1 k = 1, ber die erste Reihe konvergiert und die zweite Reihe divergiert. k=1 1 k

90 86 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN (d) Betrchten wir noch einml die Reihe so gilt , α = lim inf k α = lim sup k k+1 k k+1 k = lim k = lim k ( 1 3 k ) ( 1 k ) = 2 lim 2 ( k+1 1 ) ( 2 k 1 ) = lim k 3 k ( 3 2 ( ) k 2 = 0 und 3 ) k = +. Mittels des Quotientenkriteriums ist dher keine Aussge über die Konvergenz oder Divergenz dieser Reihe möglich, während us dem Wurzelkriterium die Konvergenz folgte. Sei jetzt k=0 k eine beliebige Reihe. Ist τ : N N eine bijektive Abbildung, so nennen wir k=0 τ(k) eine Umordnung der gegebenen Reihe. Sie besteht lso us denselben Summnden, nur in einer nderen Reihenfolge. Anders ls bei endlichen Summen ist es bei konvergenten Reihen nicht ohne weiteres klr, dss sie bei Umordnung wieder konvergieren und möglichst denselben Grenzwert hben. Ttsächlich ist dies im Allgemeinen nicht richtig. Als Beispiel betrchten wir die (nch Leibniz) konvergente Reihe sowie ihre Umordnung (3.6) ±..., (3.7) 6 bei der zwei positive Terme jeweils von einem negtiven Summnden gefolgt werden. Bezeichnet s den Grenzwert der lternierenden hrmonischen Reihe (3.6), so gilt s < = 5 6, denn in den verbleibenden Summnden wird (mn fsse sie prweise zusmmen) stets mehr bgezogen ls hinzuddiert. Wegen 1 4k k 1 1 2k > 0 für lle k 1 gilt für die Prtilsummen s n der umgeordneten Reihe in (3.7) jedoch s 3 < s 6 < s 9 <..., worus sich lim sup s n > s 3 = 5 n 6 ergibt, so dss die Reihe us (3.7) sicherlich nicht gegen s konvergiert. Wir zeigen nun, dss dieses Phänomen bei bsolut konvergenten Reihen (zu denen jene us (3.6) nicht gehört) nicht uftreten knn.

91 3.4. ABSOLUT KONVERGENTE REIHEN 87 Stz 3.39 ( Umordnungsstz ) Sei k=0 k eine bsolut konvergente Reihe. Dnn konvergiert uch jede Umordnung dieser Reihe, und zwr gegen denselben Grenzwert. Beweis: Sei τ : N N eine die Umordnung beschreibende bijektive Abbildung. Sei ferner s der Grenzwert der (bsolut) konvergenten Reihe k=0 k. Dnn hben wir lim m m τ(k) = s k=0 zu zeigen. Sei dzu ε > 0 beliebig gegeben. Nch Vorussetzung ist die Reihe k=0 k konvergent. Wegen Korollr 3.28 existiert dnn ein n 0 N mit k=0 k=n 0 k < ε 2. Mit Stz 3.32 folgt hierus n0 1 s k = k=n 0 k Wähle N N jetzt hinreichend groß, so dss gilt. Dnn heben sich in der Differenz k=n 0 k < ε 2. {0, 1,..., n 0 1} {τ(0), τ(1),..., τ(n)} N τ(k) k=0 lle Summnden k mit k {0, 1,..., n 0 1} gegenseitig uf. Aus diesem Grunde folgt für lle m N die Abschätzung m τ(k) s k=0 m τ(k) k=0 n 0 1 k=0 k + ε 2 k=n 0 < ε, k n 0 1 k=0 n 0 1 k + k s lso k=0 τ(k) = s. k=0

92 88 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN 3.5 Multipliktion von Reihen Stellen wir uns die Aufgbe, zwei endliche Summen A m := m und B n := b 0 + b b n miteinnder zu multiplizieren, wobei i, b j K gegebene Zhlen sind, so hben wir zuerst lle Produkte 0 b 0 0 b 1 0 b n 1 b 0 1 b b n m b 0 m b 1 m b n zu bilden und nschließend in einer (wegen des in K geltenden Kommuttivgesetzes) beliebigen Reihenfolge zu ddieren. Sortieren wir diese insgesmt l := (m + 1)(n + 1) Produkte in irgendeiner Reihenfolge c 0, c 1,...,c l 1, so ist l 1 c k = A m B n. k=0 Wir verllgemeinern jetzt die Problemstellung und betrchten zwei konvergente Reihen A = i und B = i=0 b j (3.8) j=0 mit gewissen Zhlen i, b j K. Wollen wir diese beiden Reihen miteinnder multiplizieren, so hben wir in Anlogie zu den obigen Ausführungen wieder lle Produkte 0 b 0 0 b 1 0 b 2 1 b 0 1 b 1 1 b 2 2 b 0 2 b 1 2 b zu bilden und nschließend geeignet ufzudtieren. Dzu ordnen wir diese unendlich vielen Produkte wieder in irgendeiner Reihenfolge zu einer Folge c 0, c 1, c 2,... und müssen uns nschließend die beiden folgenden Frgen stellen, die im Flle von endlichen Summen gr nicht uftrten: konvergiert die Produktreihe k=0 c k?

93 3.5. MULTIPLIKATION VON REIHEN 89 Wenn j, gilt dnn k=0 c k = A B? Wir wissen bereits, dss bei einer konvergenten Reihe, die jedoch nicht bsolut konvergiert, die Umordnung der Summnden eine große Auswirkung uf die Konvergenz einer solchen Reihe hben knn. Insofern knn es sein, dss nur für gewisse Anordnungen der Produkte zu einer Folge {c k } die zugehörige Reihe k=0 c k konvergiert, und von diesen Anordnungen vielleicht nur für einige die Grenzwertbeziehung k=0 c k = A B gilt. Wir zeigen im folgenden Stz nun, dss im Flle der bsoluten Konvergenz der beiden Reihen us (3.8) die Produktreihe konvergiert und ds Resultt von der Anordnung unbhängig ist. Stz 3.40 Sind A = i=0 i und B = j=0 b j zwei bsolut konvergente Reihen, so gilt bei jeder Anordnung von {c k } (mit c k wie oben definiert): c k = A B. k=0 Insbesondere ist die Produktreihe lso konvergent. Beweis: Sei {c k } eine beliebige Anordnung der Produkte i b j und C n := c 0 + c c n die n-te Prtilsumme. Ferner bezeichnen wir mit p den höchsten uftretenden Index von i oder b j in C n. Dnn gilt ( n p )( p ) ( )( ) c k i b j i b j < k=0 i=0 j=0 wegen der vorusgesetzten bsoluten Konvergenz der beiden Reihen i=0 i und j=0 b j. Die Reihe k=0 c k ist dher bsolut konvergent. Wegen Stz 3.39 liefern dher lle Anordnungen denselben Grenzwert, den wir mit C bezeichnen wollen. Dmit bleibt nur noch zu zeigen, dss die Grenzwertbeziehung c k = A B k=0 für eine spezielle Anordnung der c k gilt. Zu diesem Zweck betrchten wir die folgende qudrtische Anordnung: i=0 j=0 0 b 0 0 b 1 0 b 2 0 b 3 1 b 0 1 b 1 1 b 2 1 b 3 2 b 0 2 b 1 2 b 2 2 b 3 3 b 0 3 b 1 3 b 2 3 b

94 90 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Wir hben lso c 0 = 0 b 0, c 1 = 1 b 0, c 2 = 1 b 1, c 3 = 0 b 1, c 4 = 2 b 0,... Für die zugehörigen Prtilsummen gilt dnn einerseits (mn vergleiche hierzu ds qudrtische Schem, ds zu Beginn dieses Abschnittes für endliche Summen ufgestellt wurde) und ndererseits c 0 + c c (n+1) 2 1 = ( n )(b 0 + b b n ) ( n )( n ) = i b j i=0 A B j=0 c 0 + c c (n+1) 2 1 C ufgrund des schon beweisenen Teils. Die Eindeutigkeit des Grenzwertes liefert C = A B, womit der Beweis vollständig erbrcht ist. Die vielleicht populärste Anordnung entlng der Digonlen geht uf Cuchy zurück: 0 b 0 0 b 1 0 b 2 0 b 3 0 b n... ր ր ր ր 1 b 0 1 b 1 1 b 2 ր ր 2 b 0 2 b 1 ր 3 b 0. ր n b 0. Setzen wir n d n := n b 0 + n 1 b b n = n i b i i=0 für die Summe in einer Digonlen, so heißt ( n ) d n = n i b i n=0 n=0 i=0 (3.9) ds Cuchy Produkt der beiden Reihen i=0 i und j=0 b j. Nch Stz 3.40 ist dieses konvergent, sofern die beiden Reihen i=0 i und j=0 b j bsolut konvergieren.

95 3.6. POTENZREIHEN Potenzreihen Viele wichtige Funktionen werden über so gennnte Potenzreihen definiert, die wir us diesem Grunde in der nchstehenden Definition einführen wollen. Dbei soll K weiterhin ls Abkürzung für R oder C stehen. Definition 3.41 Ist { n } K eine gegebene Folge und z 0 K ein gegebener Punkt, so heißt P(z) := n (z z 0 ) n (3.10) Potenzreihe mit Entwicklungspunkt z 0. Als Entwicklungspunkt tritt häufig der Nullpunkt uf, so dss wir P(z) = n z n n=0 n=0 ls Potenzreihe erhlten. Ansonsten stellt jede Potenzreihe für ein festes z K eine gewöhnliche Reihe dr, die in diesem Punkt z konvergieren knn oder uch nicht. Konvergiert die Potenzreihe P(z) us (3.10) für lle z D mit einer gewissen Menge D K, so erhlten wir durch die Zuordnung P : D K, z P(z) eine wohldefinierte Abbildung. Wir hben dher die Menge D näher zu bestimmen. Im Entwicklungspunkt z = z 0 gilt stets P(z 0 ) = 0, insbesondere liegt lso Konvergenz vor. Für z z 0 ist die Sitution weitus weniger klr und soll im Folgenden näher untersucht werden. Ein erstes wichtiges Resultt in dieser Richtung ist in dem nchstehenden Stz enthlten. Stz 3.42 Gegeben sei eine Potenzreihe P(z) = n=0 n(z z 0 ) n. Dnn gelten: () Konvergiert die Reihe n einer Stelle z 1 z 0, so konvergiert sie bsolut für lle z K mit z z 0 < z 1 z 0. (b) Divergiert die Reihe n einer Stelle z 2, so divergiert sie für lle z K mit z z 0 > z 2 z 0. Beweis: () Sei P n einer Stelle z 1 z 0 konvergent und z K ein beliebiger Punkt mit z z 0 < z 1 z 0. Aus der Konvergenz von P(z 1 ) = n=0 n(z 1 z 0 ) n folgt mit dem Stz 3.27 sofort lim n n (z 1 z 0 ) n = 0. Also existiert ein M > 0 mit n (z 1 z 0 ) n M für lle n N. Hierus folgt n (z z 0 ) n = n (z 1 z 0 ) n n z z 0 z 1 z 0 M z z 0 n = M q n. z 1 z }{{ 0} =:q

96 92 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Wegen q < 1 ist die Reihe M n=0 qn konvergent und stellt somit eine konvergente Mjornte für die Potenzreihe P im Punkt z dr. Wegen Stz 3.33 ist P(z) := n=0 n(z z 0 ) n dher bsolut konvergent. (b) Die Potenzreihe P divergiere in einem Punkt z 2 K. Ist z K dnn ein weiterer Punkt mit z z 0 > z 2 z 0 und würde die Potenzreihe P in diesem Punkt konvergieren, so müsste sie nch Teil () uch in dem Punkt z 2 (bsolut) konvergieren, ws ber einen Widerspruch zu unserer Vorussetzung drstellt. Also ist P(z) divergent. Die geometrische Deutung des Stzes 3.42 lutet wie folgt: Konvergiert die gegebene Reihe n einer Stelle z 1 z 0, so konvergiert sie (sogr bsolut) uch in llen Punkten z, deren Abstnd zum Entwicklungspunkt z 0 kleiner ist ls der Abstnd von z 1 zun z 0. Divergiert die Reihe hingegen in einem Punkt z 2, so divergiert sie uch in jedem Punkt z, dessen Abstnd zum Entwicklungspunkt z 0 größer ist ls der Abstnd von z 2 zu z 0. Wir betrchten ls kleines Beispiel zum Stz 3.42 die Potenzreihe P(z) := n=0 z n n + 1 (3.11) mit Entwicklungspunkt z 0 = 0. Nch dem Leibniz Kriterium ist diese Reihe in z = 1 konvergent. Nch dem Stz 3.42 konvergiert sie dher (sogr bsolut) für lle z K mit z < 1. Für jedes z K mit z > 1 hingegen divergiert sie, denn gäbe es ein z 1 K mit z 1 > 1, so dss die Potenzreihe P in z 1 konvergieren würde, so müsste sie erneut wegen Stz 3.42 uch in z = 1 konvergieren, ws ber nicht sein knn, d P(1) = die hrmonische Reihe ist, welche beknntlich divergiert. Mit Hilfe des Stzes 3.42 erhlten wir jetzt ein entscheidendes Ergebnis über ds Konvergenzverhlten einer Potenzreihe. Stz 3.43 ( Konvergenzrdius einer Potenzreihe ) Für jede Potenzreihe P(z) := n=0 n(z z 0 ) n existiert eine eindeutig bestimmte Zhl R mit 0 R +, so dss die beiden folgenden Aussgen gelten: () Für lle z K mit z z 0 < R ist die Potenzreihe P(z) bsolut konvergent. (b) Für lle z K mit z z 0 > R ist die Potenzreihe P(z) divergent. Die Zhl R heißt Konvergenzrdius der Potenzreihe P. Beweis: Wir setzen R := sup { r R r = z z 0, n (z z 0 ) n konvergiert }. n=0

97 3.6. POTENZREIHEN 93 Dnn können die drei Fälle R = 0, R (0, ) und R = + eintreten. Für R = 0 konvergiert die Potenzreihe nur im Entwicklungspunkt z 0 und für R = + in llen z K, so dss lediglich der Fll R (0, ) zu untersuchen bleibt. Betrchte zunächst den Fll (), wo ein z K mit z z 0 < R vorliegt. Dnn existiert ein z 1 mit z z 0 < z 1 z 0 < R. Nch Definition von R konvergiert die Potenzreihe P in z 1. Wegen Stz 3.42 ist sie dher sogr bsolut konvergent in z. Im Fll (b) hingegen liegt ein z K vor mit z z 0 > R, so dss die Divergenz der Potenzreihe P in diesem Punkt z unmittelbr us der Definition von R folgt. Anschulich besgt der Stz 3.43 (vergleiche die Abbildung 3.1), dss mn jeder Potenzreihe eine eindeutig bestimmte Zhl R [0, + ] zuordnen knn derrt, dss die Potenzreihe innerhlb des Kreises vom Rdius R um den Entwicklungspunkt z 0 konvergiert (sogr bsolut) und ußerhlb dieses Kreises divergiert. Mn bechte llerdings, dss der Stz 3.43 in dem interessnten Fll R (0, ) nichts über die Konvergenz oder Divergenz der Potenzreihe P uf dem Rnde dieses Kreises ussgt, lso in solchen Punkten z K mit z z 0 = R. Ttsächlich knn für solche z sowohl Konvergenz ls uch Divergenz vorliegen. Ds Beispiel der Potenzreihe (3.11) verdeutlicht dies: Aus der zugehörigen Diskussion folgt, dss diese Potenzreihe den Konvergenzrdius R = 1 besitzt. In dem Rndpunkt z = 1 des Konvergenzkreises konvergierte die Potenzreihe (llerdings nicht bsolut), während in dem Rndpunkt z = 1 Divergenz vorlg. Potenzreihe divergent R z 0 Potenzreihe konvergent Rnd: keine Konvergenzussge Abbildung 3.1: Ds Konvergenzgebiet einer Potenzreihe Wir geben ls Nächstes zwei Kriterien zur Bestimmung des Konvergenzrdius einer Potenzreihe n. Beide Kriterien bestimmen den Konvergenzrdius usschließlich us den Eigenschften der Folge { n }. Stz 3.44 ( Cuchy Hdmrd ) Der Konvergenzrdius R einer Potenzreihe P(z) := n=0 n(z z 0 ) n ist gegeben durch R = 1 L mit L := lim sup n n n,

98 94 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN wobei wir in diesem Zusmmenhng 1 0 := und 1 := 0 setzen. Beweis: Wir betrchten zunächst den Fll 0 < L < und wählen ein beliebiges z K. Dnn ist L n := lim sup n (z z 0 ) n n = z z 0 lim sup n = z z 0 L n n und dher L { < 1, flls z z0 < 1/L, > 1, flls z z 0 > 1/L. Die Potenzreihe P(z) konvergiert dher für z z 0 < 1/L und divergiert im Fll z z 0 > 1/L ufgrund des Wurzelkriteriums us dem Stz In den verbleibenden Fällen L = 0 und L = ist L = 0 und L = für lle z z 0. Die Potenzreihe P(z) konvergiert dher für lle z K oder für kein z z 0. Ein zweites Kriterium zur Bestimmung des Konvergenzrdius einer Potenzreihe ist in dem folgenden Stz enthlten. Stz 3.45 ( Euler ) Der Konvergenzrdius R einer Potenzreihe P(z) := n=0 n(z z 0 ) n ist gegeben durch R = 1 L mit L := lim sofern dieser Grenzwert existiert. Dbei setzen wir in diesem Zusmmenhng wieder 1 := 0 + und 1 := 0. Beweis: Der Beweis knn nlog zu dem des Stzes 3.44 von Cuchy Hdmrd erfolgen, indem mn n Stelle des Wurzelkriteriums ds Quotientenkriterium us dem Stz 3.37 verwendet. Die Einzelheiten seien dem Leser überlssen. n n+1 n, Ds Kriterium von Euler ist oft einfcher zu hndhben ls jenes von Cuchy Hdmrd. Allerdings ist ds Euler Kriterium nicht immer nwendbr, d der dort ngegebene Grenzwert nicht existieren muss, während der Stz 3.44 stets den gewünschten Konvergenzrdius liefert, wenngleich die Berechnung der dort uftretenden Größe L = lim sup n n n in konkreten Fällen Schwierigkeiten bereiten mg. Wir betrchten einige Beispiele. Beispiel , denn () Die Potenzreihe P(z) := n=0 nn z n ht den Konvergenzrdius R = n L := lim sup n = lim sup n = +, n n so dss die Behuptung us dem Kriterium von Cuchy Hdmrd folgt.

99 3.6. POTENZREIHEN 95 (b) Die Potenzreihe P(z) := n n=0 lim n+1 n = lim z n n! ht den Konvergenzrdius R = + wegen n n! (n + 1)! = lim n 1 n + 1 = 0, so dss die Behuptung us dem Kriterium von Euler folgt. Diese Potenzreihe wird uns später in Form der Exponentilfunktion wieder begegnen. (c) Die Potenzreihe P(z) := n=0 zn ht den Konvergenzrdius R = 1 wegen lim n+1 n n = lim 1 n 1 = 1. Sie divergiert für lle Rndpunkte z mit z = 1, d {z n } dnn keine Nullfolge bildet und somit ds notwendige Konvergenzkriterium us dem Korollr 3.27 nicht erfüllt ist. (d) Die Potenzreihe P(z) := z n n=1 besitzt den Konvergenzrdius R = 1, denn mit n 2 dem Kriterium von Cuchy Hdmrd gilt R = 1/L mit L = lim sup n n n = lim sup n n 1 n = 1. 2 Die Potenzreihe konvergiert ußerdem in llen Rndpunkten z mit z = 1, denn dort ist z n n = 1, so dss die Reihe 1 2 n 2 n=1 eine konvergente Mjornte drstellt. n 2 (e) Die beiden Potenzreihen P(z) := n (z z 0 ) n und P(z) := n=0 n n (z z 0 ) n 1 hben denselben Konvergenzrdius. Dies folgt us dem Kriterium von Cuchy Hdmrd. Bezeichnen wir die Konvergenzrdien von P und P nämlich mit R = 1 und L R = 1, so folgt us dem Stz 3.44 wegen lim n L n n = 1 nämlich L = lim sup n n n n n = lim sup n n=1 n = L. Forml erhält mn die Potenzreihe P übrigens us der Potenzreihe P, indem mn dort lle Summnden einzeln differenziert. Wir wollen noch den Identitätsstz 2.15 für Polynome uf Potenzreihen erweitern. Als Hilfsmittel benötigen wir dzu ds nchstehende Lemm. Lemm 3.47 Sei P(z) = n=0 n(z z 0 ) n eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzrdius R > 0. Dnn existiert zu jedem 0 < r < R eine Konstnte c > 0 mit Rk (z) c z z0 k für lle z K mit z z 0 r, wobei R k den Rest R k (z) = n=k n(z z 0 ) n bezeichnet.

100 96 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN Beweis: Nch Vorussetzung konvergiert die Reihe P(z) = n=0 n(z z 0 ) n für lle z mit z z 0 < R (sogr bsolut). Für beliebig gegebenes r (0, R) ist c := n r n k = 1 r k n r n > 0 n=k n=k dher eine wohldefinierte reelle Zhl. Mit dieser erhlten wir sofort Rk (z) n z z 0 n = z z 0 k n z z 0 n k c z z 0 k für lle z K mit z z 0 r. n=k n=k Wir können dmit ds folgende Resultt beweisen. Stz 3.48 ( Identitätsstz für Potenzreihen ) Gegeben seien zwei Potenzreihen P 1 (z) = n (z z 0 ) n und P 2 (z) = n=0 b n (z z 0 ) n mit positiven Konvergenzrdien R 1 > 0 und R 2 > 0. Existiert dnn eine Folge {z i } K mit lim i z i = z 0 und z i z 0 für lle i N und ist n=0 P 1 (z i ) = P 2 (z i ) für lle i N, so gilt bereits n = b n für lle n N 0, d.h., die beiden Potenzreihen stimmen überein. Beweis: Setzen wir R := min{r 1, R 2 } > 0, so konvergiert die Potenzreihe P(z) := P 1 (z) P 2 (z) = n=0 ( n b n ) }{{} =:c n (z z 0 ) n = c n (z z 0 ) n zumindest für lle z K mit z z 0 < R. Wir hben zu zeigen, dss c n = 0 für lle n N 0 gilt. Angenommen, dies ist nicht der Fll. Dnn existiert ein kleinster Index k N 0 mit c k 0. Somit ist P(z) = c n (z z 0 ) n. Setzen wir P(z) = n=k n=0 P(z) (z z 0 ) k = c k + c k+1 (z z 0 ) + c k+2 (z z 0 ) , so folgt us P(z i ) = P 1 (z i ) P 2 (z i ) = 0 für lle i N sofort P(z i ) = 0 für lle i N. Andererseits folgt us dem Lemm 3.47 durch Anwendung uf die Potenzreihe P unmittelbr P(z i ) c k für i. Die Eindeutigkeit des Grenzwertes impliziert somit c k = 0

101 3.6. POTENZREIHEN 97 im Widerspruch zur Whl von c k 0. Wir geben noch eine kleine Anwendung des Identitätsstzes uf gerde und ungerde Funktionen. Dbei nennen wir eine Abbildung f : R R gerde, wenn f(x) = f( x) für lle x R gilt; sie heißt ungerde, wenn f(x) = f( x) für lle x R ist. Anschulich bedeutet dies, dss eine gerde Funktion symmetrisch zur y-achse und eine ungerde Funktion symmetrisch zum Ursprung ist, vergleiche die Abbildung Abbildung 3.2: Beispiel einer gerden bzw. ungerden Funktion. Nehmen wir n, dss sich f ls Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 schreiben lässt. Dnn folgt us dem Identitätsstz für Potenzreihen durch Koeffizientenvergleich einerseits und ndererseits f ist gerde f ist ungerde f(x) = f( x) für lle x R n x n = n ( 1) n x n für lle x R n=0 n=0 2n+1 = 0 für lle n N 0 f(x) = f( x) für lle x R n x n = n ( 1) n x n für lle x R n=0 n=0 2n = 0 für lle n N 0. Bei einer ls Potenzreihe formulierbren gerden Funktion treten lso nur gerde Potenzen uf, bei einer ebensolchen ungerden Funktion hingegen nur ungerde Potenzen.

102 98 KAPITEL 3. FOLGEN UND REIHEN

103 Kpitel 4 Metrische Räume und Stetigkeit 4.1 Metrische und normierte Räume 4.2 Folgen in metrischen Räumen 4.3 Offene und bgeschlossene Mengen 4.4 Stetige Funktionen 4.5 Grenzwerte von Funktionen 4.6 Kompkte Mengen 4.7 Der Approximtionsstz von Weierstrß 4.1 Metrische und normierte Räume Wir beginnen mit der Definition eines metrischen Rumes, der in diesem Kpitel von zentrler Bedeutung ist. Definition 4.1 Seien X eine nichtleere Menge und d : X X R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschften: () d(x, y) = 0 x = y; (b) d(x, y) 0 x, y X; (c) d(x, y) = d(y, x) x, y X (Symmetrie); (d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X (Dreiecksungleichung). Dnn heißt d Metrik uf X, und (X, d) wird ls metrischer Rum bezeichnet. In einem metrischen Rum (X, d) ist die Größe d(x, y) ein Mß für den Abstnd (d = Distnz) zwischen zwei Punkten x, y X. Dss dieser Abstndsbegriff llerdings recht llgemein sein knn, wird us den nchfolgenden Beispielen klr. 99

104 100 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beispiel 4.2 () Seien X eine nichtleere Menge und d(x, y) := { 0, flls x = y, 1, flls x y. Dnn ist d eine Metrik uf X, die so gennnte diskrete Metrik; der metrische Rum (X, d) heißt uch diskreter Rum. (b) (X, d) mit X = K (K = R oder K = C) und dem üblichen Abstnd d(x, y) := x y ist ein metrischer Rum. Dies folgt unmittelbr us den Eigenschften der Betrgsfunktion. (c) Ist (X, d) ein metrischer Rum und Y X eine beliebige Teilmenge, so wird uch Y zu einem metrischen Rum durch die von X induzierte Metrik d Y (x, y) := d(x, y) für x, y Y. Teilmengen von metrischen Räumen seien im Folgenden stets mit der induzierten Metrik versehen (sofern nicht explizit etws nderes gesgt wird). (d) In der Codierungstheorie versteht mn unter einem n-stelligen Binärwort ein Tupel x = (x 1,...,x n ) mit x i {0, 1} für lle i = 1,...,n, wobei mn z.b. sttt x = (1, 0, 1, 1) meist nur x = 1011 schreibt. Die so gennnte Hmming Distnz d(x, y) := {i xi y i }, für zwei Binärwörter x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) zählt lso die Anzhl der Komponenten, in denen sich x und y unterscheiden. Mn verifiziert sehr leicht, dss hierdurch eine Metrik definiert ist. Zhlreiche weitere Beispiele von (sehr wichtigen) metrischen Räumen werden wir in den nächsten Kpiteln noch kennen lernen. Wir notieren ls Nächstes eine einfche Konsequenz us der Definition eines metrischen Rumes, die uns später noch ls technisches Hilfsmittel von Nutzen sein wird. Lemm 4.3 ( Vierecksungleichung ) Sei (X, d) ein metrischer Rum. Dnn gilt d(x, y) d(u, v) d(x, u) + d(y, v) für lle x, y, u, v X. Beweis: Seien x, y, u, v X. Aus der Dreiecksungleichung für metrische Räume folgt dnn d(u, v) d(u, x) + d(x, y) + d(y, v) und dher Entsprechend zeigt mn die Ungleichung d(u, v) d(x, y) d(x, u) + d(y, v). d(x, y) d(u, v) d(x, u) + d(y, v).

105 4.1. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 101 Zusmmen folgt die Behuptung. Spezielle metrische Räume erhält mn mittels der so gennnten normierten Räume. Diese wollen wir ls Nächstes einführen. Dfür benötigen wir llerdings den Begriff eines Vektorrumes. Definition 4.4 Sei K ein beliebiger Körper. Dnn heißt eine nichtleere Menge V ein K Vektorrum (oder Vektorrum über K), wenn es eine Verknüpfung + (ls Addition bezeichnet) und eine Verknüpfung (ls Sklrmultipliktion bezeichnet) gibt derrt, dss die folgenden Eigenschften erfüllt sind: (A) Axiome der Addition: (A1) Für lle v, w V ist v + w V (Abgeschlossenheit der Addition). (A2) Für lle v, w V ist v + w = w + v (Kommuttivgesetz). (A3) Für lle u, v, w V ist u + (v + w) = (u + v) + w (Assozitivgesetz). (A4) Es gibt ein Element 0 V mit 0 + v = v für lle v V (Existenz eines Nullelements). (A5) Für lle v V existiert ein Element v V mit v + ( v) = 0 (Existenz eines inversen Elements). (S) Axiome der Sklrmultipliktion: (S1) Für lle λ K und lle v V ist λ v V (Abgeschlossenheit der Sklrmultipliktion). (S2) Es gilt λ (v + w) = λ v + λ w für lle λ K und lle v, w V. (S3) Es gilt (λ + µ) v = λ v + µ v für lle λ, µ K und lle v V. (S4) Es gilt (λµ) v = λ (µ v) für lle λ, µ K und lle v V. (S5) Es gilt 1 v = v für lle v V, wobei 1 ds Einselement in dem Körper K bezeichnet. Wir werden meist nur Vektorräume über dem Körper K = K betrchten, wobei K wieder ls Abkürzung für den Körper der reellen Zhlen R oder den Körper der komplexen Zhlen C steht. Sofern der jeweilige Körper us dem Zusmmenhng klr ist, sprechen wir uch nur von einem Vektorrum sttt von einem K Vektorrum. Ist nun V ein K Vektorrum und U V eine Teilmenge, so nennen wir U einen Unterrum (oder Untervektorrum oder Teilrum) von V, wenn U mit der durch V vererbten Addition + und Sklrmultipliktion selbst ein Vektorrum ist. Nch diesen Vorbereitungen kommen wir nun zu dem Begriff eines normierten Rumes. Definition 4.5 Seien X ein K Vektorrum und : X R eine Abbildung mit den folgenden Eigenschften:

106 102 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT () x = 0 x = 0; (b) x 0 für lle x X; (c) αx = α x für lle α K und lle x X (Homogenität); (d) x + y x + y für lle x, y X (Dreiecksungleichung). Dnn heißt eine Norm uf X, und (X, ) wird ls normierter Rum bezeichnet. Genügt nur den Eigenschften (b) (d), so spricht mn von einer Hlbnorm uf X. Aus der Dreiecksungleichung in der Definition 4.5 (d) erhält mn induktiv sofort die Gültigkeit der verllgemeinerten Dreieicksungleichung x x n x x n für je endlich viele Elemente x 1,...,x n eines normierten Rumes (X, ). Außerdem gilt in einem normierten Rum (X, ) uch die inverse Dreiecksungleichung x y x y x, y X, (4.1) denn us der Dreiecksungleichung folgt einerseits und ndererseits gilt x x y + y = x y x y, y y x + x = y x y x. Beide Ungleichungen zusmmen ergeben gerde (4.1). Ist (X, ) ein normierter Rum und setzen wir d(x, y) := x y für x, y X, (4.2) so genügt die Abbildung d : X X R offenbr llen Eigenschften einer Metrik. Jeder normierte Rum wird mittels der obigen Zuordnung somit zu einem metrischen Rum. Sofern wir einen normierten Rum vorliegen hben, fssen wir diesen stets vermöge der Vorschrift (4.2) ls einen metrischen Rum uf. Dher gelten lle Aussgen in einem metrischen Rum utomtisch uch in normierten Räumen. Die Vierecksungleichung us dem Lemm 4.3 lutet in einem normierten Rum X beispielsweise wie folgt: x y u v x u + y v für lle x, y, u, v X. Wir geben ls Nächstes einige Beispiele von Vektorräumen und normierten Räumen n. Weitere (sehr wichtige) Beispiele werden später noch folgen.

107 4.1. METRISCHE UND NORMIERTE RÄUME 103 Beispiel 4.6 () Der Körper K ist ein normierter (und dher uch metrischer) Rum über K mit der üblichen Addition und der üblichen Multipliktion in K ls Sklrmultipliktion, wenn mn ls Norm den Betrg wählt, lso x := x für lle x K setzt. (b) Die Menge K n := K K := { x x = (x 1,..., x n ) mit x i K für lle i = 1,...,n } wird mit der komponentenweisen Addition x + y := (x 1 + y 1,...,x n + y n ) für lle x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,..., y n ) K n und der komponentenweisen Sklrmultipliktion λx := (λx 1,...,λx n ) für lle λ K und lle x = (x 1,...,x n ) K n offenbr zu einem K Vektorrum. Dieser lässt sich uf verschiedene Weisen zu einem normierten (und dher uch metrischen) Rum mchen. Beliebt ist beispielsweise die so gennnte Euklidische Norm x := x 2 := x x n 2 für x K n, wobei wir erst später zeigen werden, dss es sich hierbei ttsächlich um eine Norm hndelt. (c) Auf dem gerde eingeführten Vektorrum K n können uch ndere Normen definiert werden. Beispielsweise verifiziert mn reltiv leicht, dss die so gennnte Mximumnorm x := x := mx { x 1,..., x n } ebenflls eine Norm uf dem Rum K n definiert. Diese ist von der Euklidischen Norm offenbr verschieden, llerdings gilt für lle x K n, wie mn sofort einsieht. x x 2 n x (d) Die Menge ller konvergenten Folgen in K bildet ebenflls einen (llerdings unendlich dimensionlen) K Vektorrum, wenn mn die Addition und die Sklrmultipliktion wieder komponentenweise definiert, lso {x n } + {y n } := {x n + y n } und λ{x n } := {λx n } für lle Folgen {x n }, {y n } in K und lle λ K. Dieser Vektorrum lässt sich uch zu einem normierten Rum mchen, woruf wir n dieser Stelle ber nicht weiter eingehen wollen.

108 104 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (e) Die wohl wichtigsten Beispiele von normierten und metrischen Räumen sind so gennnte Funktionenräume, beispielsweise die Menge ller stetigen Abbildungen f : [, b] R, die Menge ller differenzierbren Abbildungen f : [, b] R oder die Menge ller integrierbren Abbildungen f : [, b] R n. D wir die hierzu nötigen Begriffe noch nicht zur Verfügung hben, gehen wir n dieser Stelle nicht weiter druf ein. Es sei llerdings erwähnt, dss diese Funktionenräume später noch eine große Rolle spielen werden. 4.2 Folgen in metrischen Räumen Wir verllgemeinern in diesem Abschnitt den Begriff einer Folge und beweisen einige Aussgen us dem Kpitel 3 in beliebigen metrischen Räumen sttt nur im Rum K. Zunächst erinnern wir drn, dss bislng jede Abbildung der Gestlt f : N K ls eine Folge (in K) bezeichnet wurde und hierfür sttt f(n) stets n geschrieben wurde. Allgemeiner bezeichnen wir von nun n jede Funktion f : N X mit einer beliebigen Menge X ls eine Folge (in X) und schreiben weiterhin n sttt f(n). Die Folgenglieder n = f(n) sind lso nicht mehr notwendig irgendwelche Zhlen in K, sondern können beliebige ndere Objekte sein. Wir betrchten kurz zwei Beispiele. Beispiel 4.7 () Betrchte die Abbildung die Abbildung f(n) := x n für n N. Hier wird jeder ntürlichen Zhl n N die Funktion x n zugeordnet, die einzelnen Folgenglieder n = f(n) = x n sind lso Funktionen. (b) Durch die Abbildung f(n) := {x R x [ n, +n]} wird jeder ntürlichen Zhl n N ein Intervll in R zugeordnet. Sei nun f : N X eine beliebige Folge in X, wofür wir wieder { n } oder { 1, 2, 3,...} schreiben mit n := f(n). Bezeichnet {n k } dnn eine streng monoton steigende Folge ntürlicher Zhlen, so nennen wir die durch k nk definierte Folge { nk } wieder eine Teilfolge von { n }. Beispielsweise ist die Folge der Funktionen 1, x 2, x 4, x 6,... eine Teilfolge der im Beispiel 4.7 () ngegebenen Folge. Wir betrchten nun Folgen in einem metrischen Rum X. Dnn steht uns ein Abstndsbegriff zur Verfügung, so dss wir konvergente Folgen, Cuchy Folgen etc. uch in beliebigen metrischen Räumen definieren können. Definition 4.8 Seien (X, d) ein metrischer Rum und {x n } X eine gegebene Folge. () {x n } heißt Cuchy Folge in X, wenn für lle ε > 0 ein N N existiert mit d(x m, x n ) ε für lle m, n N mit m, n N. (b) {x n } heißt konvergent gegen einen Grenzwert x X, wenn für lle ε > 0 ein N N existiert mit d(x n, x) ε für lle n N; Schreibweisen: {x n } x, x n x, lim x n = n x oder lim x n = x.

109 4.2. FOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN 105 (c) Ein Punkt x X heißt Häufungspunkt der Folge {x n }, wenn es eine Teilfolge {x nk } von {x n } gibt mit lim k x nk = x. Gemäß Definition ist eine Folge {x n } in einem metrischen Rum (X, d) lso genu dnn konvergent bzw. eine Cuchy Folge, wenn die Folge der reellen Zhlen {d(x, x n )} konvergiert bzw. die Folge der reellen Zhlen {d(x m, x n )} eine Cuchy Folge ist. Speziell in dem metrischen Rum X := K mit der durch den Betrg induzierten Metrik stimmen die in der Definition 4.8 eingeführten Begriffe mit den bislng beknnten Definitionen in K offenbr überein. Wir werden im Folgenden einige der uns bereits in K beknnten Aussgen über Folgen uf llgemeine metrische Räume verllgemeinern. Dbei nennen wir eine Folge {x n } in einem metrischen Rum (X, d) beschränkt, wenn ein x X und eine Konstnte r > 0 existieren mit d(x n, x) < r für lle n N, lso lle x n in einer hinreichend großen Kugel vom Rdius r > 0 um einen Punkt x X liegen. Stz 4.9 ( Eigenschften von konvergenten Folgen ) Sei (X, d) ein metrischer Rum. Dnn gelten: () Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. (b) Jede konvergente Folge ist eine Cuchy Folge. (c) Jede konvergente Folge ist beschränkt. (d) Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent und besitzt denselben Grenzwert. (e) Besitzt eine Cuchy Folge einen Häufungspunkt, so konvergiert bereits die gesmte Folge gegen diesen Häufungspunkt. Beweis: Der Beweis verläuft im Prinzip nlog zu denen der entsprechenden Aussgen in K. Um den Umgng mit metrischen Räumen etws einzuüben, wollen wir dennoch die Beweise komplett durchführen. () Seien {x n } x und {x n } x für zwei Grenzwerte x, x X. Angenommen, diese sind verschieden. Dnn ist ε := d(x, x ) > 0. Aus der vorusgesetzten Konvergenz gegen x bzw. x folgt ußerdem die Existenz von gewissen Zhlen N 1, N 2 N mit d(x n, x) < ε für lle n N 1 sowie d(x n, x ) < ε für lle n N 2. Dmit ergibt sich us der Dreiecksungleichung unmittelbr 0 < d(x, x ) d(x, x n ) + d(x n, x ) < 2ε = d(x, x ) für lle n N := mx{n 1, N 2 }, ws ntürlich nicht sein knn. (b) Nch Vorussetzung existiert ein x X mit x n x für n. Also gibt es zu jedem ε > 0 ein N N mit d(x n, x) < ε für lle n N. Dies impliziert 2 d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε für lle n, m N.

110 106 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Folglich ist {x n } eine Cuchy Folge. (c) Sei {x n } x für ein x X. Zu ε = 1 existiert dnn ein N N mit d(x n, x) < ε = 1 für lle n N. Hierus folgt d(x n, x) r := mx{1, d(x 1, x),...,d(x N 1, x)} für lle n N und dmit die Beschränktheit von {x n }. (d) Diese Aussge ergibt sich unmittelbr us der Definition einer Teilfolge. (e) Sei ε > 0 beliebig gegeben. D {x n } eine Cuchy Folge ist, gibt es ein N 1 N mit d(x n, x m ) < ε 2 für lle n, m N 1. Ferner existiert nch Vorussetzung ein Häufungspunkt x X von {x n }. Also gibt es ein N 2 N und eine Teilfolge {x nk } mit d(x nk, x) < ε 2 für lle k N 2. Für lle n N := mx{n 1, N 2 } folgt dnn wegen n k k die Abschätzung d(x n, x) d(x n, x nk ) + d(x nk, x) < ε 2 + ε 2 = ε und dmit die Konvergenz der gesmten Folge {x n } gegen x. Wegen Stz 4.9 ist jede konvergente Folge in einem metrischen Rum eine Cuchy Folge. Die Umkehrung dieser Aussge ist im Allgemeinen nicht richtig (Gegenbeispiel: X = (0, 1), d(x, y) = x y und x n := 1 für n N) und gibt Anlss zu der folgenden n+1 Definition. Definition 4.10 Ein metrischer Rum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cuchy Folge in X konvergiert. Ein vollständiger normierter Rum heißt uch Bnch Rum. Der Begriff der Vollständigkeit tucht hier bereits zum zweiten Ml uf: In der Definition 1.31 wurde ein ngeordneter Körper ls vollständig bezeichnet, wenn er die Supremumseigenschft besitzt. Hier hingegen wird ein metrischer Rum ls vollständig bezeichnet, wenn jede Cuchy Folge bereits konvergiert. Nun bildet die Menge der reellen Zhlen R ber sowohl einen ngeordneten Körper (siehe Stz 1.32 ls uch einen metrischen Rum (siehe Beipiel 4.6 ()). Dher ist die Vollständigkeit von R doppelt definiert. Die Ausführungen m Ende des Abschnitts 3.2 zeigen ber, dss die Supremumseigenschft in einem (rchimedisch) geordneten Körper äquivlent wr zur Konvergenz von Cuchy Folgen. Aus diesem Grunde stimmen beide Definitionen der Vollständigkeit für R überein. Wir wollen ls Nächstes die Vollständigkeit des Rumes K n beweisen. Dzu ist ds nchstehende Resultt recht nützlich.

111 4.2. FOLGEN IN METRISCHEN RÄUMEN 107 Stz 4.11 ( Chrkterisierung konvergenter Folgen im K n ) Betrchte den normierten Rum K n, versehen mit der Mximumnorm us dem Beispiel 4.6 (c). Dnn ist eine Folge {x k } K n genu dnn konvergent gegen einen Grenzwert x = (x 1,...,x n ) K n, wenn lle Komponentenfolgen {x k,i } gegen x i konvergieren (i = 1,...,n). Dbei hben wir x k = (x k,1,...,x k,n ) K n geschrieben. Beweis: Es gelte zunächst lim k x k = x. Dnn existiert zu jedem ε > 0 ein N N mit x k x < ε für lle k N. Aus der Definition der Mximumnorm folgt dnn für lle Komponenten i = 1,...,n die Ungleichung x k,i x i x k x < ε für lle k N. Somit gilt x k,i x i für lle i = 1,..., n. Sei umgekehrt x k,i x i für lle i = 1,..., n vorusgesetzt. Zu beliebigem ε > 0 existieren dnn gewisse Zhlen N i N mit x k,i x i < ε für lle k N i und für lle i = 1,..., n. Setzen wir N := mx{n 1,..., N n } so folgt hierus unmittelbr x k x = mx i=1,...,n x k,i x i < ε für lle k N. Also gilt lim k x k = x. Als Konsequenz des Stzes 4.11 erhlten wir nun ein sehr wichtiges Beispiel für einen Bnch Rum. Stz 4.12 ( Vollständigkeit des K n ) Der normierte Rum K n, versehen mit der Mximumnorm us dem Beispiel 4.6 (c), ist ein Bnch Rum. Beweis: Sei {x k } eine Cuchy Folge in K n. Schreiben wir für ds k-te Folgenglied wieder x k = (x k,1,...,x k,n ) K n, so folgt us der Definition der Mximumnorm sofort x k,i x m,i x k x m für lle k, m N und für lle i = 1,...,n. Also sind lle Komponentenfolgen {x k,i } Cuchy Folgen in K. Wegen Stz 3.22 sind lle Komponentenfolgen {x k,i } dnn bereits konvergent. Wegen Stz 4.11 ist die Folge {x k } somit konvergent in K n. Also ist K n ein Bnch Rum. Als weitere Konsequenz des Stzes 4.11 erhlten wir die nchstehende Verllgemeinerung des Stzes von Bolzno Weierstrß. Stz 4.13 ( Stz von Bolzno Weierstrß Version 3 ) In dem normierten Rum K n, versehen mit der Mximumnorm us dem Beispiel 4.6 (c), besitzt jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge.

112 108 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beweis: Sei {x k } eine beschränkte Folge in K n. Der Beweis geschieht wieder durch Zurückführung uf die einzelnen Komponentenfolgen {x k,i }, wobei wir erneut x k = (x k,1,...,x k,n ) K n schreiben. Wegen x k,i x k sind mit {x k } uch lle Komponentenfolgen {x k,1 },..., {x k,n } beschränkt in K. Insbesondere ist lso {x k,1 } beschränkt und besitzt nch dem Stz 3.20 von Bolzno Weierstrß dmit eine konvergente Teilfolge. Dnn ist uch die zugehörige Teilfolge von {x k,2 } beschränkt und besitzt dmit ebenflls eine konvergente (Teil ) Teilfolge. Auf dieser neuen Teilfolge betrchten wir jetzt {x k,3 }, fhren mit unserer Argumenttion so fort und erhlten schließlich eine Teilfolge von {x k,n } die ebenflls konvergiert. Auf dieser letzten Teilfolge sind nun ber lle Komponentenfolgen {x k,i } konvergent. Wegen Stz 4.11 konvergiert dnn uch die entsprechende Teilfolge von {x k }. In den drei vorhergehenden Sätzen hben wir den K n stets mit der Mximumnorm versehen. Es wird sich llerdings recht bld herusstellen, dss die Aussgen dieser Sätze uch dnn richtig sind, wenn wir den K n mit irgendeiner nderen Norm versehen (zum Beispiel der Euklidischen Norm). Dies folgt letztlich us der Ttsche, dss im K n lle Normen äquivlent sind, siehe Stz 4.53 und die nschließenden Ausführungen. Wir beweisen zum Abschluss dieses Abschnittes noch einige elementre Eigenschften von normierten Räumen. Lemm 4.14 ( Rechenregeln für konvergente Folgen ) Sei (X, ) ein normierter Rum. Dnn gelten: () Aus x n x und y n y folgt x n + y n x + y. (b) Aus α n α in K und x n x folgt α n x n αx. (c) Aus x n x folgt x n x. Beweis: Die Behuptung () folgt us der Dreiecksungleichung wegen für n. Die Aussge (b) folgt us (x n + y n ) (x + y) x n x + y n y 0 α n x n αx α n x n α n x + α n x αx = α n x n x + α n α x 0 für n, d {α n } (ls konvergente Folge) beschränkt ist. Schließlich ergibt sich die Behuptung (c) us xn x xn x 0 für n, wobei wir die inverse Dreiecksungleichung (4.1) benutzt hben.

113 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN Offene und bgeschlossene Mengen Wir führen ls Nächstes die offenen und bgeschlossenen Kugeln in einem metrischen Rum ein. Die Nmensgebung wird ddurch gerechtfertigt, dss es sich im Spezilfll des euklidischen Rumes (vergleiche ds Beispiel 4.6 (b)) nschulich ttsächlich um Kugeln hndelt. Definition 4.15 Seien (X, d) ein metrischer Rum, x X und ε > 0. () Die Menge K ε (x) := {y X d(x, y) < ε} heißt offene Kugel um x mit dem Rdius ε > 0. (b) Die Menge K ε (x) := {y X d(x, y) ε} heißt bgeschlossene Kugel um x mit dem Rdius ε > 0. Will mn den zu Grunde liegenden metrischen Rum hervorheben (der us dem jeweiligen Zusmmenhng ber meist klr ist), so spricht mn uch von offenen bzw. bgeschlossenen Kugeln in X sttt nur von offenen bzw. bgeschlossenen Kugeln. Mit Hilfe der offenen Kugeln führen wir jetzt die zentrlen Begriffe der offenen und bgeschlossenen Mengen ein. Definition 4.16 Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine gegebene Teilmenge. () Ein x M heißt innerer Punkt von M (und M Umgebung von x), wenn es eine offene Kugel K ε (x) gibt mit K ε (x) M. (b) M heißt offen, wenn lle x M innere Punkte von M sind. (c) M heißt bgeschlossen, wenn ds Komplement X \ M offen ist. Mn verifiziert sehr leicht, dss eine offene Kugel K ε (x) ttsächlich eine offene Menge im Sinne der Definition 4.16 (b) ist; ebenso zeigt mn ohne größere Probleme, dss es sich bei einer bgeschlossenen Kugel K ε (x) um eine bgeschlossene Menge im Sinne der Definition 4.16 (c) hndelt. Abgeschlossene Mengen werden häufig ber uch nders definiert, weshlb wir hier die nchstehende Chrkterisierung bgeschlossener Mengen ngeben. Lemm 4.17 ( Chrkterisierung bgeschlossener Mengen ) Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine gegebene Teilmenge. Dnn sind äquivlent: () M ist bgeschlossen. (b) M enthält lle Häufungspunkte von Folgen in M, d.h., M = {x X {x n } M : lim n d(x n, x) = 0}.

114 110 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Beweis: () = (b): Sei M bgeschlossen. Gemäß Definition ist ds Komplement X \ M dnn offen. Sei nun x X ein Häufungspunkt von M. Dnn existiert eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Also ist K ε (x) M für lle ε > 0. Somit knn x kein innerer Punkt von X \M sein. D X \M ber offen ist und dmit lle Elemente von X \M innere Punkte sind, gehört x dnn nicht zur Menge X \ M. Folglich ist x M. (b) = (): Die Menge M enthlte lle Häufungspunkte von Folgen us M. Wir zeigen, dss X \ M eine offene Menge ist. Sei dzu x X \ M beliebig gegeben. Nch Vorussetzung ist x dnn kein Häufungspunkt von M. Also existiert ein ε > 0 mit K ε (x) M =. Dies impliziert K ε (x) X \ M. Dher ist X \ M offen, lso M selbst bgeschlossen. Weiterhin gelten die folgenden beiden Resultte über offene und bgeschlossene Mengen, die bereits us der Grundvorlesung Anlysis beknnt sein sollten. Stz 4.18 Sei (X, d) ein metrischer Rum. Dnn gelten: () und X sind offen. (b) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen. (c) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen. Beweis: () Der gesmte Rum X ist offen, d X Umgebung eines jeden Punktes x X ist. Die leere Menge ist offen, d es keinen Punkt x gibt, zu dem es eine Kugel K ε (x) geben müsste. (b) Seien O 1,..., O n endlich viele offene Mengen und O := n i=1 O i deren Durchschnitt. Sei x O beliebig. Dnn ist x O i für lle i = 1,...,n. D die O i nch Vorussetzung offen sind, existieren ε i > 0 mit K εi (x) O i für lle i = 1,...,n. Für ε := min{ε 1,...,ε n } gilt dnn K ε (x) K εi (x) O i für lle i = 1,..., n und dher uch K ε (x) O. Also ist O eine offene Menge. (c) Seien O i (i I) offene Mengen und O := i I O i deren Vereinigung. Sei x O beliebig gegeben. Dnn ist x O i für (mindestens) ein i I. D O i nch Vorussetzung offen ist, existiert per Definition ein ε > 0 mit K ε (x) O i. Dnn ist erst recht K ε (x) O und O somit offen. Die im Stz 4.18 gennnten Eigenschften (), (b) und (c) werden häufig zur Definition einer Topologie bzw. eines topologischen Rumes benutzt. Wir werden im Rhmen dieses Skriptes ber nicht weiter uf diese Begriffe eingehen. Mn bechte übrigens, dss der Durchschnitt von beliebig vielen offenen Mengen nicht mehr offen zu sein brucht. Beispielsweise besteht der Durchschnitt der offenen Intervlle ( 1/n, 1 + 1/n) für n N gerde us dem bgeschlossenen Intervll [0, 1]. Durch Komplementbildung erhält mn us dem Stz 4.18 ds folgende Resultt.

115 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN 111 Stz 4.19 Sei (X, d) ein metrischer Rum. Dnn gelten: () und X sind bgeschlossen. (b) Die Vereinigung endlich vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. (c) Der Durchschnitt beliebig vieler bgeschlossener Mengen ist bgeschlossen. Beweis: () Wegen X \X = und X \ = X ergibt sich die Behuptung () unmittelbr us der Definition einer bgeschlossenen Menge sowie Stz 4.18 (). (b) Seien A 1,..., A n endlich viele bgeschlossene Mengen und A := n i=1 A i deren Vereinigung. D die Komplemente X \ A i offen sind, ist ufgrund des Stzes 4.18 (b) uch die Schnittmenge n ( ) X \ Ai i=1 offen. Nch der Regel von De Morgn gilt ber so dss X \ ( n i=1 A i ) ( n ) X \ A i = i=1 n X \ A i, i=1 offen und dher A := n i=1 A i bgeschlossen ist. (c) Seien A i (i I) beliebig viele bgeschlossene Mengen und A := i I A i deren Durchschnitt. D lle Komplemente X \A i dnn offen sind, ist uch deren Vereinigung eine offene Menge. Nch der Regel von De Morgn ist dnn uch ( ) X \ A i = ( ) X \ Ai i I i I eine offene Menge und somit A := i I A i bgeschlossen. Mn bechte uch hier, dss die Vereinigung beliebig vieler bgeschlossener Mengen nicht notwendig bgeschlossen ist. Beispielsweise besteht die Vereinigung der bgeschlossenen Mengen [1/n, + ) über lle n N gerde us dem offenen Intervll (0, + ). Die Sätze 4.18 und 4.19 rechtfertigen insbesondere die folgende Definition. Definition 4.20 Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine gegebene Teilmenge. () Die Menge cl(m) := M := {A A bgeschlossen mit M A} heißt Abschluss (engl.: closure) von M.

116 112 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (b) Die Menge int(m) := M := {O O offen mit O M} heißt Inneres (engl.: interior) von M. (c) Die Menge bd(m) := M := {x X ε > 0 : K ε (x) M und K ε (x) ( X \ M ) } heißt Rnd (engl.: boundry) von M. (d) Ein Element x X heißt Häufungspunkt der Menge M, wenn es eine Folge {x n } M gibt mit lim n x n = x und x n x für lle n N. Der Abschluss einer Menge M besteht lso gerde us dem Durchschnitt ller bgeschlossenen Mengen, die M enthlten. Ds Innere einer Menge M hingegen ist die Vereinigung ller offenen Mengen, die in M enthlten sind. Wegen Stz 4.19 (c) ist der Abschluss M von M ttsächlich eine bgeschlossene Menge. Es ist offenbr die kleinste bgeschlossene Menge, die M enthält. Anlog ist ds Innere M von M wegen Stz 4.18 (c) eine offene Menge; es hndelt sich um die größte offene Teilmenge von M. Der Abschluss M lässt sich uch wie folgt beschreiben. Lemm 4.21 Seien (X, d) ein metrischer Rum, M X eine gegebene Teilmenge und x X gegeben. Dnn sind äquivlent: () x M. (b) Es gibt eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Beweis: D M eine bgeschlossene Menge ist, gilt { x X {xn } M : lim d(x n, x) = 0 } n { x X {x n } M : lim d(x n, x) = 0 } n = M, wobei sich die letzte Gleichheit us dem Lemm 4.17 ergibt. Zum Nchweis der nderen Inklusion sei {x n } M mit x n x gegeben. Gemäß Definition des Abschlusses M existiert zu jedem n N dnn ein y n M mit d(x n, y n ) 1 n. Aus der Dreiecksungleichung folgt dher d(x, y n ) d(x, x n ) + d(x n, y n ) 0 für n. Also ist uch {y n } M eine gegen x konvergente Folge. Mit Lemm 4.17 folgt die Behuptung.

117 4.3. OFFENE UND ABGESCHLOSSENE MENGEN 113 Für die Mengen M, M und M gelten trivilerweise die Inklusionen M M M. Drüber hinus sind die folgenden Eigenschften erfüllt. Lemm 4.22 Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine gegebene Teilmenge. Dnn gelten: () M ist genu dnn offen, wenn M = M gilt. (b) M ist genu dnn bgeschlossen, wenn M = M gilt. (c) M ist stets bgeschlossen, und es gilt die Beziehung M = M\ M. Beweis: () Ist M offen und x M, so existiert ein ε > 0 mit K ε (x) M. Also ist x ein innerer Punkt von M, d.h. x M. Somit gilt M M für jede offene Menge M. Die umgekehrte Inklusion ist ufgrund der Vorbetrchtungen ber klr, so dss insgesmt M = M folgt. Gilt umgekehrt M = M, so ist M offen, d ds Innere M gemäß Vorbemerkung stets eine offene Menge ist. (b) Per Definition ist M die kleinste bgeschlossene Menge, die M enthält. Ist M selbst bgeschlossen, so gilt dnn ntürlich M = M. Umgekehrt folgt us M = M unmittelbr, dss M bgeschlossen ist, d der Abschluss M gemäß Vorbetrchtung eine bgeschlossene Menge ist. (c) Wir zeigen zunächst die Gültigkeit von M = M\ M. Sei dzu x M gegeben. Dnn ist K ε (x) M und K ε (x) (X \ M) für lle ε > 0. Insbesondere gilt K 1/n (x) M für lle n N. Also existiert eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0. Wegen Lemm 4.17 ist dnn x M. Andererseits ist x M, denn sonst gäbe es ein ε > 0 mit K ε (x) M im Widerspruch zu K ε (x) (X \ M) für lle ε > 0. Also ist x M \ M. D x M beliebig gewählt wr, folgt hierus M M \ M. Zum Nchweis der umgekehrten Inklusion sei x M \ M beliebig gegeben. Wegen x M ist x kein innerer Punkt von M, lso gilt K ε (x) (X \ M) für lle ε > 0. Andererseits ist x M. Gemäß Lemm 4.21 existiert dher eine Folge {x n } M mit lim n d(x n, x) = 0, so dss uch K ε (x) M für lle ε > 0 ist. Zusmmen zeigt dies x M und dmit die Beziehung M \ M M. Wegen M = M \ M = M ( X \ M ) folgt mit Stz 4.19 dnn uch die Abgeschlossenheit von M, denn M ist per Definition bgeschlossen und X \ M ist bgeschlossen ls Komplement einer offenen Menge.

118 114 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Wir beenden diesen Abschnitt noch mit einer Wrnung: In einem metrischen Rum ist der Abschluss K ε (x) der offenen Kugel K ε (x) im Allgemeinen nicht gleich der bgeschlossenen Kugel K ε (x). Zwr gilt stets die Inklusion K ε (x) K ε (x) (denn K ε (x) ist j die kleinste bgeschlossene Menge, die K ε (x) enthält), jedoch knn diese Inklusion durchus echt sein. Um dies einzusehen, betrchten wir noch einml den diskreten Rum (X, d) us dem Beispiel 4.2 (): Für x X und ε = 1 gilt dort K 1 (x) = {y X d(x, y) < 1} = {x} und dher uch K 1 (x) = {x}. Für die bgeschlossene Kugel hingegen folgt K 1 (x) = {y X d(x, y) 1} = X, und dies unterscheidet sich offenbr von K 1 (x) = {x}, sobld die Menge X mindestens zwei Elemente enthält. 4.4 Stetige Funktionen Zwecks Definition einer stetigen Funktion beginnen wir mit dem folgenden Resultt. Stz 4.23 Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume, f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung sowie x X 1. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: () Für jede Folge {x n } X 1 mit {x n } x gilt f(x n ) f(x). (b) Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 mit d 2 (f(y), f(x)) < ε für lle y X 1 mit d 1 (y, x) < δ. Beweis: () = (b): Es gelte f(x n ) f(x) für jede Folge {x n } X 1 mit x n x. Angenommen, die Aussge (b) sei nicht erfüllt. Dnn existiert ein spezielles ε > 0, so dss es für jedes δ > 0 ein y X 1 gibt mit d 1 (x, y) < δ und d 2 (f(x), f(y)) ε. Für δ = 1/n mit n N erhlten wir uf diese Weise eine Folge {x n } mit d 1 (x, x n ) < 1/n und d 2 (f(x), f(x n )) ε für lle n N. Die Folge {x n } konvergiert lso gegen x, ohne dss dies für die zugehörigen Funktionswerte gilt, ws im Widerspruch zur Vorussetzung () steht. (b) = (): Es gelte jetzt die Eigenschft (b). Sei {x n } X 1 eine beliebige Folge mit x n x. Zu beliebigem ε > 0 existiert nch Vorussetzung (b) ein δ > 0 mit d 2 (f(x), f(x n )) < ε für lle x n mit d 1 (x, x n ) < δ. Wegen x n x gilt ber d 1 (x, x n ) < δ für lle n N mit einem hinreichend großen N N. Also ist d 2 (f(x), f(x n )) < ε für lle n N. D ε > 0 beliebig gewählt wr, folgt hierus lim n f(x n ) = f(x). Die beiden (äquivlenten) Aussgen des vorigen Stzes sollen durch die nchstehenden Abbildungen 4.1 und 4.2 geometrisch erläutert werden. Als metrischer Rum tritt hier der Rum R 2 (versehen mit der euklidischen Norm) uf, der Definitionsbereich der betrchteten

119 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 115 Funktion f wird mit D(f) bezeichnet, ds im Stz 4.23 (b) uftretende δ ht den Nmen δ ε, d es im Allgemeinen von dem gegebenen ε bhängt, und U δε (x 0 ) bezeichnet eine Kugelumgebung um den Punkt x 0 mit dem Rdius δ ε. X D(f) f Y U ε ( f(x0 ) ) x n x 0 f(x 0 ) Uδε(x0) f(x n ) Abbildung 4.1: Geometrische Interprettion von Stz 4.23 () f ( X D(f) U Y ε f(x0 ) ) U f(x 0 ) δε (x 0 ) D(f) x 0 f ( U δε (x 0 ) D(f) ) Abbildung 4.2: Geometrische Interprettion von Stz 4.23 (b) Der Stz 4.23 ist Grundlge für die nchfolgende Definition einer stetigen Abbildung. Definition 4.24 Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume sowie f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung. () f heißt stetig im Punkte x X 1, wenn eine der äquivlenten Bedingungen () oder (b) des Stzes 4.23 erfüllt ist. (b) f heißt stetig in X 1, wenn f in jedem Punkt dieser Menge stetig ist. Die Bedingungen () und (b) us dem Stz 4.23 werden uch ls Folgen Kriterium bzw. ε δ Kriterium für die Stetigkeit bezeichnet. Letzteres wird in der Abbildung 4.3 vernschulicht. Es soll n dieser Stelle explizit hervorgehoben werden, dss die Whl von δ in dem ε δ Kriterium im Allgemeinen sowohl von dem gegebenen ε ls uch von dem betrchteten Punkt x bhängt, weshlb mnchml uch δ = δ(ε, x) geschrieben wird.

120 116 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT 2δ ε Streifen um x 0 f(x) f(x 0 ) + ε f(x 0 ) 2ε Streifen um f(x 0 ) f(x 0 ) ε x x 0 δ ε x 0 x 0 + δ ε Abbildung 4.3: Vernschulichung des ε δ Kriteriums der Stetigkeit Mittels der Quntor Schreibweise lässt sich die Stetigkeit von f in einem Punkt x wieder sehr kurz definieren. Ds Folgen Kriterium lutet dnn: f stetig in x X 1 : ( {x n } X 1 : x n x = f(x n ) f(x) ). Ds ε δ Kriterium hingegen lässt sich wie folgt schreiben: f stetig in x X 1 : ( ε > 0 δ > 0 : d 1 (x, y) < δ = d 2 ( f(x), f(y) ) < ε ). Dem Leser sei dringend empfohlen, sich beide Formulierungen der Stetigkeit zu verinnerlichen. Ds Folgen Kriterium lässt sich sehr einprägsm offenbr uch wie folgt formulieren: Eine Funktion f ist genu dnn stetig in einem Punkt x X 1, wenn für lle gegen x konvergenten Folgen {x n } X 1 gilt: lim f(x n) = f( lim x n ). n n Die Stetigkeit einer Funktion besgt lso, dss mn den Limes mit der Funktion vertuschen drf. Für ds ε δ Kriterium der Stetigkeit wollen wir hier noch kurz die Formulierung für den Spezilfll des Rumes K (versehen mit dem üblichen Absolutbetrg) ngeben. Sei lso f : D K eine gegebene Funktion mit dem Definitionsbereich D K. Dnn heißt f stetig in x K, wenn es für lle ε > 0 ein (im Allgemeinen sowohl von x ls uch von ε bhängiges) δ > 0 gibt derrt, dss f(y) f(x) < ε für lle y D mit x y < δ gilt (ε δ Kriterium). Diese Definition wird durch die Abbildung 4.4 vernschulicht. Die Abbildung 4.5 zeigt hingegen eine unstetige Funktion, welche ds ε δ Kriterium nicht erfüllt.

121 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 117 ε ε f(x 0 ) f δ δ x 0 x Abbildung 4.4: Beispiel einer stetigen Funktion f ε ε f(x 0 ) x x 0 Abbildung 4.5: Beispiel einer unstetigen Funktion Wir geben ls Nächstes einige Beispiele von stetigen Funktionen n. Beispiel 4.25 () Die Funktion f(x) = c für eine Konstnte c K ist uf gnz K stetig. Wir verifizieren diese Aussge mittels des Folgen Kriteriums. Sei dzu x K ein beliebiger Punkt und {x n } irgendeine gegen x konvergente Folge. Dnn gilt f(x n ) = c c = f(x) für n. Also ist f stetig in x. (b) Wir betrchten die Funktion f(x) := x. Diese ist ebenflls stetig uf gnz K. Dies soll nun mittels des ε δ Kriteriums verifiziert werden. Seien dzu x K und ε > 0 beliebig gegeben. Setze dnn δ := ε > 0. Dnn gilt für lle y K mit x y < δ die Ungleichung f(x) f(y) = x y < δ = ε, ws zu zeigen wr. (In diesem Fll hängt δ lso nicht von dem speziellen Punkt x,

122 118 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT wohl ber von ε b). (c) Die Funktion f(x) := x 2 ist ebenflls uf gnz K stetig. Um dies einzusehen, benutzen wir wieder ds ε δ Kriterium. Seien dzu x K und ε > 0 beliebig gegeben. Wir hben nun ein geeignetes δ > 0 zu finden, so dss die Impliktion gilt. Nun ist x y < δ = x 2 y 2 = f(x) f(y) < ε (4.3) x 2 y 2 = x + y x y < ε für lle jene y K, die den beiden Ungleichungen x + y x y + 2 x < 2 x + 1 und x y < ε 2 x + 1 genügen. Setzen wir dher { } ε δ := min 1,, 2 x + 1 so ist (4.3) offenbr erfüllt und f somit stetig in x. D x beliebig gewählt wr, folgt hierus die Stetigkeit von f uf gnz K. (In diesem Fll hängt die Whl von δ > 0 lso sowohl von dem betrchteten Punkt x ls uch von dem gewählten ε b.) (d) Die Funktion f : R R mit f(x) := { 1 für x Q, 0 für x / Q ist in keinem Punkt des Definitionsbereiches D = R stetig. Sei nämlich x R beliebig gewählt. Dnn gibt es wegen Stz 1.34 in jeder noch so kleinen Umgebung von x sowohl rtionle ls uch irrtionle Zhlen. Insbesondere existiert stets ein y R mit f(x) f(y) = 1. Somit gibt es beispielsweise zu ε = 1 kein δ > 0 derrt, 2 dss die Forderung der Stetigkeit von f in x erfüllt wäre. (e) Seien (X, ) ein normierter Rum und f : X R gegeben durch f(x) := x. Dnn ist f stetig in jedem Punkt x X. Dies folgt sofort us dem Folgen Kriterium der Stetigkeit und dem Lemm 4.14 (c). Die Stetigkeit einer Funktion f : X 1 X 2 knn ntürlich uch uf Teilmengen M X 1 definiert werden, indem mn M selbst ls metrischen Rum betrchtet gemäß Beispiel 4.2 (c). Auch ds nchfolgende Stetigkeitskriterium ließe sich uf diese Weise für Teilmengen metrischer Räume formulieren. Stz 4.26 ( Chrkterisierung der Stetigkeit ) Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume und f : X 1 X 2 eine gegebene Abbildung. Dnn sind äquivlent:

123 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 119 () f ist stetig uf X 1. (b) Für lle offenen O X 2 ist ds Urbild f 1 (O) offen in X 1. (c) Für lle bgeschlossenen A X 2 ist ds Urbild f 1 (A) bgeschlossen in X 1. Beweis: () = (b): Sei f stetig uf X 1 und O X 2 eine offene Menge. Wir hben zu zeigen, dss jedes Element von f 1 (O) ein innerer Punkt ist. Sei dzu x f 1 (O) beliebig gegeben. Dnn ist f(x) O. D O offen ist, existiert ein ε > 0 mit K ε (f(x)) O, lso y O für lle y mit d 2 (f(x), y) < ε. Aus der vorusgesetzten Stetigkeit von f in x ergibt sich die Existenz eines δ > 0 mit d 2 (f(x), f(z)) < ε für lle z mit d 1 (x, z) < δ. Also gilt f(z) O und somit z f 1 (O) für lle z mit d 1 (x, z) < δ. Folglich ist K δ (x) f 1 (O) und f 1 (O) somit eine offene Menge. (b) = (): Sei x X 1 beliebig gegeben. Wir zeigen die Stetigkeit von f in x unter Verwendung des ε δ Kriteriums us dem Stz 4.23 (b). Sei dzu ε > 0 und betrchte die offene Kugel K ε (f(x)). Nch Vorussetzung (b) ist ds Urbild f 1 (K ε (f(x))) dnn eine offene Menge in X 1. Wegen x f 1 (K ε (f(x))) existiert dher ein δ > 0 mit K δ (x) f 1 (K ε (f(x))). Dies impliziert f ( K δ (x) ) K ε (f(x)). Mit nderen Worten: Für lle y X 1 mit d 1 (x, y) < δ gilt d 2 (f(x), f(y)) < ε. Somit ist f stetig in x. D x X 1 beliebig gewählt wr, folgt die Behuptung (). (b) = (c): Sei A X 2 eine bgeschlossene Menge. Dnn ist X 2 \ A offen. Wegen Teil (b) ist uch ds Urbild f 1 (X 2 \ A) offen. Aufgrund der leicht nchprüfbren Identität f 1 (X 2 \ A) = X 1 \ f 1 (A) ist dnn uch X 1 \ f 1 (A) offen. Also ist f 1 (A) bgeschlossen in X 1. (c) = (b): Sei O X 2 eine offene Menge. Dnn ist X 2 \ O bgeschlossen. Nch Vorussetzung (c) ist dr Urbild f 1 (X 2 \ O) ebenflls bgeschlossen. Aus der Identität f 1 (X 2 \ O) = X 1 \ f 1 (O) folgt die Abgeschlossenheit von X 1 \ f 1 (O). Also ist f 1 (O) selbst eine offene Menge in X 1. Gnze Klssen stetiger Funktionen erhält mn us dem folgenden Resultt. Stz 4.27 ( Summe, Produkt etc. stetiger Funktionen sind stetig ) Seien (X, d) ein metrischer Rum, λ K, sowie f, g : X K zwei in einem Punkt x X stetige Funktionen. Dnn sind uch die Funktionen f + g : X K, λf : X K und f g : X K

124 120 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT stetig in x. Gilt überdies g(x) 0, so ist ebenflls stetig in x. f g : X K mit X := {y X g(y) 0} Beweis: Wir verwenden ds Folgen Kriterium der Stetigkeit. Sei {x n } X dzu eine beliebige gegen x konvergente Folge. Dnn hben wir zu zeigen: lim (f + g)(x n) = (f + g)(x), n lim (λf)(x n) = (λf)(x), n lim (f g)(x n) = (f g)(x), n lim n ( f g ) (x n ) = ( f g ) (x). Nch Vorussetzung ist ber lim n f(x n ) = f(x) und lim n g(x n ) = g(x). Die Behuptung folgt dher us den entsprechenden Rechenregeln für Folgen, vergleiche Stz 3.7. D die konstnten Funktionen f : D K, f(x) = c (c K) sowie die Identität f : D K, f(x) = x stetig sind, folgt durch wiederholte Anwendung des Stzes 4.27 sofort die Stetigkeit ller Polynome und ller rtionlen Funktionen (uf ihrem Definitionsbereich). Stz 4.28 ( Kompositum stetiger Funktionen ist stetig ) Seien (X i, d i ) für i = 1, 2, 3 metrische Räume, f : X 1 X 2 stetig in einem Punkt x X 1 und g : X 2 X 3 stetig in y := f(x). Dnn ist ds Kompositum g f : X 1 X 3 stetig in x. Beweis: Zum Beweis benutzen wir erneut ds Folgen Kriterium der Stetigkeit. Sei lso {x n } X 1 eine beliebige gegen x konvergente Folge. Nch Vorussetzung ist f in x stetig, lso gilt f(x n ) f(x). Dmit ist y n := f(x n ) eine gegen y = f(x) konvergente Folge in X 2. Nun ist g ber stetig in y, so dss g(y n ) g(y) in X 3 gilt. Insgesmt hben wir dher (g f)(x n ) = g ( f(x n ) ) = g(y n ) g(y) = g ( f(x) ) = (g f)(x), ws die Stetigkeit von g f in x beweist. Offenbr sind die uf einer Teilmenge D K definierten Funktionen : D K, x x, : D K, x x, Re : D K, x Re(x), Im : D K, x Im(x)

125 4.4. STETIGE FUNKTIONEN 121 llesmt stetig, denn bezeichnet g eine dieser Funktionen, so gilt g(xn ) g(x) xn x 0 für jede gegen ein x D konvergente Folge {x n } D. Also sind wegen Stz 4.28 uch die Abbildungen f : D K, x f(x), f : D R, x f(x), Ref : D R, x Re(f(x)), Imf : D R, x Im(f(x)) stetig uf ihrem jeweiligen Definitionsbereich. Der nchstehende Stz ist von zentrler Bedeutung in der Anlysis. Er gilt usschließlich für reellwertige Funktionen uf Intervllen der Gestlt mit gegebenen, b R. [, b] := {x R x b} Stz 4.29 ( Zwischenwertstz ) Sei f : [, b] R stetig. Dnn existiert zu jedem Wert γ zwischen f() und f(b) mindestens ein c [, b] mit f(c) = γ. Beweis: Für γ = f() bzw. γ = f(b) brucht mn nur c = bzw. c = b zu wählen. Wir behndeln im Folgenden dher nur den Fll f() < γ < f(b) (nlog für f(b) < γ < f()). Die Menge M := {x [, b] f(x) γ} ist nichtleer und nch oben beschränkt. Sie besitzt dher ein Supremum c ufgrund der Vollständigkeit von R. Wir zeigen nun, dss f(c) = γ gilt. D c die kleinste obere Schrnke von M ist, existiert eine Folge von Punkten x n M mit x n c. Wegen f(x n ) γ impliziert ds Folgen Kriterium der Stetigkeit dher f(c) = lim n f(x n ) γ. Dies liefert insbesondere c b, lso c < b. Folglich gibt es eine Folge {y n } von Punkten y n [c, b] mit y n c. Wegen f(y n ) γ erhlten wir us dem Stz 4.23 somit f(c) = lim n f(y n ) γ. Zusmmen ergibt sich gerde f(c) = γ. Der Zwischenwertstz ist für unstetige Funktionen im Allgemeinen nicht richtig. Ebenso muss er selbst für stetige Abbildungen nicht richtig sein, wenn der Definitionsbereich kein Intervll ist. Der Leser mg sich hierfür selbst geeignete Gegenbeispiele konstruieren. Zur Illustrtion des Zwischenwertstzes verweisen wir nsonsten uf die Abbildung 4.6.

126 122 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT f(b) f γ f() c b x Abbildung 4.6: Vernschulichung des Zwischenwertstzes 4.5 Grenzwerte von Funktionen Für Funktionen f und Punkte x soll in diesem Abschnitt die Bedeutung des Grenzwertes lim y x f(x) erklärt werden. Dbei wird nicht verlngt, dss x zum Definitonsbereich von f gehört. Sollte dies doch der Fll sein, so ist der Funktionswert f(x) völlig irrelevnt für den frglichen Grenzwert. Vielmehr sind nur die Werte f(y) für y in der Nähe von x usschlggebend. Dzu muss es solche Punkte ntürlich geben, lso x zumindest ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs von f sein. Die formle Definition für den Grenzwert einer Funktion lutet dher wie folgt. Definition 4.30 Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x X 1 ein Häufungspunkt von D. Dnn schreiben wir lim f(y) = b y x oder f(y) b für y x und nennen b den Grenzwert von f für y x, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d 2 ( f(y), b ) < ε für lle y D mit y x und d1 (x, y) < δ. Eine Chrkterisierung des gerde eingeführten Begriffs ist in dem folgenden Resultt enthlten. Stz 4.31 ( Chrkterisierung von Grenzwerten ) Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x X 1 ein Häufungspunkt von D. Dnn gilt lim y x f(y) = b genu dnn, wenn lim n f(x n ) = b für lle Folgen {x n } X 1 mit lim n x n = x und x n x für lle n N ist. Beweis: Der Beweis ist völlig nlog zu dem des Stzes 4.23, mit dem die Stetigkeit einer Funktion definiert wurde. Unsere Definition des Grenzwertes lim y x f(y) entspricht dbei der ε δ Definition der Stetigkeit, während die hier ngegebene Chrkterisierung letztlich dem Folgen Kriterium der Stetigkeit entspricht. Wir betrchten ls Nächstes einige Beispiele.

127 4.5. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 123 Beispiel 4.32 () Betrchte die Funktion f : [ 1, +1] R mit f(x) := { 0, flls x 0, 1, flls x = 0 und hier speziell den Punkt x = 0, der offenbr zum Definitionsbereich D := [ 1, +1] von f gehört. Dnn ist lim y 0 f(y) = 0, insbesondere ist dieser Grenzwert verschieden von dem Funktionswert f(0) = 1. (b) Betrchte die Funktion f : D R mit f(x) := x2 1 x 1 und dem Definitionsbereich D := {x R x 1}. Wegen x 2 1 = (x + 1)(x 1) ist dnn lim y 1 f(y) = lim y 1 (y + 1) = 2. Der Punkt x = 1 liegt in diesem Beispiel zwr nicht in dem Definitionsbereich von f, jedoch lässt sich f durch die Festsetzung f(1) := 2 stetig in x = 1 ergänzen. (c) Betrchte die Signum Funktion f : R R mit +1, flls x > 0, f(x) := sgn(x) := 0, flls x = 0, 1, flls x < 0. In x = 0 existiert der Grenzwert lim y 0 f(y) nicht, denn für eine beliebige Nullfolge {x n } (0, + ) gilt lim n f(x n ) = 1, während wir für jede Nullfolge {x n } (, 0) den hiervon verschiedenen Grenzwert lim n f(x n ) = 1 erhlten. Der Zusmmenhng zwischen dem Grenzwert einer Funktion und der Stetigkeit dieser Funktion wird durch ds nächste Resultt geklärt. D dieses völlig offensichtlich ist, verzichten wir n dieser Stelle uf einen formlen Beweis. Stz 4.33 Seien X 1 und X 2 metrische Räume, D X 1, f : D X 2 und x D ein Häufungspunkt von D. Dnn ist f genu dnn stetig in x, wenn lim y x f(y) = f(x) gilt. Mn bechte, dss wir im Stz 4.33 (im Gegenstz zur Definition 4.30 und dem Stz 4.31) vorussetzen, dss der betrchtete Punkt x zum Definitionsbereich D von f gehört. Dies ist ntürlich nötig, d wir nderenflls nicht von der Stetigkeit der Funktion f in diesem Punkt sprechen könnten. Für reelle Funktionen geben wir ls Nächstes noch die Definition von einseitigen (links oder rechtsseitigen) Grenzwerten. Definition 4.34 Seien X ein metrischer Rum, D R, f : D X und x D ein Häufungspunkt von D. Dnn schreiben wir lim f(y) = b oder f(y) b für y x+ y x+

128 124 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT und nennen b den rechtsseitigen Grenzwert von f für y x+, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d ( f(y), b ) < ε für lle y D mit y (x, x + δ) (insbesondere sollen solche y existieren). Entsprechend schreiben wir lim f(y) = b y x oder f(y) b für y x und nennen b den linksseitigen Grenzwert von f für y x, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d ( f(y), b ) < ε für lle y D mit y (x δ, x) (insbesondere sollen solche y wieder existieren). Die beiden gerde eingeführten einseitigen Grenzwerte lssen sich wieder durch geeignete Folgen Kriteri chrkterisieren. Beispielsweise gilt lim f(y) = b y x+ genu dnn, wenn lim n f(x n ) = b für lle Folgen {x n } D mit lim n x n = x und x n > x für lle n N ist (insbesondere sollen derrtige Folgen existieren). Wir betrchten wieder einige Beispiele. Beispiel 4.35 () Existiert der Grenzwert lim y x f(y), so existieren uch die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y), und es gilt die Beziehung lim y x+ f(y) = lim y x f(y) = lim y x f(y). (b) Die Umkehrung von () gilt ebenflls: Existieren die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y) und gilt dbei lim y x+ f(y) = lim y x f(y), so existiert uch der Grenzwert lim y x f(y), und für diesen gelten die Gleichheiten lim y x f(y) = lim y x+ f(y) = lim y x f(y). (c) Die Aussge (b) wird flsch, wenn zwr die beiden einseitigen Grenzwerte lim y x+ f(y) und lim y x f(y) existieren, ihre Werte jedoch verschieden sind. Betrchte hierzu die Signum Funktion us dem Beispiel 4.32 (c). Hier gilt lim y 0+ f(y) = 1 und lim y 0 f(y) = 1, der Grenzwert lim y x f(y) existierte jedoch nicht. (d) Mn bestätigt sehr leicht die Gültigkeit der einseitigen Grenzwerte lim x 0+ lim x 0 1 x n = + für ungerde n N, 1 x n = für ungerde n N, wobei hier unendliche Grenzwerte uftreten, die wir forml erst gleich einführen werden. In Verllgemeinerung des letzten Beispiels und der bisherigen Definitionen lssen sich uch die uneigentlichen Grenzwerte lim f(y) und lim y + f(y) y

129 4.5. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 125 einführen. Wir tun dies im Folgenden nur für den Fll y +, denn für y knn lles nlog erfolgen. Definition 4.36 Seien X ein metrischer Rum und f : [, + ) X eine gegebene Funktion. Dnn schreiben wir lim f(y) = b oder f(y) b für y + y + und nennen b den (uneigentlichen) Grenzwert von f für y +, wenn es zu jedem ε > 0 ein ξ [, + ) gibt mit d ( f(y), b ) < ε für lle y ξ. Anschulich besgt die obige Definition, dss lim y + f(y) = b genu dnn gilt, wenn der Funktionswert f(y) für lle hinreichend großen y sich um nicht mehr ls ε von dem Grenzwert b unterscheidet. Unter Verwendung von Folgen lässt sich die Definition 4.36 uch wie folgt formulieren: Es gilt lim y + f(y) = b genu dnn, wenn lim n + f(x n ) = b für lle Folgen {x n } [, + ) mit lim n x n = + erfüllt ist. Dher ist uch nicht verwunderlich, dss ds folgende Cuchy Kriterium gilt, dessen Beweis dem Leser ls Übung überlssen bleibt. Stz 4.37 ( Cuchy Kriterium für uneigentliche Grenzwerte ) Sei f : [, + ) R eine gegebene Funktion. Dnn existiert lim y + f(y) genu dnn, wenn es zu jedem ε > 0 ein ξ [, + ) gibt mit f(x) f(y) < ε für lle x, y ξ. Die Verllgemeinerung der Definition 4.36 uf Ausdrücke der Gestlt lim f(y) = b, lim y f(y) = ± und lim f(y) = ± y + y sollte klr sein. Als kleine Anwendung hiervon betrchten wir ds folgende Beispiel. Beispiel 4.38 Sei p : R R ein Polynom p(x) = n x n x + 0 ungerden Grdes mit n > 0. Für x ± dominiert die höchste Potenz offenbr ds Grenzwertverhlten von p. Wegen n ungerde hben wir somit lim p(x) = + und lim p(x) =. x + x Also existieren, b R mit < b und p() < 0 < p(b). D p stetig ist, besitzt ds Polynom p ufgrund des Zwischenwertstzes 4.29 dher eine Nullstelle ξ (, b). Anlog verifiziert mn diese Aussge uch im Fll n < 0. Wir hben lso gezeigt, dss jedes reelle Polynom (lso k R) ungerden Grdes mindestens eine Nullstelle in R besitzt.

130 126 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT 4.6 Kompkte Mengen Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den so gennnten kompkten Mengen eines metrischen Rumes. Zu diesem Zweck beginnen wir mit der Definition von verschiedenen Kompktheitsbegriffen, deren Verhältnis zueinnder in den nchfolgenden Resultten diskutiert wird. Definition 4.39 Eine Teilmenge M eines metrischen Rumes (X, d) heißt () überdeckungskompkt, wenn jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung enthält, d.h., M i I O i, O i X offen = i 1,...,i k I : M k O ij ; (b) folgenkompkt, wenn jede Folge in M eine in M konvergente Teilfolge besitzt, d.h., j=1 {x n } M = Teilfolge {x nk } x M : lim k x nk = x; (c) präkompkt, wenn M für jedes ε > 0 eine endliche Überdeckung mit ε Kugeln besitzt, d.h., m ε > 0 x 1,...,x m M : M K ε (x i ); die Zhl m hängt hierbei im Allgemeinen von dem gegebenen ε b. Wir werden in unserem nchfolgenden Resultt sehen, dss es in einem metrischen Rum keinen Unterschied zwischen einer überdeckungskompkten und einer folgenkompkten Teilmenge gibt. Hingegen ist ds offene Intervll (0, 1) beispielsweise präkompkt in dem metrischen Rum (R, ), nicht jedoch überdeckungs oder folgenkompkt (d beispielsweise nicht bgeschlossen, vergleiche Lemm 4.43 weiter unten). Stz 4.40 Für eine Teilmenge M eines metrischen Rumes (X, d) sind die folgenden Aussgen äquivlent: () M ist überdeckungskompkt. (b) M ist folgenkompkt. (c) M ist präkompkt und vollständig (bezüglich der induzierten Metrik d). Beweis: () = (b): Sei M überdeckungskompkt. Angenommen, M ist nicht folgenkompkt. Dnn existiert eine Folge {x n } M, die keinen Häufungspunkt in M besitzt. Zu jedem y M gibt es dnn ein ε y > 0, so dss die Menge N y := {n N x n K εy (y)} i=1

131 4.6. KOMPAKTE MENGEN 127 endlich ist. D die Kugeln K εy (y) für y M eine offene Überdeckung von M bilden, gibt es ufgrund der Vorussetzung () endlich viele Punkte y 1,...,y k M mit M k K εyi (y i ). i=1 Dnn wäre ber N = k i=1 N y i eine endliche Menge, ws den gewünschten Widerspruch liefert. (b) = (c): Wir verifizieren zunächst die Vollständigkeit des metrischen Rumes (M, d): Sei {x n } dzu eine Cuchy Folge in M. Nch Vorussetzung (b) besitzt diese einen Häufungspunkt x M. Wegen Stz 4.9 (e) konvergiert dnn bereits die gesmte Folge {x n } gegen x. Also ist (M, d) vollständig. Als Nächstes beweisen wir, dss M präkompkt ist. Angenommen, dies ist nicht der Fll. Dnn existiert ein ε > 0, so dss M keine endliche Überdeckung mit ε Kugeln besitzt. Induktiv findet mn dher eine Folge {x n } M mit x n+1 M \ n i=1 K ε(x i ) für lle n N. Die so konstruierte Folge {x n } besitzt offenbr keinen Häufungspunkt in M, im Widerspruch zur vorusgesetzten Folgenkompktheit von M. (c) = (): Sei M i I O i eine Überdeckung von M mit offenen Mengen O i X. Angenommen, M lässt sich nicht durch endlich viele der O i überdecken. Nun ist M ber präkompkt. Zu ε = 1 gibt es dher endlich viele Punkte x(1) 2 1, x(1) 2,...,x(1) m 1 M derrt, dss die zugehörigen Kugeln K 1(x (1) i )(i = 1,...,m 1 ) die Menge M überdecken. Mindestens 2 eine dieser Kugeln knn dnn nicht durch endlich viele der O i überdeckt werden, d wir sonst schon eine endliche Auswhl der O i gefunden hätten, die gnz M überdecken würden. Diese eine Kugel sei K1(x (1) i ) für ein i {1,..., m 1 }. Wir bezeichnen den zugehörigen 2 Mittelpunkt x (1) i von nun n einfch mit x 1. D M präkompkt ist, gibt es ber uch zu ε = ( 1 2 )2 endlich viele Punkte x (2) 1, x(2) 2,...,x(2) M, so dss m 2 M i=1 K ( 1 2 )2(x(2) i ) gilt. Für mindestens einen dieser Punkte, nennen wir ihn x 2, ist dnn K ( 1 2 )2(x 2) K ( 1 2 )1(x 1), und K ( 1 )2(x 2) wird nicht durch endlich viele der O i überdeckt (würden nämlich lle diese 2 Kugeln, die einen nichtleeren Schnitt mit K1(x 1 ) hben, durch endlich viele O i überdeckt 2 werden, so würde dies uch für K1(x 1 ) selbst gelten). Induktiv konstruiert mn uf diese 2 Weise eine Folge {x n } M mit K ( 1 2 )n+1(x n+1) K ( 1 2 )n(x n), (4.4) m 2

132 128 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT so dss keine der Kugeln K ( 1 )n(x n) durch endlich viele der offenen Mengen O i überdeckt 2 wird. Sei x n ein nch (4.4) existierender Punkt us der Schnittmenge K ( 1 )n+1(x n+1) 2 K ( 1 )n(x n). Dnn ist 2 für lle n N und dher d(x n+1, x n ) d(x n+1, x n ) + d( x n, x n ) ( ) n+1 ( ) n ( ) n d(x n+1, x n ) < + n=1 ufgrund der Konvergenz der geometrischen Reihe. Hierus folgt ber unmittelbr, dss es sich bei {x n } um eine Cuchy Folge hndelt (die Reihenreste werden beliebig klein). Nun ist M nch Vorussetzung ber uch vollständig. Dher konvergiert die Folge {x n } gegen ein x M. Wegen M i I O i existiert ein Index i 0 I mit x O i0. D O i0 offen ist, gibt es ein r > 0 mit K 2r (x ) O i0. Andererseits ist ber d(x n, x ) < r für lle n N hinreichend groß und somit K ( 1 2 )n(x n) K 2r (x ) O i0 für lle diese n N, sofern noch ( 1 2 )n r gilt, denn us der Dreiecksungleichung folgt dnn für lle x K ( 1 )n(x n) sofort 2 ( ) n 1 d(x, x ) d(x, x n ) + d(x n, x ) < + r r + r = 2r 2 und dher x K 2r (x ). Die Inklusion K ( 1 )n(x n) O i0 steht jedoch im Widerspruch dzu, 2 dss K ( 1 )n(x n) per Konstruktion nicht durch endlich viele der O i überdeckt wird. 2 Ds vorstehende Resultt motiviert die folgende Definition. Definition 4.41 Eine Teilmenge M X eines metrischen Rumes (X, d) heißt kompkt, wenn M eine der drei äquivlenten Bedingungen (), (b) oder (c) us dem Stz 4.40 genügt. Wir beweisen im Folgenden einige wichtige Eigenschften kompkter Mengen. Dzu beginnen wir mit dem folgenden Resultt, wonch bgeschlossene Teilmengen von kompkten Mengen in jedem metrischen Rum wieder kompkt sind. Lemm 4.42 ( Abgeschlossene Teilmengen kompkter Mengen sind kompkt ) Seien (X, d) ein metrischer Rum, M X eine kompkte Menge und A M bgeschlossen. Dnn ist A bereits kompkt.

133 4.6. KOMPAKTE MENGEN 129 Beweis: Wir beweisen die Folgen Kompktheit von A. Sei lso {x n } eine beliebige Folge in A. Dnn ist {x n } insbesondere eine Folge in der kompkten Menge M und besitzt dher eine in M konvergente Teilfolge {x nk } x für ein x M. Nun ist A nch Vorussetzung ber bgeschlossen und dher bereits x A wegen Lemm Also ist A kompkt. Zur Formulierung der nächsten Eigenschft nennen wir eine Teilmenge M X eines metrischen Rumes (X, d) beschränkt, wenn es ein x X und eine Konstnte r > 0 gibt mit d(x, y) < r für lle y M, d.h., wenn M K r (x) gilt, lso M in einer hinreichend großen Kugel enthlten ist. Diese Definition ist offenbr konsistent mit jener einer beschränkten Folge (siehe die Ausführungen vor dem Stz 4.9), wenn mn eine solche Folge ls Teilmenge eines metrischen Rumes uffsst. Lemm 4.43 ( Kompkte Mengen sind beschränkt und bgeschlossen ) Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine kompkte Teilmenge. Dnn ist M beschränkt und bgeschlossen. Beweis: Wäre die Menge M nicht bgeschlossen, so gäbe es wegen Lemm 4.17 eine Folge {x n } M mit x n x für ein x X \ M. Dnn würde ber uch jede Teilfolge von {x n } gegen x konvergieren. Wegen Stz 4.40 (b) müsste dnn ber x M gelten im Widerspruch zu unserer Annhme. Wäre die Menge M unbeschränkt, so gäbe es ein x X sowie eine Folge {x n } M mit d(x, x n ). Dnn gilt uch d(x n, y) für lle y X wegen d(x n, y) d(x n, x) d(y, x). Also besitzt {x n } keine konvergente Teilfolge, im Widerspruch zur vorusgesetzten Kompktheit von M. Im K n gilt uch die Umkehrung des Lemms Stz 4.44 ( Heine Borel ) Sei M eine Teilmenge des (mit der Mximumnorm versehenen) Rumes K n. Dnn sind die beiden folgenden Aussgen äquivlent: () M ist kompkt. (b) M ist beschränkt und bgeschlossen. Beweis: Die Impliktion () = (b) gilt ufgrund des Lemms Zum Beweis der Umkehrung sei {x n } M eine beliebige Folge. D M K n beschränkt ist, besitzt die Folge {x n } ufgrund eines Stzes 4.13 von Bolzno Weierstrß eine konvergente Teilfolge. Der Grenzwert dieser konvergenten Teilfolge liegt wegen der vorusgesetzten Abgeschlossenheit von M dnn wieder in der Menge M, vergleiche Lemm Nch dem Folgen Kriterium us dem Stz 4.40 (b) ist M dher kompkt.

134 130 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Mn bechte, dss ds im Beweis des Stzes 4.44 benutzte Resultt von Bolzno Weierstrß lediglich im K n (bzw. in llen endlich dimensionlen Vektorräumen) gilt, nicht jedoch in unendlich dimensionlen Räumen. Ferner sei n dieser Stelle uch erwähnt, dss es im Prinzip keine Rolle spielt, dss wir den Rum K n mit der Mximumnorm versehen hben. Aber uch dies werden wir erst etws später einsehen, siehe den Stz Mittels des Stzes 4.44 von Heine Borel sind wir jetzt uch in der Lge, bequem einige Beispiele von kompkten und nicht kompkten Mengen ngeben zu können. Beispiel 4.45 () Jedes Intervll [, b] ist eine bgeschlossene und beschränkte Menge in R. Nch dem Stz von Heine Borel ist dher jedes solche Intervll kompkt. (b) In dem metrischen Rum K n, versehen mit der durch die (z.b.) Mximumnorm induzierten Metrik d (x, y) := x y, sind die bgeschlossenen Kugeln K ε (x) := {y X d (x, y) ε} kompkt, denn es hndelt sich hierbei (wie schon vorher bemerkt) um bgeschlossene Mengen, die per Konstruktion uch beschränkt sind. Die Behuptung folgt dher us dem Stz 4.44 von Heine Borel. Als Wrnung sei llerdings erwähnt, dss die bgeschlossenen Kugeln K ε (x) in einem beliebigen metrischen Rum (X, d) zwr bgeschlossen und beschränkt sind, ber nicht notwendig kompkt, d der Stz 4.44 von Heine Borel nicht in beliebigen metrischen Räumen gilt. (c) Seien (X, d) ein metrischer Rum und M X eine kompkte Menge. Dnn ist der Rnd M von M ebenflls eine kompkte Teilmenge von X, denn wegen Lemm 4.22 ist M = M\ M M = M eine bgeschlossene Teilmenge von M und dher kompkt wegen Lemm Wir beschäftigen uns ls Nächstes mit stetigen Funktionen uf kompkten Mengen. Unser erstes derrtiges Resultt besgt, dss stetige Bilder kompkter Mengen wieder kompkt sind. Stz 4.46 ( Stetige Bilder kompkter Mengen sind kompkt ) Seien (X 1, d 1 ), (X 2, d 2 ) metrische Räume, M X 1 kompkt und f : M X 2 stetig. Dnn ist die Bildmenge f(m) ebenflls kompkt in X 2. Beweis: Sei {y n } eine beliebige Folge in f(m). Dnn existiert eine Folge {x n } M mit y n = f(x n ) für lle n N. D M nch Vorussetzung kompkt ist, besitzt {x n } eine in M konvergente Teilfolge {x nk }. Es existiert lso ein x M mit lim k x nk = x. D f uf M stetig ist, erhlten wir hierus lim k y n k = lim k f(x nk ) = f(x). Also besitzt die Folge {y n } eine Teilfolge {y nk }, die gegen ds Element y := f(x) us f(m) konvergiert. Folglich ist f(m) kompkt.

135 4.6. KOMPAKTE MENGEN 131 Als Konsequenz us dem obigen Resultt erhlten wir den nchstehenden Stz, wonch eine reellwertige stetige Funktion uf einer kompkten Menge stets ihr Minimum und Mximum nnimmt. Stz 4.47 Seien (X, d) ein metrischer Rum, M X eine nichtleere kompkte Teilmenge und f : M R stetig. Dnn existieren x M und x M mit f(x ) = inf x M f(x) und f(x ) = sup f(x), x M d.h., f nimmt uf M sein Infimum und sein Supremum n. Beweis: Wegen Stz 4.46 ist f(m) eine kompkte Teilmenge von R. Dher ist f(m) nch Lemm 4.43 beschränkt und bgeschlossen. Wir beweisen jetzt die Aussge über ds Infimum (die über ds Supremum knn nlog verifiziert werden). Als beschränkte Teilmenge von R ist f := inf x M f(x) endlich. Gemäß Definition des Infimums existiert ußerdem eine Folge {x n } M mit f(x n ) f. D M kompkt ist, gibt es eine Teilfolge {x nk } M und ein x M mit lim k x nk = x. Dnn ist ntürlich uch f(x nk ) f. Andererseits ist f stetig, lso f(x nk ) f(x ) für k. Aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes folgt sofort f(x ) = f, womit die Behuptung für ds Infimum bewiesen ist. Wir führen ls Nächstes noch den Begriff einer gleichmäßig stetigen Funktion ein. Definition 4.48 Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume. Eine uf einer Teilmenge M X 1 definierte Funktion f : M X 2 heißt gleichmäßig stetig uf M, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit d 2 (f(x), f(y)) < ε für lle x, y M mit d 1 (x, y) < δ. In der Kurzschreibweise mittels des All und Existenzquntors lässt sich die Definition 4.48 uch wie folgt schreiben: f ist gleichmäßig stetig uf M : ( ε > 0 δ > 0 : d 1 (x, y) < δ = d 2 ( f(x), f(y) ) < ε ). Hndelt es sich bei den metrischen Räumen (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) speziell um den Rum (K, ), so lutet die zugehörige Definition offenbr: f ist gleichmäßig stetig uf M : ( ε > 0 δ > 0 : x y < δ = f(x) f(y) < ε ). Wir betrchten zunächst ein einfches Beispiel. Beispiel 4.49 Betrchte die Funktion f : [, b] R, f(x) := x 2.

136 132 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Wir wollen mittels der Definition 4.48 einsehen, dss es sich hierbei um eine gleichmäßig stetige Funktion hndelt. Sei dzu ε > 0 beliebig gegeben. Wir suchen dnn ein (gegebenenflls von ε > 0, nicht jedoch von x, y bhängiges) δ > 0 derrt, dss die folgende Impliktion gilt: x y < δ für x, y [, b] = f(x) f(y) < ε. Um eine Idee für eine geeignete Whl von δ > 0 zu bekommen, schreiben wir f(x) f(y) = x 2 y 2 = x + y x y. Wir müssen lso nur den Term x + y klein bekommen. Nun gilt x mx{, b } =: M für lle x [, b], lso x + y x + y 2M für lle x, y [, b]. Wählen wir dher δ := ε 2M, so gilt für lle x, y [, b] mit x y < δ die gewünschte Abschätzung f(x) f(y) 2M x y < 2M δ = ε. Also ist f in der Tt gleichmäßig stetig uf dem Intervll [, b]. Mn bechte llerdings, dss die obige Argumenttion zusmmenbricht, wenn mn ls Definitionsbereich von f ein uneigentliches Intervll zugelssen hätte. Ttsächlich ist f zwr stetig in llen Punkten x R, ber nicht gleichmäßig stetig uf beispielsweise der gesmten reellen Achse R. Im Gegenstz zur Definition einer stetigen Funktion hängt die Whl des δ > 0 bei einer gleichmäßig stetigen Funktion zwr von der Größe ε > 0 b, nicht jedoch von dem betreffenden Punkt x. Dmit ist jede gleichmäßig stetige Funktion insbesondere stetig, während die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt. Jedoch lässt sich ds folgende Kriterium ls Verllgemeinerung des Beispiels 4.49 beweisen. Stz 4.50 ( Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit ) Seien (X 1, d 1 ) und (X 2, d 2 ) metrische Räume, M X 1 eine kompkte Teilmenge und f : M X 2 eine stetige Funktion. Dnn ist f gleichmäßig stetig uf M. Beweis: Angenommen, f ist nicht gleichmäßig stetig uf M. Dnn existiert ein ε > 0, so dss für lle δ > 0 stets zwei (von δ bhängige) Punkte x, y M existieren mit d 1 (x, y) < δ und d 2 (f(x), f(y)) ε. Insbesondere gibt es zu jedem δ = 1/n Punkte x n, y n M mit d 1 (x n, y n ) < 1/n und d 2 (f(x n ), f(y n ) ε für lle n N. D M nch Vorussetzung kompkt ist, besitzt die Folge {x n } M eine konvergente Teilfolge, etw {x nk } x für ein x M. Wegen d 1 (x n, y n ) 0 für n konvergiert dnn uch die zugehörige Teilfolge {y nk } von {y n } gegen den Punkt x. Aus der Stetigkeit von f folgt

137 4.6. KOMPAKTE MENGEN 133 dher sowohl f(x nk ) f(x) ls uch f(y nk ) f(x) für k im Widerspruch zu d 2 (f(x nk ), f(y nk )) ε für lle k N. Der Stz 4.50 besgt lso, dss eine uf einer kompkten Menge stetige Funktion dort utomtisch gleichmäßig stetig ist. Wir beschäftigen uns ls Nächstes mit der Stetigkeit von Umkehrfunktionen. Stz 4.51 ( Stetigkeit der Umkehrfunktion ) Seien (X, d X ) und (Y, d Y ) metrische Räume, M X eine kompkte Teilmenge und f : M Y eine stetige und injektive Abbildung. Dnn ist die uf dem Bildbereich f(m) := {y x X : y = f(x)} definierte Umkehrfunktion f 1 : f(m) X ebenflls stetig. Beweis: Sei {y n } f(m) eine beliebige gegen ein y f(m) konvergente Folge. Setze g := f 1 und x n := g(y n ), x := g(y). Nch dem Folgen Kriterium der Stetigkeit hben wir dnn x n x in X zu zeigen. Angenommen, dies ist nicht der Fll. Wegen {x n } M und M kompkt existiert dnn eine Teilfolge {x nk } und ein Element x x mit {x nk } x für k. D f nch Vorussetzung stetig ist, impliziert dies y nk := f(x nk ) f(x). Nun ist f ber uch injektiv, so dss us x x uch f(x) f(x) = f ( g(y) ) = y folgt. Dmit besitzt die Teilfolge {y nk } von {y n } die beiden verschiedenen Grenzwerte y und f(x), ws wegen Stz 4.9 nicht sein knn. In einem später noch wichtig werdenden Spezilfll können wir im Stz 4.51 uf die Kompktheitsvorussetzung verzichten. Stz 4.52 Sei f : I R eine uf einem (eigentlichen oder uneigentlichen) Intervll I R definierte Funktion, die stetig und streng monoton (fllend oder wchsend) sei. Dnn ist die Umkehrfunktion f 1 : f(i) R ebenflls stetig und streng monoton (fllend oder wchsend). Beweis: Die strenge Monotonie der Umkehrfunktion g := f 1 folgt sofort us dem Stz Zu zeigen bleibt somit nur noch die Aussge über die Stetigkeit. Setze dzu I := f(i). Wegen des Zwischenwerttzes ist I ein (eventuell uneigentliches) Intervll, ds lle Punkte zwischen ξ := inf{f(x) x I} und η := sup{f(x) x I} umfsst. Die strenge Monotonie von f impliziert hierbei ξ < η. Also können wir zwei Folgen von Punkten α j, β j I mit ξ < α j < β j < η und α j ξ, β j η finden. Setzen wir f von nun n ohne Einschränkung ls monoton wchsend vorus (der Beweis verläuft nlog im Flle einer monoton fllenden Funktion), so gibt es Punkte j, b j I mit j < b j, α j = f( j ) und β j = f(b j ). Jedes Intervll [α, β] in I ist bijektives Bild eines Intervlles [, b] in I unter f. Wegen Stz 4.51 ist die Abbildung f 1 [α,β] stetig. Also ist

138 134 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT f 1 in jedem Punkt x I stetig, denn wir können ufgrund der obigen Ausführungen stets ein kompktes Intervll [α, β] I finden mit x [α, β], so dss f 1 sogr uf dem gesmten Intervll [α, β], insbesondere lso in dem Punkt x, stetig ist. Im Beispiel 4.6 hben wir bereits gesehen, dss mn den Vektorrum K n (mindestens) mit zwei verschiedenen Normen versehen knn, und zwr hben wir dort die euklidische Norm x 2 := x x n 2 für x K n, und die Mximumnorm x := x := mx { x 1,..., x n } definiert. Im Abschnitt 6.6 werden wir noch beliebig viele weitere Normen im K n einführen. Nun wäre es ntürlich denkbr, dss eine Folge {x n } bezüglich der einen Norm konvergiert und bezüglich der nderen nicht. Ttsächlich knn so ein Fll uftreten, wenn wir in einem unendlich dimensionlen Vektorrum sind. In dem endlich dimensionlen Rum K n ist dies ber nicht möglich, wie wir ls Nächstes zeigen wollen. Sei dzu X ein beliebiger K Vektorrum. Sind dnn, b : X R zwei verschiedene Normen, so heißen diese äquivlent, wenn es zwei Konstnten c 2 c 1 > 0 gibt mit c 1 x x b c 2 x x X. Die beiden Konstnten c 1 und c 2 dürfen dbei ntürlich von der Whl der Normen und b bhängen, nicht jedoch von dem Vektor x X. Sind zwei Normen äquivlent, so ist eine bezüglich konvergente Folge offenbr uch bezüglich b konvergent und umgekehrt. Dmit stimmen uch die Begriffe der offenen und bgeschlossenen Mengen bezüglich zweier äquivlenter Normen überein. Wir betrchten jetzt den Rum X := K n und zeigen, dss jede Norm uf diesen Rum äquivlent ist zur Mximumnorm. Stz 4.53 ( Äquivlenz ller Normen im K n ) Sei eine beliebige Norm uf dem K n und die Mximumnorm uf dem K n. Dnn sind und äquivlent. Beweis: Die Menge S := {x K n x = 1} ist wegen Beispiel 4.45 (c), (d) kompkt. D jede Norm insbesondere eine stetige Abbildung ist (dies folgt beispielsweise us der inversen Dreiecksungleichung), existieren wegen Stz 4.47 dher die Konstnten c 1 := min x > 0 und c x S 2 := mx x > 0. x S Für beliebiges x 0 ist dnn y := x x ein Element von S und dher c 1 y c 2 c 1 x x c 2 x,

139 4.7. DER APPROXIMATIONSSATZ VON WEIERSTRASS 135 worus die Behuptung folgt. Aus dem Stz 4.53 ergibt sich sofort, dss je zwei Normen im K n äquivlent sind. Diese Aussge gilt llgemeiner in jedem endlich dimensionlen Vektorrum X. Als unmittelbre Konsequenz des Stzes 4.53 notieren wir noch ds folgende Resultt. Korollr 4.54 Sei {x k } R n eine gegebene Folge. Dnn konvergiert diese Folge genu dnn gegen ein x R n, wenn jede Komponentenfolge {x k i } R gegen x i konvergiert (i = 1,...,n). Beweis: Sei zunächst vorusgesetzt, dss die Folge der Vektoren {x k } gegen x konvergiert. Wegen des Stzes 4.53 ist dbei egl, bezüglich welcher Norm wir hierbei die Konvergenz betrchten. Wählen wir etw die Mximumnorm, so gilt x k i x i xk x 0 für k. Also konvergiert jede Folge {x k i } gegen x i (i = 1,...,n). Gilt umgekehrt x k i x i 0 für k und lle Komponenten i {1,..., n}, so folgt unmittelbr x k x = mx i=1,...,n xk i x i 0 für k und dmit uch die Konvergenz der Folge von Vektoren {x k } gegen x. 4.7 Der Approximtionsstz von Weierstrß Wir beginnen zunächst mit einer grundlegenden Definition. Definition 4.55 Sei (X, d) ein metrischer Rum. () Eine Teilmenge M X liegt dicht in X, wenn M = X gilt. (b) Der metrische Rum X heißt seprbel, wenn es eine höchstens bzählbre Teilmenge M X gibt mit M = X. Ein metrischer Rum (X, d) ist lso seprbel, wenn es höchstens bzählbr viele Elemente x 1, x 2, x 3,... X gibt, die bezüglich der Metrik d dicht in X liegen. Wir erwähnen n dieser Stelle einige einfche Beispiele. Beispiel 4.56 () Die Menge der rtionlen Zhlen Q liegt beknntlich dicht in dem metrischen Rum (R, ). D Q bzählbr ist, hndelt es sich bei (R, ) um einen seprblen Rum. Ebenso ist uch der euklidische Rum R n seprbel, denn Q n liegt dicht in R n und ist ebenflls bzählbr.

140 136 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT (b) Die Menge der Zhlen Q + iq := {x + iy x, y Q} ist bzählbr und liegt dicht in C, lso ist (C, ) seprbel. Aus ähnlichem Grund folgt uch die Seprbilität von C n. (c) Seien (X, d) ein metrischer Rum sowie M N X Teilmengen derrt, dss M dicht in N und N dicht in X liegen. Dnn liegt M uch dicht in X, denn nch Vorussetzung gelten M = N und N = X und somit M = M = N = X. (d) Betrchte die Menge C([, b]) := { f : [, b] R f stetig } ller stetigen Funktionen uf dem Intervll [, b], versehen mit der Metrik d (f, g) := f g := mx f(x) g(x) für f, g, C([, b]) x [,b] (dss es sich hierbei um eine Metrik hndelt, sieht mn sofort ein). Nch dem Approximtionsstz von Weierstrß, für den wir gleich einen Beweis liefern werden, liegt die Menge ller Polynome dicht in C([, b]). Andererseits ist die Menge ller Polynome mit rtionlen Koeffizienten dicht in der Menge ller Polynome. D die Menge ller Polynome mit rtionlen Koeffizienten bzählbr ist, folgt us dem Beispiel (c) die Seprbilität von C([, b]). Als Nchtrg zum Beispiel 4.56 (d) wollen wir n dieser Stelle den dort benutzten Approximtionsstz von Weierstrß beweisen. Hierzu benötigen wir einige einfche Identitäten, die wir deshlb gesondert in dem folgenden Hilfsresultt zur Verfügung stellen. In dessen Beweis gehen wir usnhmsweise ml dvon us, dss die elementren Rechenregeln zur Ableitung von Polynomen beknnt sind, forml wird der Ableitungsbegriff (uch Differentition gennnt) erst im Kpitel 6 eingeführt werden. Lemm 4.57 Seien n N und ( ) n b k (x) := x k (1 x) n k für k = 0, 1,..., n und x R. k Dnn gelten die beiden folgenden Gleichungen für lle n N und lle x R: () n k=0 b k(x) = 1. (b) n k=0 b k(x)(nx k) 2 = nx(1 x). Beweis: Aufgrund des binomischen Lehrstzes gilt beknntlich (x + y) n = n k=0 ( ) n x k y n k x, y R, (4.5) k

141 4.7. DER APPROXIMATIONSSATZ VON WEIERSTRASS 137 worus mn speziell für y = 1 x die Formel n b k (x) = 1 (4.6) k=0 erhält, so dss die Aussge () hiermit bereits bewiesen ist. Differentition von (4.5) nch x und nschließende Multipliktion mit x liefert n ( ) n nx(x + y) n 1 = kx k y n k x, y R. k k=0 Differenziert mn (4.5) hingegen zweiml nch x und multipliziert ds Ergebnis dnn mit x 2, so ergibt sich n ( ) n n(n 1)x 2 (x + y) n 2 = k(k 1)x k y n k x, y R. k k=0 Speziell für y = 1 x luten die letzten beiden Formeln wie folgt: n nx = b k (x)k und (4.7) n(n 1)x 2 = k=0 n b k (x)k(k 1) x R. k=0 Summtion dieser beiden Gleichungen liefert nx + n(n 1)x 2 = n b k (x)k 2. (4.8) Unter Verwendung von (4.6), (4.7) und (4.8) ergibt sich wegen Teil () nun n b k (x)(nx k) 2 k=0 = k=0 n b k (x)(n 2 x 2 2nkx + k 2 ) k=0 n = n 2 x 2 b k (x) 2nx k=0 }{{} =1 = nx(1 x), womit uch die Formel (b) bewiesen ist. n b k (x)k + k=0 } {{ } =nx n b k (x)k 2 k=0 }{{} =nx+n(n 1)x 2 (4.9) Mit Hilfe des Lemms 4.57 können wir jetzt einen reltiv kurzen Beweis des Approximtionsstzes von Weierstrß ngeben.

142 138 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT Stz 4.58 ( Approximtionsstz von Weierstrß ) Sei C([, b]) der Rum der stetigen Funktionen uf dem kompkten Intervll [, b], versehen mit der Metrik d = d us dem Beispiel 4.56 (d). Dnn liegt die Menge ller Polynome (mit reellen Koeffizienten) dicht in C([, b]). Beweis: Wir beweisen die Aussge nur für den Spezilfll [, b] = [0, 1]. Der llgemeine Fll knn hieruf mittels der Trnsformtion x = + t(b ) zurückgeführt werden (bechte, dss diese Trnsformtion ds Intervll [0, 1] bijektiv uf [, b] bbildet). Seien f C([, b]) und ε > 0 beliebig gegeben. Wir werden zeigen, dss es ein Polynom p mit d(f, p) 2ε gibt, worus dnn die Behuptung folgt. Der Beweis ist dbei konstruktiv, d wir ds Polynom p im Prinzip explizit ngeben werden. Definiere zu diesem Zweck ds (von f bhängige) so gennnte n-te Bernstein Polynom durch B n (x) := n k=0 ( k f b k (x) n) (n N), wobei b k (x) wie im Lemm 4.57 definiert sei. Mit (4.6) folgt dnn f(x) Bn (x) n ( ( )) k = f(x) f b k (x) n k=0 n ( k n) f(x) f b k (x), k=0 d b k (x) für lle x [0, 1] sowieso nichtnegtiv ist. D f uf dem kompkten Intervll [0, 1] nch Stz 4.50 sogr gleichmäßig stetig ist, existiert ein δ > 0 mit ( k n) f(x) f ε für lle x [0, 1] mit x k n < δ. Für jedes x [0, 1] mit x k δ hingegen gilt mit der Konstnten n c := mx f(t) stets t [,b] ( ( k n) f(x) f 2c 2c x k ) 2 / δ 2. n Für beliebige x [0, 1] gilt somit die Abschätzung ( k n) f(x) f ε + 2c Zusmmen mit Lemm 4.57 folgt dher f(x) B n (x) ( n ε + 2c k=0 ( x k n ) 2 / δ 2. ( x k ) ) 2 /δ 2 b k (x) n

143 4.7. DER APPROXIMATIONSSATZ VON WEIERSTRASS 139 = ε n k=0 = ε + 2c δ 2 n 2 b k (x) + 2c δ 2 n k=0 ( x k n) 2 b k (x) n ( ) 2 nx k b k (x) k=0 = ε + 2cx(1 x)/(δ 2 n). Nun ist 2cx(1 x)/(δ 2 n) ε für lle x [0, 1] und lle n N hinreichend groß und dher d(f, B n ) 2ε für lle diese n N.

144 140 KAPITEL 4. METRISCHE RÄUME UND STETIGKEIT

145 Kpitel 5 Spezielle Funktionen 5.1 Exponentilfunktion 5.2 Ntürlicher Logrithmus und llgemeine Potenz 5.3 Sinus und Cosinus 5.4 Trigonometrische Umkehrfunktionen 5.5 Polrkoordinten 5.6 Der Fundmentlstz der Algebr 5.1 Exponentilfunktion Im Folgenden bezeichnet K wieder den Körper R der reellen oder den Körper C der komplexen Zhlen. Die Exponentilfunktion exp : K K ist dnn definiert durch die Potenzreihe exp(z) := k=0 z k k! = 1 + z + z2 2! + z3 3! +..., die wegen Beispiel 3.38 für lle z K bsolut konvergiert. Für K = R spricht mn von der reellen Exponentilfunktion, für K = C von der komplexen Exponentilfunktion. Eine gnz wichtige Eigenschft der Exponentilfunktion ist ds folgende Additionstheorem. Stz 5.1 ( Additionstheorem der Exponentilfunktion ) Es gilt exp(z) exp(w) = exp(z + w) für lle z, w K. Beweis: Wir wenden den Stz 3.40 über ds Produkt zweier bsolut konvergenter Reihen n, und zwr uf die beiden bsolut konvergenten Reihen exp(z) = k=0 z k k! und exp(w) = k=0 w k k!. 141

146 142 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Dzu multiplizieren wir beide Reihen im Sinne des Cuchy Produktes us (3.9). Unter Verwendung des binomischen Lehrstzes 1.9 ist zunächst c n := n k=0 z n k (n k)! wk k! = 1 n! n k=0 ( ) n z n k w k = 1 k n! (z + w)n n N 0. Gemeinsm mit der Definition des Cuchy Produktes folgt hierus bereits exp(z + w) = exp(z) exp(w). Aufgrund des Additionstheorems 5.1 gilt beispielsweise exp(z) exp( z) = exp(z z) = exp(0) = 1 z K und dher exp(z) 0 und exp( z) = 1 exp(z) Wir beweisen ls Nächstes die Stetigkeit der Exponentilfunktion. Stz 5.2 ( Stetigkeit der Exponentilfunktion ) Die Exponentilfunktion exp : K K ist stetig uf gnz K. z K. (5.1) Beweis: Wir zeigen zunächst, dss die Ungleichung exp(z) 1 2 z für lle z K mit z 1 (5.2) gilt. Sei dzu z K mit z 1 beliebig gegeben. Aus der Definition der Exponentilfunktion folgt dnn und dher exp(z) 1 = z + z2 2! + z3 3! +... exp(z) 1 z k k! k=1 ( = z 1 + z ) 2! + z z k 3! (k + 1)! +... ( z ! + 1 ) 3! (k + 1)! +... ( z ( 2 ( ) k ) ) 2 ( ) k 1 = z 2 = 2 z k=0

147 5.1. EXPONENTIALFUNKTION 143 ufgrund der Konvergenz der geometrischen Reihe. Sei nun z K ein beliebiger Punkt und {z n } K eine gegen z konvergente Folge. Dnn ist z n z 1 für lle n N hinreichend groß. Aus diesem Grunde erhlten wir us (5.2) exp(zn z) 1 2 zn z 0 für lle n. Ds Additionstheorem impliziert somit lim exp(z n) = lim exp(z) exp(z n z) = exp(z), n n ws die Stetigkeit der Exponentilfunktion beweist. Zur Motivtion einer gebräuchlichen Schreibweise benötigen wir ds folgende Resultt. Lemm 5.3 Für jede rtionle Zhl r Q gilt exp(r) = e r, wobei e := exp(1) die Eulersche Zhl bezeichnet, vergleiche Beispiel 3.38 (). Beweis: Für r = n N 0 gilt ufgrund des Additionstheorems zunächst Für r = 1 n Für r = m n Für r = m n exp(n) = exp(n 1) = (exp(1)) n = e n. mit n N enthält mn uf nloge Weise: ( ( )) n ( 1 exp = exp n 1 ) = exp(1) = e = exp n n mit m, n N folgt hierus ( m ) exp = exp n ( m 1 n ) = ( exp ( )) m 1 = e m n. n mit m, n N ergibt sich deshlb ( exp m ) ( ( m )) 1 ( m) 1 = exp = e n = e m n n n ( ) 1 = e 1 n. n unter Verwendung der Formel (5.1). Ds Lemm 5.3 motiviert die übliche Schreibweise e z := exp(z) z K für die Exponentilfunktion. Ds Additionstheorem lutet dnn e z+w = e z e w z, w K und wird somit zu einer einfchen Potenzrechenregel. In dem verbleibenden Teil dieses Abschnitts untersuchen wir einige weitere Eigenschften der reellen Exponentilfunktion.

148 144 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Stz 5.4 ( Eigenschften der reellen Exponentilfunktion ) () Für lle x R ist e x reell und positiv. (b) Die Abbildung exp : R R ist streng monoton wchsend. (c) Die Abbildung exp : R (0, + ) ist bijektiv. Beweis: () Aus der Definition der Exponentilfunktion folgt sofort exp(x) R für lle x R. Ferner wissen wir bereits, dss exp(x) 0 für lle x R gilt, vergleiche (5.1). Unter Verwendung des Additionstheorems folgt dnn und dmit die Aussge (). ( x exp(x) = exp 2 + x ( ( x )) 2 = exp > 0 2) 2 (b) Wegen e h = 1 + h + h > 1 für lle h > 0 2! folgt unter Verwendung von Teil () unmittelbr e x+h e x = e x (e h 1) > 0 für lle h > 0. Also die Abbildung x exp(x) streng monoton wchsend. (c) Wegen Teil (b) und Stz 2.9 ist die Abbildung exp : R R + zumindest injektiv. Wir hben nur noch zu zeigen, dss es zu jedem y > 0 mindestens ein x R mit e x = y gibt. Dbei verwenden wir die bereits im Stz 5.2 bewiesene Stetigkeit der Exponentilfunktion, die uns insbesondere die Anwendung des Zwischenwertstzes 4.29 erlubt. Wegen exp(x) x + 1 für lle x 0 ufgrund der Reihendrstellung der Exponentilfunktion ist exp(x) für x. Mit (5.1) folgt hierus wiederum exp(x) 0 für x. Wegen der Stetigkeit der Exponentilfunktion ergibt sich die Behuptung dher us dem Zwischenwertstz. Ds Wchstum der reellen Exponentilfunktion für x + und x wird in dem folgenden Resultt untersucht. Stz 5.5 ( Wchstumsverhlten der reellen Exponentilfunktion ) Betrchte die reelle Exponentilfunktion exp : R R. Dnn gelten lim x + e x = + und lim xn x xn e x = 0 für jede (noch so große) ntürliche Zhl n N 0.

149 5.1. EXPONENTIALFUNKTION 145 Beweis: Aus der Definition der Exponentilfunktion folgt sofort für lle x > 0, lso e x > xn+1 (n + 1)! 0 < xn (n + 1)! <. ex x D n N 0 fest ist, folgt hierus unter Verwendung des Sndwich Theorems 3.9 sofort x n e x 0 für x +. Durch Bildung des Kehrwertes folgt hierus die erste Behuptung. Die zweite Behuptung lässt sich uf die erste Aussge zurückführen: Wegen (5.1) ist e x = 1. Dmit ergibt sich e x dnn lim x xn e x x n ξ:= x = lim = lim x e x ξ + ( 1)nξn e = ξ n ξ ( 1)n lim ξ + e = 0, ξ lso gerde die zweite Behuptung. Der Stz 5.5 lässt sich geometrisch (etws lx) wie folgt formulieren: Die Exponentilfunktion geht für x + schneller gegen unendlich ls jede noch so große Potenz x n. Außerdem geht e x für x schneller gegen Null ls jede Potenz x n gegen (plus oder minus) unendlich divergiert. Den Grphen der reellen Exponentilfunktion findet der Leser in der Abbildung 5.1 drgestellt. Bereits b x = 4 lässt sich der Grph kum noch von der x-achse unterscheiden (zumindest nicht in der gewählten Auflösung), während er für x > 2 noch sehr viel steiler nsteigen würde Abbildung 5.1: Der Grph der (reellen) Exponentilfunktion für x [ 4, 2].

150 146 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN 5.2 Ntürlicher Logrithmus und llgemeine Potenz Wegen Stz 5.4 ist die reelle Exponentilfunktion exp : R (0, + ) bijektiv und streng monoton wchsend. Nch Stz 2.10 besitzt diese dher eine ebenflls streng monotone wchsende Umkehrfunktion ln : (0, + ) R, die ls ntürlicher Logrithmus bezeichnet wird. Definitionsgemäß gelten somit ln(exp(x)) = x für lle x R und exp(ln(x)) = x für lle x (0, + ). Aus dem Additionstheorem der Exponentilfunktion ergibt sich sofort die entsprechende Funktionlgleichung für den ntürlichen Logrithmus. Stz 5.6 ( Additionstheorem des ntürlichen Logrithmus ) Für lle x, y R ++ := (0, ) gilt ln(xy) = ln(x) + ln(y). Beweis: Aus dem Additionstheorem der Exponentilfunktion folgt exp ( ln(xy) ) = xy = exp ( ln(x) ) exp ( ln(y) ) = exp ( ln(x) + ln(y) ) für lle x, y R ++. Wendet mn dher uf beiden Seiten den ntürlichen Logrithmus n, so folgt die Behuptung. Einige weitere Eigenschften des ntürlichen Logrithmus sind in dem nchstehenden Resultt zusmmengefsst. Stz 5.7 ( Eigenschften des ntürlichen Logrithmus ) Der ntürliche Logrithmus ln : R ++ R ist eine stetige und streng monoton wchsende Funktion mit lim ln x = + und lim ln x =. x + x 0 + Beweis: Der ntürliche Logrithmus ist ls Umkehrfunktion der streng monoton wchsenden Exponentilfunktion ufgrund des Stzes 2.10 selbst streng monoton wchsend. Die Stetigkeit der Exponentilfunktion (siehe Stz 5.2) liefert im Hinblick uf den Stz 4.52 dnn uch die Stetigkeit des ntürlichen Logrithmus. Die beiden (uneigentlichen) Grenzwerte ergeben sich wie folgt: Sei K R beliebig vorgegeben. D ln streng monoton wächst, gilt ln(x) > K für lle x > exp(k). Also ist lim n + ln(x) = +. Drus folgt uch der zweite Grenzwert wegen lim ln(x) = lim ln x 0 + y ( 1 y ) ( = lim ln(1) y }{{} =0 ln(y) ) = lim y ln(y) =, wobei wir ds Additionstheorem des ntürlichen Logrithmus verwendet hben.

151 5.2. NATÜRLICHER LOGARITHMUS UND ALLGEMEINE POTENZ 147 Die Abbildung 5.2 zeigt den Grphen des ntürlichen Logrithmus in Intervll (0, 5]. Für x + wächst der ntürliche Logrithmus nur sehr lngsm, bleibt wegen Stz 5.7 ber nicht beschränkt Abbildung 5.2: Der Grph des ntürlichen Logrithmus für x (0, 5]. Wir wollen mittels der Exponentilfunktion und des ntürlichen Logrithmus die bisherige Definition einer Potenz nun verllgemeinern. Dzu sei drn erinnert, dss wir für eine ntürliche Zhl n N und ein gegebenes R bislng die Potenz n definiert hben durch n := } {{... }. n ml Für eine rtionle Zhl r Q, etw r = p mit p, q N (eventuell mit negtivem Vorzeichen), und beliebiges > 0 ist die Potenz n entsprechend definiert q durch r := p q := q p. Wir wollen diese Definition nun sinnvoll erweitern uf den Fll x für > 0 und beliebiges x R. Zu diesem Zweck führen wir den nchstehenden Begriff ein. Definition 5.8 Sei > 0 beliebig gegeben. Dnn wird die Abbildung exp : R R, exp (x) := exp ( x ln() ) ls Exponentilfunktion zur Bsis bezeichnet. Für = e = exp(1) stimmt die Exponentilfunktion zur Bsis offenbr mit der üblichen Exponentilfunktion überein. Einige Eigenschften der Exponentilfunktion zur Bsis sind in dem nchstehenden Resultt zusmmengefsst. Stz 5.9 ( Eigenschften der Exponentilfunktion zur Bsis ) Die Funktion exp : R R ht die folgenden Eigenschften:

152 148 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN () Sie ist stetig uf gnz R. (b) Es gilt ds Additionstheorem exp (x + y) = exp (x) exp (y) für lle x, y R. (c) Es ist exp (n) = n für lle n Z. (d) Es ist exp ( p q ) = q p für lle p Z und lle q N. Beweis: () Die Exponentilfunktion zur Bsis ist ls Komposition der beiden ls stetig beknnten Abbildungen x x ln() und y exp(y) selbst stetig, vergleiche den Stz (b) Diese Aussge ergibt sich unmittelbr us dem Additionstheorem der Exponentilfunktion: exp (x + y) = exp ( (x + y) ln() ) = exp ( x ln() + y ln() ) = exp ( x ln() ) exp ( y ln() ) für lle x, y R. = exp (x) exp (y) (c) Wegen exp(0) = 1 ist uch exp (0) = 1 und dher exp ( x) = 1 exp (x) für lle x R, indem mn speziell y = x in Teil (b) setzt. Durch vollständige Induktion zeigt mn zunächst unter Benutzung von Teil (b) exp (nx) = ( exp (x) ) n für lle n N und lle x R. D exp (1) = exp ( ln() ) 1 = und exp ( 1) = exp( ln()) = mit x = 1 bzw. x = 1 sofort exp (n) = n und exp ( n) = n, exp(ln()) = 1, folgt hierus womit Teil (c) vollständig bewiesen ist. (d) Mit der Aussge (c) ergibt sich für lle p Z und lle q N ( p p) ( = exp (p) = exp q = exp ( p q q ))q, worus mn unmittelbr die Behuptung (d) erhält. Wir verwenden im Folgenden die üblichere Schreibweise x := exp (x) = exp ( x ln() ) für lle > 0 und x R.

153 5.2. NATÜRLICHER LOGARITHMUS UND ALLGEMEINE POTENZ 149 Wegen Stz 5.9 ist diese Nottion konsistent mit den bisher definierten Potenzen mit gnzzhligen oder rtionlen Exponenten. Als unmittelbre Folgerung us dem Stz 5.9 erhlten wir noch die nchstehende interessnte Eigenschft. Korollr 5.10 Für lle > 0 ist lim n n = 1. Beweis: Aus der Stetigkeit der Funktion exp gemäß Stz 5.9 folgt: ( lim n (1) (1) ) = lim exp = exp lim = exp n n n n n (0) = 1, ws zu zeigen wr. Weitere Eigenschften der llgemeinen Potenz x sind im folgenden Resultt enthlten. Stz 5.11 ( Rechenregeln der llgemeinen Potenz ) Für lle, b > 0 und lle x, y R gelten: () Es ist ( x ) y = xy. (b) Es ist x b x = (b) x. (c) Es ist ( 1 )x = x. Beweis: Wir beweisen hier nur die Aussge (), d sich die Teile (b) und (c) uf ähnliche Weise verifizieren lssen. Wegen x = exp ( x ln() ) (gemäß Definition der llgemeinen Potenz) ist ln( x ) = x ln() und dher ( x ) y = exp ( y ln( x ) ) = exp ( yx ln() ) = xy für lle > 0 und lle x, y R. Zusmmen mit x+y = x y (dies ist ds Additionstheorem us dem Stz 5.9) hben wir somit die wichtigsten Rechenregeln für die llgemeine Potenz zur Verfügung, die wir von nun n oft nwenden werden, ohne dbei stets uf die entsprechenden Sätze explizit zu verweisen. Aus den Eigenschften der Exponentilfunktion exp lässt sich reltiv leicht die nchstehende Bemerkung herleiten, die sonst ber nicht weiter benötigt wird. Bemerkung 5.12 Die Abbildung exp : R R ++ ht R ++ ls Bildbereich für jedes 1. Für > 1 ist sie dbei streng monoton wchsend, für 0 < < 1 ist sie dgegen streng monoton fllend. Für jedes > 0 mit 1 besitzt sie deshlb eine Umkehrfunktion, die ls Logrithmus zur Bsis bezeichnet wird und für die mn log : R ++ R schreibt. Speziell für = e erhlten wir wieder den ntürlichen Logrithmus.

154 150 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN 5.3 Sinus und Cosinus Die Exponentilfunktion exp : K K wr durch die für lle z K bsolut konvergente Potenzreihe exp(z) := e z z k := k! definiert. Mittels dieser Exponentilreihe definieren wir jetzt den Cosinus und Sinus. Definition 5.13 Die durch die beiden Vorschriften cos(z) := 1 2 k=0 ( e iz + e iz) und sin(z) := 1 2i( e iz e iz) definierten Funktionen cos : K K und sin : K K heißen Cosinus und Sinus. Die hiermit definierten Funktionen tn(z) := sin(z) cos(z) und cot(z) := cos(z) sin(z) heißen Tngens und Cotngens und sind ntürlich nur für solche Werte z K definiert, in denen der jeweilige Nenner von Null verschieden ist. Aus der Definition 5.13 und der bereits bewiesenen Stetigkeit der Exponentilfunktion erhlten wir mit beknnten Resultten über stetige Funktionen sofort die Stetigkeit des Cosinus und des Sinus uf K und dmit wiederum die Stetigkeit des Tngens und Cotngens uf den jeweiligen Definitionsbereichen. Mittels des Additionstheorems für die Exponentilfunktion bekommen wir entsprechende Additionstheoreme für den Cosinus und den Sinus. Stz 5.14 ( Additionstheoreme für Cosinus und Sinus ) Es gelten die Additionstheoreme cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) und für lle z, w K. Beweis: Die beiden Additionstheoreme lssen sich sofort verifizieren, indem mn jeweils die Definition von cos und sin einsetzt und ds Additionstheorem e iz e iw = e i(z+w) der Exponentilfunktion usnutzt. Ebenflls us der Definition der Exponentilfunktion ergeben sich die folgenden Potenzreihendrstellungen von cos und sin.

155 5.3. SINUS UND COSINUS 151 Stz 5.15 ( Potenzreihenentwicklungen von Sinus und Cosinus ) Die Funktionen Sinus und Cosinus besitzen die beiden Potenzreihendrstellungen sin(z) = k=0 ( 1) k z 2k+1 (2k + 1)! = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... und für lle z K. cos(z) = k=0 ( 1) k z2k (2k)! = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +... Beweis: Die beiden konvergenten Reihen e iz und e iz dürfen ufgrund des Stzes 3.25 gliedweise ddiert bzw. subtrhiert werden. Eine elementre Rechnung liefert dnn die beiden Reihendrstellungen von sin und cos. Wir betrchten den Sinus und den Cosinus im Folgenden vorwiegend für reelle Argumente. Wegen Stz 1.39 gilt für lle x R cos(x) = 1 2 ( e ix + e ix) = 1 2 ( e ix + e ix) = Re(e ix ) und sin(x) = 1 ( e ix e ix) = 1 ( e ix e ix) = Im(e ix ). 2i 2i Hierus erhlten wir nochmls die Stetigkeit von Cosinus und Sinus, vergleiche die Ausführungen im Anschluss n den Stz Außerdem bekommen wir unmittelbr die so gennnte Eulersche Formel e ix = cos(x) + i sin(x) für lle x R. Ferner ist e ix 2 = e ix e ix = e 0 = 1 für lle x R, worus sich sofort cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 für lle x R ergibt. Unmittelbr us der Definition folgt noch cos( x) = cos(x) und sin( x) = sin(x) für lle x R, so dss der Cosinus eine gerde Funktion und der Sinus eine ungerde Funktion ist. Wir fssen diese Beobchtungen in dem folgenden Resultt zusmmen. Stz 5.16 ( Eigenschften der reellen Sinus und Cosinus Funktion ) Für lle x R gelten die folgenden Eigenschften: () Die Funktionen cos und sin sind stetig uf gnz R. (b) Es ist cos(x) = Re(e ix ) und sin(x) = Im(e ix ), insbesondere gilt die Eulersche Formel e ix = cos(x) + i sin(x) für lle x R.

156 152 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN (c) Der Cosinus ist eine gerde und der Sinus eine ungerde Funktion, lso cos( x) = cos(x) und sin( x) = sin(x) für lle x R. (d) Es ist cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1. Die Aussge (d) des Stzes 5.16 lässt, gemeinsm mit der Definition der Tngens Funktion und einem us der Schule beknnten Strhlenstz, die geometrische Interprettion us der Abbildung 5.3 zu. sin x i e ix tnx cosx 1 Abbildung 5.3: Geometrische Interprettion von Sinus, Cosinus und Tngens m Einheitskreis Aus den Additionstheoremen vom Sinus und Cosinus lssen sich beliebig viele trigonometrische Identitäten herleiten. Wir geben hier zur Illustrtion nur die nchstehenden Gleichungen n. Stz 5.17 Für lle x, y R gelten ( ) ( ) x + y x y sin(x) sin(y) = 2 cos sin 2 2 und ( ) x + y cos(x) cos(y) = 2 sin sin 2 ( x y Beweis: Wir setzen u := x + y und v := x y. 2 2 Dnn ist x = u + v und y = u v. Aus dem Stz 5.14 folgt dher sin(x) sin(y) = sin(u + v) sin(u v) 2 ).

157 5.3. SINUS UND COSINUS 153 = ( sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v) ) ( sin(u) cos( v) + cos(u) sin( v) ) = 2 cos(u) sin(v) ( ) ( ) x + y x y = 2 cos sin, 2 2 wobei wir usgenutzt hben, dss der Cosinus eine gerde und der Sinus eine ungerde Funktion ist. Dmit ist die erste Formel bewiesen. Der Nchweis der zweiten Identität gelingt uf ähnliche Weise und bleibt dem Leser überlssen. Der folgende Stz enthlt nun insbesondere die Definition der Zhl Kreiszhl π. Stz 5.18 ( Definition von π ) Der Cosinus ht im Intervll [0, 2] genu eine Nullstelle. Diese bezeichnet mn mit π 2. Es ist cos ( π 2) = 0 und sin ( π 2) = 1. Beweis: Der Beweis gliedert sich in mehrere Schritte. Schritt 1: Es gilt cos(2) 1 3. Aus der Potenzreihendrstellung des Cosinus folgt cos(x) 1 x2 2 + x4 24 für lle x (0, 2], denn die Potenzreihe ist (für jedes feste x (0, 2]) eine lternierende Reihe mit einer b k = 1 streng monoton fllenden Nullfolge n Reihengliedern k := x2k, so dss die (2k)! Abschätzung wie im Beweis des Leibniz Kriteriums folgt. Speziell für x = 2 ergibt sich die erste Zwischenbehuptung. Schritt 2: Es ist sin(x) > 0 für lle x (0, 2]. Aus der Potenzreihendrstellung des Sinus erhält mn wie im vorigen Beweisschritt die für lle x (0, 2] gültige Abschätzung sin(x) > x x3 6. Der rechts stehende Ausdruck ist ber für lle x (0, 2] positiv, womit uch die zweite Zwischenbehuptung bewiesen ist. Schritt 3: Der Cosinus ist im Intervll [0, 2] streng monoton fllend. Seien dzu 0 x < y 2 beliebig gegeben. Wegen Stz 5.17 gilt dnn ( ) ( ) y + x y x cos(y) cos(x) = 2 sin sin. 2 2 Der rechts stehende Ausdruck ist wegen Schritt 2 ber negtiv. Dies beweist uch die Zwischenbehuptung 3.

158 154 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Schritt 4: Der Cosinus ht genu eine Nullstelle in [0, 2]. Aus der Potenzreihendrstellung folgt cos(0) = 1 > 0. Wegen Schritt 1 ist ber cos(2) 1 < 0. D der Cosinus wegen Stz 5.16 stetig ist, folgt die Existenz einer Nullstelle in 3 dem Intervll (0, 2) unmittelbr us dem Zwischenwertstz. Wegen Schritt 3 knn es dbei höchstens eine und dmit genu eine solche Nullstelle geben. Schritt 5: Es ist sin ( π 2) = 1. Gemäß Definition ist π eine Nullstelle des Cosinus. Aus dem Stz 5.16 folgt dher ( 2 sin2 π 2) = 1, lso sin ( ( π 2) = ±1. Wegen Schritt 2 ist dbei zwngsläufig sin π 2) = 1. Für die Exponentilfunktion folgt mit der Zhl π die nchstehende Tbelle: x 1 2 π π 3 2 π 2π e ix i 1 i 1 Aufgrund der Eulerschen Formel gilt nämlich ( π ( π e iπ/2 = cos + i sin = i. 2) 2) Die weiteren Werte ergeben sich dnn us e inπ/2 = i n für lle n N. Mittels der Eulerschen Formel e ix = cos x + i sin x und Vergleich von Rel und Imginärteil erhlten wir us der obigen Tbelle die folgenden Werte für cos(x) und sin(x): 1 x π cos(x) sin(x) Wir wollen im Folgenden zeigen, dss die Exponentilfunktion und die beiden trigonometrischen Funktionen cos und sin periodisch sind. Dbei nennen wir eine Funktion f : K K periodisch mit der Periode p K, wenn gilt. f(x + p) = f(x) für lle x K Stz 5.19 ( Periodizität von exp, cos und sin ) () Für lle z K gilt e z+πi/2 = ie z, e z+πi = e z, e z+2πi = e z. Die Exponentilfunktion ht lso die imginäre Periode 2πi.

159 5.3. SINUS UND COSINUS 155 (b) Für lle z K gilt ( cos z + π ) = sin(z), 2 cos(z + π) = cos(z), cos(z + 2π) = cos(z). Der Cosinus ht lso die reelle Periode 2π. (c) Für lle z K gilt ( sin z + π ) = cos(z), 2 sin(z + π) = sin(z), sin(z + 2π) = sin(z). Der Sinus ht lso die reelle Periode 2π. Beweis: () Wir wissen bereits, dss e iπ/2 = i, e πi = 1 und e 2πi = 1 gelten. Die Behuptungen folgen dher lle us dem Additionstheorem der Exponentilfunktion. (b) Die Behuptungen folgen llesmt us der Definition des Cosinus und den bereits beknnten Eigenschften der Exponentilfunktion. Beispielsweise gilt ( cos z + π ) 2 = 1 ( e i(z+ π 2 ) + e i(z+ π )) 2 2 = 1 ( ) e iz e i π 2 + e iz e i π 2 2 ( e iz e i π 2 = 1 2 = 1 2i = sin(z) }{{} =i ( e iz e iz) ) +e iz e i3 2 }{{} π = i für lle z K. Die nderen Gleichungen lssen sich ebenso verifizieren. (c) In Anlogie zum Teil (b) ergeben sich die Behuptungen sofort us der Definition des Sinus und den Eigenschften der Exponentilfunktion. Wir wollen schließlich noch zeigen, dss die im Stz 5.19 ngegebenen Perioden nicht verkleinert werden können. Dzu ist es sinnvoll, die Nullstellen der betreffenden Funktionen genu zu kennen. Im Fll der trigonometrischen Funktionen liefert ds folgende Resultt die gewünschte Antwort. Stz 5.20 ( Nullstellen von cos und sin ) () Der Cosinus ht uf R genu die Nullstellen π 2 + kπ mit k Z. (b) Der Sinus ht uf R genu die Nullstellen kπ mit k Z. (c) 2π ist die kleinste positive Periode von Cosinus und Sinus.

160 156 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Beweis: () Gemäß Definition ist π die einzige Nullstelle des Cosinus im Intervll [0, 2], 2 insbesondere lso im Intervll [0, π ]. D der Cosinus wegen Stz 5.16 (e) eine gerde Funktion ist, hndelt es sich bei π sogr um die einzige Nullstelle im Intervll 2 ( π, 2 +π ]. Wegen 2 2 cos(x+π) = cos(x) sind dher π und π +π die einzigen Nullstellen in 2 2 ( π, π +π]. Dieses 2 2 Intervll ht die Länge der Periode 2π. Alle weiteren Nullstellen des Cosinus enthält mn somit us π und π + π durch Addition von gnzzhligen Vielfchen k2π, k Z. 2 2 (b) Die Nullstellen des Sinus entstehen wegen sin(x) = cos(x + π ) (verwende ds Additionstheorem des Cosinus) us den Nullstellen des Sinus durch eine Verschiebung um 2 π. 2 (c) Wäre p mit 0 < p < 2π eine Periode etw des Cosinus, so müsste wegen der Nullstellenverteilung p = π gelten. Wegen cos(0) = 1 und cos π = 1 ist π ber keine Periode. Schließlich hben wir noch ds folgende Resultt. Korollr 5.21 ist. () Genu dnn ist e z = 1, wenn z ein gnzzhliges Vielfches von 2πi (b) Cosinus und Sinus hben uch in C nur die im Stz 5.20 ngegebenen Nullstellen. Beweis: () Die Rückrichtung ergibt sich sofort us e 2kπi = (e 2πi ) k = 1 k = 1 für lle k Z. Sei umgekehrt e z = 1 und schreibe z = x + iy für x, y R. Dnn gilt 1 = e z = e x e iy = e x. Die Bijektivität der reellen Exponentilfunktion liefert somit x = 0. Dher erhält mn unter Verwendung der Eulerschen Formel 1 = e z = e iy = cos(y) + i sin(y). Durch Vergleich von Rel und Imginärteil folgt hierus cos(y) = 1 und sin(y) = 0. Wegen Stz 5.20 ergibt sich us sin(y) = 0 sofort y = kπ für ein beliebiges k Z. Unter Verwendung von cos(y) = 1 folgt schließlich, dss nur die gerden Zhlen us Z in Frge kommen, denn für ungerdes k = 2m + 1 ergäbe sich ufgrund der 2π Periodizität von cos unmittelbr cos ( (2m + 1)π ) = cos(π) = 1. (b) Wir beweisen die Aussge nur für den Sinus, d er für den Cosinus nlog verläuft. Die Behuptung folgt us den Äquivlenzen sin(z) = 0 e iz = e iz e 2iz = 1 z = kπ mit k Z, wobei wir den Teil () verwendet hben.

161 5.4. TRIGONOMETRISCHE UMKEHRFUNKTIONEN Abbildung 5.4: Der Grph der reellen Sinus Funktion für x [0, 2π] Abbildung 5.5: Der Grph der reellen Cosinus Funktion für x [0, 2π]. Ds Aussehen der beiden reellen sin und cos Funktionen für ein Periodenintervll [0, 2π] findet mn in den Abbildungen 5.4 und 5.5. Aus den obigen Resultten folgt ußerdem, dss der Tngens für lle z K mit z { π 2 + kπ k Z} definiert ist. Der Grph der reellen Tngens Funktion findet sich in der Abbildung Trigonometrische Umkehrfunktionen Wir wollen in diesem Abschnitt die Umkehrfunktionen der Abbildungen cos, sin und tn definieren und untersuchen. Zu diesem Zweck benötigen wir ds nchstehende Resultt. Stz 5.22 ( Monotonie Eigenschften von cos, sin und tn ) () Der Cosinus ist im Intervll [0, π] streng monoton fllend und bildet dieses Intervll bijektiv uf [ 1, 1] b. (b) Der Sinus ist im Intervll [ π, 2 +π ] streng monoton wchsend und bildet dieses Intervll bijektiv uf [ 1, +1] 2 b.

162 158 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN Abbildung 5.6: Der Grph der reellen Tngens Funktion für x [ 3 2 π, +3 2 π]. (c) Der Tngens ist im Intervll ( π, 2 +π ) streng monoton wchsend und bildet dieses 2 Intervll bijektiv uf R b. Beweis: () Im Beweis des Stzes 5.18 hben wir gesehen, dss der Cosinus uf [0, 2] streng monoton fllend ist. Insbesondere ist der Cosinus somit uf [0, π ] streng monoton fllend. 2 Nun ist ber cos(x) = cos(π x). Dher ist der Cosinus uch uf dem Intervll [ π, π] 2 streng monoton fllend. Wegen Stz 2.9 ist der Cosinus dher eine injektive Abbildung uf dem Intervll [0, π]. Folglich ist der Cosinus bijektiv ls Abbildung von [0, π] uf den Bildbereich [cos(π), cos(0)] = [ 1, +1]. (b) Wegen sin(x) = cos( π x) folgt us dem Teil (), dss der Sinus uf dem Intervll 2 [ π, π ] streng monoton wächst. Aus dem Stz 2.9 folgt dher die Injektivität des Sinus 2 2 uf dem Intervll [ π, π]. Also ist der Sinus eine bijektive Abbildung von 2 2 [ π, π ] in den 2 2 Bildbereich [sin( π), 2 sin(π )] = [ 1, +1]. 2 (c) Seien 0 x 1 < x 2 < π gegeben. Dnn ist sin(x 2 1) < sin(x 2 ) und cos(x 1 ) > cos(x 2 ) > 0. Hierus folgt tn(x 1 ) = sin(x 1) cos(x 1 ) < sin(x 2) cos(x 2 ) = tn(x 2). Also ist der Tngens uf dem Intervll [0, π ) streng monoton wchsend. Wegen tn( x) = 2 tn(x) wächst der Tngens uch in ( π, 0]. Also ist der Tngens uf dem gesmten 2 Intervll ( π, 2 +π) streng monoton wchsend. Außerdem gilt lim 2 x π 2 tn(x) = + und lim x π + tn(x) =, wie mn leicht bestätigt. Aus Stetigkeitsgründen folgt mit dem 2 Zwischenwertstz dher die Behuptung. Wegen der Sätze 5.22 und 2.9 besitzen die Funktionen Sinus, Cosinus und Tngens uf ihren jeweiligen Bildbereichen eine Umkehrfunktion. Diese erhlten einen eigenen Nmen. Definition 5.23 () Die Umkehrfunktion rccos : [ 1, +1] R des Cosinus heißt Arcus Cosinus.

163 5.4. TRIGONOMETRISCHE UMKEHRFUNKTIONEN 159 (b) Die Umkehrfunktion rcsin: [ 1, +1] R des Sinus heißt Arcus Sinus. (c) Die Umkehrfunktion rctn: R R des Tngens heißt Arcus Tngens. Die in der Definition 5.23 ngegebenen Umkehrfunktionen bezeichnet mn mnchml uch ls Huptzweige von rccos, rcsin und rctn. Die so gennnten Nebenzweige erhält mn mittels der folgenden Beobchtung: In Verllgemeinerung des Stzes 5.22 gelten die folgenden Aussgen für lle k Z: () cos bildet ds Intervll [kπ, (k + 1)π] bijektiv uf [ 1, +1] b. (b) sin bildet ds Intervll [ π 2 + kπ, π 2 + kπ] bijektiv uf [ 1, +1] b. (c) tn bildet ds Intervll ( π + kπ, π + kπ) bijektiv uf R b. 2 2 Die zugehörigen Umkehrfunktionen rccos k : [ 1, +1] R, rcsin k : [ 1, +1] R, rctn k : R R sind für k 0 dnn die Nebenzweige von rccos, rcsin und rctn (für k = 0 ergeben sich die Huptzweige dieser Funktionen). Der grphische Verluf des Arcus Tngens ist beispielhft in der Abbildung 5.7 ngegeben. Gemäß Definition ist hierbei klr, dss der Arcus Tngens für x die horizontle Asymptote y π und für x + die 2 horizontle Asymptote y + π besitzt Abbildung 5.7: Der Grph der reellen Arcus Tngens Funktion für x [ 7, +7]. Wir beenden diesen Abschnitt mit zwei kleinen Anwendungen des Tngens und seiner Umkehrfunktion. Diese treten beispielsweise im Strßenverkehr uf, wenn mn ein Verkehrsschild mit einer Steigungsngbe von etw 12% sieht. Dies bedeutet gerde, dss mn uf 100 Metern Länge 12 Meter Höhe gewinnt. Der Steigungswinkel α (im Bogenmß) ergibt sich dher gerde us tn(α) = 12 = 0.12 α = rctn(0.12). 100

164 160 KAPITEL 5. SPEZIELLE FUNKTIONEN 12 α 100 In Grd umgerechnet entspricht dies etw einem Wert von Die Bhn benutzt für ihre Gleispläne ebenflls den Tngens. Für Weichen finden sich etw Angben der folgenden Gestlt: Die Zhl 49 bezieht sich uf ds verwendete Schienenprofil, die 190 bezeichnet den Rdius (190 Meter) des bzweigenden Gleises, die Angbe 1 : 9 schließlich den Abzweigwinkel. Genu genommen besgt die Angbe 1 : 9, dss ds bzweigende Gleis von dem grdlinig weiter verlufenden Huptgleis nch 9 Metern (gemessen m Huptgleis) einen Abstnd von 1 Meter ufweist (gemessen von Gleismitte zu Gleismitte). Als Abzweigwinkel α ergibt sich somit tn(α) = 1 ( ) 1 α = rctn. 9 9 Die Modellbhnindustrie folgt hier übrigens nicht dem Vorbild, sondern gibt für ihre Weichen gleich den Abzweigwinkel in Grd n. 5.5 Polrkoordinten Wir führen in diesem Abschnitt eine ndere Drstellung von komplexen Zhlen ein, die für mnche Untersuchungen von Vorteil ist und insbesondere eine einfche geometrische Interprettion für die Multipliktion von zwei komplexen Zhlen erlubt.