Skriptbausteine zur Vorlesung Maßtheorie

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1 Skriptbusteine zur Vorlesung Mßtheorie Vorlesender: Prof. Dr. Bernd Hofmnn Der folgende Text soll die Nchrbeit der Vorlesung erleichtern und dbei n Definitionen, Sätze und Beispiele erinnern. Ds Skript ist für Studierende der TU Chemnitz uf Anfrge erhältlich. Mit dem Ziel der Verbesserung des ktuellen Textes werden Hinweise zu Tippfehlern und Unstimmigkeiten stets gern entgegengenommen. Dnk llen Studierenden der letzten Vorlesung, die schon mit ihren Hinweisen beigetrgen hben. Textstnd: Vorlesung im Wintersemester 2015/16 n der Fkultät für Mthemtik der TU Chemnitz. Der Vorlesende dnkt Herrn Dr. Jens Flemming für die Mühe der Formulierung dieses Skripts und Überrbeitung sowie Präzisierung zhlreicher Komponenten uf der Grundlge des hndschriftlichen Vorlesungsmnuskripts. Der Vorlesende dnkt ußerdem Herrn Prof. Dr. Reinhold Schneider (jetzt TU Berlin) für viele gute Ideen in Gliederung und Detils us seiner in Chemnitz gehltenen Vorlesung Anlysis III, die in diese Vorlesung und in die Skriptbusteine eingeflossen sind.

2 Inhltsverzeichnis 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen 2 2 Mengenfunktionen 8 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen 13 4 Messbre Funktionen Definitionen und igenschften Konvergenzsätze Ds Lebesgue-Integrl 37 6 Grenzwertsätze für Integrle 45 7 Vergleich von Lebesgue-Integrl und Riemnn-Integrl 51 8 L p -Räume und Ausblick uf Sobolevräume 57 9 Integrtion in Produkträumen Der Stz von Rdon-Nikodym 71 1

3 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen Definition 1.1. Sei X eine beliebige nichtleere Menge. Mit P(X) bezeichnen wir die Potenzmenge, d.h. ds System ller Teilmengen, von X. in nichtleeres Mengensystem M P(X) heißt (i) Semiring oder zerlegbres Mengensystem in X, wenn gilt: () M, (b) A, B M A B M, (c) zu jedem Pr A, B M existieren prweise disjunkte Mengen A 1, A 2,..., A n M mit A \ B = n A i. (ii) Ring in X, wenn gilt: () A, B M A B M, (b) A, B M A \ B M. (iii) Algebr in X, wenn gilt: () A, B M A B M, (b) A M X \ A M. (iv) σ-ring bzw. σ-algebr in X, wenn M ein Ring bzw. eine Algebr in X ist, für den bzw. für die gilt: A 1, A 2,... M A i M. (v) monoton, wenn für beliebige A 1, A 2,... M gilt: () A 1 A 2... (b) A 1 A 2... A i M, A i M. Bemerkung. Mn zeigt reltiv leicht, dss jede σ-algebr ein σ-ring, jede Algebr ein Ring und jeder Ring ein Semiring ist. Für A X werden wir die Menge X \ A im Folgenden uch mit A bezeichnen, wenn klr ist, bezüglich welcher Grundmenge ds Komplement gebildet wird. 2

4 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen Lemm 1.2. Sei X eine beliebige nichtleere Menge. (i) Für jede Algebr M in X gilt: A, B M A B M. (ii) Für jede σ-algebr M X gilt: A 1, A 2,... M A i M. Beweis. Nch den de-morgn schen Regeln gilt A B = A B und A i = A i. Die Behuptungen folgen somit direkt us Definition 1.1. Die folgenden Beispiele sollen die definierten Mengenstrukturen etws illustrieren. Beispiel 1.3. In X := R ist ds Mengensystem M := {(, b] :, b R, < b} { } ein Semiring, denn M ist trivilerweise erfüllt, der Durchschnitt zweier Intervlle (, b] und (c, d] ist entweder leer oder gleich dem Intervll ( mx{, c}, min{b, d} ], für zwei Intervlle (, b] und (c, d] ist (, b] \ (c, d] entweder leer oder gleich einer der Mengen (, b], (d, b], (, c] oder (, c] (d, b]. Beispiel 1.4. In einer unendlichen Menge X ist ds Mengensystem M := {A X : A ist endlich oder A ist endlich} eine Algebr, denn für A, B M gilt: A B endlich, flls A und B endlich, A B = A B endlich, flls A oder B endlich, us A M folgt trivilerweise A M. Beispiel 1.5. In einer überbzählbren Menge X ist ds Mengensystem M := {A X : A höchstens bzählbr oder A höchstens bzählbr} eine σ-algebr, denn für A 1, A 2,... M gilt: A i höchstens bzählbr, flls lle A i höchstens bzählbr, A i = A i höchstens bzählbr, flls mindestens ein A i höchstens bzählbr, us A M folgt trivilerweise A M. 3

5 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen Stz 1.6. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, T eine Indexmenge und (R t ) t T eine Fmilie von Ringen in X. Dnn ist der Durchschnitt t T R t wieder ein Ring in X. ntsprechendes gilt für Algebren, σ-ringe, σ-algebren und monotone Mengensysteme in X. Beweis. s gilt A, B t T R t A, B R t t T A B R t t T A B t T R t und A, B t T R t A, B R t t T A \ B R t t T A \ B t T R t. Völlig nlog zeigt mn die Behuptung für Algebren, σ-ringe, σ-algebren und monotone Mengensysteme. Definition 1.7. Sei X eine beliebige nichtleere Menge und M P(X) ein nichtleeres Mengensystem. Der Durchschnitt ller M umfssenden Ringe in X heißt der von M erzeugte Ring R(M). ntsprechend definieren wir die von M erzeugte Algebr A(M), den von M erzeugten σ-ring R σ (M), die von M erzeugte σ-algebr A σ (M) und ds von M erzeugte monotone Mengensystem m(m). Bemerkung. Definition 1.7 ist korrekt, d die Potenzmenge P(X) jedes Mengensystem M in X enthält und zugleich Ring, Algebr, σ-ring, σ-algebr und monotones Mengensystem ist; d.h. m Durchschnitt in Definition 1.7 nimmt mindestens eine Menge teil. Die von einem Mengensystem M erzeugte σ-algebr A σ (M) wird mnchml uch mit σ(m) bezeichnet und Borel sche rweiterung von M gennnt. Der von einem Mengensystem erzeugte Ring ist im Sinne der Inklusion der kleinste Ring, der dieses Mengensystem enthält. ntsprechendes gilt für Algebren, σ-ringe, σ-algebren und monotone Mengensysteme. Lemm 1.8. Sei X eine beliebige nichtleere Menge und seien M 1, M 2 P(X) zwei nichtleere Mengensysteme. Dnn gilt M 1 R(M 2 ), M 2 R(M 1 ) R(M 1 ) = R(M 2 ). ntsprechendes gilt für Algebren, σ-ringe, σ-algebren und monotone Mengensysteme. Beweis. Aus M 1 R(M 2 ) folgt R(M 1 ) R(R(M 2 )) = R(M 2 ) und us M 2 R(M 1 ) folgt R(M 2 ) R(R(M 1 )) = R(M 1 ), d.h. R(M 1 ) = R(M 2 ). Völlig nlog folgt die Behuptung für Algebren, σ-ringe, σ-algebren und monotone Mengensysteme. 4

6 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen Stz 1.9. ine Algebr M in einer nichtleeren Menge X ist genu dnn eine σ-algebr, wenn sie ein monotones Mengensystem ist. Beweis. : Sei M eine σ-algebr. Dnn gilt für A 1, A 2,... mit A 1 A 2... offensichtlich A i M und für A 1, A 2,... M mit A 1 A 2... gilt A i = A i M, d.h. M ist ein monotones Mengensystem. : Sei nun M eine monotone Algebr und seien A 1, A 2,... M. Setzen wir B j := j A i für j N, so gilt B j M und B 1 B 2..., lso j=1 B j M. Die Behuptung folgt nun us A i = j=1 B j M. Der folgende Stz ist sehr konstruktiv und liefert eine Vorschrift dfür, wie mn us einem Semiring einen Ring erzeugt. Stz Sei X eine beliebige nichtleere Menge, sei S P(X) ein Semiring und sei V P(X) ds System ller Vereinigungen von endlich vielen, prweise disjunkten Mengen us S. Dnn gilt R(S) = V. Beweis. Die Behuptung folgt, wenn wir zeigen können, dss V R(S) gilt und dss V ein Ring ist. Sei lso A V. Dnn existieren Mengen A 1, A 2,..., A m S R(S) mit A = A 1 A m und somit gilt A R(S) (wegen Definition 1.1 (ii)()). Also ist V R(S) gezeigt. Seien nun A, B V. Dnn existieren prweise disjunkte Mengen A 1, A 2,..., A m S mit A = A 1... A m und prweise disjunkte Mengen B 1, B 2,..., B n S mit B = B 1... B n. D ( m ) n m n A B = A i = (A i B j ) j=1 B j j=1 gilt und die Mengen der Form A i B j prweise disjunkt sind, folgt zunächst A B V. Wegen Definition 1.1 (i)(c) existieren für i = 1,..., m und j = 1,..., n prweise disjunkte Mengen C i,j 1, Ci,j 2,..., Ci,j p i,j S mit A i \ B j = C i,j 1 Cp i,j i,j und somit gilt ( n n n m ) ( n m p i,j ) A \ B = A \ B j = (A \ B j ) = (A i \ B j ) =. j=1 j=1 Aus der Definition von V folgt m p i,j j=1 k=1 C i,j k j=1 k=1 für j = 1,..., n und us der bereits gezeigten Durchschnittseigenschft von V erhlten wir somit A \ B V. V C i,j k 5

7 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen s bleibt A B V zu zeigen. Dies folgt us (( n m A B = (A \ B) B = d die Mengen A \ B und B disjunkt sind. j=1 p i,j k=1 Lemm Ist A eine Algebr in einer nichtleeren Menge X, so ist m(a) eine σ-algebr. Beweis. Wenn wir zeigen können, dss m(a) eine Algebr ist, so folgt die Behuptung us Stz 1.9. Wir zeigen zunächst die Abgeschlossenheit von m(a) bezüglich der Komplementbildung. Sei dzu M := {A m(a) : A m(a)}. Offensichtlich ist M bgeschlossen bezüglich der Komplementbildung und es gilt A M. Für A 1, A 2,... M mit A 1 A 2... gilt A 1, A 2,... M und A 1 A 2... und us M m(a) und der Monotonie von m(a) folgt somit A i m(a) und A i = A i m(a), d.h. A i M (nlog für A 1 A 2... und A i). Also ist M monoton und deshlb gilt M = m(a). s verbleibt die Abgeschlossenheit von m(a) bezüglich endlicher Vereinigungen zu zeigen. Für A m(a) setzen wir dzu M A := {B m(a) : A B m(a)} und wir setzen N := {A m(a) : m(a) = M A }. Wie mn leicht sieht, ist M A für A A monoton und es gilt A M A für A A. Also folgt m(a) = M A für lle A A und dmit A N. Wir zeigen nun die Monotonie von N. Seien lso A 1, A 2,... N mit A 1 A Dnn gilt m(a) = M Ai für i N und für beliebiges C m(a) folgt somit C A i m(a) für lle i N, lso uch C A i m(a), d m(a) monoton ist. Dmit ist m(a) M A, i d.h. A i N, gezeigt (nlog für A 1 A 2... und A i). Aus A N und der Monotonie von N folgt nun m(a) = N. Schließlich seien nun A, B m(a) beliebig. Dnn gilt A, B N und somit A M B, d.h. A B m(a). Stz Ist A eine Algebr in einer nichtleeren Menge X, so gilt m(a) = σ(a). Beweis. Aus A σ(a) und Stz 1.9 folgt m(a) m(σ(a)) = σ(a). Und us A m(a) und Lemm 1.11 folgt σ(a) σ(m(a)) = m(a). Definition Sei X ein metrischer Rum. Die vom System ller offenen Mengen in X erzeugte σ-algebr heißt Borel sche σ-algebr. Wir bezeichnen sie mit dem Symbol B(X). Die Mengen der Borel schen σ-algebr heißen Borel-Mengen. ine Menge heißt vom Typ F σ, wenn sie ls Vereinigung von bzählbr vielen bgeschlossenen Mengen drgestellt werden knn, und vom Typ G δ, wenn sie ls Durchschnitt von bzählbr vielen offenen Mengen drgestellt werden knn. Bemerkung. Mn knn zeigen, dss Mengen vom Typ F σ und Mengen vom Typ G δ stets Borel-Mengen sind. Ds σ in F σ steht für Summe (Vereinigung), ds F für fermé (frnzösisch: bgeschlossen). Ds δ in G δ bedeutet Durchschnitt. C i,j k ) B ), 6

8 1 Algebrische Strukturen bei Mengensystemen Beispiel Sei X := R n und sei S := { n ( i, b i ] : i < b i, i = 1,..., n} { } der Semiring ller hlboffenen n-zellen im R n. Dnn ist R(S) die Menge ller Vereinigungen von endlich vielen prweise disjunkten n-zellen us S. Der Ring R(S) wird ls Ring der lementrmengen bezeichnet. 7

9 2 Mengenfunktionen Wir bezeichnen mit R := R {, + } ds erweiterte System der reellen Zhlen und legen die folgenden Konventionen fest: (i) x ± = ±, x ± = 0 für x R, (ii) x (± ) = ±(sgn x) für x R \ {0}, (iii) + = = +, (iv) ± + (± ) = ±, (v) (± ) (± ) = +, ± ( ) = ±, (± ) ( ) =. Definition 2.1. Sei X eine beliebige nichtleere Menge und sei M P(X) nichtleer. (i) ine Abbildung ϕ : M R heißt eine uf M definierte Mengenfunktion. (ii) ine Mengenfunktion ϕ : M R, die höchstens einen der Werte ± nnimmt, heißt dditiv uf M, wenn für lle Mengen A, B M mit A B M und A B = gilt: ϕ(a B) = ϕ(a) + ϕ(b). (iii) ine dditive Mengenfunktion ϕ : M R heißt volldditiv (oder σ-dditiv) uf M, wenn für lle Mengen A 1, A 2,... M mit A i M und A i A j = für i j gilt: ( ) ϕ A i = ϕ(a i ). (iv) ine dditive Mengenfunktion ϕ : M R heißt subvolldditiv (oder σ-subdditiv) uf M, wenn für lle Mengen A, A 1, A 2,... M mit A A i gilt: ϕ(a) ϕ(a i ). Bemerkung. Flls die Reihe in Definition 2.1 (iii) konvergiert, so hndelt es sich um bsolute Konvergenz, d sich die linke Seite der Gleichung bei Vertuschung der Mengen A i nicht ändert. D.h. die Reihe ht für beliebige Permuttionen der ϕ(a i ) stets den selben Wert. Aus dem Riemnn schen Umordnungsstz folgt dmit die bsolute Konvergenz. 8

10 2 Mengenfunktionen Beispiel 2.2. Seien X eine unendliche Menge und M := P(X). Dnn ist die durch { 0, A endlich, ϕ(a) := +, A unendlich gegebene Mengenfunktion offensichtlich dditiv, ber weder volldditiv noch subvolldditiv. Die Additivität ist offensichtlich, weil bei zwei endlichen Mengen die Vereinigung endlich und bei wenigstens einer unendlichen Menge drunter die Vereinigung unendlich wird. Vom Scheitern der Volldditivität und Subvolldditivität überzeugt mn sich leicht durch Betrchtung der folgenden Sitution, die sich llgemein übertrgen lässt: Sei X := N und bezeichne A i die einelementigen Mengen {i} mit ϕ(a i ) = 0 für i = 1, 2,... Dnn ist A := A i = N mit ϕ(a) = +, ber ϕ(a i ) = 0 ist immer kleiner ls ϕ(a). Dies wiederspricht den Forderungen von Volldditivität und Subvolldditivität. Beispiel 2.3. Seien X := R und M := {(n, n + 1] : n N 0 }. Dnn ist die durch { 0, n gerde, ϕ((n, n + 1]) := 1, n ungerde gegebene Mengenfunktion trivilerweise dditiv, d keine Mengen A, B M mit A B M existieren. Beispiel 2.4. Seien X := R n und M := P(X), sei X := {x1, x 2,...} R n eine höchstens bzählbre Menge und sei f : X [0, ) eine beliebige Funktion. Dnn ist die durch ϕ(a) := x i A f(x i ) gegebene Mengenfunktion volldditiv. Stz 2.5 (igenschften von Mengenfunktionen). Seien R ein Ring in einer nichtleeren Menge X und ϕ : R R eine dditive Mengenfunktion. Dnn gilt: ( n ) (i) A 1, A 2,..., A n R, A i A j = (i j) ϕ A i = n ϕ(a i ). (ii) A, B R, B A, ϕ(b) ± ϕ(a \ B) = ϕ(a) ϕ(b). (iii) xistiert ein A R mit ϕ(a) ±, so gilt ϕ( ) = 0. (iv) A, B R ϕ(a B) + ϕ(a B) = ϕ(a) + ϕ(b). Mit der zusätzlichen Forderung ϕ(a) 0 für lle A R gilt ußerdem: (v) A, B R, B A ϕ(b) ϕ(a). 9

11 2 Mengenfunktionen (vi) A, B R ϕ(a B) ϕ(a) + ϕ(b). (vii) ϕ subvolldditiv ϕ volldditiv. Beweis. (i) Die Behuptung folgt per Induktion us Definition 2.1 (ii). (ii) ϕ(a) = ϕ((a \ B) B) = ϕ(a \ B) + ϕ(b). (iii) ϕ( ) = ϕ(a \ A) = ϕ(a) ϕ(a) = 0. (iv) ϕ(a) + ϕ(b) = ϕ ( (A B) (A \ B) ) + ϕ(b) = ϕ(a B) + ϕ(a \ B) + ϕ(b) = ϕ(a B) + ϕ ( (A \ B) B ) = ϕ(a B) + ϕ(a B). (v) ϕ(a) = ϕ ( (A \ B) B ) = ϕ(a \ B) + ϕ(b) ϕ(b). (vi) ϕ(a B) ϕ(a B) + ϕ(a B) = ϕ(a) + ϕ(b). (vii) Wir zeigen zunächst die Richtung. Seien A, A 1, A 2,... R mit A A i. Setzen wir B i := A A i R für i N sowie C 1 := B 1 und C i := B i \ ( i 1 j=1 B j) R, so gilt A = B i = C i, C i B i A i und die C i sind prweise disjunkt. s folgt ( ) ϕ(a) = ϕ C i = ϕ(c i ) ϕ(a i ), d.h. ϕ ist subvolldditiv. Wir zeigen nun. Seien A 1, A 2,... R mit A i A j A := A i R. Dnn gilt für n N ( n ) A i = A \ A i R i=n+1 und somit (( n ) ( ϕ(a) = ϕ A i Mit n folgt nun ( n ) ϕ A i = i=n+1 n ϕ(a i ). ϕ(a) )) ( n ) ( A i = ϕ A i + ϕ ϕ(a i ). Die vorusgesetzte Subvolldditivität liefert die Behuptung. = für i j und i=n+1 A i ) 10

12 2 Mengenfunktionen Stz 2.6. Seien R ein Ring in einer nichtleeren Menge X und ϕ : R R eine dditive Mengenfunktion. Dnn sind äquivlent: (i) ϕ ist volldditiv. (ii) Für lle A 1, A 2,... R mit A 1 A 2... und A := A i R gilt lim ϕ(a i) = ϕ(a). i Beweis. (i) (ii): Seien A 1, A 2,... R mit A 1 A 2... und A := A i R. Dzu führen wir die Mengen B 1 := A 1 und B i := A i \ A i 1 (i = 2, 3,...) ein, für welche gilt A j = j B i und A = B i. Offenbr sind die B i prweise disjunkt. Somit folgt ( ) ϕ(a) = ϕ B i = ϕ(b i ) = lim j j ϕ(b i ) = lim j ϕ ( j B i ) = lim j ϕ(a j ). (ii) (i): Seien B 1, B 2,... R mit B i R prweise disjunkt. Setzen wir A j := j B i, so gilt A 1 A 2... und A := j=1 A j = B i. Drus folgt ϕ ( B i ) = ϕ(a) = lim j ϕ(a j ) = lim j ϕ ( j B i ) = lim j j ϕ(b i ) = ϕ(b i ). Stz 2.7. Seien R ein Ring in einer nichtleeren Menge X und ϕ : R R eine volldditive Mengenfunktion. Für lle B 1, B 2,... R mit B 1 B 2... und B := B i R gilt dnn ϕ(b) = lim ϕ(b i ). i Beweis. Setzen wir A i := B 1 \B i, so gilt A i R und A 1 A Wegen A := A i = B 1 \ B R gilt ϕ(a) = ϕ(b 1 ) ϕ(b) und mit den Sätzen 2.5 (ii) und 2.6 folgt ϕ(b) = ϕ(b 1 ) ϕ(a) = ϕ(b 1 ) lim i ϕ(a i ) = ϕ(b 1 ) lim i ( ϕ(b1 ) ϕ(b i ) ) = lim i ϕ(b i ). Stz 2.8. Seien R ein Ring in einer nichtleeren Menge X und ϕ : R R eine dditive Mengenfunktion. Gilt für lle B 1, B 2,... R mit B 1 B 2... und B i = die Aussge lim i ϕ(b i ) = 0, so ist ϕ volldditiv. Beweis. Seien A 1, A 2,... R prweise disjunkte Mengen und sei A := A i R. Setzen wir B j := i=j+1 A i, so gilt B 1 B 2... und j=1 B j = R. Dmit gilt nch 11

13 2 Mengenfunktionen Vorussetzung lim j ϕ(b j ) = 0 und wir erhlten 0 = lim ϕ(b j ) = lim ϕ j j A i = lim = lim j ( d.h. ϕ(a) = ϕ(a i). ϕ(a) i=j+1 j ϕ ) j ϕ(a i ) = ϕ(a) ϕ(a i ), ( ( j )) A \ A i 12

14 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen In diesem Kpitel betrchten wir Mengensysteme M in X, wobei wieder X ls eine beliebige nichtleere Menge vorusgesetzt wird. Weiter betrchten wir druf definierte dditive Mengenfunktionen ϕ. Zusätzlich schließen wir die singulären Fälle ϕ(a) + und ϕ(a) für lle A M us. Wegen Stz 2.5 (iii) gilt dnn für ϕ : R R uf dem Mengenring R stets ϕ( ) = 0. Definition 3.1. ine uf einem Ring R definierte Mengenfunktion ϕ : R R heißt Inhlt, wenn sie dditiv und nichtnegtiv ist. in uf einer σ-algebr definierter Inhlt heißt Mß, wenn er volldditiv ist. Bemerkung. Für die Mßtheorie sind die Begriffe σ-algebr und Mß von zentrler Bedeutung. Definition 3.2. Seien M 1 und M 2 zwei Mengensysteme mit M 1 M 2 und seien ϕ 1 : M 1 R und ϕ 2 : M 2 R zwei Mengenfunktionen. Die Mengenfunktion ϕ 2 heißt Fortsetzung von ϕ 1 uf M 2, wenn ϕ 1 (A) = ϕ 2 (A) für lle A M 1 gilt. In diesem Fll heißt ϕ 1 inschränkung von ϕ 2 uf M 1. Stz 3.3. Sei S ein Semiring. (i) Jede dditive Mengenfunktion ϕ : S R lässt sich in eindeutiger Weise zu einer dditiven Mengenfunktion ϕ : R(S) R fortsetzen. (ii) Jede dditive, subvolldditive und nichtnegtive Mengenfunktion ϕ : S R lässt sich in eindeutiger Weise zu einem subvolldditiven Inhlt uf R(S) fortsetzen. Beweis. Wir zeigen zunächst (i). Sei A R(S) beliebig. Nch Stz 1.10 existieren prweise disjunkte Mengen S 1, S 2,..., S m S mit A = m S i. Wir setzen entsprechend ϕ(a) := m ϕ(s i ). Zunächst müssen wir zeigen, dss ϕ(a) nicht von der konkreten Whl der S i bhängt. Seien lso T 1, T 2,..., T n S weitere prweise disjunkte Mengen mit A = n j=1 T j. Dnn gilt n n S i = S i A = S i = (S i T j ) j=1 T j j=1 13

15 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen für i = 1,..., m und nlog T j = m (S i T j ) für j = 1,..., n. Somit folgt m m n m n ϕ(s i ) = ϕ (S i T j ) = ϕ(s i T j ) = j=1 ( n m ) ϕ (S i T j ) = j=1 j=1 n ϕ(t j ), d.h. ϕ(a) ist von der konkreten Whl der S i unbhängig. Trivilerweise ist ϕ eine Fortsetzung von ϕ uf R(S). Wir zeigen nun die Additivität von ϕ. Seien lso A, B R(S) mit A B = und seien S 1,..., S m S prweise disjunkt mit A = m S i sowie T 1,..., T n S prweise disjunkt mit B = n j=1 T j. Offensichtlich gilt dnn uch S i T j = für lle i und j und somit ( m ) n m n ϕ(a B) = ϕ S i = ϕ(s i ) + ϕ(t j ) = ϕ(a) + ϕ(b). j=1 T j s verbleibt der Beweis zur indeutigkeit der Fortsetzung. Sei ψ : R(S) R eine weitere dditive Fortsetzung von ϕ uf R(S). Dnn gilt für A R(S) mit A = m S i und prweise disjunkten S 1,..., S m S die Beziehung j=1 j=1 ( m ) ψ(a) = ψ S i = m ψ(s i ) = m ϕ(s i ) = ϕ(a). Wir zeigen nun (ii). Sei ϕ wie im Beweis zu (i). Dnn gilt offensichtlich ϕ(a) 0 für lle A R(S) und die Fortsetzung ϕ ist eindeutig bestimmt, d sie dditiv ist. s verbleibt der Beweis der Subvolldditivität. Seien zunächst A 1, A 2,... R(S) und A := A i R(S). Dnn existieren prweise disjunkte Mengen S 1, S 2,..., S m S mit A = m j=1 S j und prweise disjunkte Mengen S1 i, Si 2,..., Si m i S mit A i = m i k=1 Si k. Für jedes feste i sind die Mengen der Form S j Sk i dnn ebenflls prweise disjunkt und es gilt A i = A A i = für i = 1, 2,... sowie ( ) ( S j = A S j = A i S j = m j=1 k=1 k=1 m i (S j Sk i ) m i S i k ) S j = m i (Sk i S j) k=1 14

16 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen für j = 1,..., m. Aufgrund der Subvolldditivität von ϕ gilt nun ϕ(s j ) m i ϕ(sk i S j) k=1 und somit m m m i ϕ(a) = ϕ(s j ) ϕ(sk i S j) = j=1 j=1 k=1 m m i ϕ(sk i S j) = j=1 k=1 ϕ(a i ). Seien nun A 1, A 2,... R(S) sowie A R(S) mit A A i. Setzen wir B i := A i A und C i := A i \ A, so gilt A = B i und B i C i =. Also folgt ( ϕ(a) ϕ(b i ) ϕ(bi ) + ϕ(c i ) ) = ϕ(b i C i ) = ϕ(a i ). Bemerkung. Nch Stz 2.5 (vii) ist der subvolldditive Inhlt in Stz 3.3 (ii) sogr volldditiv. Beispiel 3.4. Seien n N und S := { n ( i, b i ] : i < b i, i = 1,..., n} { } der Semiring us Beispiel Dnn ist die Fortsetzung der durch ( n ) n µ ( i, b i ] := (b i i ) und µ( ) := 0 gegebenen Mengenfunktion µ : S R uf R(S) entsprechend Stz 3.3 ein subvolldditiver Inhlt uf R(S), denn mn knn zeigen, dss µ subvolldditiv ist (die Nichtnegtivität ist offensichtlich). Beispiel 3.5 (Dirc-Mß). Seien X := R und M := P(X). Dnn ist die durch { 1, 0 A, ϕ(a) := 0, 0 / A definierte Mengenfunktion ϕ : P(R) R ein Mß. Dieses Mß wird ls in Null konzentriertes Dirc-Mß oder ls Dirc-Mß mit Trägerpunkt Null bezeichnet. Definition 3.6. ine nichtnegtive Mengenfunktion µ : P(X) R heißt äußeres Mß, wenn gilt: (i) µ ( ) = 0. (ii) µ ist monoton, d.h. für A B X gilt µ (A) µ (B). 15

17 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen (iii) Für lle A 1, A 2,... X gilt ( ) µ A i µ (A i ). Bemerkung. Die Nichtnegtivität des äußeres Mßes muss eigentlich nicht vorusgesetzt werden, denn sie folgt unmittelbr us den Forderungen (i) und (ii). Die igenschft (iii) ist eng verbunden mit der Subvolldditivität einer Mengenfunktion. Jedoch weisen wir n dieser Stelle deutlich druf hin, dss äußere Mße nicht dditiv sein müssen. Zum Beispiel ist { µ 0 A höchstens bzählbr, (A) := 1 sonst ein äußeres Mß uf der Potenzmenge P(R) von R, jedoch nicht dditiv, denn 1 = µ ([0, 1] [4, 5]) µ ([0, 1]) + µ ([4, 5]) = 2. Beispiel 3.7. Sei X := [0, 1]. Dnn ist die durch { µ sup A, A, (A) := 0, A = gegebene Mengenfunktion µ : P(X) R ein äußeres Mß. Denn µ ist offensichtlich nichtnegtiv und erfüllt (i) und (ii) us Definition 3.6. Zum Nchweis von (iii) seien A 1, A 2,... X beliebig und es sei A := A i. s gilt nun sup A sup X = 1 und somit existiert für jedes ε > 0 nch Definition des Supremums ein x ε A mit sup A x ε + ε. Weiter existiert ein i ε N mit x ε A iε, sodss µ (A) = sup A x ε + ε sup A iε + ε ε + sup A i = ε + µ (A i ) folgt. Für ε 0 folgt igenschft (iii). Stz 3.8. Seien R ein Ring in X und µ ein Inhlt uf R. Für X bezeichne { } M := {U i R : i N} : U i die Menge ller bzählbren Überdeckungen von. Dnn definiert die durch { µ inf { () := µ(u } i) : {U i : i N} M, M, +, M = gegebene Mengenfunktion µ : P(X) R ein äußeres Mß. 16

18 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Beweis. Offensichtlich ist µ ( ) = 0 erfüllt. Für beliebige A B X folgt M A M B und somit µ (A) µ (B), d.h. µ ist monoton. Zum Beweis von igenschft (iii) in Definition 3.6 seien 1, 2,... X beliebig. xistiert ein Index j N mit µ ( j ) =, so ist die igenschft trivilerweise erfüllt. Sei lso µ ( i ) < für lle i N. Zu jedem ε > 0 existieren dnn Überdeckungen {Uj i : j N} M i von i mit µ(uj) i < µ ( i ) + ε 2 i j=1 für lle i N. D jedoch {U i j : i, j N} die Vereinigung i überdeckt, gilt ( ) µ i µ(uj) i j=1 (µ ( i ) + ε ) 2 i = ε + µ ( i ). Für ε 0 folgt die Behuptung. Stz 3.9. Ds äußere Mß µ us Stz 3.8 ist genu dnn eine Fortsetzung des Inhlts µ von R uf P(X), wenn µ subvolldditiv ist. Beweis. : s gelte µ (A) = µ(a) für lle A R. Für beliebige Mengen A, A 1, A 2,... R mit A A i folgt dnn us (ii) und (iii) in Definition 3.6 ( ) µ(a) = µ (A) µ A i µ (A i ) = µ(a i ), d.h. µ ist subvolldditiv. : Sei µ subvolldditiv. Für beliebiges A R setzen wir A 1 := A und A i := für i = 2, 3,.... Dnn ist {A i : i N} eine Überdeckung von A und somit folgt us der Definition von µ µ (A) µ(a i ) = µ(a) + µ( ) = µ(a). Umgekehrt existiert zu jedem ε > 0 eine Überdeckung {A i : i N} R von A mit i=2 µ(a i ) < µ (A) + ε. Setzen wir B i := A A i R, so gilt A = B i und dmit µ(a) µ(b i ) µ(a i ) < µ (A) + ε. Der Grenzübergng ε 0 liefert µ(a) µ (A), d.h. µ(a) = µ (A). 17

19 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Stz Seien R ein Ring in X, µ ein subvolldditiver Inhlt uf R und µ ds äußere Mß us Stz 3.8. Dnn gilt für lle A R und lle X. µ () = µ ( A) + µ ( \ A) Beweis. Wegen = ( A) ( \ A) gilt nch Definition 3.6 (iii) stets Für µ () = gilt trivilerweise uch µ () µ ( A) + µ ( \ A). µ () µ ( A) + µ ( \ A). Sei nun lso µ () <. Zu jedem ε > 0 existiert dnn eine Überdeckung {U i R : i N} von mit µ () + ε µ(u i ). Setzen wir V i := A U i und W i := U i \ A für i = 1, 2,..., dnn gilt V i, W i R, U i = V i W i und V i W i = sowie ( ) A A U i = V i, ( ) \ A U i \ A = W i und µ(u i ) = µ(v i ) + µ(w i ). Also erhlten wir us Stz 3.9 sowie us Definition 3.6 (iii) und (ii) µ () + ε µ(u i ) = µ(v i ) + µ(w i ) = µ (V i ) + µ (W i ) ( ) ( ) µ V i + µ W i µ ( A) + µ ( \ A). Der Grenzübergng ε 0 liefert die Behuptung. Definition 3.11 (Crtheodory). Sei µ ein äußeres Mß uf P(X). ine Menge A X heißt µ -messbr, flls µ () = µ ( A) + µ ( \ A) für lle X gilt. Ds System ller µ -messbren Mengen in X bezeichnen wir mit A µ (X). Lemm Sei µ ein äußeres Mß uf P(X). Dnn ist jede Menge A X mit µ (A) = 0 µ -messbr, d.h. A A µ (X). 18

20 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Beweis. Sei X beliebig. Wegen A A und Definition 3.6 (i) und (ii) gilt 0 µ ( A) µ (A) = 0, d.h. µ ( A) = 0, und us \ A folgt mit Definition 3.6 (iii) und (ii) µ () = µ ( ( A) ( \ A) ) µ ( A) + µ ( \ A) 0 + µ (), lso µ () = µ ( A) + µ ( \ A). Lemm Sei µ ein äußeres Mß uf P(X). Ist A X µ -messbr, so ist uch X \ A µ -messbr, d.h. A A µ (X) X \ A A µ (X). Beweis. Sei X beliebig. Aus folgt dnn \ A = (X \ A) und A = \ (X \ A) µ () = µ ( A) + µ ( \ A) = µ ( \ (X \ A)) + µ ( (X \ A)). Lemm Sei µ ein äußeres Mß uf P(X). Sind A X und B X µ -messbr, so ist uch A B µ -messbr, d.h. A, B A µ (X) A B A µ (X). Beweis. Sei X beliebig. Wegen A A µ (X) gilt µ ( \ (A B)) = µ ( (A B)) = µ ( (A B) ) = µ (Ẽ }{{} A) + µ (Ẽ \ A) =:Ẽ = µ ( A B) + µ ( A) = µ (( A) \ B) + µ ( \ A) und us B A µ (X) sowie nochmls us A A µ (X) folgt dmit µ ( (A B)) + µ ( \ (A B)) = µ ( A B) + µ (( A) \ B) + µ ( \ A) d.h. A B A µ (X). = µ ( A) + µ ( \ A) = µ (), Bemerkung. Für A, B A µ (X) folgt us Lemm 3.13 und Lemm 3.14 d.h. A µ (X) ist eine Algebr. A B = A B A µ (X), 19

21 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Stz Sei µ ein äußeres Mß uf P(X). Dnn ist A µ (X) eine σ-algebr und µ Aµ (X) ein Mß uf A µ (X). Beweis. 1 Sei X beliebig und seien A 1, A 2,... A µ (X) prweise disjunkt. Mit A := A i gilt dnn µ () = µ ( A 1 ) + µ ( \ A 1 ) = µ ( A 1 ) + µ (( \ A 1 ) A }{{} 2 ) + µ (( \ A 1 ) \ A 2 ) }{{} = A 2 = µ ( A 1 ) + µ ( A 2 ) + µ ( ( \ (A 1 A 2 )) A }{{} 3 = A 3 n = = µ ( A i ) + µ ( \ ( n n A i) ) }{{} \A =\(A 1 A 2 ) ) + µ ( ) ( \ (A 1 A 2 )) \ A }{{} 3 =\(A 1 A 2 A 3 ) µ ( A i ) + µ ( \ A) und der Grenzübergng n liefert in Verbindung mit Definition 3.6 (iii) ( ) µ () µ ( A i ) + µ ( \ A) µ ( A i ) + µ ( \ A) = µ ( A) + µ ( \ A). Wegen = ( A) ( \ A) und Definition 3.6 (iii) gilt uch die umgekehrte Ungleichung, lso µ () = µ ( A) + µ ( \ A), d.h. A A µ (X). Insbesondere gilt lso uch µ () = µ ( A i ) + µ ( \ A). Setzen wir := A, so liefert dies µ (A) = µ (A i ) + µ ( ), }{{} =0 d.h. µ ist volldditiv uf A µ (X). Seien nun B 1, B 2,... A µ (X) beliebig und sei B := B i. Setzen wir A 1 := B 1 und A i := B i \ ( i 1 j=1 B j) für i = 2, 3,..., so gilt A i A µ (X) (wegen Lemm 3.13 und Lemm 3.14) und B = A i. Nch dem bereits Gezeigten folgt lso B A µ (X), d.h. A µ (X) ist eine σ-algebr. Stz 3.16 (Fortsetzungsstz von Hhn). Sei ϕ : S [0, ] eine nichtnegtive, dditive Mengenfunktion uf einem Semiring S und sei µ : R(S) [0, ] die Fortsetzung von ϕ zu einem Inhlt uf R(S) (vgl. Stz 3.3). Dnn ist die inschränkung µ Aµ (X) des in Stz D Additivität keine igenschft µ ist, wird diese im Beweis uch nicht benötigt. 20

22 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen definierten äußeren Mßes µ : P(X) [0, ] genu dnn eine Fortsetzung von ϕ uf A µ (X), wenn ϕ subvolldditiv ist. Beweis. Aus den Sätzen 3.3 (ii) und 3.9 folgt sofort, dss µ genu dnn eine Fortsetzung von ϕ uf P(X) ist, wenn ϕ subvolldditiv ist. Trivilerweise gilt S R(S) und wegen Stz 3.10 uch R(S) A µ (X), flls ϕ subvolldditiv ist. Dies liefert die Behuptung. Bemerkung. Stz 3.16 gibt uns eine Möglichkeit, eine nichtnegtive, subvolldditive Mengenfunktion uf einem Semiring zu einem Mß uf einer σ-algebr (nämlich uf A µ (X)) fortzusetzen. Definition Sei M P(X) nichtleer. ine Mengenfunktion ϕ : M R heißt σ-endlich, wenn zu jedem A M bzählbr viele prweise disjunkte Mengen A 1, A 2,... M mit ϕ(a i ) < und A = existieren. Stz 3.18 (rgänzungsstz zum Fortsetzungsstz von Hhn). Sei ϕ eine nichtnegtive, subvolldditive und σ-endliche Mengenfunktion uf einem Semiring S und es existiere eine bzählbre Überdeckung von X durch Mengen us S. Dnn ist die inschränkung µ Aµ (X) des zu ϕ gehörenden äußeren Mßes µ (vgl. Stz 3.16) ein σ-endliches Mß uf A µ (X). Beweis. Wegen Stz 1.10 ist die Fortsetzung µ von ϕ uf R(S) offensichtlich σ-endlich; dmit ist lso uch µ uf R(S) σ-endlich. Nch Vorussetzung existiert eine Überdeckung {Ũi S : i N} von X. Setzen wir U 1 := Ũ1 und U i := Ũi \ ( i 1 j=1 Ũj) für i = 2, 3,..., so gilt U i R(S), U i U j = für i j und X = U i. D µ σ-endlich uf R(S) ist, existieren für jedes i N Mengen V 1 i, V 2 U i = j=1 V j i. Für A A µ i,... R(S) mit µ (V j i ) < für lle j N und (X) gilt somit A = A X = A j=1 V j i = j=1 A i (A V j i ). D die Mengen A V j i für i, j N prweise disjunkt sind und µ (A V j i ) µ (V j i ) < gilt, ist die Behuptung gezeigt. Definition in Mß µ uf einer σ-algebr A heißt vollständig, wenn für jedes A A mit µ(a) = 0 us B A stets B A folgt. Bemerkung. Aus der Monotoniebedingung von Definition 3.6 (ii) und wegen des Lemms 3.12 folgt unmittelbr, dss ds im Sinne des Fortsetzungsstzes von Hhn über eine inschränkung des äußeren Mßes µ uf der σ-algebr der nch Crtheodory messbren Mengen A µ (X) definierte Mß µ Aµ (X) ein vollständiges Mß ist. 21

23 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Stz Sei A eine σ-algebr in X und sei µ ein Mß uf A. Dnn ist ds Mengensystem A := {A N : A A, N N }, wobei N := {N X : B A mit µ(b) = 0 und N B} sei, eine σ-algebr in X und die durch µ(a N) := µ(a) uf A definierte Mengenfunktion µ : A [0, ] ist ein vollständiges Mß uf A. Beweis. Wir zeigen ls rstes, dss A eine σ-algebr ist. Sei A N A mit A A und N N und sei B A eine Menge mit µ(b) = 0 und N B. Dnn gilt A N = (A B) \ (B \ (A N)) = (A B) (B \ (A N)) = (A}{{ B} ) (B \ (A N) ), }{{} A B d.h. A N A. Seien nun A 1 N 1, A 2 N 2,... A mit entsprechenden Mengen B 1, B 2,... A. Wegen Stz 2.5 (vii) ist µ subvolldditiv und dmit folgt ( ) µ B i µ(b i ) = 0. Also erhlten wir ( ) ( ) (A i N i ) = A i N i A. } {{ } A }{{} B i A Wir zeigen nun die Korrektheit der Definition von µ. Seien lso A N A und Ã Ñ A mit entsprechenden Mengen B, B A, sodss A N = Ã Ñ gilt. Zu zeigen ist µ(a) = µ(ã). Nch Stz 2.5 (iv) gilt zunächst µ(b B) + µ(b B) = µ(b) + µ( B) = 0, lso µ(b B) = 0. Wegen Stz 2.5 (v) gilt dnn uch µ(a (B B)) = 0. Flls µ(a) = und µ(ã) =, so ist die Behuptung trivil. Sei lso µ(a) < (sonst A und à vertuschen). Aus A N = Ã Ñ folgt A B B = à B B, sodss Stz 2.5 (ii) 0 = µ( ) = µ ( (à B B) \ (A B B) ) = µ(ã B B) + µ(a B B), d.h. µ(a B B) = µ(ã B B), liefert. Mit Stz 2.5 (iv) folgt wiederum µ(a B B) + µ(a (B B)) }{{} =0 = µ(a) + µ(b B) }{{} =0 22

24 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen und nlog µ(ã B B) = µ(ã), d.h. es gilt µ(a) = µ(ã). Wir zeigen nun die Volldditivität von µ. Seien lso A 1 N 1, A 2 N 2,... A prweise disjunkt. Dnn gilt (vgl. Beweisteil zur Abgeschlossenheit von A bezüglich bzählbrer Vereinigungen) ( ) (( ) ( )) ( ) µ (A i N i ) = µ A i N i = µ A i = µ(a i ) = µ(a i N i ). s verbleibt die Vollständigkeit von µ zu zeigen. Sei lso A N A mit einer entsprechenden Menge B N, µ(b) = 0, und mit µ(a N) = 0. Dnn ist uch µ(a) = 0. Für C A N gilt C A B A und Stz 2.5 (iv) liefert µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) = 0, d.h. µ(a B) = 0. Somit folgt C = C A, lso ist µ vollständig. Bemerkung. Ds Mß µ wird Vervollständigung von µ gennnt. Beispiel 3.21 (Lebesgue-Mß im R n ). Sei X := R n und sei R der Ring der lementrmengen im R n (vgl. Beispiel 1.14). Weiter sei µ der subvolldditive Inhlt uf R us Beispiel 3.4. Die inschränkung µ Aµ (R n ) des entsprechend Stz 3.8 konstruierten äußeren Mßes µ ist nch Stz 3.16 eine Fortsetzung von µ uf A µ (R n ). Ds Mß µ Aµ (R n ) wird ls (n-dimensionles) Lebesgue-Mß bezeichnet und A µ (R n ) heißt σ-algebr der Lebesguemessbren Mengen. Wir verwenden dfür im Weiteren ds Symbol L(R n ). Offensichtlich ist µ(i) < für lle n-zellen der Form I = n ( i, b i ], d.h. µ ist uf dem Semiring dieser n-zellen σ-endlich. Nch Stz 3.18 ist ds Lebesgue-Mß µ Aµ (R n ) lso σ-endlich. ntsprechend der Bemerkung nch Definition 3.19 ist ds Lebesgue-Mß µ Aµ (R n ) ein vollständiges Mß. Bemerkung. Beschränkte Mengen im R n hben ein endliches Lebesgue-Mß, d sie in einer (endlichen) n-zelle enthlten sind. Mn knn ohne große Mühe zeigen, dss bzählbre Mengen im R n Lebesgue-messbr sind und dss ihr Lebesgue-Mß Null ist. s gibt jedoch uch überbzählbre Lebesgue-Nullmengen (z.b. die Cntor-Menge). Bemerkung. Mn knn zeigen, dss jede Borel-Menge im R n (vgl. Definition 1.13) Lebesguemessbr ist, es ber Lebesgue-messbre Mengen gibt, die keine Borel-Mengen sind. Also gilt mit echter Inklusion B(R n ) L(R n ). Die inschränkung des Lebesgue-Mßes uf die σ- Algebr der Borel-Mengen heißt Borel-Mß. ntsprechend bezeichnet mn die Borel-Mengen us B(R n ) uch ls Borel-messbre Mengen. Ds Borel-Mß im R n ist im Gegenstz zum Lebesgue-Mß nicht vollständig, weil es Teilmengen zu Borel-Mengen mit Borel-Mß Null gibt, die selbst keine Borel-Mengen sind. Vervollständigt mn ds Borel-Mß im R n im Sinne von Stz 3.20, so ergibt sich ds Lebesgue-Mß ls Vervollständigung. 23

25 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen Bemerkung. s gibt uch Mengen in R n, die nicht Lebesgue-messbr sind (z.b. die so gennnten Vitli-Mengen). Beispiel 3.22 (Lebesgue-Mß in R). Sei X := R und sei S := {[, b] : b R} {(, + ] : R} {(, b] :, b R, < b} { }. Dnn ist S ein Semiring und die durch µ([, b]) := +, µ((, + ]) := +, µ((, b]) := b, µ( ) := 0 gegebene Mengenfunktion µ : S [0, ] ist subvolldditiv und σ-endlich. Ds nlog zum Lebesgue-Mß im R n us S und µ konstruierte Mß heißt Lebesgue-Mß in R. Die dzugehörige σ-algebr bezeichnen wir entsprechend mit L(R). Bemerkung. Die Mengen [, b) bzw. (, + ] sehen wir ls offene Kugeln (Umgebungen) um die uneigentlichen Punkte bzw. + von R n, sodss wir eine Grundlge hben, um über offene und bgeschlossene Mengen und deren Konsequenzen in R zu sprechen. Zusätzlich zu beschränkten Intervllen (, b) mit, b R, die sowohl in R ls uch in R offene Kugeln bilden, treten in R uch noch die unbeschränkten Intervlle der Typen [, ) bzw. (b, ] ls offene Kugeln hinzu. Auch hier ist die Borel sche σ-algebr B(R) ls kleinste σ-algebr, die lle offenen Mengen von R enthält, wieder ls echte Teilmenge in L(R) enthlten. Stz Seien X := R n, L(R n ) die σ-algebr der Lebesgue-messbren Mengen und µ ds Lebesgue-Mß. Für A L(R n ) existieren zu jedem ε > 0 eine bgeschlossene Menge F L(R n ) und eine offene Menge G L(R n ) mit F A G, sodss µ(a \ F ) < ε und µ(g \ A) < ε gilt. Beweis. rfülle A L(R n ) zunächst µ(a) <. Mit µ bezeichnen wir ds äußere Mß, us welchem ds Lebesgue-Mß konstruiert wurde (vgl. Beispiel 3.21). Wegen µ (A) = µ(a) < existiert nch Definition von µ (vgl. Stz 3.8) zu jedem ε > 0 eine bzählbre Überdeckung { i R : i N} von A mit µ (A) + ε 2 > µ ( i ) (R sei hier der Ring der lementrmengen). Nch Stz 1.10 existieren zu jedem i prweise disjunkte, hlboffenen n-zellen Ii 1, I2 i,..., Im i i mit i = m i j=1 Ij i. Zur Vereinfchung der Nottion nummerieren wir die lemente der (bzählbren) Menge {I j i : i N, 1 j m i} um in {I k : k N}; wir hben lso µ (A) + ε 2 > m i µ (I j i ) = µ (I k ). j=1 Bezeichnen wir die Grenzen der hlboffenen n-zelle I k mit 1 k,..., n k und b1 k,..., bn k, d.h. I k = n (i k, bi k ], so existiert für jedes k N eine offene n-zelle J k := n (i k, bi k + δi k ) k=1 24

26 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen mit µ (J k ) µ (I k ) + ε 2 k+1 (die δ i k > 0 müssen hinreichend klein gewählt werden). Die Menge G := k=1 J k ist dnn offen und es gilt Somit folgt ( ) µ (G) = µ J k k=1 µ (J k ) k=1 µ (I k ) + ε 2 k=1 k=1 1 2 k }{{} =1 µ(g \ A) = µ(g) µ(a) = µ (G) µ (A) < ε. < µ (A) + ε. Gilt für A L(R n ) nun µ(a) =, so existieren ufgrund der σ-ndlichkeit von µ (vgl. Beispiel 3.21) prweise disjunkte Mengen A 1, A 2,... L(R n ) mit µ(a i ) < und A = A i. Nch dem bereits gezeigten existieren für ε > 0 entsprechend offene Mengen G 1, G 2,... L(R n ) mit A i G i und µ(g i \ A i ) < ε. Setzen wir G := 2 i G i, so gilt A G und G ist offen. s folgt ( ) µ(g \ A) = µ G i \ = µ G i \ j=1 ( ) µ (G i \ A i ) A j µ(g i \ A i ) < ε j=1 1 2 i = ε. s verbleibt die xistenz einer bgeschlossenen Menge F mit den behupteten igenschften zu zeigen. Seien lso A L(R n ) und ε > 0. Dnn gilt A L(R n ) und somit existiert eine offene Menge G L(R n ) mit A G und µ(g \ A) < ε. Setzen wir F := G, so ist F bgeschlossen und wir erhlten F A sowie µ(a \ F ) = µ(a F ) = µ(a G) = µ(g \ A) < ε. A j Stz Sei A R n Lebesgue-messbr, d.h. A L(R n ). Dnn existieren eine Menge F vom Typ F σ und eine Menge G vom Typ G δ mit F A G, sodss µ(a \ F ) = 0 und µ(g \ A) = 0 gilt, wobei µ ds Lebesgue-Mß im R n bezeichne. Beweis. Nch Stz 3.23 existieren zu jedem m N eine bgeschlossene Menge F m und eine offene Menge G m mit F m A G m, sodss µ(a \ F m ) < 1 m und µ(g m \ A) < 1 m 25

27 3 Inhlt und Mß Konstruktion von Mßen gilt. Setzen wir F := m=1 F m und G := m=1 G m, so gilt für jedes M N ( ( )) µ(a \ F ) = µ A \ F m µ(a \ F M ) < 1 M und µ(g \ A) = µ (( m=1 m=1 G m ) \ A Der Grenzübergng M liefert die Behuptung. ) µ(g M \ A) < 1 M. Bemerkung. Bezeichne B(R n ) die Borel sche σ-algebr im R n (vgl. Definition 1.13), welche lle Mengen vom Typ F σ und lle Mengen vom Typ G δ enthält. Dnn folgt us Stz 3.24, dss jede Lebesgue-messbre Menge A L(R n ) ls Vereinigung zweier disjunkter Mengen B L(R n ) und N L(R n ) drgestellt werden knn, wobei B B(R n ) und µ(n) = 0 gilt. Mit den Bezeichnungen us Stz 3.24 müssen wir nur B := F und N := A \ F setzen. Stz 3.24 und die nchfolgende Bemerkung lssen sich übertrgen uf den Fll, dss mn X = R und die entsprechenden σ-algebren B(R) bzw. L(R) betrchtet. 26

28 4 Messbre Funktionen 4.1 Definitionen und igenschften Definition 4.1. Seien X eine beliebige nichtleere Menge, M P(X) eine σ-algebr in X und µ ein Mß uf M. Ds Pr (X, M) heißt messbrer Rum und ds Tripel (X, M, µ) heißt Mßrum. ine Menge A X heißt wieder messbr (oder M-messbr), wenn A M gilt. Bemerkung. Wir betrchten in diesem Kpitel Funktionen f, deren Urbilder in X und deren Bilder in Y liegen. Um den Begriff der Messbrkeit solcher Funktionen sinnvoll zu definieren, müssen die Funktionen jedoch ls Funktionen zwischen zwei messbren Räumen (X, M) und (Y, N ) betrchtet werden. Wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind, verzichtet mn oft uf die explizite rwähnung der σ-algebren und schreibt nur kurz f : X Y. Besonders wichtig sind in diesem Zusmmenhng reelle Funktionen f : X R bzw. die so gennnten numerischen Funktionen f : X R. Ohne es im Weiteren immer explizit zu erwähnen, betrchten wir diese stets ls Funktionen zwischen den messbren Räumen (X, M) und (R, B(R)) bzw. (R, B(R)), d.h. im Bildrum wird stets die Borel sche σ-algebr zugrunde gelegt. Definition 4.2. Seien (X, M) und (Y, N ) messbre Räume. ine Funktion f : X Y heißt (bezogen uf dieses Pr messbrer Räume) messbr, wenn ds Urbild jeder messbren Menge messbr ist, d.h. B N f 1 (B) M. ine reelle Funktion f : X R bzw. eine numerische Funktion f : X R nennen wir messbr, wenn sie jeweils ls Funktionen zwischen (X, M) und (R, B(R)) bzw. (R, B(R)) messbr sind. Im Flle X = R n nennen wir reelle und numerische Funktionen messbr, wenn sie ls Funktionen zwischen (R n, B(R n )) und (R, B(R)) bzw. (R, B(R)) messbr sind. Bemerkung. Mnchml spricht mn von Lebesgue-messbren reellen Funktionen f : R n R bzw. von Lebesgue-messbren numerischen Funktionen f : R n R, wenn sie ls Funktionen zwischen (R n, L(R n )) und (R, B(R)) bzw. (R, B(R)) messbr sind. D jedoch B(R n ) L(R n ) gilt, ist jede solche messbre Funktion im Sinne der Definition 4.2 uch eine Lebesguemessbre Funktion. Mit Hilfe des folgenden Lemms 4.3 lässt sich dnch direkt der zur Überprüfung der Messbrkeit von Funktionen und Funktionenklssen wichtige Stz 4.4 beweisen. Nochmls sei erwähnt, dss sich offene Kugeln in R mit, b R sowohl durch beschränkte offene Intervlle (, b) ls uch durch unbeschränkte Intervlle der Typen [, ) bzw. (b, ] drstellen lssen 27

29 4.1 Definitionen und igenschften (vgl Bemerkung nch Beispiel 3.22). Weiter sei hier die Verwndtschft dieses Lemms mit dem später erwähnten und bewiesenen Lemm 4.10 vermerkt. Der Beweis von Lemm 4.3 verläuft nlog zu dem von Lemm 4.10 uf der Grundlge der Ttsche, dss die Menge der rtionlen Zhlen bzählbr ist und dicht in der Menge der reellen Zhlen. Hier müssen ber noch unbeschränkte Intervlle einbezogen werden. Lemm 4.3. Jede offene Menge in R ist ls bzählbre Vereinigung offener Kugeln in R drstellbr. Stz 4.4. Sei (X, M) ein messbrer Rum. Dnn ist eine numerische Funktion f : X R genu dnn messbr im Sinne von Definition 4.2, wenn für lle R gilt. X(f > ) := {x X : f(x) > } M Beweis. Sei zuerst die Funktion f : X R messbr im Sinne von Definition 4.2. Dnn ist X(f > ) M, weil (, + ] für beliebige reelle Zhlen ls offene Menge in R uch zur Borel schen σ-algebr B(R) gehört. Um die für den Beweis notwendige zweite Impliktion zu zeigen, nehmen wir n, dss X(f > ) M für lle R gilt und schließen drus uf f 1 (B) M für beliebige B B(R). Dzu betrchten wir ds Mengensystem = {(, + ] : R} und dessen erzeugte σ-algebr σ(). Wegen f 1 (B) M für lle B gilt uch f 1 ( B) M für lle B σ(). Gewiss enthält σ() lle hlboffenen Intervlle (, b] ls Differenzmengen zweier lemente us und lle Intervlle des Typs [, ] ls Komplemente. D sich uch lle Intervlle der Art (, b) bzw. [, ) mittels bzählbrer Vereinigungen der bereits erzeugten Typen drstellen lssen, gehören lle offenen Kugeln in R zu σ(), wegen Lemm 4.3 dmit uch lle offenen Mengen. Somit hben wir B(R) σ(). Für B B(R) gilt dnn uch f 1 (B) M Bemerkung. Wie eine Inspektion des Beweises zeigt, bleibt die Aussge des Stzes 4.4 ntürlich uch richtig, wenn reelle Funktionen f : X R betrchtet werden. Stz 4.5. Sei (X, M) ein messbrer Rum und sei f : X R eine beliebige Funktion. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: (i) X(f > ) M für lle R, (ii) X(f ) M für lle R, (iii) X(f < ) M für lle R, (iv) X(f ) M für lle R. Beweis. Beweis: (i) (iv): f 1 ([, ]) = f 1 (R \ (, + ]) = f 1 (R) \ f 1 ((, + ]) = X \ f 1 ((, + ]) M. 28

30 4.1 Definitionen und igenschften (iv) (iii): (iii) (ii): (ii) (i): ( ) f 1 ([, )) = f 1 [, 1 m ] = m=1 m=1 f 1 ([, 1 m ]) M. f 1 ([, + ]) = f 1 (R \ [, )) = X \ f 1 ([, )) M. ( ) f 1 ((, + ]) = f 1 [ + 1 m, + ] = m=1 m=1 f 1 ([ + 1 m, + ]) M. Bemerkung. Sttt X(f > ) knn in Stz 4.4 lso uch X(f < ), X(f ) oder X(f ) stehen. Beispiel 4.6. Die durch f(x) := { 1 x, x 0, +, x = 0 gegebene Funktion f : R R ist wegen Stz 4.4 messbr, denn es gilt [0, 1 ) B(R), > 0, X(f > ) = [0, + ) B(R), = 0, (, 1 ) [0, + ) B(R), < 0. Stz 4.7. Jede stetige Funktion f : R n R ist messbr. Beweis. Die Mengen (, + ) R für R sind offen. D f stetig ist, sind somit uch die Mengen f 1 ((, + )) offen und gehören zu B(R n ). Aus Stz 4.4 folgt dher die Behuptung. Bemerkung. Aus dem Beweis zu Stz 4.7 folgt sofort, dss jede uf einem metrischen Rum X definierte stetige Funktion f : X R messbr bezüglich der Borel schen σ-algebr in X ist. Stz 4.8. Sei (X, M) ein messbrer Rum. Ist f : X R messbr, so ist uch f : X R messbr. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Beweis. Sei f : X R messbr. Für 0 gilt dnn X(f > ) M und X(f < ) M (Sätze 4.4 und 4.5). Also erhlten wir X( f > ) = X(f < ) X(f > ) M, 29

31 4.1 Definitionen und igenschften d.h. f ist nch Stz 4.4 messbr. Wir geben ein Gebenbeispiel für die Gegenrichtung n. Sei A X mit A / M und sei f : X R durch { 1, x A, f(x) := 1, x / A gegeben. Dnn gilt X( f > ) = { X M, < 1, M, 1, d.h. f ist messbr. Jedoch erhlten wir X(f > 0) = A / M, d.h. f ist nicht messbr. Stz 4.9. Sei (X, M) ein messbrer Rum und seien die Funktionen f n : X R für n N messbr. Dnn sind uch die durch g(x) := sup f n (x), n N h(x) := inf n N f n(x), p(x) := lim sup f n (x), n q(x) := lim inf n f n(x) gegebenen Funktionen g, h, p, q : X R messbr. Beweis. Aufgrund der Messbrkeit der Funktionen f n für lle n N gilt X(f n > ) M und nch Stz 4.5 uch X(f n ) M für lle n N und R. Somit folgt X(g > ) = X(f n > ) M und X(h ) = n=1 d.h. g und h sind messbr. s gilt lim sup f n (x) = inf n sup n N k n X(f n ) M, n=1 f k (x) und lim inf f n(x) = sup inf f k(x). n k n Nch dem bereits gezeigten sind g n := sup k n f k und h n := inf k n f k messbr und dmit uch p = inf n N g n und q = sup n N h n. Bemerkung. xistiert f(x) := lim n f n (x) für lle x X, so ist mit f n für n N uch f messbr, d dnn lim n f n = lim sup n f n gilt. Lemm Jede offene Menge G R n ist ls bzählbre Vereinigung offener n-zellen n ( i, b i ) drstellbr. n N Beweis. Fll n = 1: Sei M eine offene Menge in R. Dnn knn mn sie drstellen ls Vereinigung über offene Intervlle (Kugeln) um jeden einzelnen Punkt x M mit geeigneten Rdien ε x > 0: M = (x ε x, x + ε x ). D die Menge der rtionlen Zhlen Q bzählbr und x M dicht in R ist, knn mn jedes offene Intervll (, b) in R drstellen ls (, b) = ( i, b i ) mit 30

32 4.1 Definitionen und igenschften x M rtionlen Intervllgrenzen i, b i Q (rtionle Approximtion des Intervlls von innen). Dnn ist M = ( xi, b xi ), wobei xi, b xi Q. D es ber nur bzählbr viele rtionle Zhlenpre gibt, ist die Vereinigung zur Drstellung von M eine mit bzählbr vielen offenen Intervllen. Fll n > 1: Der Beweis erfolgt mit nlogen Hilfsmitteln. Jede offene n-zelle lässt sich wieder von innen durch offene n-zellen mit rtionlen ckpunkten beliebig genu pproximinieren. s gibt ber uch nur bzählbr viele derrtige (rtionle) n-zellen. Bleibt zu zeigen, dss um jeden inneren Punkt von M eine offene n-zelle existiert, die gnz in M liegt. Jede offene Kugel in R n enthält ber eine offene n-zelle. Mn knn uch rgumentieren, dss Kugeln nicht im Sinne der uklidischen Norm, sondern im Sinne der Mximumnorm betrchtet werden und lle Normen in R n äquivlent sind. Stz Sei (X, M) ein messbrer Rum und seien f, g : X R messbre Funktionen. Ist die Funktion F : R 2 R stetig, so ist die durch h(x) := F (f(x), g(x)) definierte Funktion h : X R messbr. Beweis. Sei R und sei G := {(u, v) R 2 : F (u, v) > } = F 1 ((, + )). D (, + ) offen und F stetig ist, ist G offen, sodss nch Lemm 4.10 offene 2-Zellen I k = ( k, b k ) (c k, d k ) für k N mit G = k=1 I k existieren. s folgt nun X(h > ) = {x X : (f(x), g(x)) G } = d.h. h ist messbr. = {x X : (f(x), g(x)) I k } k=1 ( X(f > k ) X(f < b k ) X(G > c k ) X(g < d k ) ) M, k=1 Folgerung Sei (X, M) ein messbrer Rum und seien f, g : X R messbr. Dnn sind uch die (punktweise definierten) Funktionen f + g, f g, c f (mit c R) sowie die durch f + (x) := mx{f(x), 0} und f (x) := min{f(x), 0} definierten Funktionen f + und f messbr. Beweis. Für f + g, f g, c f folgt die Behuptung us Stz 4.11, d die Zuordnungen (x, y) x + y, (x, y) xy, (x, y) cx für x, y R stetig sind. Die Messbrkeit von f + und f folgt us f + = 1 2 (f + f ) und f = 1 2 ( f f). 31

33 4.1 Definitionen und igenschften Bemerkung. Die Funktion f + 0 heißt positiver Anteil, f 0 negtiver Anteil von f. s gilt stets f = f + f sowie f = f + + f. Definition Sei X eine beliebige nichtleere Menge. ine Funktion ϕ : X R heißt Treppenfunktion, flls ihre Bildmenge {y R : x X mit ϕ(x) = y} endlich ist. Für X heißt die durch { 1, x, χ (x) := 0, x / gegebene spezielle Treppenfunktion χ : X R chrkteristische Funktion der Menge. Lemm Sei X eine beliebige nichtleere Menge und sei ϕ : X R eine Treppenfunktion mit den prweise verschiedenen Funktionswerten c 1, c 2,..., c n R. Dnn existieren prweise disjunkte Mengen 1, 2,..., n X mit ϕ = n c i χ i. Beweis. Die Behuptung folgt sofort mit i := {x X : ϕ(x) = c i } = ϕ 1 (c i ). Bemerkung. Wenn wir Treppenfunktionen in der Form n c iχ i drstellen, nehmen wir im Folgenden stets n, dss die Mengen i prweise disjunkt sind. Stz ine uf einem messbren Rum (X, M) definierte Treppenfunktion ϕ = n c iχ i ist genu dnn messbr, wenn 1, 2,..., n M gilt. Beweis. O.B.d.A. sei c 1 < c 2 < < c n. Für c 1 gilt X(ϕ < ) = und für > c n gilt X(ϕ < ) = X. Ansonsten, d.h. für c 1 < c n, gibt es ein j {1, 2,..., n 1} derrt, dss c j < c j+1 gilt und wir X(ϕ < ) = j i hben. Aus 1, 2,..., n M folgt dnn sofort X(ϕ < ) M R und ϕ ist messbr. Umgekehrt folgt us der Messbrkeit von ϕ die Messbrkeit von X(ϕ < ) für lle R. s ist dnn nämlich F j := j i M für j = 1, 2,..., n. Somit erhlten wir i = F i \ F i 1 M für i = 2, 3,..., n und 1 = F 1 M. Bemerkung. In der Litertur werden messbre Treppenfunktionen vielfch ls einfche Funktionen bezeichnet. Bereits hier sei druf verwiesen, dss solche Funktionen ds entscheidende Hilfsmittel zur Definition des Lebesgue-Integrls in Kpitel 5 sein werden. Für eine lterntive Definition des Riemnn-Integrls (siehe Definition 7.2) in Kpitel 7 muss mn sich llerdings uf spezielle Treppenfunktionen einschränken, die wir (R)-Treppenfunktionen nennen werden. 32

34 4.1 Definitionen und igenschften Stz Sei (X, M) ein messbrer Rum und sei f : X R eine messbre Funktion. Dnn existiert eine Folge (ϕ n ) n N von messbren Treppenfunktionen ϕ n : X R mit f(x) = lim n ϕ n(x) für lle x X. Gilt f(x) 0 für ein x X, so ist die Folge (ϕ n (x)) monoton wchsend (nicht notwendig streng). Ist f beschränkt, so konvergiert die Folge (ϕ n ) sogr gleichmäßig uf X gegen f. Beweis. Wir zeigen die Behuptung zunächst für f 0. Für n N setzen wir dzu { n i := x X : i 1 2 n f(x) < i } 2 n, i = 1, 2,..., n2 n und F n := X(f n). Aufgrund der Messbrkeit von f sind lle i n und lle F n messbr. Für n N gilt ußerdem X = F n ( n2 n i n). Wir setzen nun ϕ n := n2 n i 1 2 n χ i n + nχ F n. Nch Stz 4.15 sind die Treppenfunktionen ϕ n messbr. Wir zeigen die punktweise Konvergenz. Für x X mit f(x) = + gilt x F n für lle n N und somit lim n ϕ n (x) = +. Sei x X mit f(x) <. Dnn existiert für jedes n N mit n > f(x) ein Index i n {1, 2,..., n2 n } mit x n in, d.h. ϕ n (x) = in 1 2 und n Somit folgt für hinreichend große n i n 1 2 n f(x) < i n 2 n 0 f(x) i n 1 2 n < 1 2 n. f(x) ϕ n (x) < 1 2 n n 0. Die Monotonie der Folge (ϕ n (x)) für jedes x X im Flle f 0 knn mn sich leicht überlegen, wenn mn die Zerlegungen beim Übergng von n zu n + 1 betrchtet. Sei nun f beschränkt, f 0 sowie ε > 0. Dnn existiert ein n 0 N mit f < n 0 und 1 2 < ε. Außerdem gilt F n 0 n = für n n 0, sodss zu jedem x X und jedem n n 0 ein Index i n (x) {1, 2,..., n2 n } mit x n in(x) existiert. Folglich gilt f(x) ϕ n (x) < 1 2 n 1 2 n 0 < ε für lle n n 0, d.h. ϕ n f für n. Sei nun f beliebig (d.h. nicht notwendig f 0). Dnn gilt f = f + f mit f + 0 und f 0 und nch dem bereits Gezeigten existieren Folgen (ϕ + n ) n N und (ϕ n ) n N, die die Aussge des Stzes für f + und f erfüllen. Setzen wir ϕ n := ϕ + n ϕ n, so gilt f(x) = lim n ϕ n (x) für lle x X und wenn f beschränkt ist, so ist die Konvergenz gleichmäßig 33

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