1 Die drei Bewegungsgleichungen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Die drei Bewegungsgleichungen"

Transkript

1 1 Die drei Bewegungsgleichungen Unbeschleunigte Bewegung, a = 0: Hier gibt es nur eine Formel, nämlich die für den Weg, s. (i) s = s 0 + v t s ist der zurückgelegte Weg, s 0 der Ort, an dem sich der Körper zu Beginn befand, v die Geschwindigkeit (sie ist hier konstant) und t die Zeit. Der Buchstabe s wird allgemein für den Weg genommen, besser ist es jedoch, gleich die Achse, auf der wir uns befinden zu spezifizieren. Befindet sich der Körper in Bewegung zum Beispiel auf der x-achse, so schreiben wir: x = x 0 + v t. Dies ist vor allem für Bewegungen in mehr als einer Dimension (wie z. B. der waagrechte Wurf) wichtig. Für die beschleunigte Bewegung, a 0, gibt es genau zwei Formeln, eine für den zurückgelegten Weg und eine für die Geschwindigkeit, die sich aufgrund der Beschleunigung natürlich ändert: (ii) s = s 0 + v 0 t at2 Man beachte, dass diese Formel für den zurückgelegten Weg der Vorhergehenden gleich ist bis auf den Term, der noch durch die Beschleunigung, a, dazu kommt. (iii) v = v 0 + a t Dies ist die Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t und je nachdem, ob beschleunigt oder gebremst wird, größer oder kleiner als die Anfangsgeschwindigkeit, v 0. Uns fällt auf, dass die Geschwingikeit immer die Ableitung des Wegen nach der Zeit ist! Nun haben wir alles, was wir brauchen und können versuchen, die verschiedenen Spezialfälle daraus abzuleiten. Da ich den Startpunkt der Bewegung immer in den Ursprung (0, 0) legen werde, fällt s 0 immer weg, da dann s 0 = 0. Ganz klammheimlich arbeiten wir hier ja schon mit Vektoren. Diese sind (falls es nötig ist, ihre Richtung anzudeuten) durch einen kleinen Pfeil gekennzeichnet, a, oder sie sind fettgedruckt, a. Die kleine 0 (der Index) bedeutet übrigens, dass es sich um den Anfangswert (also zum Zeitpunkt t = 0) handelt. So ist zum Beispiel, v 0x die Anfangsgeschwindigkeit auf der x-achse, währenddessen v x die Geschwindigkeit auf der x-achse zu einem späteren Zeitpunkt ist. 1

2 1.1 Der freie Fall Hier fällt ein Körper einfach von einer bestimmten Höhe aus in die Tiefe. Er wird nicht geworfen, hat also keine Anfangsgeschwindigkeit, sondern einfach fallen gelassen. Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung, da der Körper ja von der Erde angezogen wird und deren Schwerebeschleunigung ist g = 9.81m/s 2. Abbildung 1: Freier Fall Nehmen wir den Startpunkt als den Nullpunkt. Der Körper trifft auf, nachdem er die Strecke h durchlaufen hat. Wir bewegen uns nur in einer Dimension, nämlich nur auf der y-achse, wir starten bei 0 und enden bei y = h, das bedeutet, die positive Richtung der y-achse zeigt nach unten. Aus diesem Grund zeigt auch die Gravitation in positive Richtung. Dies ist wichtig, da wir sonst auf eventuelle Vorzeichen in v oder g achten müssten. Formeln für die beschleunigte Bewegung (ich nehme nun s = y): Es gilt: a = g, y 0 = 0, v 0 = 0. Einsetzen liefert: y = y 0 + v 0 t at2 v = v 0 + a t y = 1 2 gt2 v = gt. Fallweg und Endgeschwindigkeit sind damit also schon bestimmt. Nun berechnen wir noch die Flugzeit: Aus der zweiten Formel folgt: t = v g, eingesetzt in die erste, liefert dies: y = 1 2 g ( v g ) 2 = v2 2g. Zu guter Letzt können wir noch, falls es gefragt ist, die Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg aufschreiben: v = 2gy. 2

3 1.2 Der senkrechte Wurf Hier gibt es zwei Fälle: 1. Ein Körper wird aus einer Höhe h mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach unten geworfen. 2. Ein Körper wird vom Boden aus senkrecht nach oben geworfen und kommt nach einer gewissen Zeit wieder unten an. In beiden Fällen ist es wieder eine beschleunigte Bewegung, die nur in Richtung der y-achse verläuft, also: Wurf nach unten y = y 0 + v 0 t at2 v = v 0 + a t Im Grunde, ist es analog dem vorigen Fall, ausser dass jetzt die Anfangsgeschwindigkeit v 0 nicht 0 ist. Es gilt: a = g, y 0 = 0, v 0 0. Einsetzen liefert: Wurf nach oben y = v 0 t gt2 v = v 0 + gt. Abbildung 2: Wurf nach oben 1. Hier wird der Körper vom Boden aus, dem Nullpunkt (0, 0), mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 senkrecht nach oben geworfen: y 0 = 0 v = v 0 da t = 0, fliegt 2. bis zu einer Höhe h max [ganz genau: (x, y) = (0, h max )]. An dieser Stelle kehrt er um, seine Geschwindigkeit ist genau in diesem Moment gleich 0: y = h max v = 0 (Zeit t = t h ) 3

4 und 3. fällt wieder herab zum Ausgangspunkt (oder an einen anderen Punkt, der tiefer oder höher liegt als der Ausgangspunkt). Typische Fragestellungen hierzu sind: Wann erreicht der Körper seinen höchsten Punkt (v 0 sei bekannt)? Wie hoch fliegt er? Wann kommt er wieder am Boden an? Um die Antworten herauszufinden, betrachten wir die Bedingungen, die wir oben schon aufgeschrieben haben. Weiter ist hier zu beachten, dass die Gravitation weiterhin nach unten zeigt, der Körper jedoch nach oben fliegt. Mathematisch ist dies durch ein Minus zu kennzeichnen. Wo bringen wir dieses Minus an? Die positive Richtung der y-achse zeigt nun nach oben, ebenso die Geschwindigkeit, also +v 0, die Gravitation dagegen nach unten, also g. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0. Also gilt: h max = v 0 t h ( g)t2 h = v 0 t h 1 2 gt2 h 0 = v 0 gt h. Aus der letzteren Formel können wir sofort die Zeit bestimmten, die der Körper braucht, um an den höchsten Punkt zu gelangen (die sog. Steigzeit ): 0 = v 0 gt h t h = v 0 g. Damit ist auch sofort die Steighöhe bekannt, h max, wenn wir t h einsetzen: h max = v 0 v 0 g 1 2 g ( ) 2 v0 = v2 0 g g 1 v0 2 2 g = v2 0 2g. Der Körper kommt natürlich nach der Zeit 2 t h wieder am Ausgangspunkt an. 4

5 1.3 Der waagerechte Wurf Dies ist der erste Fall einer Bewegung in zwei Dimensionen: der Körper bewegt sich auf der x- und auf der y-achse! Wir müssen also simultan die Bewegungsgleichungen für beide Achsen aufschreiben. Was müssen wir beachten? Der Körper wird abgeworfen (dies wieder am Nullpunkt (0, 0) und fliegt nach unten (in positive x- und y-richtung) bis zu einem Punkt (x ende, y ende ). Der Körper wird waagerecht geworfen, er besitzt daher nur eine Anfangsgeschwindigkeit in x-richtung, nämlich v 0x. Dagegen ist v 0y = 0. Die Gravitation wirkt nur auf der y-achse in positive Richtung. Auf der x-achse gibt es keine Beschleunigung (wir werden von der Erde ja nicht nach links oder rechts gezogen, sondern nur nach unten). Die Bewegungen auf den einzelnen Achsen kann man unabhängig voneinander aufschreiben. Dies wird oft als ungestörte Überlagerung bezeichnet. Nun ist es wirklich wichtig, x und y anstatt s zu schreiben, sonst kommen wir durcheinander! Abbildung 3: Waagerechter Wurf (Quelle: x-achse: Unbeschleunigte Bewegung, a = 0. Die Geschwindigkeit entlang dieser Achse ist und bleibt somit v 0x. Wir starten bei (x 0, y 0 ) = (0, 0). Der Weg in x-richtung zu irgendeinem Zeitpunkt t ist: x(t) = v 0x t. Das wars schon für die x-achse. y-achse: Beschleunigte Bewegung, a = g. y(t) = 1 2 gt2 v y = g t. Beachte, dass dies genau die Ausdr cke vom freien Fall sind. Die Bewegungen sind also tatsächlich unabhängig voneinander: auf der y-achse verhält sich der Körper so, als würde er frei fallen. 5

6 Damit können wir nun alle Punkte, an denen sich der Körper befindet, zu jeder Zeit bestimmen. Schreiben wir nun das Ganze mal als Vektor, d.h. wir fassen alles Geschriebene einfach in einer Klammer wie folgt zusammen. Der Ort oder Weg lautet: Die Geschwindigkeit lautet: r = (x, y) = (v 0x t, 1 2 gt2 ). (1) v = (v x, v y ) = (v 0x, g t). (2) Nun berechnen wir die Bahngeschwindigkeit: Damit ist die Geschwindigkeit entlang der Kurve gefragt, also die Tangentialgeschwindigkeit. Diese müssen wir uns aus v 0x = v x und v y konstruieren. In Abb. 3 sehen wir, dass v bahn direkt duch den Satz des Pythagoras bestimmt werden kann: v 2 bahn = v 2 x + v 2 y. Wer die Vektorrechnung schon beherrscht, sieht auch sofort, dass es einfach der Betrag des Vektors: v = (v x, v y ) = (v 0x, g t) ist. Zuletzt berechnen wir noch die Bahnkurve y(x). Dafür müssen wir aus den Bewegungsgleichungen t eliminieren und durch x ausdrücken: x = v 0x t t = x v 0x y = 1 ( ) 2 x 2 g = g v 0x 2v0x 2 x 2 y x 2 Parabelförmige Bahn. Nun fehlt uns noch der Auftreffwinkel der Flugbahn (also des Geschwindigkeitsvektors). Es ist klar, dass: 6

7 1.4 Der schiefe Wurf Abbildung 4: Schiefer Wurf (Quelle: sc.ehu.es) Ein Körper wird vom Boden, (0, 0), aus in einem Winkel ϑ mit einer Anfangsgeschwingigkeit v 0 abgeworfen und landet nach der Flugzeit t F am Punkt (x ende, 0), also wieder auf dem Boden. Die Fragestellung lautet: Wie lange fliegt der Körper durch die Luft? Wo trifft er auf (x ende )? Welche maximale Höhe erreicht er? Die gegebene Anfangsgeschwindigkeit zeigt entlang der Bahntrajektorie. Wir müssen sie zuerst zerlegen in ihre x- und y-komponente: Gegeben wird meistens die Bahngeschwindigkeit. Hier: v Bahn = v 0. Die Zerlegung erfolgt mit einfacher Trigonometrie: v 0x = v 0 cos ϑ v 0y = v 0 sin ϑ. Abbildung 5: Geschwindigkeit Nun stellen wir die Bewegungsgleichungen auf: x-achse: a = 0 x = v 0 cos(ϑ) t v x = v 0x = v 0 cos ϑ. 7

8 y-achse: a = g y = v 0 sin(ϑ) t 1 2 gt2 v y = v 0y gt = v 0 sin ϑ gt. Die Gravitation zeigt entgegen der Geschwindigkeit und hat somit ein anderes Vorzeichen. 1. Wie lange fliegt der Körper durch die Luft? 2. Wo trifft er auf (x ende )? Er landet bei (x ende, 0), wir setzen daher in die beiden Gleichungen für den Ort diese Werte ein: x ende = v 0 cos(ϑ) t F 0 = v 0 sin(ϑ) t F 1 2 gt2 F. Dies sind zwei Gleichungen, in der Regel mit den zwei Unbekannten x ende und t F. 3. Welche maximale Höhe h max erreicht er? Am höchsten Punkt besitzt er keine Geschwindigkeit in y-richtung, v y = 0 bei h max. Einsetzen in die Gleichung für v y liefert die Zeit, die er bis zum höchsten Punkt benötigt: 0 = v 0 sin ϑ gt hmax t hmax = v 0 sin ϑ g Diese Zeit setzen wir nun in die Gleichung für y (=Höhe) ein: h max = v 0 sin(ϑ) t hmax 1 2 gt2 hmax. Nur zum Spass in vektorieller Schreibweise: Antwort zu 1. und 2.: Antwort zu 3.: r = (v 0 cos(ϑ) t, v 0 sin(ϑ) t 1 2 gt2 ) v = (v 0 cos ϑ, v 0 sin ϑ gt). (x ende, 0) = (v 0 cos(ϑ) t F, v 0 sin(ϑ) t F 1 2 gt2 F ). (v 0x, 0) = (v 0 cos ϑ, v 0 sin ϑ gt hmax ). Die vektorielle Rechnung hat also eindeutig den Vorteil der Kürze gegenüber der Berechnung mit getrennten Gleichungen auf beiden Achsen. 8

9 Leider wird uns zu oft vor Vektoren Angst gemacht, davon abgesehen, dass sie völlig abgekoppelt irgendwann in der Mathe gelehrt werden, anstatt uns daraufhinzuweisen, dass wir eigentlich schon die ganze Zeit mit ihnen arbeiten. Wir müssen sie nur als solche hinschreiben, die Physik dahinter bleibt die Selbe! Einige Worte zur Notation: cos(ϑ) = cos ϑ cos(ϑ) t = t cos ϑ. Manchmal mache ich eine Klammer um das Argument der trigonometrischen Funktionen sin und cos, aber nur der Übersichtlichkeit halber. Das t steht selbstverständlich nicht im Argument! 9

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 44) Schräger Wurf ) Bootsfahrt )

Physik 1 ET, WS 2012 Aufgaben mit Lösung 2. Übung (KW 44) Schräger Wurf ) Bootsfahrt ) Physik ET, WS Aufaben mit Lösun. Übun (KW 44). Übun (KW 44) Aufabe (M.3 Schräer Wurf ) Ein Ball soll vom Punkt P (x, y ) (, ) aus unter einem Winkel α zur Horizontalen schrä nach oben eworfen werden. (a)

Mehr

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW)

Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (50. KW) Physik 1 VNT Aufgabenblatt 8 5. Übung (5. KW) 5. Übung (5. KW) Aufgabe 1 (Achterbahn) Start v h 1 25 m h 2 2 m Ziel v 2? v 1 Welche Geschwindigkeit erreicht die Achterbahn in der Abbildung, wenn deren

Mehr

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag

Arbeit und Energie. Brückenkurs, 4. Tag Arbeit und Energie Brückenkurs, 4. Tag Worum geht s? Tricks für einfachere Problemlösung Arbeit Skalarprodukt von Vektoren Leistung Kinetische Energie Potentielle Energie 24.09.2014 Brückenkurs Physik:

Mehr

Intermezzo: Das griechische Alphabet

Intermezzo: Das griechische Alphabet Intermezzo: Das griechische Alphabet Buchstaben Name Buchstaben Name Buchstaben Name A, α Alpha I, ι Iota P, ρ Rho B, β Beta K, κ Kappa Σ, σ sigma Γ, γ Gamma Λ, λ Lambda T, τ Tau, δ Delta M, µ My Υ, υ

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

TI-92 (E0111a) Parameterfunktion Analoge Aufgabenstellungen Übungsbeispiele Lehrplanbezug (Österreich):

TI-92 (E0111a) Parameterfunktion Analoge Aufgabenstellungen Übungsbeispiele Lehrplanbezug (Österreich): BspNr: E0111 Themenbereich Quadratische Funktionen Ziele vorhandene Ausarbeitungen Anwendung der beschleunigten Bewegung TI-92 (E0111a) Parameterfunktion Analoge Aufgabenstellungen Übungsbeispiele E0110,

Mehr

Arbeit, Energie, Leistung. 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1

Arbeit, Energie, Leistung. 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1 Arbeit, Energie, Leistung 8 Arbeit, Energie, Leistung 2009 1 Begriffe Arbeit, Energie, Leistung von Joule, Mayer und Lord Kelvin erst im 19. Jahrhundert eingeführt! (100 Jahre nach Newton s Bewegungsgesetzen)

Mehr

PHYSIK Wurfbewegungen 1

PHYSIK Wurfbewegungen 1 PHYSIK Wurfbewegungen 1 Senkrechter Wurf nach unten Senkrechter Wurf nach oben Datei Nr. 9111 Auführliche Löungen und Drucköglichkeit nur auf CD Friedrich W. Buckel Augut Internatgynaiu Schloß Torgelow

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Die Keplerschen Gesetze

Die Keplerschen Gesetze Die Keplerschen Gesetze Franz Embacher Fakultät für Physik der Universität Wien Didaktik der Astronomie, Sommersemester 009 http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/lehre/didaktikastronomie/ss009/ 1

Mehr

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Quadratische Funktionen (Parabeln) Quadratische Funktionen (Parabeln) Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion = () x. Berechne mit Hilfe einer Wertetabelle die Funktionswerte von bis + im Abstand 0,. Zeichne anschließend die Punkte

Mehr

Trainingsprogramm für Kugelstoßer. von Ariane Keil

Trainingsprogramm für Kugelstoßer. von Ariane Keil Trainingsprogramm für Kugelstoßer von Ariane Keil Ariane Keil: Trainingsprogramm für Kugelstoßer 2 Problemstellung Überlegt sich ein Leichtathlet mit seinem Trainer, wie er seine Bestleistung steigern

Mehr

7 ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN

7 ZUSAMMENGESETZTE BEWEGUNGEN Prolog In diesem Kapitel geht es um Überlagerungen von Bewegungen. Die Geschwindigkeit wird ja als Vektor beschrieben, und diese kann man addieren (siehe Kap. 4). Wir werden uns vor allem Würfe genauer

Mehr

4 Dynamik der Rotation

4 Dynamik der Rotation 4 Dynamik der Rotation Fragen und Probleme: Was versteht man unter einem, wovon hängt es ab? Was bewirkt ein auf einen Körper einwirkendes? Welche Bedeutung hat das Massenträgheitsmoment eines Körpers?

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

PHYSIK Kräfte. Kräfte Überlagerungen Zerlegungen. Datei Nr. 91011. Friedrich W. Buckel. Juli 2002. Internatsgymnasium Schloß Torgelow

PHYSIK Kräfte. Kräfte Überlagerungen Zerlegungen. Datei Nr. 91011. Friedrich W. Buckel. Juli 2002. Internatsgymnasium Schloß Torgelow PHYSIK Kräfte Kräfte Überlagerungen Zerlegungen Datei Nr. 90 riedrich W. Buckel Juli 00 Internatsgymnasium Schloß Torgelow Inhalt Kräfte sind Vektoren. Überlagerung zweier gleich großer Kräfte. Zerlegung

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr

Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 01. August 2012, 17-19 Uhr KIT SS 0 Klassische Theoretische Physik II V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 0. August 0, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++4=0 Punkte (a Zwangsbedingungen beschreiben Einschränkungen

Mehr

Leseprobe. Heribert Stroppe. Physik - Beispiele und Aufgaben. Band 1: Mechanik - Wärmelehre ISBN: 978-3-446-42603-0

Leseprobe. Heribert Stroppe. Physik - Beispiele und Aufgaben. Band 1: Mechanik - Wärmelehre ISBN: 978-3-446-42603-0 Leseprobe Heribert Stroppe Physik - Beispiele und Aufgaben Band 1: Mechanik - Wärmelehre ISBN: 978-3-446-42603-0 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-42603-0 sowie

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten

Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Physik für Elektroingenieure - Formeln und Konstanten Martin Zellner 18. Juli 2011 Einleitende Worte Diese Formelsammlung enthält alle Formeln und Konstanten die im Verlaufe des Semesters in den Übungsblättern

Mehr

Darstellungsformen einer Funktion

Darstellungsformen einer Funktion http://www.flickr.com/photos/sigfrid/348144517/ Darstellungsformen einer Funktion 9 Analytische Darstellung: Eplizite Darstellung Funktionen werden nach Möglichkeit eplizit dargestellt, das heißt, die

Mehr

Licht breitet sich immer geradlinig aus. Nur wenn das Licht in unser Auge fällt, können wir es wahrnehmen.

Licht breitet sich immer geradlinig aus. Nur wenn das Licht in unser Auge fällt, können wir es wahrnehmen. 1. Optik Licht breitet sich immer geradlinig aus. Nur wenn das Licht in unser Auge fällt, können wir es wahrnehmen. Eine Mondfinsternis entsteht, wenn der Mond in den Schatten der Erde gerät: Eine Sonnenfinsternis

Mehr

Abteilung Naturwissenschaften

Abteilung Naturwissenschaften StlgST 'S «SAHTW0RTUII6 ' 1 PLUS DER KLEINSTE ELEKTROMOTOR Die Schraube beginnt zu rotieren. Mit dem Draht erzeugt man in der Batterie einen Kurzschluss, so dass hohe Ströme durch die Schraube und den

Mehr

Physik 1 für Ingenieure

Physik 1 für Ingenieure Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Gitterherstellung und Polarisation

Gitterherstellung und Polarisation Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland

OECD Programme for International Student Assessment PISA 2000. Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest. Deutschland OECD Programme for International Student Assessment Deutschland PISA 2000 Lösungen der Beispielaufgaben aus dem Mathematiktest Beispielaufgaben PISA-Hauptstudie 2000 Seite 3 UNIT ÄPFEL Beispielaufgaben

Mehr

Physik für Mediziner und Zahmediziner

Physik für Mediziner und Zahmediziner Physik für Mediziner und Zahmediziner Vorlesung 03 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1 Arbeit: vorläufige Definition Definition der Arbeit (vorläufig): Wird auf

Mehr

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel

Luisenburg-Gymnasium Wunsiedel Luisenurg-Gymnasium Wunsiedel Grundwissen für das Fach Mathematik Jahrgangsstufe 0 KREIS und KUGEL Bogenlänge rπα = 80 Das Verhältnis r πα = 80 heißt Bogenmaß, ist nur vom Mittelpunktswinkel α ahängig

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug

Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug Mathematik des Zufalls Was verbindet ein Münzspiel, Aktienkurse und einen Vogelflug Sylvie Roelly Lehrstuhl für Wahrscheinlichkeitstheorie, Institut für Mathematik der Universität Potsdam Lehrertag, Postdam,

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium

Mehr

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 3 Freie Waldorfschule Mitte März 8 Aufgaben zur analytischen Geometrie Musterlösung Gegeben sind die Ebenen E und E sowie die Punkte A und B: E : 4x + y + 3z = 3 E : x

Mehr

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion

Mathematik-Dossier. Die lineare Funktion Name: Mathematik-Dossier Die lineare Funktion Inhalt: Lineare Funktion Lösen von Gleichungssystemen und schneiden von Geraden Verwendung: Dieses Dossier dient der Repetition und Festigung innerhalb der

Mehr

Einfache Differentialgleichungen

Einfache Differentialgleichungen Differentialgleichungen (DGL) spielen in der Physik eine sehr wichtige Rolle. Im Folgenden behandeln wir die grundlegendsten Fälle 1, jeweils mit einer kurzen Herleitung der Lösung. Dann schliesst eine

Mehr

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)

Lösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.) Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft?

Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft? Auf welche Stoffe wirkt die Magnetkraft? Die Magnetkraft wirkt nur auf bestimmt Stoffe, nämlich Eisen, Nickel und Cobalt. Wie nennt man den Bereich, in dem die Magnetkraft wirkt? Der Bereich in dem die

Mehr

Arbeit, Energie und Impuls I (Energieumwandlungen)

Arbeit, Energie und Impuls I (Energieumwandlungen) Übungsaufgaben Mechanik Kursstufe Arbeit, Energie und Impuls I (Energieumwandlungen) 36 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen (35 Seiten Datei: Arbeit-Energei-Impuls Lsg) Eckhard Gaede Arbeit-Energie-Impuls_.doc

Mehr

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H.

Einführung in Mathcad 14.0 2011 H. Einführung in Mthc. H. Glvnik Eitieren von Termen Tet schreiben mit Shift " + + Nvigtion mit Leertste un Cursor + Löschen mit Shift + Entf + + 5 sin( ) + Arten von Gleichheitszeichen Definition eines Terms

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Polarisation des Lichts

Polarisation des Lichts PeP Vom Kerzenlicht zum Laser Versuchsanleitung Versuch 4: Polarisation des Lichts Polarisation des Lichts Themenkomplex I: Polarisation und Reflexion Theoretische Grundlagen 1.Polarisation und Reflexion

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Probematura Mathematik

Probematura Mathematik Probematura Mathematik Mai / Juni 2013 Seite 1 von 5 Probematura Mathematik VHS 21 / Sommertermin 2013 1. Tennis Tennisspieler trainieren häufig mit einer Ballwurfmaschine. Die hier beschriebene befindet

Mehr

Das Frequenzverhalten von RC-Gliedern (E17)

Das Frequenzverhalten von RC-Gliedern (E17) Das Frequenzverhalten von RC-Gliedern (E17) Ziel des Versuches Die Hintereinanderschaltung von ohmschem Widerstand und Kondensator wirkt als Filter für Signale unterschiedlicher Frequenz. In diesem Versuch

Mehr

Physikalisches Praktikum 5. Semester

Physikalisches Praktikum 5. Semester Torsten Leddig 22.Dezember 2005 Mathias Arbeiter Betreuer: Toralf Ziems Physikalisches Praktikum 5. Semester - Zeeman-Effekt - Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3 2 Normaler Zeeman-Effekt 3 3 Messung

Mehr

Staatlich geprüfte Techniker

Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial ortbildungslehrgang Staatlich geprüfte Techniker Auszug aus dem Lernmaterial Maschinenbautechnische Grundlagen DAA-Technikum Essen / www.daa-technikum.de, Infoline: 001 83 16

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik

MATHEMATIK. Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an. Fachoberschulen und Berufsoberschulen. Ausbildungsrichtung Technik Fachabiturprüfung 2009 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Fachoberschulen und Berufsoberschulen MATHEMATIK Ausbildungsrichtung Technik Freitag, 29. Mai 2009, 9.00-12.00 Uhr Die Schülerinnen und Schüler

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl

mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl mentor Abiturhilfen mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Mechanik von Erhard Weidl 1. Auflage mentor Abiturhilfe: Physik Oberstufe Weidl schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE ACHBUCHHANDLUNG

Mehr

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10

Kern- und Schulcurriculum Mathematik Klasse 9/10. Stand Schuljahr 2009/10 Kern- und Schulcurriculum Mathematik /10 Stand Schuljahr 2009/10 Fett und kursiv dargestellte Einheiten gehören zum Schulcurriculum In allen Übungseinheiten kommt die Leitidee Vernetzung zum Tragen - Hilfsmittel

Mehr

Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik

Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik Logo-Aufgaben mit Verbindung zur Mathematik Student: Dozent: Prof. Juraj Hromkovic Datum: 13.06.007 Logo-Kenntnisse Für die Lösung der Aufgaben werden folge Logo-Befehle benötigt: Arithmetik: +, -, *,

Mehr

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik

7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 262 7. Differenzialrechnung 7.3 7.3 Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik 7.3.1 Kinematik Bewegungsabläufe lassen sich durch das Weg-Zeit-Gesetz s = s (t) beschreiben. Die Momentangeschwindigkeit

Mehr

Klausur zu Physik1 für B_WIng(v201)

Klausur zu Physik1 für B_WIng(v201) M. Anders Wedel, den 13.08.07 Klausur zu Physik1 ür B_WIng(v201) Klausurdatum: 16.2.07, 14:00, Bearbeitungszeit: 90 Minuten Achtung! Es ird nur geertet, as Sie au diesen Blättern oder angeheteten Leerseiten

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Modul 1A: Wecken der Neugier: erste Fragen zum Thema Vorbereitung: Die menschliche Kanone

Modul 1A: Wecken der Neugier: erste Fragen zum Thema Vorbereitung: Die menschliche Kanone Modul 1A: Wecken der Neugier: erste Fragen zum Thema Vorbereitung: Die menschliche Kanone Es wird ein Video einer "menschlichen Kanone" präsentiert, in dem ein Mensch aus einer mehreren Meter langen Kanone

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover

Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover Zulassungsprüfung für den Master-Studiengang in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Leibniz Universität Hannover Zulassungsjahr: 203 (Sommersemester) Allgemeine Informationen: Der deutschsprachige

Mehr

Mechanische Struktur. Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Leistungsteil. Stellgrößen. Rückmeldungen (Lage, Bewegungszustand)

Mechanische Struktur. Digitalrechner (Steuerung, Regelung und Datenverarbeitung) Leistungsteil. Stellgrößen. Rückmeldungen (Lage, Bewegungszustand) l. Kinematik in der Mechatronik Ein tpisches mechatronisches Sstem nimmt Signale auf, verarbeitet sie und gibt Signale aus, die es in Kräfte und Bewegungen umsett. Mechanische Struktur Leistungsteil phsikalische

Mehr

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln

3.2 Spiegelungen an zwei Spiegeln 3 Die Theorie des Spiegelbuches 45 sehen, wenn die Person uns direkt gegenüber steht. Denn dann hat sie eine Drehung um die senkrechte Achse gemacht und dabei links und rechts vertauscht. 3.2 Spiegelungen

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Rheinland-Pfalz. Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Rheinland-Pfalz Übungsbuch für den Grund- und Leistungskurs mit Tipps und Lösungen Vorwort Vorwort Erfolg von Anfang an Dieses Übungsbuch ist auf die

Mehr

Geometrie Klasse 5 Basiswissen und Grundbegriffe der Geometrie

Geometrie Klasse 5 Basiswissen und Grundbegriffe der Geometrie Geometrie Klasse 5 Basiswissen und Grundbegriffe der Geometrie Skript Beispiele Musteraufgaben Seite 1 Impressum Mathefritz Verlag Jörg Christmann Pfaffenkopfstr. 21E 66125 Saarbrücken verlag@mathefritz.de

Mehr

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen

Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Probestudium der Physik: Mathematische Grundlagen Ludger Santen 1. Februar 2013 Fachrichtung Theoretische Physik, Universität des Saarlandes, Saarbrücken 1 Einführung Die Mathematik ist die Sprache der

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Vordiplomsklausur Physik

Vordiplomsklausur Physik Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU-Clausthal; Prof. Dr. W. Schade Vordiplomsklausur Physik 14.Februar 2006, 9:00-11:00 Uhr für den Studiengang: Maschinenbau intensiv (bitte deutlich

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Numerische Integration Die einfachste Anwendung des Integrals ist wohl die Beantwortung der Frage nach der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Achse über einem gegebenen Intervall ('Quadraturaufgabe').

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Terme und Formeln Umgang mit Termen

Terme und Formeln Umgang mit Termen Terme und Formeln Umgang mit Termen Al Charazmi (* um 780, um 840) war ein persischer Mathematiker, Astronom und Geograph. Vom Titel seines Werkes Al-kitab al-mukhtasar fi hisab al- abr wa l-muqabala (Arabisch

Mehr

Eingangstest Mathematik Musterlösungen

Eingangstest Mathematik Musterlösungen Fakultät für Technik Eingangstest Mathematik Musterlösungen 00 Fakultät für Technik DHBW Mannheim . Arithmetik.. (4 Punkte) Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Ausklammern, Ausmultiplizieren und

Mehr

Die Burgers Gleichung

Die Burgers Gleichung Die Burgers Gleichung Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spektralmethoden Elena Frenkel Samuel Voit Balthasar Meyer 29. Mai 2008 1 Einfürung Ein kurzer Überblick Physikalische Motivation 2 Cole-Hopf Transformation

Mehr

Seite 2 E 1. sin t, 2 T. Abb. 1 U R U L. 1 C P Idt 1C # I 0 cos t X C I 0 cos t (1) cos t X L

Seite 2 E 1. sin t, 2 T. Abb. 1 U R U L. 1 C P Idt 1C # I 0 cos t X C I 0 cos t (1) cos t X L Versuch E 1: PHASENVERSCHIEBUNG IM WECHSELSTROMKREIS Stichworte: Elektronenstrahloszillograph Komplexer Widerstand einer Spule und eines Kondensators Kirchhoffsche Gesetze Gleichungen für induktiven und

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

5.9.301 Brewsterscher Winkel ******

5.9.301 Brewsterscher Winkel ****** 5.9.301 ****** 1 Motivation Dieser Versuch führt vor, dass linear polarisiertes Licht, welches unter dem Brewsterwinkel auf eine ebene Fläche eines durchsichtigen Dielektrikums einfällt, nur dann reflektiert

Mehr

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik

Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Trägheit, Masse, Kraft Eine systematische Grundlegung der Dynamik Die grundlegenden Gesetze der Physik sind Verallgemeinerungen (manchmal auch Extrapolationen) von hinreichend häufigen und zuverlässigen

Mehr

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur

JOHANNES BONNEKOH. Analysis. Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur JOHANNES BONNEKOH Analysis Allgemeine Hochschulreife und Fachabitur Vorwort Vorwort Mathematik ist eine Sprache, die uns hilft die Natur und allgemeine naturwissenschaftliche Vorgänge zu beschreiben. Johannes

Mehr

Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab. Praktikumsbericht: Stoßgesetze

Anfänger-Praktikum I WS 11/12. Michael Seidling Timo Raab. Praktikumsbericht: Stoßgesetze Anfänger-Praktikum I WS 11/12 Michael Seidling Timo Raab Praktikumsbericht: Stoßgesetze 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I. Einführung 4 II. Grundlagen 4 1. Die Zykloide 4 2. Das Trägheitsmoment

Mehr

Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π -

Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π - Simulation mit modernen Tools - runde und spitze Berechnung von π - Prof. Dr. rer. nat. Stefan Ritter Fakultät EIT 7. April 01 Gliederung 1. Wozu Simulation?. Moderne Tools zur Simulation 1. Maple, Geogebra

Mehr

!(0) + o 1("). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen.

!(0) + o 1(). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen. Bifurkationen an geschlossenen Orbits 5.4 167 der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (")

Mehr

2. Vorlesung. Slide 40

2. Vorlesung. Slide 40 2. Vorlesung Slide 40 Knobelaufgabe Was tut dieses Programm? Informell Formal Wie stellt man dies sicher? knobel(a,b) { Wenn a = 0 dann return b sonst { solange b 0 wenn a > b dann { a := a - b sonst b

Mehr