Lösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt

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1 Lösungsvorschlag Theoretische Physik A Neuntes Übungsblatt Aufgabe 3 Prof. Dr. Schön und Dr. Eschrig Wintersemester 004/005 Durch Trennung der Veränderlichen und anschließende Integration ergibt sich aus der Energieerhaltung: t = dx = m E Ux )) m E dx b x + c x 4 Das gegebene Potential lautet Ux) = b x c x 4 mit b, c > 0. Die Extrema erhalten wir, indem wir die erste Ableitung nach x gleich null setzen und nach x auflösen: d dx Ux) = b x 4c x3! = 0 Die Maxima liegen bei: b ±x mit x = c Das Potential sieht folgendermaßen aus: Wir nehmen an, dass die Gesamtenergie E des Teilchens der potentiellen Energie am Maximum des Potentials bei x entspricht: E = Ux ) = b x c x 4 = b c b 4c = b 4c Damit folgt weiter: E Ux) = b 4c b x + c x 4 = c ) b c x = c x x ) Somit erhalten wir, indem obige Integration ausgeführt wird: [ ) m t = dx = c m x x ) c x artanh artanh x x x )] Wir lösen das ganze noch nach x auf und erhalten damit xt): [ ) ] c xt) = x tanh x m t + artanh x

2 c.) Damit die Bedingung xt 0 ) = 0 erfüllt ist, muss das Argument des Tangenshyperbolikus gleich null sein: x c m t 0 + artanh x )! = 0 t 0 = m x c artanh x ) Wir zeichnen das Schaubild der Funktion t 0 ): d.) Es handelt sich um einen Tangenshyperbolikus siehe Aufgabe 5), der für t asymptotisch gegen x und für t gegen x geht. Die Nullstelle liegt bei t 0, das im vorherigen Aufgabenteil berechnet wurde. Für x dauert es endlich lange, bis der Ball los rollt; die Nullstelle t 0 rückt nach. Aufgabe 3 3 Punkte Der Anschaulichkeit halber betrachten wir einen Kreis mit Radius, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Der Einheitsvektor e geht radial vom Ursprung aus und steht senkrecht auf dem Kreis, während e ϕ tangential zum Kreis verläuft: Wir berechnen die angegebenen Ausdrücke: e = cos ϕ + sin ϕ =, e ϕ = sin ϕ + cos ϕ =, e z =

3 e e ϕ = cos ϕsin ϕ + sin ϕcos ϕ = 0, e ϕ e z = 0, e z e ϕ = 0 Die letzten beiden Ergebnisse sind trivial, da e z ja senkrecht auf der Ebene steht, in der die Einheitsvektoren e und e ϕ liegen. c.) Wir wollen nun die Basisvektoren zeitlich ableiten, wobei der Winkel ϕ zeitabhängig sei. Dann erhalten wir unter Ausnutzung der Kettenregel der Differentiation: e = d dt e x cos ϕ + e y sinϕ) = e x sin ϕ + e y cos ϕ) ϕ = e ϕ ϕ e ϕ = d dt e x sinϕ + e y cos ϕ) = e x cos ϕ e y sin ϕ) ϕ = e ϕ Aufgabe 33 3 Punkte Bei einem elastischen Stoßprozess gilt sowohl der Impuls- als auch der Energieerhaltungssatz:.) Impulserhaltung: Die Summe der Impulse vor dem Stoß muss gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß sein: p = p + p Wir quadrieren die Gleichung und multiplizieren mit m : p = p + p ) = p + p + p p m p = m p + m p + m p p ).) Energieerhaltung: Die Summe der Energien vor dem Stoß muss gleich der Summe der Energien nach dem Stoß sein: E = E + E m p = m p + m p ) Durch Subtraktion der Gleichungen ) und ) ergibt sich die Bedingung, dass p und p senkrecht aufeinander stehen müssen, also p p = 0. Damit ist die Summe der eingeschlossenen Winkel ϑ und ϑ gleich 90 : ϑ + ϑ = 90 ϑ = 90 ϑ = = 60 3

4 Damit können wir die Impulserhaltung in y-richtung auswerten: mv sin ϑ = mv sin ϑ v v = sinϑ = sin60 ) sinϑ sin30 ) = 3 E E = v v ) = 3 E = 3E Weiter ist E = E + E = 4E und daraus folgt schließlich für die Energien der Teilchen nach dem Stoß: E = 4 E und E = 3 4 E Aus Proton und Neutron entsteht ein Deuteron; nach dem Stoßprozess trennen sich also die Teilchen nicht wieder voneinander. Es handelt sich damit um einen inelastischen Stoß, bei dem die Energie nicht erhalten ist, wohl aber der Impuls. Berücksichtigt man also Impulserhaltung in y- und x-richtung, so folgen die Gleichungen: mv sin ϑ = mv T sin ϑ mv v cos ϑ ) = mv T cos ϑ Dividiert man diese beiden Gleichungen durcheinander, ergibt sich: tan ϑ = v sinϑ v v cos ϑ Aufgabe 34 Wir betrachten 4 Punkte r = e x x + e y y + e z z = e + z e z und a = e x a x + e y a y + e z a z = e a + e ϕ a ϕ + e z a z Daraus ergibt sich dann die Kraft durch Bildung des Kreuzproduktes: F = r a = e x ya z za y ) + e y xa z + za x ) + e z xa y ya x ) = = e za ϕ ) e ϕ a z za ) + e z a ϕ ) 4

5 Entlang des Integrationsweges gilt d r = e ϕ dϕ. I = π π d r F = dϕ e ϕ ) [ e za ϕ ) e ϕ a z za ) + e z a ϕ )] z=0 = a z dϕ = 0 0 c.) = π a z In kartesischen Koordinaten haben wir: F ] ] ] = e x [ yf)z zf)y e y [ xf)z zf)x + e z [ xf)y yf)x = = e x [ a x a x ] + e y [ a y a y ] + e z [ a z a z ] = a Daraus folgt, dass ) I = da e z F = da a z ) = π a z A 0 A 0 ist, da A 0 = π gilt. d.) Wir haben zuvor F = a berechnet. Damit F konservativ wäre, müsste F wirbelfrei sein, also F = o gelten, was aber offensichtlich nicht der Fall ist. Damit ist F keine konservative Kraft. 5