Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik

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1 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik Teil 1 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln, Korrektheit, Zulässige Regeln Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 1 / 45

2 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln Im Folgenden ist L = L((R i i I ), (f j j J), (c k k K)) eine beliebige (aber feste) Sprache der Prädikatenlogik mit Signatur σ = ((n i i I ), (m j j J), K). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 2 / 45

3 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln Bei den Axiomen und Regeln unterscheiden wir zwischen den aussagenlogischen und prädikatenlogischen Axiomen und Regeln: Die aussagenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) der(aussagenlogischen) Junktoren und. (Diese werden vom Shoenfieldkalkül der Aussagenlogik direkt übernommen.) Die prädikatenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) des Existenzquantors und des Gleichheitszeichens. Hier benutzen wir folgende Notation: ϕ[t/x] sei die Formel, die aus ϕ entstehe, wenn alle freien Vorkommen der Variablen x durch den Term t ersetzt werden. Wir nennen hierbei t für x in ϕ substituierbar, falls keine in t vorkommende Variable y x in ϕ gebunden vorkommt. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 3 / 45

4 Der Shoenfield-Kalkül für PL: aussagenlogische Axiome und Regeln AXIOME ϕ ϕ ( ϕ ϕ) tertium non datur (Ax) REGELN ψ ϕ ψ Expansion (E) ϕ (ψ δ) (ϕ ψ) δ Assoziativität (A) ϕ ϕ ϕ Kürzung (Kü) ϕ ψ, ϕ δ ψ δ Schnitt (S) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 4 / 45

5 Der Shoenfield-Kalkül für PL: prädikatenlogische Axiome und Regeln SUBSTITUTIONSAXIOME (S1) ϕ[t/x] xϕ falls t in ϕ substituierbar ist (SB = Substituierbarkeitsbedingung ). GLEICHHEITSAXIOME (G1) x = x (G2) x 1 = y 1... x mj = y mj f j (x 1,..., x mj ) = f j (y 1,..., y mj ) (G3) x 1 = y 1... x ni = y ni R i (x 1,..., x ni ) R i (y 1,..., y ni ) (G4) x 1 = y 1 x 2 = y 2 x 1 = x 2 y 1 = y 2 -EINFÜHRUNGSREGELN ( 1) ϕ ψ xϕ ψ falls x in ψ nicht frei vorkommt (VB = Variablenbedingung). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 5 / 45

6 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit + Im Folgenden schreiben wir S PL oder kurz S für den Shoenfieldkalkül der Prädikatenlogik und S AL für den früher eingeführten Shoenfieldkalkül der Aussagenlogik. Beweise und Beweisbarkeit sind wie in jedem Kalkül definiert (siehe: die Diskussion des allgemeinen Kalkülbegriffs im Abschnitt über die Aussagenlogik). Im Folgenden steht für die Beweisbarkeit in S PL, d.h. T ϕ ϕ ist aus T im Kalkül S PL beweisbar, und wir schreiben wiederum ϕ 1,..., ϕ n ϕ ϕ statt {ϕ 1,..., ϕ n } ϕ statt ϕ Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 6 / 45

7 Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit Wie bereits für beliebige Kalküle gezeigt, gilt für den Beweisbarkeitsbegiff in S PL : MONOTONIELEMMA. Falls T T und T ϕ, so gilt auch T ϕ. TRANSITIVITÄTSLEMMA. Gelte T ϕ und gelte weiter T ψ für alle ψ T. Dann gilt T ϕ. ENDLICHKEITSSATZ. Falls T ϕ gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T 0 von T mit T 0 ϕ. Unser Ziel ist zu zeigen, dass der Kalkül S PL adäquat ist, d.h. dass Beweisbarkeitsbegriff und Folgerungsbegriff zusammenfallen: T ϕ T ϕ In diesem Abschnitt zeigen wir zunächst die Korrektheit ( ) und beweisen zur Vorbereitung des Beweises der Vollständigkeit ( ) die Zulässigkeit einer Reihe von Axiomen und Regeln in S PL. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 7 / 45

8 Korrektheit des Shoenfieldkalküls der Prädikatenlogik Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 8 / 45

9 Korrektheitssatz KORREKTHEITSSATZ. T ϕ T ϕ Wie wir im Teil über die Aussagenlogik gezeigt haben, genügt es die Korrektheit der Axiome und Regeln von S PL zu zeigen, d.h. nachzuweisen, dass gilt: Jedes Axiom ϕ ist allgemeingültig, d.h. ϕ. Jede Regel ϕ 1,..., ϕ n ϕ ist korrekt bzgl. Folgerungen, d.h. ϕ 1,..., ϕ n ϕ. Für die aussagenlogischen Axiome und Regeln argumentiert man ähnlich wie in der Aussagenlogik, und der Nachweis der Korrektheit der Gleichheitsaxiome ist eine einfache Übung. Wir betrachten hier daher nur die Korrektheit der Substitutionsaxiome (S1) und der -Einführungsregeln ( 1). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 9 / 45

10 Korrektheit von (S1): Substitutionslemma SUBSTITUTIONSLEMMA. Sei der Term t für die Variable x in der Formel ϕ substituierbar (d.h. keine in t vorkommende Variable y x kommt in ϕ gebunden vor). Dann ist ϕ[t/x] xϕ allgemeingültig. BEMERKUNG. Die Substituierbarkeitsbedingung ist notwendig: Für ist die Formel t y und ϕ y(x = y) ϕ[t/x] xϕ y(y = y) x y(x = y) nicht allgemeingültig (sie gilt nämlich in keiner Struktur mit mehr als einem Individuum). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 10 / 45

11 Substitutionslemma - Beweisidee Annahmen: Keine in t vorkommende Variable y x kommt in ϕ gebunden vor (=SB). FV (ϕ) V (t) {x, x 1,..., x n } A sei eine L-Struktur und B : {x, x 1,..., x n } A Zu zeigen: (*) WB A (ϕ[t/x] xϕ) = 1 Vorüberlegungen: Gilt WB A (ϕ[t/x]) = 0, so gilt (*) trivialerweise. Gilt x FV (ϕ), so gilt ϕ[t/x] ϕ und es gilt WB A(ϕ) = W B A ( xϕ), also auch WB A(ϕ[t/x]) = W B A ( xϕ) und daher (*). Wir können also o.b.d.a. zusätzlich annehmen, dass WB A (ϕ[t/x]) = 1 und x FV (ϕ) gilt, und müssen WB A ( xϕ) = 1 zeigen. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 11 / 45

12 Substitutionslemma - Beweisidee (Fortsetzung) Annahmen (erweitert): Keine in t vorkommende Variable y x kommt in ϕ gebunden vor (=SB). x FV (ϕ) & FV (ϕ) V (t) {x, x 1,..., x n } A sei eine L-Struktur und B : {x, x 1,..., x n } A mit W A B (ϕ[t/x]) = 1 Zu zeigen (aktualisiert): (**) W A B ( xϕ) = 1 Betrachte die Belegung B : {x, x 1,..., x n } A mit { B B(y) falls y {x 1,..., x n } (y) = tb A falls y = x Man zeigt dann durch Ind(ϕ) (mit Hilfe von (SB)), dass WB A (ϕ) = W B A (ϕ[t/x]) = 1. Hieraus folgt aus der Definition des Wahrheitsprädikates WB A ( xϕ) = 1 und hieraus wiederum mit dem Koinzidenzlemma (da x FV ( xϕ)), dass WB A ( xϕ) = 1. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 12 / 45

13 Korrektheit von ( 1): Notwendigkeit von VB ( 1) ϕ ψ xϕ ψ wobei x FV (ψ) (VB) BEMERKUNG. Die Variablenbedingung x FV (ψ) ist notwendig: Für ϕ : ψ : x = y ist die Variablenbedingung verletzt. Es gilt: Die Formel ϕ ψ x = y x = y ist offensichtlich allgemeingültig. Die Formel xϕ ψ x(x = y) x = y gilt dagegen nur in 1-elementigen Strukturen. Also: ϕ ψ xϕ ψ Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 13 / 45

14 Korrektheit von ( 1): Beweis ANNAHME: A ϕ ψ ZU ZEIGEN: A xϕ ψ Sei FV ( xϕ ψ) = {x 1,..., x n } und B : {x 1,..., x n } A. Dann genügt es WB A ( xϕ ψ) = 1 zu zeigen. Ist WB A (ψ) = 1, so ist die Behauptung trivial. Wir können also o.b.d.a. WB A(ψ) = 0 annehmen. Zu zeigen genügt dann: W B A ( xϕ) = 0. Hierzu wiederum genügt es (nach Definition von WB A ), für jede gegebene Fortsetzung B : {x, x 1,..., x n } A von B (d.h. B stimmt mit B auf {x 1,..., x n } überein) zu zeigen: WB A (ϕ) = 0. Dies zeigt man wie folgt: Aus der Annahme A ϕ ψ folgt: WB A (ϕ ψ) = 1. Aus WB A (ψ) = 0 folgt mit dem Koinzidenzlemma (da x FV (ψ)) WB A (ψ) = W B A (ψ) = 0. Aus diesen beiden Fakten folgt aber WB A (ϕ) = 0. q.e.d. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 14 / 45

15 Zulässige Regeln 1 Aussagenlogische Schlüsse 2 Generalisierung und Distribution 3 Ersetzung und Umbenennung 4 Substitution 5 Gleichheit Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 15 / 45

16 Aussagenlogische Vollständigkeit von S PL : Tautologien Wir führen zunächst den Begriff der Tautologie bzw. tautologischen Folgerung (= aussagenlogischer wahrer Satz bzw. aussagenlogische Folgerung) und zeigen dann, dass Tautologien und tautologische Folgerungen (aus endlichen Formelmengen) zulässige Axiome bzw. Regeln von S PL sind. Eine Formel ϕ ist elementar, falls ϕ atomar oder eine Existenzformel ϕ xψ ist. Elementare Formeln lassen sich aussagenlogisch nicht weiter zerlegen, spielen daher in PL die Rolle der Aussagenvariablen in AL. Eine aussagenlogische Belegung B von L ist eine Abbildung B : {ϕ : ϕ elementar} {0, 1}. Eine al. Belegung B lässt sich induktive wie folgt auf alle Formeln fortsetzen: B( ϕ) := 1 B(ϕ) B(ϕ 1 ϕ 2 ) := max(b(ϕ 1 ), B(ϕ 2 )) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 16 / 45

17 Al. Vollständigkeit von S PL : Tautologien (Forts.) Eine Formel ϕ ist eine Tautologie (oder aussagenlogisch gültig, AL ϕ), falls B(ϕ) = 1 für alle al. Belegungen B gilt. Eine Formel ϕ ist eine tautologische (oder aussagenlogische) Folgerung aus einer Formelmenge T (T AL ϕ), falls für alle al. Belegungen B gilt: Falls B(ψ) = 1 für alle ψ T, dann B(ϕ) = 1. NB: Es gilt T AL ϕ T ϕ. Die Umkehrung ist aber i.a. falsch. Z.B.: x(x = x) aber AL x(x = x). TAUTOLOGIESATZ. (i) AL ϕ ϕ (ii) ϕ 1,..., ϕ n AL ϕ ϕ 1,..., ϕ n ϕ Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 17 / 45

18 Beweisidee des Tautologiesatzes: Teil (i) Annahme: AL ϕ. Zu zeigen: ϕ Ersetze die PL-Formel ϕ durch eine al. gleichwertige AL-Formel ϕ AL durch Ersetzen der (verschiedenen) elementaren Teilformeln von ϕ durch (verschiedene) Aussagenvariablen. Aus AL ϕ folgt dann, dass die AL-Formel ϕ AL allgemeingültig (im Sinne von AL) ist. Mit dem Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik folgt SAL ϕ AL. D.h. es gibt einen Beweis ψ 1,..., ψ n von ϕ AL im Kalkül S AL der Aussagenlogik. Ersetzt man die in diesen Formeln die vorkommenden Aussagenvariablen durch elementare Formeln, wobei die im ersten Schritt vorgenommenen Ersetzungen (elementare Formel Aussagenvariable) rückgängig gemacht werden, so erhält man so einen Beweis ψ1 PL,..., ψpl n von ϕ (ϕ AL ) PL im Kalkül S PL, da - modulo dieser Ersetzungen - alle Axiome und Regeln von S AL auch Regeln von S PL sind. Also: SPL ϕ d.h. ϕ. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 18 / 45

19 Beweisidee des Tautologiesatzes: Teil (ii) Unter Verwendung des ersten Teiles des Satzes (i) AL ϕ ϕ zeigen wir (ii) ϕ 1,..., ϕ n AL ϕ ϕ 1,..., ϕ n ϕ Man zeigt zunächst wie in der AL, dass der Modus Ponens (MP) eine zulässige Regel ist. Dann kann man wie folgt argumentieren: ϕ 1,..., ϕ n AL ϕ AL ϕ 1 ϕ 2 ϕ n ϕ ϕ 1 ϕ 2 ϕ n ϕ (mit (i)) ϕ 1 ϕ 2 ϕ n ϕ (mit (MP))... ϕ 1,..., ϕ n ϕ (mit (MP)) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 19 / 45

20 Zulässigkeit aussagenlogischer Schlüsse: Zusammenfassung Aus dem Tautologiesatz ergibt sich die Zulässigkeit von in S PL. Aussagenlogische Schlüsse (AL) ψ 1,..., ψ n AL ϕ (n 0) ψ 1,..., ψ n ϕ Für n = 0 ist hierbei (AL) das Axiom (AL) ϕ falls AL ϕ Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 20 / 45

21 Zulässige Regeln 1 Aussagenlogische Schlüsse 2 Generalisierung und Distribution 3 Ersetzung und Umbenennung 4 Substitution 5 Gleichheit Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 21 / 45

22 -Einführungsregel (Hintere Generalisierung) -Einführungsregel (Hintere Generalisierung): ( 1) ϕ ψ ϕ x ψ falls x FV (ϕ) (VB) NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: 1. ϕ ψ Voraussetzung 2. ψ ϕ AL: 1 3. x ψ ϕ 1: 2 (VB erfüllt: x FV ( ϕ)) 4. ϕ x ψ AL: 3 ϕ xψ Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 22 / 45

23 Generalisierungsregel Generalisierung: ( 2) ϕ x ϕ NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: 1. ϕ Voraussetzung 2. xϕ ϕ AL: 1 3. xϕ xϕ 1: 2 (VB erfüllt: x FV ( xϕ)) 4. xϕ AL: 3 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 23 / 45

24 Distributionsregeln (D ) ϕ ψ x ϕ x ψ (D ) ϕ ψ x ϕ x ψ NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON D (D analog): 1. ϕ ψ Voraussetzung 2. ψ xψ S1 (NB: ψ ψ[x/x] und x ist für x substituierbar) 3. ϕ xψ AL: 1,2 4. xϕ xψ 1: 4 (NB: VB erfüllt, da x nicht frei in xψ) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 24 / 45

25 Zulässige Regeln 1 Aussagenlogische Schlüsse 2 Generalisierung und Distribution 3 Ersetzung und Umbenennung 4 Substitution 5 Gleichheit Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 25 / 45

26 Ersetzungsregel Ersetzungsregel (E) ψ 1 ψ 1... ψ n ψ n ϕ ϕ falls ϕ aus ϕ durch Ersetzen einzelner (von keinen bis allen) Vorkommen der Teilformeln ψ i durch ψ i entsteht (wobei die ersetzten Teilformeln nicht ineinander liegen). NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau von ϕ. Wir geben im Folgenden 2 Fälle (ϕ Disjunktions- bzw. Existenzformel) und lassen die anderen beiden Fälle (ϕ atomar oder Negationsformel) als Übung. Sei hierbei Ψ := {ψ 1 ψ 1,..., ψ n ψ n}. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 26 / 45

27 Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (1) Fall: ϕ ϕ 1 ϕ 2 Dann muss ϕ eine der folgenden Gestalten haben: 1 ϕ ϕ Dann ist ϕ ϕ ϕ ϕ eine Tautologie, also nach (AL) beweisbar. 2 ϕ ψ i wobei ϕ ψ i Dann ist ϕ ϕ ψ i ψ i Ψ, also trivialerweise aus Ψ beweisbar. 3 ϕ ϕ 1 ϕ 2, wobei nach I.V. ϕ 1 ϕ 1 und ϕ 2 ϕ 2 aus Ψ beweisbar sind Dann gilt ϕ 1 ϕ 1, ϕ 2 ϕ 2 AL ϕ ϕ. Es folgt daher Ψ ϕ ϕ mit (AL) aus der I.V. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 27 / 45

28 Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (2) Fall: ϕ x ˆϕ Dann muss ϕ eine der folgenden Gestalten haben: 1 ϕ ϕ Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ϕ 1 ϕ 2. 2 ϕ ψ i wobei ϕ ψ i Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ϕ 1 ϕ 2. 3 ϕ x ˆϕ, wobei nach I.V. ˆϕ ˆϕ aus Ψ beweisbar ist Dann gilt ϕ ϕ x ˆϕ x ˆϕ. Die Behauptung folgt also aus der I.V. mit der Distributionsregel (D ). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 28 / 45

29 Substitutionsregel: Spezialfall Spezialfall der Substitutionsregel: (S2 spez ) ϕ ϕ[t/x] falls t substituierbar (SB) NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: 1. ϕ Voraussetzung 2. xϕ ( x ϕ) 1: 1 3. ϕ[t/x] x ϕ S1 (SB nach Annahme erfüllt) 4. x ϕ ϕ[t/x] AL: 3 (NB: ( ϕ)[t/x] (ϕ[t/x])) 5. ϕ[t/x] AL: 2,4 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 29 / 45

30 Umbenennung gebundener Variablen: 1. Spezialfall 1. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen: (U spez) xϕ yϕ[y/x] falls y V (ϕ) und x GV (ϕ) NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: Wir benutzen, dass wegen y V (ϕ) gilt: ( ) (ϕ[y/x])[x/y] ϕ Hiermit erhält man: 1. ϕ[y/x] xϕ S1 (SB erfüllt, da y V (ϕ)) 2. yϕ[y/x] xϕ 1: 1 (VB erfüllt, da y V (ϕ) also y FV ( xϕ)) 3. (ϕ[y/x])[x/y] yϕ[y/x] S1 (SB erfüllt, da ϕ yϕ[y/x] (s. ( )) x GV (ϕ) = GV (ϕ[y/x])) 4. xϕ yϕ[y/x] 1: 3 (VB erfüllt: x FV ( yϕ[y/x])) 5. xϕ yϕ[y/x] AL: 2,4 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 30 / 45

31 Umbenennung gebundener Variablen: 2. Spezialfall In (U spez) xϕ yϕ[y/x] falls y V (ϕ) und x GV (ϕ) ist die Forderung y V (ϕ) notwendig: BEISPIEL: Für ϕ y(y x) ist die Formel xϕ yϕ[y/x] x y(y x) y y(y y) nicht allgemeingültig, da die Seite links von in Strukturen mit mindestens zwei Individuen gilt, die Seite rechts von dagegen unerfüllbar ist. Auf die Forderung x GV (ϕ) in (U spez) kann dagegen verzichtet werden: 2. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen: (U spez ) xϕ yϕ[y/x] falls y V (ϕ) Die Zulässigkeit von (U spez ) zeigt man durch Induktion nach der Länge von ϕ. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 31 / 45

32 Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (U spez ) Nachweis der Zulässigkeit von (U spez ) xϕ yϕ[y/x] falls y V (ϕ) durch Induktion nach der Länge von ϕ. Es genügt die beiden folgenden Fälle zu betrachten: 1 x GV (ϕ). Dann gilt U spez wegen U spez. 2 x GV (ϕ). Dann enthält ϕ (eventuell ineinander geschachtelte) Teilformeln xψ i. Für neue Variablen z i y ist dann nach I.V. xψ i z i ψ i [z i /x] beweisbar. Durch (eventuell iteriertes) Anwenden der Ersetzungsregel folgt, dass es eine Formel ϕ gibt mit ( ) ϕ ϕ und y V (ϕ) V (ϕ ) & x GV (ϕ ) Hiermit zeigt man U spez durch Rückgriff auf U spez wie folgt. Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 32 / 45

33 Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (U spez ) (Forts.) ANNAHME ( ): ϕ ϕ und y V (ϕ) V (ϕ ) & x GV (ϕ ) ZU ZEIGEN: xϕ yϕ[y/x] 1. ϕ ϕ Annahme 2. xϕ xϕ AL, D : 1 3. (ϕ ϕ )[y/x] S2 spez : 1 SB: y V (ϕ) V (ϕ ) ϕ[y/x] ϕ [y/x] = V (ϕ ϕ ) 4. yϕ[y/x] yϕ [y/x] AL, D : 3 5. xϕ yϕ [y/x] U spez y V (ϕ ) & x GV (ϕ )! 6. xϕ yϕ[y/x] AL: 2, 5, 4 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 33 / 45

34 Umbenennung geb. Variablen: allgemeiner Fall Umbenennung gebundener Variablen: (U) ϕ ϕ falls ϕ aus ϕ durch Umbenennung gebundener Variablen ensteht. Hierbei darf bei Ersetzung einer Teilformel xψ durch yψ[y/x] die Variable y nicht in ψ vorkommen. NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: Man zeigt dies durch Induktion nach dem Formelaufbau von ϕ mit Hilfe von U spez unter Verwendung aussagenlogischer Schlüsse und der Distributionsregeln: Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 34 / 45

35 Umben. geb. Variablen - allgemeiner Fall: Zulässigkeit 1 ϕ atomar. Dann gilt ϕ ϕ, weshalb ϕ ϕ eine Tautologie ist. 2 ϕ ψ. Dann gilt ϕ ψ, wobei ψ ψ nach I.V. beweisbar ist. Es folgt dann aber ϕ ϕ ( ψ ψ ) mit AL. 3 ϕ ϕ 1 ϕ 2. Dann gilt ϕ ϕ 1 ϕ 2, wobei ϕ 1 ϕ 1 und ϕ 2 ϕ 2 nach I.V. beweisbar sind. Die Behauptung folgt hieraus wiederum mit AL. 4 ϕ xψ. Dann muss einer der beiden folgenden Unterfälle vorliegen: 1 ϕ xψ. Dann ist ψ ψ nach I.V. beweisbar. Mit AL und D folgt die Behauptung. 2 ϕ yψ [y/x], wobei y V (ψ ). Dann gilt: 1. ψ ψ I.V. 2. xψ xψ AL, D : 1 3. xψ yψ [y/x] U spez ; NB: y V (ψ ) 4. xψ yψ [y/x] ( ϕ ϕ ) AL: 2,3 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 35 / 45

36 Zulässige Regeln 1 Aussagenlogische Schlüsse 2 Generalisierung und Distribution 3 Ersetzung und Umbenennung 4 Substitution 5 Gleichheit Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 36 / 45

37 Substitutionsregel: Spezialfall Erinnerung: Spezialfall der Substitutionsregel: (S2 spez ) ϕ ϕ[t/x] falls t substituierbar (SB) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 37 / 45

38 Substitutionsregel: allgemeiner Fall Substitutionsregel: (S2) ϕ ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] falls t i für x i substituierbar in ϕ (SB) Hierbei bezeichnet ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] die simultane Substitution von t i für x i in ϕ (i = 1,..., n). NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: Die Idee ist die simultane Substitution durch eine sequentielle Substitution - d.h. durch eine Folge einfacher Substitutionen - zu beschreiben und so (S2) auf (S2 spez ) zurückzuführen. Hierzu wählen wir n neue Variablen, d.h. Variablen y 1,..., y n {x 1,..., x n } V (ϕ) V (t 1 ) V (t n ). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 38 / 45

39 Substitutionsregel: Forts. d. Nachweis der Zulässigkeit Für gilt dann ˆϕ : ϕ[y 1 /x 1,..., y n /x n ] (... ((ϕ[y 1 /x 1 ])[y 2 /x 2 ])... )[y n /x n ] ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] ˆϕ[t 1 /y 1,..., t n /y n ] (... (( ˆϕ[t 1 /y 1 ])[t 2 /y 2 ])... )[t n /y n ]. Hiermit ergibt sich: 1. ϕ Voraussetzung 2. ϕ[y 1 /x 1 ] S2 spez : 1 3. (ϕ[y 1 /x 1 ])[y 2 /x 2 ] S2 spez : 2... n + 1. ˆϕ S2 spez : n n + 2. ˆϕ[t 1 /y 1 ] S2 spez : n n + 2. (... ( ˆϕ[t 1 /y 1 ])... )[t n /y n ] S2 spez : 2n + 1 ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] (s.o.) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 39 / 45

40 Substitutionssatz: zulässige Substitutionsaxiome (S2 ) ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] x 1... x n ϕ (falls SB erfüllt) (S2 ) x 1... x n ϕ ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] (falls SB erfüllt) NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2 : Seien y 1,..., y n neue Variablen, die in ϕ, t 1,..., t n und {x 1,..., x n } nicht vorkommen. 1. ϕ x nϕ S1... n. x 2... x nϕ x 1 x 2... x nϕ S1 n + 1. ϕ x 1 x 2... x nϕ AL: 1,..., n n + 2. x 1 x 2... x nϕ y 1 y 2... y nϕ[y 1 /x 1,..., y n/x n] U, da y 1,..., y n V (ϕ) n + 3. ϕ y 1 y 2... y nϕ[y 1 /x 1,..., y n/x n] AL: n + 1, n + 2 n + 4. (ϕ y 1 y 2... y nϕ[y 1 /x 1,..., y n/x n])[t 1 /x 1,..., t n/x n] S2: n + 3 ϕ[t 1 /x 1,..., t n/x n] y 1... y n ϕ[y 1 /x 1,..., y n/x n] n + 5. ϕ[t 1 /x 1,..., t n/x n] x 1... x n ϕ AL: n + 2, n + 4 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 40 / 45

41 NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2 : 1. ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] x 1... x n ϕ S2 2. x 1... x n ϕ ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] AL: 1 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 41 / 45

42 Allabschluss ( 3 1 ) ϕ ϕ ( 3 2 ) ϕ ϕ NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON ( 3 1 ) und ( 3 2 ): Sei FV (ϕ) = {x 1,..., x n } und ϕ x 1... x n ϕ. ( 3 1 ) : 1. ϕ Voraussetzung 2. x n ϕ 2: 1... n. x 1... x n ϕ ( ϕ) 2: n ( 3 2 ) : 1. ( ϕ ) x 1... x n ϕ Voraussetzung 2. x 1... x n ϕ ϕ[x 1 /x 1,..., x n /x n ] S2 3. ϕ[x 1 /x 1,..., x n /x n ] ( ϕ) AL: 1,2 Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 42 / 45

43 Zulässige Regeln 1 Aussagenlogische Schlüsse 2 Generalisierung und Distribution 3 Ersetzung und Umbenennung 4 Substitution 5 Gleichheit Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 43 / 45

44 Weitere Gleichheitsaxiome: Symmetrie (G5) s = t t = s NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: 1. x = x G1 2. x = y x = x x = x y = x G4 3. x = y y = x AL: 1,2 4. s = t t = s S2: 3 (SB trivialerweise erfüllt) ( (x = y y = x)[s/x, t/y]) Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 44 / 45

45 Weitere Gleichheitsaxiome: Ununterscheidbarkeit (G6) t 1 = t 1... t n = t n s = s falls s aus s durch Ersetzen einiger (oder auch aller) Vorkommen der Terme t i durch die entsprechenden Terme t i entsteht. (G7) t 1 = t 1... t n = t n (ϕ[t 1 /x 1,..., t n /x n ] ϕ[t 1/x 1,..., t n/x n ]) falls die Terme t i und t i für x i in ϕ substituierbar sind. NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT: Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau des Terms s (G6) bzw. der Formel ϕ (G7). Wir verzichten auf die einfachen Beweise (Übung!). Mathematische Logik (WS 2010/11) Shoenfields Kalkül der PL 45 / 45