Algorithmen und Datenstrukturen 1

Transkript

1 Algorithme ud Datestrukture. Vorlesug Peter F. Stadler Uiversität Leipzig Istitut für Iformatik aufbaued auf de Kurse der letzte Jahre vo E. Rahm, G. Heyer, G. Brewka,Uwe Quasthoff, R. Der

2 Übuge Übuge fide im 2-Wocherhythmus statt (A bzw. B Woche). Es gibt 2 Übugsgruppe. Zeit ud Ort siehe auch: Begi am Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 2

3 Übugsgruppe Gruppe A: Mo Uhr Woche A Raum SG 3-05 (3. Semester) Gruppe B: Mo Uhr Woche B Raum SG 3-05 (3. Semester) Gruppe C: Di Uhr Woche A Raum SG 3-09 (3. Semester) Gruppe D: Di Uhr Woche B Raum SG 3-09 (3. Semester) Gruppe G: Mo Uhr Woche A Raum SG 3-09 (. Semester) Gruppe H: Mo Uhr Woche B Raum SG 3-09 (. Semester) Gruppe I: Di Uhr Woche A Raum SG 3-07 (3. Semester) Gruppe J: Di Uhr Woche B Raum SG 3-07 (3. Semester) Gruppe K: Fr Uhr Woche A Raum SG R0 (. Semester) Gruppe L: Fr Uhr Woche B Raum HS R0 (. Semester) Gruppe O: Mo Uhr Woche A Raum HS R09 (3. Semester) Gruppe P: Mo Uhr Woche B Raum HS R09 (3. Semester) SGSemiargebäude, HSHärtelstraße Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 3

4 Ameldug für die Übugsgruppe Ameldug für die Übugsgruppe uter vom um Uhr Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 4

5 Übugsaufgabe Es sid füf Serie vo Übugsaufgabe zu bearbeite. Diese fide sich im Zweiwocherhythmus auf de Seite im Netz. Bearbeitugszeit 2 Woche. Abgabe vor der Vorlesug hier. Leistugsbewertug Modulabschlussprüfug: Klausur 60 Klausur am um 5.5 Uhr Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 5

6 Ihaltsverzeichis. Eiführug Type vo Algorithme Komplexität vo Algorithme 2. Eifache Suchverfahre i Liste 3. Verkette Liste, Stacks ud Schlage 4. Sortierverfahre Elemetare Verfahre Shell-Sort, Heap-Sort, Quick-Sort Extere Sortierverfahre 5. Allgemeie Bäume ud Biärbäume Orietierte ud geordete Bäume Biärbäume (Darstellug, Traversierug) 6. Biäre Suchbäume 7. Mehrwegbäume Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 6

7 Literatur T. Ottma, P. Widmayer: Algorithme ud Datestrukture, Reihe Iformatik, Bad 70, BI-Wisseschaftsverlag, 3. Auflage, Spektrum-Verlag, 996 M.A. Weiss: Data Structures & Algorithm Aalysis i Java. Addiso-Wesley 999, 2. Auflage 2002 Weitere Bücher V. Claus, A. Schwill: Dude Iformatik, BI-Dudeverlag, 2. Auflage 993 D.A. Kuth: The Art of Computer Programmig, Vol. 3, Addiso-Wesley, 973 R. Sedgewick: Algorithme. Addiso-Wesley 992 G. Saake, K. Sattler: Algorithme ud Datestrukture - Eie Eiführug mit Java. dpukt-verlag, 2002 A. Solymosi, U. Gude: Grudkurs Algorithme ud Datestrukture. Eie Eiführug i die praktische Iformatik mit Java. Vieweg, 2000, 2. Auflage 200 Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 7

8 Eiführug Algorithme stehe im Mittelpukt der Iformatik Wesetliche Etwurfsziele bei Etwicklug vo Algorithme: Korrektheit Termiierug Effiziez User Schwerpukt Wahl der Datestrukture v.a. für Effiziez etscheided Abstrakte Datetype (ADTs): Zusammefassug vo Algorithme ud Datestrukture Vorlesugsschwerpukte: Etwurf vo effiziete Algorithme ud Datestrukture Aalyse ihres Verhaltes Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 8

9 Wozu Gedake über Datestrukture? Fuktioal gleichwertige Algorithme weise oft erhebliche Uterschiede i der Effiziez (Komplexität) auf. Algorithme verarbeite Date. Bei der Verarbeitug soll effektiv mit de Date umgegage werde. Mögliche Aufgabe sid: Schell de richtige Datesatz ermittel (z. B. Nachschlage im Telefobuch) Hizufüge ud Lösche vo Datesätze Sortiere eies Datebestades. Die Effiziez hägt bei große Datemege ab vo der itere Darstellug der Date ud dem verwedete Algorithmus. Möglicherweise häge beide Teilfrage eg zusamme. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 9

10 Beispiel: Telefo-CD Speicherplatz auf der CD-ROM: ca. 700 MB Suchmöglichkeite: kombiiert ach Name ud Ort Abschätzug des Rohdatevolumes: 40 Millioe Eiträge zu je 35 Zeiche, d.h. ca..4 GB ASCII-Text ALSO: Wir brauche eie Datestruktur, die eie schelle Zugriff (über eie sog. Idex) erlaubt ud zusätzlich die Date komprimiert. Außerdem gilt es zu beachte, dass der Zugriff auf die CD-ROM wesetlich läger dauert als ei Zugriff auf die Festplatte. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 0

11 Beobachtuge zur Telefo-CD Zum Nachschlage köte ma ei Programm beutze, welches die vollstädige Verwaltug der Eiträge erlaubt: Suche, Eifüge ud Lösche. Die zusätzlich vorhadee Fuktioe werde eifach icht agebote. Aber: Weil sowieso ur das Suche erlaubt ist, köe wir vielleicht eie Datestruktur verwede, die zwar extrem schelles Suche i eier komprimierte Datei erlaubt, aber möglicherweise kei Eifüge. Schlussfolgerug: Soll usere Datestruktur ur bestimmte Operatioe erlaube, so loht die Suche ach Strukture mit hoher Effiziez. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07

12 Effiziez: Zeit ud Speicher Die Abarbeitug vo Programme (Software) beasprucht 2 Ressource: Zeit ud Hardware (wichtig: Speicher). Wie steigt dieser Ressourceverbrauch bei größere Probleme (d.h. mehr Eigabedate)? Es ka sei, dass Probleme ab eier gewisse Größe praktisch ulösbar sid, weil Ihre Abarbeitug zu lage dauer würde (z.b. >00 Jahre) oder Das Programm mehr Speicher braucht, als zur Verfügug steht. Wichtig ist auch der Uterschied zwische RAM ud exterem Speicher, da der Zugriff auf eie Festplatte ca mal lagsamer ist als ei RAM-Zugriff. Deshalb werde mache Algorithme bei Überschreite des RAM so lagsam, dass sie praktisch utzlos sid. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 2

13 Komplexität vo Algorithme Wesetliche Maße: Rechezeitbedarf (Zeitkomplexität) Speicherplatzbedarf (Speicherplatzkomplexität) Programmlaufzeit vo zahlreiche Faktore abhägig Eigabe für das Programm Qualität des vom Compiler geerierte Codes ud des gebudee Objektprogramms Leistugsfähigkeit der Maschieistruktioe, mit dere Hilfe das Programm ausgeführt wird Zeitkomplexität des Algorithmus, der durch das ausgeführte Programm verkörpert wird Bestimmug der Komplexität Messuge auf eier bestimmte Maschie Aufwadsbestimmuge für idealisierte Modellrecher (Bsp.: Radom-Access-Maschie oder RAM) Abstraktes Komplexitätsmaß zur asymptotische Kosteschätzug i Abhägigkeit zur Problemgröße (Eigabegröße) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 3

14 Asymptotische Kostemaße Festlegug der Größeordug der Komplexität i Abhägigkeit der Eigabegröße: Best Case, Worst Case, Average Case Meist Abschätzug oberer Schrake (Worst Case): Groß-Oh-Notatio Zeitkomplexität T() eies Algorithmus ist vo der Größeordug, we es Kostate 0 ud c > 0 gibt, so daß für alle Werte vo > 0 gilt: T() c ma sagt "T() ist i O()" bzw. "T() O()" oder "T() O()" Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 4

15 Allgemeie Defiitio: O Klasse der Fuktioe O(f), die zu eier Fuktio (Größeordug) f gehöre ist O(f) {g c > 0 0 > 0: 0 : g() c f()} Beispiel: O( 4 ) zu zeige: c 4 für ei c ud alle > 0 -> 6 + 3/ - 7 / 4 c Wähle also z.b. c 9, 0 Ei Programm, desse Laufzeit oder Speicherplatzbedarf O(f()) ist, hat demach eie Wachstumsrate f() Beispiel: g() O( 2 ) oder g() O( log )? g() O( log ) -> g() O( 2 ), jedoch gilt atürlich O( log ) O( 2 ) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 5

16 Groß-Omega-Notatio: g Ω (f) oder g Ω (f) drückt aus, dass g midestes so stark wächst wie f (utere Schrake) Defiitio: Ω (f) {h c > 0 : 0 > 0 : 0 : h() c f()} alterative Defiitio (u.a. Ottma/Widmayer): Ω (f) {h c > 0 : uedlich viele : h() c f()} Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 6

17 Exakte Schrake gilt für eie Fuktio g sowohl g O(f) als auch g Ω(f), so schreibt ma g Θ(f) g aus Θ(f) bedeutet also: die Fuktio g verläuft ab eiem Afagswert 0 im Bereich [c f, c 2 f] für geeigete Kostate c, c 2 Merke: Ist T() ei Polyom vom Grade p da ist T() Θ( p ), d.h. die Wachtsumsordug ist durch die höchste Potez im Polyom gegebe. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 7

18 Polyomiales Wachstum Ist T() ei Polyom der Ordug p da gilt: T() ( p ) ( ) ( p ) Beweis O T T p ( ) U ( ) mit U( ) a + a a ud lim U ( ) Für ei beliebiges ε > Es läßt sich damit immer ei T ( ) < p k 0 c Beweis Ω p a k k ( p ) :Sei > a p o. p aalog a 0. p p- 0 wähle wir c a 0 > p ausklammer : 0 + ε 0 fide so dass Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 8 p p a p

19 Wichtige Wachstumsfuktioe Kostefuktioe O () O (log ) O () O ( log ) O ( 2 ) O ( 3 ) O (2 ) kostate Koste logarithmisches Wachstum lieares Wachstum -log -Wachstum quadratisches Wachstum kubisches Wachstum expoetielles Wachstum Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 9

20 Wachstumsverhalte Ressourceverbrauch i Ahägigkeit vo der Problemgröße bei verschiedee Kostefuktioe Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 20

21 Problemgröße bei vorgegebeer Zeit Welche Problemgröße ka bei verschiedee Kostefuktioe i vorgegebeer Zeit bearbeitet werde? Aahme: Zeit für Problem der Größe ist ms. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 2

22 Problemgröße i Abhägigkeit der Rechegeschwidigkeit Welche Problemgröße ka bei verschiedee Kostefuktioe mit Recher verschiedeer Geschwidigkeit bearbeitet werde? Für Problem der Größe seie die Rechegeschwidigkeite T T ( ) bzw. TK ( ) ( ) K T ( ) KT K Bei gleicher Rechezeit T ( ) TK ( K ) ( ) T ( ) Es gilt also K Explizite Lösug : (K - fache K löst Recher 2 Problem der Größe T ud Geschwidigkeit), also ( KT ( ) ) K Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 22

23 Problemgröße ud Rechergeschwidigkeit Rechebeis piel : Gesuchte Beispiel : T Beispiel K 2 : T log ur Summad Problemgrö ße ( ) ur Faktor 0 i der Problemgrö ße. ( ) log 2 so dass so dass ( 000) ergit sich aus K 2 ( ) T ( ) K. Rechebeis piel : m 3 ud K 000. Ergebis : Faktor 000 i der Rechegesc hwidigkei t brigt K K m + m 2 K. Lösug : Rechebeis piel : Faktor 000 i der Rechegesc hwidigkei t brigt 2 m K K m m K 2 K KT. Lösug : 0 i der Problemgrö ße. K Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 23

24 Problemgröße i Abhägigkeit der Rechegeschwidigkeit Welche Problemgröße ka bei verschiedee Kostefuktioe mit Recher verschiedeer Geschwidigkeit bearbeitet werde? Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 24

25 Leistugsverhalte bei kleier Eigabegröße Asymptotische Komplexität gilt (vor allem) für große. Bei kleiere Probleme habe die Faktore eie wesetliche Eifluss Verfahre mit besserer (asymptotischer) Komplexität ka schlechter abscheide als Verfahre mit schlechter Komplexität Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 25

26 Zusammefassug erste Vorlesug O-Notatio (obere Schrake) Klasse der Fuktioe O(f), die zu eier Fuktio (Größeordug) f gehöre ist O(f) {g c > 0 0 > 0: 0 : g() c f()} Die Fuktio f() majorisiert g() Beispiel: O( 4 ) Ω -Notatio (utere Schrake) Ω (f) {g c > 0 : 0 > 0 : 0 : g() c f()} g Ω (f) oder g Ω (f) drückt aus, dass g midestes so stark wächst wie f. f() miorisiert g() Θ-Notatio (Exakte Schrake) Gilt für eie Fuktio g sowohl g O(f) als auch g Ω(f), so schreibt ma g Θ(f) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 26

27 Problemgröße i Abhägigkeit der Rechegeschwidigkeit Welche Problemgröße ka bei verschiedee Kostefuktioe mit Recher verschiedeer Geschwidigkeit bearbeitet werde? Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 27

28 Zeitkomplexitätsklasse Drei zetrale Zeitkomplexitätsklasse werde uterschiede Algorithmus A mit Zeitkomplexität T() heißt: liear-zeitbeschräkt, falls T() O() polyomial-zeitbeschräkt, falls T() O( k ) expoetiell-zeitbeschräkt, falls T() O(k ) Expoetiell-zeitbeschräkte Algorithme im allgemeie (größere ) icht utzbar. Probleme, für die kei polyomial-zeitbeschräkter Algorithmus existiert, gelte als ulösbar (itractable). Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 28

29 Berechug der Zeitkomplexität I elemetare Operatioe (Zuweisug, Ei-/Ausgabe): O () Summeregel: T ud T 2 seie die Laufzeite zweier Programmfragmete P ud P 2 ; es gelte T () O(f()) ud T 2 () O(g()) Für Hitereiaderausführug vo P ud P 2 ist da T () + T 2 () O(max(f(), g())) Produktregel, z.b. für geschachtelte Schleifeausführug vo P ud P 2 : T () T 2 () O(f() g()) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 29

30 Berechug der Zeitkomplexität II Falluterscheidug: Koste der Bedigugsaweisug ( O()) + Koste der lägste Alterative Schleife: Produkt aus Azahl der Schleifedurchläufe mit Koste der teuerste Schleifeausführug rekursive Prozeduraufrufe: Produkt aus Azahl der rekursive Aufrufe mit Koste der teuerste Prozedurausführug Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 30

31 Beispiel: Berechug der maximale Teilsumme Gegebe: Folge F vo gaze Zahle. Gesucht: Teilfolge vo 0 < i < aufeiader folgede Zahle i F, dere Summe maximal ist Awedugsbeispiel: Etwicklug vo Aktiekurse (tägliche Äderug des Kurses). Maximale Teilsumme bestimmt optimales Ergebis. Lösugsmöglichkeit: (bessere Lösugsmöglichkeite folge später) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 3

32 Komplexitätsbestimmug I Nee a.legth. Der Schleifekörper der ierste for-schleife for (k i; i < j; k++) wird j - i + mal durchlaufe ud dabei jeweils die Aktio (Additio) ausgeführt. Für de ächstiere Schleifekörper gilt for (j i; j < ; j++) {jeweils j - i + Aktioe} also i Aktioe. I der Summe sid das (Gaussche Formel) (-i)(-i+)/2 Aktioe. Die äußere Schleife etspricht da der Aufsummatio aller dieser Beiträge über i vo i 0 bis i -. Isgesamt ist damit die Gesamtzahl der Aktioe 3 /6 + 2 /2 + /3 Beispiel: 32: 5984 Additioe Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 32

33 Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / k k Mit Komplexitätsbestimmug II () ( ) ( ) : der Durchläufe Gesamtzahl O ie Ei Schleifed urchlauf i i l i i j i i j j i k l i j T ( )( ) ( ) + + k i k k i i ( ) T ergibt sich schließlic h

34 Rekursio vs. Iteratio I Für viele Probleme gibt es sowohl rekursive als auch iterative Lösugsmöglichkeite Uterschiede bezüglich Eifachheit, Verstädlichkeit Zeitkomplexität Speicherkomplexität Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 34

35 Rekursio vs. Iteratio II: Berechug der Fiboacci-Zahle Defiitio F 0 0 F F F - + F -2 für > Die rekursive Lösug verursacht expoetielle Aufwad Die iterative Lösug ist mit liearem Aufwad möglich. Speicherug vo Zwischeergebisse würde die Komplexität bei der rekursive Lösug verriger. Wie? It fibrekursiv (it ) { // erfordert >0 if ( <0) retur 0; else if ( ) retur ; else retur fibrekursiv (-2) + fibrekursiv (-) } It fibiterativ (it ) { // erfordert >0 if ( <0) retur 0; else { it aktuelle, vorherige0, temp, for (it i; i<; i++) { temp aktuelle; aktuelle + vorherige; vorherige temp;} retur aktuelle; } Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 35

36 Herkuft der Fiboacci-Zahle Modell eier Kaichepopulatio: F 0 0, F, F F - + F -2 für > Fiboacci stieß auf diese Folge bei der eifache mathematische Modellierug des Wachstums eier Kaichepopulatio ach folgeder Vorschrift:. Zu Begi gibt es ei Paar eugeboreer Kaiche. 2. Jedes eugeboree Kaichepaar wirft ach 2 Moate ei weiteres Paar. 3. Aschließed wirft jedes Kaichepaar jede Moat ei weiteres. 4. Kaiche lebe ewig ud habe eie ubegrezte Lebesraum. Jede Moat kommt zu der Azahl der Paare, die im letzte Moat gelebt habe, eie Azahl vo eugeboree Paare hizu, die gleich der Azahl der Paare ist, die bereits im vorletzte Moat gelebt habe, da geau diese geschlechtsreif sid ud sich u vermehre. Das etspricht aber gerade der obe agegebee Rekursiosformel. Quelle: Wikipedia Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 36

37 Rekursio vs. Iteratio III:! Speicherkomplexität: Die rekursive Lösug verbraucht mehr Speicher als die iterative Lösug. Für geauere Abschätzuge müsse wir wisse, ob der Aufwad für die Multiplikatio großer Zahle mit der Läge der Faktore wächst. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 37

38 Multiplikatio zweier -stelliger Zahle Schriftliche Multiplikatio wie i der Schule: O( 2 ) Besseres Verfahre: Zerlege die vierstellige Faktore i jeweils zwei zweistellige Zahle: (00A+B) (00C+D) 0000AC + 00(AD+BC) + BD (vier Multiplikatioe mit halber Läge sid icht besser, aber: ) 0000AC + 00((A+B)(C+D)-AC-BD) + BD (ur och drei Multiplikatioe!) Wir brauche ur drei Multiplikatioe vo Zahle halber Läge: T() 3T(/2) der Aufwad für Additioe wird icht berücksichtigt) Lösug dieser Fuktioalgleichug ist T() log 2 3 (Logarithmus zur Basis 2).585 ALSO: Verbesserug vo O( 2 ) auf O(.585 ) Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 38

39 Zeitkomplexität Expoetielles Wachstum Fuktioalgleichug: Expoetielles Wachstum ergibt sich aus der Fuktioalgleichug T(+) a T() Iteratio: T() a T(-) a 2 T(-2)... a T(0) Schreibe a als Zweierpotez, a 2 k mit k log 2 a so dass T() 2 k T(0) k log 2 a hat die Fuktio eies Skalefaktors für die Problemgröße. Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 39

40 Zeitkomplexität Multiplikatio Trick: Die -stellige Multiplikatio wird auf 3 Multiplikatioe der halbe Stellezahl zurückgeführt ( sei gerade). Fuktioalgleichug T() 3 T(/2) oder T(2) 3 T() Asatz : T ( ) Mit T m. 2 2 m m ( ) 3T folgt 3 ud damit m log m 2 Ergebis : T log 3 ( ) 2 Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 40

41 Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 4 Zeitkomplexität der Fiboacci-Zahle Defiitio F 0 0 F F F - + F -2 für > ( ) ( ) + + A B A B A F B A B A F 0 für Schreibe das als 2 5, 2 5 mit 5 (843) : Bietsche Formel ( ) mit F Folglich gilt F 0 fidet sich immer ei c so dass Ergebis : Für bel > < > A A O ca

42 Das Mastertheorem Allgemeies Theorm zur Lösug vo Fuktioalgleichuge (Rekursiosgleichuge) T + b ( ) at g( ) a, b > Beschreibt algorithmische Strategie: Zerlege Problem der Größe i b Teilprobleme. Lösug des Gesamtproblems koste das a-fache der Lösug eies Teilproblems. Zusätzlich etstehe eimalige overhead Koste g(). Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 42

43 Das Mastertheorem - Polyomial Es gibt mehrere Lösuge je ach Verhalte vo g(). Sei jetzt g() polyomial, g() Θ( k ): T + Θ b ( ) ( k at ) a, b > Da ist T ( ) Θ Θ Θ ( k ) ( k log ) ( log ( a) ) b falls a < b falls a b falls a > b k k k Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 43

44 Das Mastertheorem Beispiele Sei wieder g() polyomial, g() Θ( k ). Betr. De Fall k 2 ud b 3: T + Θ 3 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 8T > T Θ ) + Θ 3 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 9T > T Θ log ) T 2 T + Θ 3 ( ) ( 2 ) ( ) ( log 0 ) 3 0T > T Θ Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 44

45 Das Mastertheorem - Allgemei Allgemeiere Lösug: Setze u log b (a) Zur Erierug: Falls g() 0 da ist T() Θ( u ). Dieses Gesetz markiert de Fall ohe overhead Koste. Falls Falls g g ( ) ( u-ε ) ( ) ( u O für ei ε > 0 da ist T Θ ) ( ) ( u ) ( ) ( u Θ da ist T Θ log ) 2 Falls g T ( ) ( u+ ε Ω ) für ei ε > 0 ud ag cg( ) ( ) Θ( g( ) ) b da ist Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 45

46 Zusammefassug Komplexität / Effiziez wesetliche Eigeschaft vo Algorithme meist asymptotische Worst-Case-Abschätzug i Bezug auf Problemgröße Uabhägigkeit vo kokrete Umgebugsparameter (Hardware, Betriebsystem,...) asymptotisch "schlechte" Verfahre köe bei kleier Problemgröße ausreiche wichtige Klasse: O(), O(log ), O(), O( log ), O( 2 ),... O(2 ) zu gegebeer Problemstellug gibt es oft Algorithme mit stark uterschiedlicher Komplexität uterschiedliche Lösugsstrategie Raum vs. Zeit: Zwischespeicher vo Ergebisse statt mehrfacher Berechug Iteratio vs. Rekursio Bestimmug der Komplexität aus Programmfragmete Peter F. Stadler Algorithme ud Datestrukture -WS06 / 07 46