Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1

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1 .1 Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr

2 . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen Exponentilfunktionen

3 Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Progrm Elemente der Algebr Exponentilfunktionen Dr. Jürgen Roth.

4 Ppier flten Dr. Jürgen Roth.

5 Ppier flten Dr. Jürgen Roth. Problem: Ein DIN A0 Bltt wird 0 Ml gefltet. Wie dick ist ds gefltete Ppier? Experiment Messen 0 Bltt Ppier sind, mm hoch. Dicke eines Bltts: d 0 = 0,10 mm 1-ml flten: d(1) = d 0 = d 0 1 -ml flten: d() = d(1) = d 0 -ml flten: d() = d() = d 0 = d 0 n-ml flten: d(n) = d 0 n = d 0 Dicke des geflteten Ppiers: d(0) = d 0 0 = 0,10 mm 0 = ,8 mm 110 m Vgl. Zellteilung!

6 Erbschft Dr. Jürgen Roth.6 Netter Vorfhre Ein Mnn legt 1 festverzinslich zu einem jährlichen Zinsstz von % für 00 Jhre n. Wie viel Geld erhält ein Erbe nch 00 Jhren? 1 1, , Jhr Einlge 1,00 11,7 11,0 1.07, , , ,1 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0 1,0 0

7 Zellsterben Dr. Jürgen Roth.7 Problem: In einer Schle befinden sich Zellen. Es wirkt ein Zellgift, durch ds (idelisiert) pro Zeiteinheit 1 % der Zellen sterben. Gesucht: Anzhl der Zellen in Abhängigkeit von der Zeit Zeitpunkt t 0 = 0: N 0 = N(t 0 ) = N(0) = Zeitpunkt t 1 = 1: N(t 1 ) = N 0 0,8 Zeitpunkt t = : N(t ) = N(t 1 ) 0,8 = (N 0 0,8) 0,8 = N 0 0,8 Zeitpunkt t = : N(t ) = N(t ) 0,8 = (N 0 0,8 ) 0,8 = N 0 0,8 Zeitpunkt t n = n: N(t n ) = N 0 0,8 n Allgemein N(t) = N 0 0,8 t

8 .8 Zellsterben

9 .9 Exponentilfunktionen Definition: Stz: der Burt f : R R +, x x mit R + \{1} heißen Exponentilfunktionen. Häufig werden Exponentilfunktionen zur Bsis uch ls exp : R R +, x exp (x) = x geschrieben. Exponentilfunktionen genügen folgender Funktionlgleichung: x1, x R f(x 1 + x ) = f(x 1 ) f(x ) Beweisidee: Potenzgesetz } x ( 1 ) 1 + x x1 x f x + x = = = f ( x1 ) f ( x )

10 Exponentilfunktionen Dr. Jürgen Roth.10 Chrkteristische Eigenschft von Exponentilfunktionen: Zu gleichen (dditiven) Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wchstumsfktor. Wird lso bei einer Exponentilfunktion ds Argument um den gleichen Wert (+c) vergrößert, dnn nimmt der Funktionswert um den gleichen Fktor ( d) zu. x x+ c x c R f ( x + c ) = = { { = f ( x ) d = f ( x ) : = d Chrkteristische Eigenschft von lineren (vgl. Kp. ): Zu gleichen (dditiven) Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wchstumssummnd. Wird lso bei einer lineren Funktion ds Argument um den gleichen Wert (+c) vergrößert, dnn nimmt der Funktionswert um den gleichen Summnd (+d) zu.

11 .11 Exponentilfunktionen d d + c + c

12 .1 + d + d + c + c

13 .1 Präsenzübung Änderungsverhlten Betrchten Sie jeweils die Exponentilfunktion f : R R +, x x mit R + \{1} und die proportionle Funktion g : R R, x x mit R unter dem Kovritionsspekt. Wie ändert sich jeweils der Funktionswert, wenn mn x um 1 vergrößert, x um verkleinert, x verdoppelt, x hlbiert, x mit multipliziert, x durch dividiert, x qudriert?

14 .1 Grphen von Exponentilfunktionen

15 .1 Grphen von Exponentilfunktionen

16 Grphen von Exponentilfunktionen Dr. Jürgen Roth.16 Die Grphen der x x und x (1/) x sind zueinnder chsensymmerisch bzgl. der y-achse.

17 Präsenzübung Dr. Jürgen Roth.17 Es gilt: R + und b, c, d R f : R R +, x x g: R R +, x b x h : R R +, x (x + c) k : R R +, x d x Wie wirkt sich eine Veränderung der Prmeter, b, c und d uf die Grphen der jeweiligen us? Vergleichen Sie die Grphen der vier für verschiedene Werte von b, c und d. Gibt es Werte, so dss jeweils zwei Funktionsgrphen übereinstimmen?

18 Eigenschften von x x Dr. Jürgen Roth.18 Eigenschft > 1 0 < < 1 Monotonie streng monoton steigend streng monoton fllend Definitionsmenge D R R Wertemenge W R + R + Asymptote negtive x-achse positive x-achse Punkt des Grphen (0 1) (0 1) Exponentielle(s) Wchstum Abnhme

19 .19 Präsenzufgbe Prozentule Zunhme/Abnhme Wchstumsfktor Ergänzen Sie die Tbelle. prozentule Wchstums- Anfngs- Zunhme/Abnhme fktor bestnd pro Einheit Funktionsterm 8 % 0, ,9 x 0 % 1, 0 0 1, x 10 %, 6, 6,, xx % 0,8 0,8 x

20 .0 Präsenzufgbe Prmeter und Funktionsgrphen Die beiden bgebildeten Grphen sind Grphen von folgenden Typs: f : R R, x Bestimmen Sie jeweils die Prmeter, b, c und d. 1 x c ( ) b + + d

21 .1 s und exponentielles Wchstum Bggersee Ein See mit einer Oberfläche von zunächst 00 m² wird in einer Flussniederung usgebggert. Die Oberfläche vergrößert sich ddurch in jeder Woche um 00 m². Der See wird von einer Seerosenrt besiedelt, die zu Beginn der Bggerrbeiten 10 m² der Oberfläche des Sees bedecken. Die Seerosen vermehren sich derrt, dss sich die von ihnen bedeckte Fläche in jeder Woche verdoppelt. Nch wie vielen Wochen ist der gnze See mit Seerosen bedeckt?

22 s und exponentielles Wchstum Anzhl der Wochen Seefläche in m² Anzhl der Wochen Seerosenfläche in m² Dr. Jürgen Roth. x x x 10 x

23 . s und exponentielles Wchstum

24 s und exponentielles Wchstum Dr. Jürgen Roth. s Wchstum f(x) = mx + t f(x + c) = m (x + c) + t = mx + t + mc = f(x) + mc = f(x) + d x D f f ( x + c ) f ( x ) = const. Bei gleichem Zuwchs im Argument ist der bsolute Zuwchs konstnt. Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wchstumssummnd. Exponentielles Wchstum g(x) = b x g(x + c) = b x + c = b x c = g(x) c = g(x) d f ( x + c ) x D f = const. f ( x ) Bei gleichem Zuwchs im Argument ist der reltive Zuwchs konstnt. Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wchstumsfktor.

25 Logrithmusfunktion Dr. Jürgen Roth. Potenzfunktionen lso der Burt exp : R R +, x exp (x) = x sind bijektiv und dmit umkehrbr. Umkehrfunktion Bei der Umkehrfunktion einer Potenzfunktion wird für eine Potenz p = r dnch gefrgt, mit welcher Zhl r mn potenzieren muss, um p zu erhlten. Die Umkehrfunktion zur Exponentilfunktion exp : R R +, x exp (x) = x ist die Logrithmusfunktion : R + R, x (x) zur Bsis. D für und ihre Umkehrfunktionen gilt f f 1 (x) = x und f 1 f(x) = x folgt: ( x ) x = x und ( ) = x

26 Eigenschften der Logrithmusfunktion Dr. Jürgen Roth.6 Exponentilfunktion exp D = R und W = R + exp (0) = 0 = 1 Der Punkt (0 1) ist Element des Grphen jeder Exponentilfunktion exp. Die x-achse ist wgerechte Asymptote n den Grphen von exp. Logrithmusfunktion D = R + und W = R (1) = ( 0 ) = 0 Der Punkt (1 0) ist Element des Grphen jeder Logrithmusfunktion. Die y-achse ist senkrechte Asymptote n den Grphen von.

27 .7 Eigenschften der Logrithmusfunktion ( x ) ( x ) ( x ) ( ( 1 x 1 x ( ) ) 1 x )

28 Rechenregeln für Logrithmen Dr. Jürgen Roth.8 Stz: Für, r, s R + gilt: (r s) = (r ) + (s ) (r : s) = (r ) (s ) (r s ) = s (r ) Beweis: Unter Verwendung von ( r s ) = = ( r : s ) = s ( r ) = = = ( ( ( ( ( x ) x = x und ( ) = x ( r ) ( s ) ) ( r ) + ( s ) ) = ( r ) + ( r ) : ( r ) ( ) s ) ( r ) ( s ( r ) ( s ) ( s ) ) ) = s ) = ( r ) ( r ) ergibt sich: ( s ) ( s ) #

29 .9 Eigenschften der Logrithmusfunktion Stz: Die Logrithmusfunktion : R + R, x (x) zur Bsis mit R + \{1} ist streng monoton steigend für > 1, streng monoton fllend für o < < 1. Beweis: x 1, x R + x 1 < x ( x ) ( x1 ) ( ) x = x { 1 > 1, x x R x < x d 1, 1 + > 0 < 0 für für > 0 < 1 < 1 #

30 .0 Rechenschieber Rechenschieber: Der Vorläufer des Tschenrechners! Die Regeln (r s) = (r ) + (s ) und (r : s) = (r ) (s ) spielten beim Rechenschieber eine wichtige Rolle, weil mn mit ihrer Hilfe die Multipliktion uf die Addition und die Division uf die Subtrktion zurückführen knn.

31 .1 Rechenschieber Beispiele: =? 10 ( ) = 10 () + 10 () = 10 (6) 1,7, =? 10 (1,7,) = 10 (1,7) + 10 (,) = 10 (,)

32 Rechenregel für Logrithmen Dr. Jürgen Roth. Stz ( Tschenrechnergleichung ) Für, b, r R + mit 0 gilt: Anmerkung Beweis Mit diesem Stz knn der Logrithmus von r zur Bsis ls Quotient zweier Logrithmen zu einer beliebigen Bsis usgedrückt werden. Tschenrechner beherrschen häufig nur lg(x) := 10 (x) den Logrithmus zur Bsis 10 und ln(x) := e (x) den Logrithmus zur Bsis e, der uch ntürlicher Logrithmus gennnt wird. Aus b r = ( r ) folgt: ( ( ) ) r ( r ) = ( r ) = = ( r ) ( ) b b b b ( r ) ( ) ( r ) = b b ( r ) ( ) #

33 Präsenzufgbe Dr. Jürgen Roth. Zinseszins Ein Kpitl K 0 wird zu einem Zinsstz p% pro Jhr ngelegt. Die nfllenden Zinsen werden m Ende des Jhres ebenflls dem Sprkonto gutgeschrieben. Wie viele Jhre muss mn spren, bis sich ds Kpitl ver-mfcht ht? Mögliche Lösung: p K n) = K ( 0 0 m ) n p n K 0 = K 0 ( :K 0 p n m = ( ) p ln( m ) = n ln( ) ln K( n) = m K n = (zulässig, d streng monoton steigend) ln( m) ln(1 + p 100 )

34 . Präsenzufgbe Bevölkerungswchstum Im Jhre 1798 veröffentlichte der englische Philosoph Thoms R. Mlthus sein "Essy of the Principles of Popultion". Er vermutete, dss die Nhrungsmittelerzeugung dem rsnten Bevölkerungswchstum im Zuge der industriellen Revolution nicht würde folgen können, und prognostizierte permnente Hungersnöte. Zur Begründung seiner Thesen entwickelte er einfche Modelle für ds Wchstum von Popultionen: Er nhm n, die Bevölkerung wchse exponentiell, die zur Verfügung stehenden Nhrungsmittel jedoch nur liner. Berbeiten Sie die Aufgben unter obiger Adresse!

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