Lösungen zu Aufgabenblatt 9

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1 Fachbereich Informatik Prof. Dr. Peter Becker Objektrelationale Datenbanksysteme Wintersemester 2011/ 14. Januar 2013 Lösungen zu Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1 (Einfügen in B-Bäume) In einen leeren B-Baum mitk = 2 werden nacheinander die folgenden Schlüssel eingefügt: 2, 2, 8, 4, 6,, 63, 6, 33,, 17, 99, 3, 46, 9, 1 Geben Sie jeweils an, wie der B-Baum nach dem Einfügen des Schlüssels aussieht. Lösung: Nach dem Einfügen der 4 besteht der B-Baum nur aus dem Wurzelknoten Beim Einfügen der 6 erfolgt der erste Split. Es entsteht eine neue Wurzel mit zwei Blättern Die Schlüssel und 63 wandern in rechten Blattknoten Durch den Schlüssel 6 wird ein Split des rechten Blattknotens notwendig. Schlüssel 2 wandert in die Wurzel, die anderen Schlüssel werden entsprechend ihrer Größe verteilt

2 Die Schlüssel 33 und landen im mittleren Blattknoten Das Einfügen von 17 führt zu einem Split des mittleren Blattknotens. Schlüssel wandert dabei in die Wurzel Die restlichen Schlüssel wandern in die Blattknoten, wobei es nicht mehr zu einem Split kommt. Es entsteht der folgende Baum: Aufgabe 2 (Löschen aus B-Bäumen) Löschen Sie die Schlüssel aus Aufgabe 1 beginnend mit der 2 in der angegebenen eihenfolge aus dem B-Baum, der durch Aufgabe 1 entstanden ist. Geben Sie jeweils an, wie der B-Baum nach dem Löschen des Schlüssels aussieht. Lösung: Gleich der erste zu löschen Schlüssel 2 liegt nicht in einem Blatt, sondern einem inneren Knoten (hier: die Wurzel). Wir ersetzten den Platz der 2 durch den kleinsten Schlüssel im rechten Unterbaum zur

3 Die 2 befindet sich in einem Blatt und kann ohne Unterlauf gelöscht werden Die 8 ist wieder in einem inneren Knoten. Wir ersetzen die 8 durch die Die 4 kann ohne Unterlauf gelöscht werden Bei der 6 kommt es zu einem Unterlauf, der nicht durch den Nachbarknoten ausgeglichen werden kann. So wird die Wurzel verkleinert, 9 aus der Wurzel wird mit 1, und 17 zu einem Blatt vereinigt Die liegt wieder in einem inneren Knoten und wird durch die 33 ersetzt

4 Die 63 liegt in einem inneren Knoten und müsste daher durch die 6 ersetzt werden. Damit kommt es aber im rechten Blattknoten zu einem Unterlauf, der nicht ausgeglichen werden kann. Also wird die Wurzel verkleinert und die Schlüssel 3, 46,6, 99 bilden ein neues Blatt Die 6 kann im rechten Blatt ohne Unterlauf gelöscht werden Die 33 wird in der Wurzel durch die 3 ersetzt und 17 können ohne Unterlauf aus dem linken Blatt gelöscht werden Beim Löschen der 99 kommt es zu einem Unterlauf, der nicht ausgeglichen werden kann. Also muss die Wurzel verkleinert werden, womit sie aber leer wird und gelöscht werden kann. Die verbleibenden Schlüssel 1, 9, 3, 46 werden zu einem Knoten zusammengelegt, der jetzt die Wurzel bildet Die verbleibenden Schlüssel werden gelöscht, bis die leere Wurzel übrig bleibt.

5 Aufgabe 3 (-Bäume) Gegeben seien die folgenden minimal umschließenden echtecke für die Objekte o 1 bis o 8. Objekt echtecke (x, y, Breite, Höhe) o 1 (2,1,2,1) o 2 (,,2,1) o 3 (11,9,1,1) o 4 (7,2,1,1) o (7,8,2,2) o 6 (1,3,1,1) o 7 (7,,1,1) o 8 (,,1,1) Zur Verfügung steht ein -Baum mit M = 4. Zeigen Sie schrittweise, wie der -Baum für die Objekte o 1 bis o 8 entsteht. Lösung: Nach dem Einfügen der ersten vier Objekte haben wir folgende Situation: O2 O4 O2 O4

6 Mit o wird ein Split der Wurzel notwendig. Hierzu können wir den Quadratic-Split-Algorithmus verwenden. Dieser bestimmt zunächst die beiden Objekte (aus den Objekten o 1 bis o ), deren Minimum Bounding ectangle am größten ist. Dies ist für o 1 und o 3 der Fall. Jedes der beiden echtecke o 1 undo 3 definiert damit eine Gruppe und jedes der verbleibenden echteck muss genau einer dieser beiden Gruppen zugeordnet werden. Es seif(o i,o j ) die Fläche des Minimum Bounding ectangle voo i undo j abzüglich der Flächensumme von o i und o j. Dann gilt o i F(o i,o 1 ) F(o i,o 3 ) F(o i,o 1 ) F(o i,o 3 ) besser o o 3 o o 1 o 7 2 o 2 Also wird o in die Gruppe mito 3 aufgenommen. O Anschließend wird für die verbleibenden echtecke o 2 und o 4 wiederum geprüft, welcher Flächenzuwachs bei welche Zuordnung entsteht. So wird anschließend o 2 der Gruppe zu o 3,o zugeordnet und o 4 der Gruppe von o 1.

7 Damit entsteht die folgende Situation/Baum: O 2 O2 1 O O4 O2 O 2

8 o 6 wird in 1 eingefügt, weil 1 für o 6 geringer erweitert werden muss als 2. Man beachte, dass die echtecke und 1 angepasst werden müssen. O 2 O2 1 O O4 O2 O 2

9 Das folgende Objekt o 7 wird in 2 eingefügt. Die umgebenden echtecke müssen wiederum angepasst werden. O7 O 2 O2 1 O O4 O2 O O7 2

10 Wo soll o 8 eingefügt werden? 2 müsste um 16 Einheiten erweitert werden, um o 8 aufzunehmen, 1 nur um 14. Also wirdo 8 in 1 eingefügt. Dort kommt es auch nicht zu einem Überlauf. Es entsteht: O7 2 O O8 O2 1 O O4 O8 O2 O O7 2